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高中数学选修2-1-空间向量与立体几何

时间:2016-05-17


空间向量与立体几何 一、知识网络: 空间向量的加减运算 空 间 向 量 及 其 运 算 空间向量的数乘运算 共线向量定理

共面向量定理

空 间 向 量 与 立 体 几 何

空间向量的数量积运算

空间向量基本定理

平行与垂直的条件 空间向量的坐标运算

立 体 几 何 中 的 向 量 方 法

向量夹角与距离 直线的方向向量与平面的法向量

用空间向量证平行与垂直问题

求空间角 求空间距离

二.典例解析 题型 1:空间向量的概念及性质 例 1、 有以下命题: ①如果向量 a, b 与任何向量不能构成空间向量的一组基底, 那么 a, b 的关系是不共线; ② O, A, B, C 为空间四点,且向量 OA, OB, OC 不构成空间的一个基底,那么点 O, A, B, C 一定共面;③已 知向量 a, b, c 是空间的一个基底, 则向量 a ? b, a ? b, c , 也是空间的一个基底。 其中正确的命题是 (

? ?

? ?

??? ? ??? ? ????

? ??

? ? ? ??

) 。

( A) ①②

( B ) ①③

(C ) ②③

( D) ①②③

题型 2:空间向量的基本运算 例 2、如图:在平行六面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, M 为 A1C1 与 B1 D1 的 向量是( )
D A B C

??? ? ? ???? ? ???? ? 交点。若 AB ? a , AD ? b , AA 1 ? c ,则下列向量中与 BM 相等的
1? 1? ? 1? 1? ? ? a ? b ? c ( A) (B) a ? b ? c 2 2 2 2 ? 1? 1 ? 1 1 (C ) ? a ? b ? c ( D ) a ? b ? c 2 2 2 2 ?
? ? ? ?

D1 A1

M B1

C1

例 3、已知: a ? 3m ? 2n ? 4 p ? 0, b ? ( x ? 1)m ? 8n ? 2 yp, 且 m, n , p 不共面.若 a ∥ b ,求 x, y 的值.

?

?

?

? ? ?

?

?

例 4、底面为正三角形的斜棱柱 ABC-A1B1C1 中,D 为 AC 的中点,求证:AB1∥平面 C1BD. (三)强化巩固导练 1、已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,点 F 是侧面 CDD1C1 的中心,若 AF ? AD ? x AB ? y AA1 ,求 x-y 的值. 在平行六面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,M 为 AC 与 BD 的交点,若 A1 B1 ? a, A1 D1 ? b, A1 A ? c,则下列向量中 )。
1 2 1 2 1 2

2、

与 B1 M 相等的向量是 (
1 2 1 2 1 2

A.? a+ b+c B. a+ b+cC. a? b+c

D.? a? b+c

1 2

1 2

M 是侧 棱 CC1 的中点,则 3、 (2009 四川卷理)如图,已知正三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 的各条棱长都相等,
异面直线 AB1和BM 所成的角的大是。

第二课时 (一) 、基础知识过关 (二)典型题型探析 题型 1:空间向量的坐标

空间向量的坐标运算

例 1、 (1)已知两个非零向量 a =(a1,a2,a3) , b =(b1,b2,b3) ,它们平行的充要条件是( A. a :| a |= b :| b | C.a1b1+a2b2+a3b3=0 B.a1·b1=a2·b2=a3·b3 D.存在非零实数 k,使 a =k b



(2)已知向量 a =(2,4,x) , b =(2,y,2) ,若| a |=6, a ⊥ b ,则 x+y 的值是( A. -3 或 1 B.3 或-1 C. -3 D.1 (3)下列各组向量共面的是( ) A. a =(1,2,3), b =(3,0,2), c =(4,2,5) B. a =(1,0,0), b =(0,1,0), c =(0,0,1) C. a =(1,1,0), b =(1,0,1), c =(0,1,1) D. a =(1,1,1), b =(1,1,0), c =(1,0,1)



例 2、已知空间三点 A(-2,0,2) ,B(-1,1,2) ,C(-3,0,4) 。设 a = AB , b = AC , (1)求 a 和 b 的夹角 ? ; (2)若向量 k a + b 与 k a -2 b 互相垂直,求 k 的值.

题型 2:数量积 例 3、 (1) (2008 上海文, 理 2) 已知向量 a 和 b 的夹角为 120°, 且| a |=2, | b |=5, 则 (2 a - b ) · a =_____.

