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山东省潍坊市2018届高三第二次模拟考试数学(文)试卷(含答案)

时间:2018-05-04


潍坊市高考模拟考试 文科数学
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
x 1.已知集合 A ? x x ? 1 , B ? x e ? 1 ,则(

?

?

?

?



A. A ? B ? x x ? 1 C. A ? CR B ? R

?

?

B. A ? B ? x x ? e

?

? ?


D. CR A ? B ? x 0 ? x ? 1

?

2.如图,正方形 ABCD 内的图形来自宝马汽车车标的里面部分,正方形内切圆中的黑色部分和白色 部分关于正方形对边中点连线成轴对称,在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率(

A.

1 4

B.

1 2

C.

π 8


D.

π 4

3.下面四个命题中,正确的是( A.若复数 z1 ? z 2 ,则 z1 ? z2 ? R

B.若复数 z 满足 z ? R ,则 z ? R
2

C.若复数 z1 , z2 满足 z1 ? z2 ,则 z1 ? z2 或 z1 ? ? z2 D.若复数 z1 , z2 满足 z1 ? z2 ? R ,则 z1 ? R , z2 ? R 4.已知双曲线 C :

x2 y 2 5 ? 2 ? 1 的离心率为 ,其左焦点为 F1 (?5, 0) ,则双曲线 C 的方程为( 2 3 a b x2 y2 ? ?1 B. 3 4 x2 y2 ? ?1 C. 16 9




x2 y2 ? ?1 A. 4 3

x2 y2 ? ?1 D. 9 16

5.执行如图所示程序框图,则输出的结果为(

·1·

A.-4

B.4

C.-6

D.6 )

( 6.已知 ? ?
A.

?

3 ? ,?) , tan( ? ? ? ) ? - ,则 cos( ? ? ) ? ( 2 4 4
B. -

2 10

2 10

C.

7 2 10

D. -

7 2 10


7.已知某个函数的部分图象如图所示,则这个函数解析式可能为(

A. y ? x ?

cos x x

2 B. y ? x ?

sin x x

C. y ? x -

8.若将函数 y ? cos?x(? ? 0) 的图象向右平移 的最小值为( A. ) B.

? 个单位长度后与函数 y ? sin ?x 的图象重合,则 ? 3
7 2

cos x x

D. y ? x -

sin x x

3 5 C. 2 2 ln x 9.已知函数 f ( x) ? ,则( ) x 1 A. f ( x) 在 x ? e 处取得最小值 e

1 2

D.

B. f ( x) 有两个零点 D. f (4) ? f (? ) ? f (3)

( 1,0) C. y ? f ( x) 的图象关于点 对称

10.在 ?ABC 中, a , b , c 分别是角 A , B , C 的对边,且 A.

? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

2? 3

2 sin C ? sin B a cos B ? ,则 A =( sin B b cos A



11.已知三棱柱 ABC ? A1B1C1 ,平面 ? 截此三棱柱,分别与 AC , BC ,B1C1 , A1C1 交于点 E ,F ,
·2·

G , H ,且直线 CC1 // 平面 ? .有下列三个命题:①四边形 EFGH 是平行四边形;②平面 ? // 平面

ABB 1A 1 ;③若三棱柱 ABC ? A 1 B1C1 是直棱柱,则平面 ? ? 平面 A 1 B1C1 .其中正确的命题为(
A.①② B.①③ C.①②③ D.②③



12.直线 y ? k ( x ? 2)(k ? 0) 与抛物线 C : y 2 ? 8x 交于 A , B 两点, F 为 C 的焦点,若

sin ?ABF ? 2 sin ?BAF ,则 k 的值是(
A.

) D. 2

2 3

B.

2 2 3

C.1

12.设 P 为双曲线

x2 y2 ? ? 1 右支上一点, F1 , F2 分别为该双曲线的左右焦点, c , e 分别表示该 a2 b2

双曲线的半焦距和离心率.若 PF 2 交 y 轴于点 A ,则 ?AF 1 P 的内切圆的半径为 1 ? PF 2 ? 0 ,直线 PF ( A.a ) B.b C.c D.e

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13.函数 f ( x) ?

1 ? lg( ?3x 2 ? 5 x ? 2) 的定义域为 1? x



14.在等腰 ?ABC 中, AB ? AC , BC ? 6 ,点 D 为边 BC 的中心,则 AB ? BD ?
2 2



15.已知圆 C 的方程为 x ? y ? 4 , A(?2, 0) , B(2, 0) ,设 P 为圆 C 上任意一点(点 P 不在坐标轴 上) ,过 P 作圆的切线分别交直线 x ? 2 和 x ? -2 于 E 、 F 两点,设直线 AF , BE 的斜率分别为 k1 ,

k2 ,则 k1 ? k2 ?