? (2)设空间两个不同的单位向量 a =(x1,y1,0), b =(x2,y2,0)与向量 c =(1,1,1)的夹角都等于 4 。
(1)求 x1+y1 和 x1y1 的值;(2)求< a , b >的大小(其中 0<< a , b ><π ) 。

题型 3:空间向量的应用 例 4、 (1)已知 a、b、c 为正数,且 a+b+c=1,求证: 13a ? 1 + 13b ? 1 + 13c ? 1 ≤4 3 。 (2)已知 F1=i+2j+3k,F2=-2i+3j-k,F3=3i-4j+5k,若 F1,F2,F3 共同作用于同一物体上,使物体从点 M1 (1,-2,1)移到点 M2(3,1,2),求物体合力做的功。

(三) 、强化巩固训练 1、(07 天津理,4)设 a 、 b 、c 是任意的非零平面向量,且相互不共线,则 ①( a · b ) c -( c · a ) b = 0
2

②| a |-| b |<| a - b |
2

③( b · c ) a -( c · a ) b 不与 c 垂直 ) D.②④

④(3 a +2 b ) (3 a -2 b )=9| a | -4| b | 中,是真命题的有( A.①② B.②③ C.③④

2、已知 O 为原点,向量 OA ? ? 3,0,1? , OB ? ? ?1,1, 2 ? , OC ? OA, BC ∥ OA ,求 AC .

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

第三课时

空间向量及其运算强化训练

(一)、基础自测 1.有 4 个命题: ①若 p=xa+yb,则 p 与 a、b 共面;②若 p 与 a、b 共面,则 p=xa+yb; ③若 MP =x MA +y MB ,则 P、M、A、B 共面;④若 P、M、A、B 共面,则 MP =x MA +y MB . 其中真命题的个数是( ) 。A.1 B.2 C.3 D.4 2.下列命题中是真命题的是( )。 A.分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线,则这两个向量不是共面向量 B.若|a|=|b|,则 a,b 的长度相等而方向相同或相反 C.若向量 AB , CD 满足| AB |>| CD |,且 AB 与 CD 同向,则 AB > CD D.若两个非零向量 AB 与 CD 满足 AB + CD =0,则 AB ∥ CD 3.若 a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9),且 a∥b,则( A.x=1,y=1 C.x= ,y=1 6
3 2

) 。
1 2
3 2

B.x= ,y=D.x=- ,y=
1 6

1 2

4.已知 A(1,2,3) ,B(2,1,2) ,P(1,1,2) ,点 Q 在直线 OP 上运动,当 QA · QB 取最小值时,点 Q 的坐标是. a,b,c 表示). (二) 、典例探析 例 1、如图所示,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,设 AA1 =a,
AB =b, AD =c,M,N,P 分别是 AA1,BC,C1D1 的中点,

5.在四面体 O-ABC 中, OA =a, OB =b, OC =c,D 为 BC 的中点,E 为 AD 的中点,则 OE =(用

试用 a,b,c 表示以下各向量: (1) AP ; (2) A1 N ; (3) MP + NC1 .

例 2、如图所示,已知空间四边形 ABCD 的各边和对角线的长都等于 a,点 M、N 分别是 AB、CD 的中点. (1)求证:MN⊥AB,MN⊥CD; (2)求 MN 的长; (3)求异面直线 AN 与 CM 夹角的余弦值.

例 3、

(1)求与向量 a=(2,-1,2)共线且满足方程 a·x=-18 的向量 x 的坐标;
1 2

(2)已知 A、B、C 三点坐标分别为(2,-1,2) , (4,5,-1) , (-2,2,3) ,求点 P 的坐标使得 AP = ( AB - AC ) ; (3)已知 a=(3,5,-4) ,b=(2,1,8) ,求:①a·b;②a 与 b 夹角的余弦值; ③确定 ? , ? 的值使得 ? a+ ? b 与 z 轴垂直,且( ? a+ ? b) · (a+b)=53.

(三) 、强化训练:如图所示,正四面体 V—ABC 的高 VD 的中点为 O,VC 的中点为 M. (1)求证:AO、BO、CO 两两垂直; (2)求〈 DM , AO 〉.

补充: 1、 已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 a,点 E、 F 分别是 BC、 AD 的中点, 则 AE ·AF 的值为( C )A.a
2

B. a 2

1 2

C. a 2

1 4

D.