16.已知函数 f ( x) ,设数列 ?an ?中不超过 f ( m) 的项数为 bm (m ? N ? ) ,给出下列三个结论: ① an ? n 2 且 f (m) ? m ,则 b1 ? 1, b2 ? 2, b3 ? 3 ;
2
2 ② an ? 2n 且 f (m) ? m , ?bm ? 的前 m 项和为 S m ,则 S2018 ? 1009

3 * ③ an ? 2n 且 f (m) ? Am ( A ? N ) ,若数列 ?bm ? 中, b1 , b2 , b5 成公差为 d(d ? 0) 的等差数列,则

·3·

b5 ? b1 ? 3 .
则正确结论的序号 . (请填上所有正确结论的序号)

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.在 ?ABC 中,已知点 D 在 BC 边上, AD ? AC , sin ?BAC ?

2 2 , AB ? 3 2 , AD ? 3 . 3

(1)求 BD 的长; (2)求 ?ABC 的面积.
? 18.如图,在平行六面体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AA 1 ? A 1 D , AB ? BC , ?ABC ? 120 .

(1)证明: AD ? BA 1; (2)若平面 ADD 1A 1 ? 平面 ABCD ,且 A 1 D ? AB ,求直线 BA 1 与平面 A 1 B1CD 所成角的正弦值. 19.为推动实施健康中国战略, 树立国家大卫生、 大健康概念.手机 APP 也推出了多款健康运动软件, 如“微信运动”.杨老师的微信朋友圈内有 600 位好友参与了“微信运动” ,他随机选取了 40 位微信 好友(女 20 人,男 20 人) ,统计其在某一天的走路步数.其中,女性好友的走路步数数据记录如下: 5860 8520 7326 6798 7325 8430 3216 7453 11754 9860 5980

8753 6450 7290 4850 10223 9763 7988 9176 6421

男性好友走路的步数情况可分为五个类别:A(0 ? 2000步)(说明: “ 0 ? 2000 ” 表示大于等于 0 , 小于等于 2000 .下同), B(2000? 5000步), C (5001? 8000步), C (8001? 10000步), E (10001 步 及以 E ),且 B, D, E 三种类别人数比例为 1 : 3 : 4 ,将统计结果绘制如图所示的条形图. 若某人一天的走路步数超过 8000 步被系统认定为“卫健型",否则被系统认定为“进步型”.
·4·

(1)若以杨老师选取的好友当天行走步数的频率分布来估计所有微信好友每日走路步数的概率分布, 请估计杨老师的微信好友圈里参与 “微信运动” 的 600 名好友中,每天走路步数在 5001 ~ 10000 步的 人数; (2)请根据选取的样本数据完成下面的 2 ? 2 列联表并据此判断能否有以上的把握认定“认定类型” 与“性别”有关? 卫健型 男 女 总计 进步型 总计 20 20 40

(3)若按系统认定类型从选取的样本数据中在男性好友中按比例选取 10 人,从中任意选取 3 人,记 选到“卫健型”的人数为 x ;女性好友中按比例选取 5 人,从中任意选取 2 人,记选到“卫健型”的 人数为 y ,求事件“ x ? y ? 1”的概率.

n(ad ? bc) 2 附: ? ? , (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
2

P( K 2 ? k0 )

0.10 2.706
2

0.05 3.841
2 2

0.025 5.024
2

0.010 6.635

k0

20.已知抛物线 C1 : y ? 2 px( x ? 0) 与椭圆 C2 : x ? 2 y ? m (m ? 0) 的一个交点为 P(1, t ) ,点 F 是 C1 的焦点,且 PF ?

3 . 2

(1)求 C1 与 C2 的方程;

·5·

(2)设 O 为坐标原点,在第一象限内,椭圆 C2 上是否存在点 A ,使过 O 作 OA 的垂线交抛物线 C1 于 B ,直线 AB 交 y 轴于 E ,且 ?OAE ? ?EOB ?若存在,求出点 A 的坐标和 ?AOB 的面积;若 不存在,说明理由. 21.已知函数 f ( x) ? ax ? ln x ? 1(a ? R) . (1)求 f ( x) 的单调区间; (2)若 a ? 0 , 令 g ( x) ? f (tx ? 1) ? 求正实数 t 的取值范围.

3x ? 2 , 若 x1 ,x2 是 g ( x) 的两个极值点, 且 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 0 , x?2

请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中, 曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 2 ? 2 cos? , ( ? 为参数) ,M 为曲线 C1 上的动点, ? y ? 2 sin ?

动点 P 满足 OP ? aOM ( a ? 0 且 a ? 1 ) , P 点的轨迹为曲线 C2 . (1)求曲线 C2 的方程,并说明 C2 是什么曲线; (2)在以坐标原点为极点,以 x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中, A 点的极坐标为 ( 2,

?
3

) ,射线

? ? ? 与 C2 的异于极点的交点为 B ,已知 ?AOB 面积的最大值为 4 ? 2 3 ,求 a 的值.
23.选修 4-5:不等式选讲 已知 f ( x) ? x ?1 ? x ? m . (1)若 f ( x) ? 2 ,求 m 的取值范围; (2)已知 m ? 1 ,若 ?x ? (?1,1) 使 f ( x) ? x ? mx? 3 成立,求 m 的取值范围.
2

·6·

高三文科数学参考答案及评分标准 一、选择题
1-5:CCADB 6-10:BABDC 11、12:BB

二、填空题
13.

3? 2

14. - 9

15. 5

16.

3 2

三、解答题
17.解: (1)∵ S6 ?a 6 是 S 4 ? a4 , S5 ? a5 的等差中项, ∴ 2(S6 ? a6 ) ? S4 ? a4 ? S5 ? a5 ∴ S6 ? a6 ? S4 ? a4 ? S5 ? a5 ? S6 ? a6 , 化简得, 4a6 ? a4 , 设等比数列 ?an ?的公比为 q ,则 q 2 ? ∵ an ? 0(n ? N * ) ,∴ q ? 0 ,∴ q ?
n ?1 n?2 ∴ an ? 2 ? ( ) ? ( ) .

a6 1 ? , a4 4
1 , 2

1 2

1 2

2 n -3 (2)由(1)得: bn ? log1 a2 n ?1 ? log1 ( ) ? 2n ? 3 , 2 2

1 2

设, Cn ?

2 2 1 1 , ? ? ? bnbn?1 (2n ? 3)(2n ? 1) 2n ? 3 2n ? 1
·7·



Tn ? C1 ? C2 ? ? ? ? ? Cn ? (
.

1 1 1 1 1 1 1 1 1 2n ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ??? ? ( ? ) ? ?1 ? ?? ?1 1 1 3 3 5 2n ? 3 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1

18. (1)证明:取 AD 中点 O ,连接 OB , OA1 , ∵ AA 1 ? DA 1 ,∴ AD ? OA 1, ∵在

ABCD 中, ?ABC ? 120? ,∴ ?BAD ? 60? ,

又∵ AB ? BC ,则 AB ? AD ,∴ ?ABD 是正三角形, ∴ AD ? OB ∵ OA 1 ? 平面 OBA 1 , OB ? 平面 OBA 1 , OA 1 ? OB ? O , ∴ AD ? 平面 OBA 1, ∴ AD ? A1B . (2)由题设知 ?A1 AD 与 ?BAD 都是边长为 4 的正三角形, ∴A 1O ? OB ? 2 3 ,∵ A 1B ? 2 6 , ∴ A1O ? OB ? A1B ,∴ A1O ? OB ,
2 2 2

∵ A1O ? AD , ∴ A1O ? 平面 ABCD , ∴ A1O 是平行六面体 ABCD ? A1B1C1D1 的高,
·8·

又 S ABCD ? AD? OB ? 4 ? 2 3 ? 8 3 , 设 V ? VABCD? A1B1C1D1 ? S ABCD ? A1D ? 8 3 ? 2 3 ? 48 , 令 V1 ? VA1 ? ABD ?

1 1 1 S ?ABD ? A1O ? ? ? 2 3 ? 4 ? 2 3 ? 8 , 3 3 2

∴ VBCD? A1B1C1D1 ? V ? V1 ? 40,即几何体 BCD ? A1B1C1D1 的体积为 40 . 19.解: (1)在样本数据中,男性朋友 B 类别设为 x 人,则由题意可知 1 ? x ? 3 ? 3x ? 4 x ? 20 ,可 知 x ? 2 ,故 B 类别有 2 人,类 D 别有 6 人, E 类别有 8 人,走路步数在 5000 ~ 10000 步的包括 C 、

D 两类别共计 9 人;女性朋友走路步数在 5000 ~ 10000 步共有 16 人.
用样本数据估计所有微信好友每日走路步数的概率分布,则:

600 ?