3 2 a 4
AC 1 = ,则 C 点的坐标为( AB 3

2、已知 A(4,1,3) ,B(2,-5,1) ,C 为线段 AB 上一点,且 A. ( ,? , )
7 2 1 5 2 2

C

)

2) B. ( ,? 3,

8 3

C. (

10 7 ,? 1, ) 3 3

D. ( ,? , )

5 2

7 3 2 2

3、如图所示,平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中,以顶点 A 为端点的三条棱长度都为 1,且两 两夹角为 60°. (1)求 AC1 的长; (2)求 BD1 与 AC 夹角的余弦值.

立体几何中的向量方法 -------空间夹角和距离

(三) 、基础巩固导练 1、在平行六面体 ABCD— A ' B' C ' D ' 中,设 AC' ? xAB ? 2yBC ? 3zCC' ,则 x+y+z=(A )

5 2 7 C. D. 6 3 6 2、在正方体 ABCD— A1 B1C1 D1 中,M 是棱 DD1 的中点,点 O 为底面 ABCD 的中心,P 为棱 A1B1 上任意一点,
A. B. 则异面直线 OP 与 AM 所成角的大小为( C )

11 6

? ? C. D. 与 P 点位置无关 3 2 3、如图,正方体 ABCD— A1 B1C1 D1 中,E、F 分别是 AB、CC1 的中点,则异面直线 A1C 与 EF 所成角的余
A. B. 弦值为( B )

? 4

3 2 1 1 B. C. D. 3 3 3 6 4、 如图所示,直二面角 D—AB—E 中,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,AE=EB,F 为 CE 上的点,且 BF⊥平面 ACE。
A.

(1)求证:AE⊥平面 BCE; (2)求二面角 B-AC-E 的大小; (3)求点 D 到平面 ACE 的距离。10、 (1)略(2) arcsin

6 3

(3)

2 3 3

第二课时

用向量法求空间夹角 ——热点考点题型探析

(一)热点考点题型探析 题型 1:异面直线所成的角 例 1、 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2, 点 E 为棱 AB 的中点。 求:D1E 与平面 BC1D 所成角的大小(用余弦值表示) z D1 A1 C1

B1

D A x

y C E B

题型 2:直线与平面所成的角 例 2、 (09 年高考试题)如图,直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=90?,侧棱 AA1 =2,D、E 分别是 CC1 与 A1B 的中点,点 E 在平面 ABD 上的射影是△ ABD 的重心 G。 求 A1B 与平面 ABD 所成角的大小 (结果用余弦值表示) ; O

E F 题型 3:二面角 例 3、(08 年高考)在四棱锥 P-ABCD 中,ABCD 为正方形,PA⊥平面 ABCD,PA=AB=a,E 为 BC 中点。 (1)求平面 PDE 与平面 PAB 所成二面角的大小(用正切值表示); (2)求平面 PBA 与平面 PDC 所成二面角的大小。

第三课时 用向量法求空间的距离 (一)热点考点题型探析 题型 1:异面直线间的距离 例 1、如图 2,正四棱锥 S ? ABCD 的高 SO ? 2 , 底边长 AB ? 2 。求异面直线 BD 和 SC 之间的距离? D A
x

z

S

O 图2 B

C
y

题型 2:点面距离 例 2、如图,已知ABCD为边长是4的正方形, E,F分别是AB,AD的中点,GC垂直于A BCD所在的平面,且GC=2,求点B到 平面EFG的距离。 D F E A



O?
H E O E E B



题型 6:线面距离 例 3、已知正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底面边长为 8, 对角线 B1C ? 10 ,D 是 AC 的中点。 (1)求点 B1 到 直线 AC 的距离。 (2)求直线 AB1 到平面 C1 BD 的距离。 A D B

A1

B1

C1

C

F 分别为 BC 和 AC 的中点, PA ? 面 ABC , 例 4、 如图, 已知边长为 4 2 的正三角形 ABC 中, E 、 且 PA ? 2 ,

设平面 ? 过 PF 且与 AE 平行。 求 AE 与平面 ? 间的距离?