9 ? 16 ? 375 人. 40

(2)根据题意在抽取的 40 个样本数据的 2 ? 2 列联表: 卫健型 男 女 总计 得: ? ?
2

进步型 6 12 18

总计 20 20 40

14 8 22

40? (14?12 ? 6 ? 8) 2 40 ? ? 3.841, 20? 20? 22?18 11

故没有 95 % 以上的把握认为认为“评定类型”与“性别”有关 (3)在步数大于 10000 的好友中分层选取 5 位好友,男性有: 5 ?

8 ? 4 人,记为 A 、 B 、 C 、 8? 2

D ,女性 1 人记为 e ;
从这 5 人中选取 2 人,基本事件是 AB , AC , AD , Ae 、 BC 、 BD 、 Be 、CD 、 Ce 、 De 共 10 种,这 2 人中至少有一位女性好友的事件是 Ae , Be , Ce , De 共 4 种,故所求概率 P ?

4 2 ? . 10 5

20.(1)设 P( x, y ) ,由题意,得

( x ? 3)2 ? y 2 3 , ? 4 2 x? 3 3

整理,得

x2 ? y2 ? 1 , 4
·9·

所以曲线 E 的方程为

x2 ? y2 ? 1 . 4
1 m2 ? n2


(3)①圆心 (0,0) 到直线 l 的距离 d ? ∵直线于圆有两个不同交点 C , D , ∴ CD ? 4(1 ? 故 CD ? 4(1 ?
2

2

m2 1 ) ? n 2 ? 1(n ? 0) , ,又 2 2 m ?n 4
4 ), 3m ? 4 2
2

由 0 ? d ? 1 ,得 m ? 0 ,又 m ? 2 ,∴ 0 ? m ? 2 . ∴ 0 ? 1?

4 3m ? 4
2
2

?

3 , 4

因此 CD ? (0,3] , CD ? (0, 3 ] , 即 CD 的取值范围为 (0, 3 ] . ②当 m ? 0 , n ? 1 时,直线 l 的方程为 y ? 1 ;当 m ? 2 , n ? 0 时,直线 l 的方程为 x ? 圆对称性,猜想 E ' 的方程为 4 x ? y ? 1 .
2 2

1 ,根据椭 2

m2 ? n2 ? 1 , 下证:直线 mx? ny ? 1(n ? 0) 与 4 x ? y ? 1 相切,其中 4
2 2
2 2 即 m ? 4n ? 4 ,

?4 x 2 ? y 2 ? 1 ? 2 2 2 2 由? 1 ? m x 消去 y 得: (m ? 4n ) x ? 2mx? 1 ? n ? 0 , ?y ? n ?
2 2 即 4 x ? 2mx? 1 ? n ? 0 ,

∴ ? ? 4m ?16(1 ? n ) ? 4(m ? 4n ? 4) ? 0 恒成立,
2 2 2 2

从而直线 m x? ny ? 1 与椭圆 E ' : 4 x ? y ? 1 恒相切.
2 2

若点 M (m, n) 是曲线 ? : Ax ? By ? 1( A ? B ? 0) 上的动点,则直线 l : m x? ny ? 1 与定曲线 ?' :
2 2

·10·

x2 y 2 ? ? 1( A ? B ? 0) 恒相切. A B
21.解: (1) f ' ( x) ? ( x ? a)e x ? e x ? ax ? a(a ?1) , ∴ f ' (0) ? (a ?1) 2 ,又 f (0) ? ?a , ∴切线方程为: y ? a ? (a ? 1) 2 ( x ? 0) , 令 y ? 0得 x ?

a ? 2, (a ? 1) 2

∴ 2a 2 ? 5a ? 2 ? 0 , ∴a ? 2或a ?

1 . 2

(2) f ' ( x) ? ( x ? a)e x ? e x ? ax ? a(a ?1) = [ x ? (a ?1)](e x ? a) , 当 a ? 0 时, e x ? a ? 0 , 为减函数, x ? (??, a ? 1) , f ' (0) ? 0 , f(x)

x ? (a ? 1,??) , f ' ( x) ? 0 , f ( x) 为增函数;
当 a ? 0 时,令 f ' ( x) ? 0 ,得 x1 ? a ? 1 , x2 ? ln a , 令 g (a) ? a ? 1 ? ln a , 则 g ' (a) ? 1 ?

1 a ?1 ? , a a

当 a ? (0,1) 时, g ' (a) ? 0 , g (a ) 为减函数, 当 a ? (1,??) 时, g ' (a) ? 0 , g (a ) 为增函数, ∴ g (a) min g (1) ? 0 , ∴ a ? 1 ? ln a (当且仅当 a ? 1 时取“=” ) , ∴当 0 ? a ? 1 或 a ? 1 时,

x ? (??, ln a), f ' ( x) ? 0, f ( x) 为增函数,
·11·

x ? (ln a, a ? 1), f ' ( x) ? 0, f ( x) 为减函数, x ? (a ? 1,??), f ' ( x) ? 0, f ( x) 为减函数,

a ? 1 时, f ' ( x) ? x(e x ?1) ? 0, f ( x) 在 (??,??) 上为增函数.
综上所述: a ? 0 时, f ( x) 在 (??, a ? 1) 上为减函数,在 (a ? 1,??) 上为增函数, 0 ? a ? 1 或 a ? 1 时, f ( x) 在 (ln a, a ? 1) 上为减函数,在 (??, ln a) 和 (a ? 1,??) 上为增函数; a ? 1 时, f ( x) 在

(??,??) 上为增函数.

x ? x0 ? ? ? x ? ax0 ? a 22.解: (1)设 P( x, y ) , M ( x0 , y0 ) ,由 OP ? aOM 得 ? ,∴ ? ? y ? ay0 ?y ? y 0 ? a ? ?x ? 2 ? 2 cos? ? ?x ? 2a ? 2a cos? ?a ∵ M 在 C1 上,∴ ? 即? ( ? 为参数) , ? y ? 2a sin ? ? y ? 2 sin ? ? ?a
消去参数 ? 得 ( x ? 2a) ? y ? 4a (a ? 1) ,
2 2 2

∴曲线 C2 是以 (2a,0) 为圆心,以 2 a 为半径的圆. (2)法 1: A 点的直角坐标为 (1, 3) ,∴直线 OA 的普通方程为 y ? 3x ,即 3x ? y ? 0 , 设 B 点坐标为 (2a ? 2a cos? ,2a sin ? ) ,则 B 点到直线 3x ? y ? 0 的距离

d?

a 2 3 cos? ? 2 sin ? ? 2 3 2

? a 2 cos(? ?

?
6

)? 3 ,

∴当 ? ? ?

?
6

时, dmax ? ( 3 ? 2)a ,

∴ S ?AOB 的最大值为

1 ? 2 ? ( 3 ? 2)a ? 4 ? 2 3 ,∴ a ? 2 . 2
2 2 2

法 2:将 x ? ? cos? , y ? ? sin ? 代入 ( x ? 2a) ? y ? 4a 并整理得: ? ? 4a cos? , 令 ? ? ? 得 ? ? 4a cos? ,∴ B(4a cos? , ? ) ,

·12·



1 ? S ?AOB ? ? OA ? OB ? sin ?AOB ? 4a cos? sin(? ? ) ? a 2 sin ? cos? ? 2 3 cos2 ? 2 3 ? a sin 2? ? 3 cos2? ? 3 ? a 2 sin(2? ? ) ? 3 3

?



∴当 ? ? ?

?
12

时, S ?AOB 取得最大值 (2 ? 3)a ,依题意 (2 ? 3)a ? 4 ? 2 3 ,∴ a ? 2 .

23.解: (1)∵ f ( x) ? x ?1 ? x ? m ? m ?1 , ∴只需要 m ?1 ? 2 , ∴ m ? 1 ? 2 或 m ? 1 ? ?2 , ∴ m 的取值范围为是 m ? 1 或 m ? ?3 . (2)∵ m ? 1 ,∴当 x ? ?? 1,1? 时, f ( x) ? m ? 1 ,
2 ∴不等式 f ( x) ? x 2 ? mx? 3 即 m ? x ? m x ? 2 ,

∴ m(1 ? x) ? x 2 ? 2 , m ?

x2 ? 2 , 1? x

令 g ( x) ?

x 2 ? 2 (1 ? x) 2 ? 2(1 ? x) ? 3 3 ? ? (1 ? x) ? ?2 , 1? x 1? x 1? x

∵ 0 ? 1? x ? 2 , ∴ (1 ? x) ?

3 ? 2 3 (当 x ? 1 ? 3 时取“=” ) ,∴ g ( x) min ? 2 3 ? 2 , 1? x

∴ m ? 2 3 ? 2. 欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org

·13·


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