(二) 、强化巩固训练 长方体 ABCD— A1 B1C1 D1 中,AB=4,AD=6, AA1 ? 4 ,M 是 A1C1 的中点,P 在线段 BC 上,且|CP|=2,Q 是 DD1 的中点,求: (1)异面直线 AM 与 PQ 所成角的余弦值; (2)M 到直线 PQ 的距离; (3)M 到平面 AB1P 的距离。

立体几何空间向量知识点总结 知识网络:

【典型例题】 例 1. 已知 P 是平面四边形 ABCD 所在平面外一点,连结 PA、PB、PC、PD,点 E、F、G、H 分别为△PAB、 △PBC、△PCD、△PDA 的重心。求证:E、F、G、H 四点共面。

? ? ? ? ? ? 例 2. 如图所示, 在平行六面体 ABCD ? A ' B' C' D' 中,AB ? a ,AD ? b ,AA ? c , P 是 CA'的中点, ? ? ? { b, c } 表示以下向 M 是 CD'的中点,N 是 C'D'的中点,点 Q 是 CA'上的点,且 CQ:QA'=4:1,用基底 a ,
量:

? ? ? ? AQ AN (1) AP ;(2) AM ;(3) ;(4) 。
例 3. 已知空间四边形 OABC 中,∠AOB=∠BOC=∠AOC,且 OA=OB=OC。M、N 分别是 OA、BC 的中点,G 是 MN 的中点。求证:OG⊥BC。

例 4. 已知空间三点 A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5)。 ? ? (1)求以 AB 和 AC 为邻边的平行四边形面积; ? ? ? ? ? | a | ? 3 a 分别与 AB 、 AC (2)若 ,且 垂直,求向量 a 的坐标。 解:(1)由题中条件可知 ? ? AB ? ( ? 2, ? 1, 3), AC ? ( 1, ? 3, 2) ? ? ? ? AB? AC ?2?3?6 1 ? cos ? AB, AC ?? ? ? ? ? 14 ? 14 2 | AB | ? | AC | ? ? 3 sin ? AB, AC ?? 2 ∴

? ? AC 为邻边的平行四边形面积: ∴以 AB、 ? ? ? ? 3 S ?| AB | ? | AC | ? sin ? AB, AC ?? 14 ? ?7 3 2 ? (x,y,z) (2)设 a ? 由题意得

?x 2 ? y 2 ? z 2 ? 3 ? ?? 2x ? y ? 3z ? 0 ? x ? 3y ? 2 z ? 0 ?
?x ? 1 ?x ? ?1 ? ? ? y ? 1或?y ? ?1 ?z ? 1 ?z ? ?1 ? ?

解得 ? ? a ? ( 1 , 1 , 1 )或 a =( ? 1, ? 1, ?1 ) ∴ 第二讲 直线的方向向量、平面的法向量及其应用 一、直线的方向向量及其应用 1、直线的方向向量 直线的方向向量就是指和这条直线所对应向量平行(或共线)的向量,显然一条直线的方向向量可以 有无数个.

? ??? ? ? a AB ? a ,则对于直 (1)若有直线 l, 点 A 是直线 l 上一点,向量 是 l 的方向向量,在直线 l 上取 ??? ? ??? ? ? 线 l 上任意一点 P,一定存在实数 t,使得 AP ? t AB ,这样,点 A 和向量 a 不仅可以确定 l 的位置,还
可具体表示出 l 上的任意点. (2)空间中平面α 的位置可以由α 上两条相交直线确定,若设这两条直线交于点 O,它们的方向向量 分别是 a 和 b ,P 为平面α 上任意一点,由平面向量基本定理可知,存在有序实数对(x,y),使得 OP ?

2、直线方向向量的应用 利用直线的方向向量,可以确定空间中的直线和平面.

?

?

??? ?

? ? ? ? xa ? yb ,这样,点 O 与方向向量 a 、 b 不仅可以确定平面α 的位置,还可以具体表示出α 上的任意点.

二、平面的法向量 1、所谓平面的法向量,就是指所在的直线与平面垂直的向量,显然一个平面的法向量也有无数个,它 们是共线向量.

? ? a a 2、在空间中,给定一个点 A 和一个向量 ,那么以向量 为法向量且经过点 A 的平面是唯一确定的.

三、直线方向向量与平面法向量在确定直线、平面位置关系中的应用

?? ?? ? ?? ?? ? u u u u 1、若两直线 l1、l2 的方向向量分别是 、 ,则有 l1// l2 ? 1 // 2 ,l1⊥l2 ? 1 ⊥ 2 . ?? ?? ?? ?? ?? ?? ? ? ? v1 v2 v v v v 2、若两平面α 、β 的法向量分别是 、 ,则有α //β ? 1 // 2 ,α ⊥β ? 1 ⊥ 2 . ? ? ? ? ? ? u v u v u ? ? 若直线 l 的方向向量是 ,平面的法向量是 ,则有 l//α ⊥ ,l⊥α // v

?? u1

?? ? u2

四、平面法向量的求法 若要求出一个平面的法向量的坐标,一般要建立空间直角坐标系,然后用待定系数法求解,一般步骤 如下:

? n ? ( x, y, z) . 1、设出平面的法向量为

? ? a ? (a1, b1, c1 ), b ? (a2 , b2 , c2 ) 2、找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标 ? ? ? ?n ? a ? 0 ?? ? ? ?n ? b ? 0
3、根据法向量的定义建立关于 x,y,z 的方程组 4、解方程组,取其中一个解,即得法向量

五、用向量方法证明空间中的平行关系和垂直关系 (一)用向量方法证明空间中的平行关系 空间中的平行关系主要是指:线线平行、线面平行、面面平行. 1、线线平行

? ? ? ? ? ? a ? kb (k ? R ) a b a b 设直线 l1、l2 的方向向量分别是 、 ,则要证明 l1// l2,只需证明 // ,即
2、线面平行

? ? ? ? ? ? l // ? a n a ? n a ? (1) 设直线 l 的方向向量是 , 平面 的法向量是 , 则要证明 , 只需证明 , 即 ?n ? 0 .

(2)根据线面平行的判定定理:“如果直线(平面外)与平面内的一条直线平行,那么这条直线和 这个平面平行”,要证明一条直线和一个平面平行,也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是 共线向量即可. (3)根据共面向量定理可知,如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量,那么这个向量与这

两个不共线向量确定的平面必定平行,因此要证明一条直线和一个平面平行,只要证明这条直线的方向向 量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可. 3、面面平行 (1)由面面平行的判定定理,要证明面面平行,只要转化为相应的线面平行、线线平行即可.

? ? ? ? u v u v (2)若能求出平面α 、β 的法向量 、 ,则要证明α //β ,只需证明 //

(二)用向量方法证明空间中的垂直关系 空间中的垂直关系主要是指:线线垂直、线面垂直、面面垂直. 1、线线垂直 2、线面垂直

? ? ? ? ? ? a b a b a 设直线 l1、l2 的方向向量分别是 、 ,则要证明 l1⊥ l2,只需证明 ⊥ ,即 ? b ? 0

? ? ? ? a u a u (1)设直线 l 的方向向量是 ,平面α 的法向量是 ,则要证 l⊥α ,只需证明 //

(2)根据线面垂直的判定定理,转化为直线与平面内的两条相交直线垂直. 3、面面垂直 (1)根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直. (2)证明两个平面的法向量互相垂直. 六、用向量方法求空间的角 (一)两条异面直线所成的角
/ / 1、定义:设 a、b 是两条异面直线,过空间任一点 O 作直线 a // a, b // b ,则 a 与 b 所夹的锐角或直角 叫做 a 与 b 所成的角.

/

/

0 ?? ?
2、范围:两异面直线所成角θ 的取值范围是

?
2

3、向量求法:设直线 a、b 的方向向量为 a 、 b ,其夹角为 ? ,则有 4、注意:两异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角来求得,但两者不完全相等,当 两方向向量的夹角是钝角时,应取其补角作为两异面直线所成的角. (二)直线与平面所成的角 1、定义:直线和平面所成的角,是指直线与它在这个平面内的射影所成的角.

?

?

? ? a ?b cos ? ?| cos ? |? ? ? a?b

角为 ,则有 (三)二面角

2 ? ? ? ? a u a 3、向量求法:设直线 l 的方向向量为 ,平面的法向量为 ,直线与平面所成的角为θ , 与 u 的夹 ? ? a ?u sin ? ?| cos ? |? ? ? 或 cos ? ? sin ? a?u ?
2、范围:直线和平面所成角θ 的取值范围是 1、二面角的取值范围: 2、二面角的向量求法

0 ?? ?

?

[0, ? ]

? ? l ? ? 的两个面内与棱 l 垂直的异面直线,则二面角的大小就是向量 ??? ? ??? ? AB 与 CD 的夹角(如图(a)所示). ?? ?? ? ?? ?? ? n1 n2 n1 n2 ? ? l ? ? (2)设 、 是二面角 的两个角α 、β 的法向量,则向量 与 的夹角(或其补角)就
(1)若 AB、CD 分别是二面角

是二面角的平面角的大小(如图(b)所示).

七、用向量的方法求空间的距离 (一)点面距离的求法 如图(a)所示,BO⊥平面α ,垂足为 O,则点 B 到平面α 的距离就是线段 BO 的长度.若 AB 是平面α 的任一条斜线段,则在 Rt△BOA 中,

??? ? ??? ? BO ? BA

??? ? ??? ? BA ? BO ? cos ?ABO cos ?ABO ? ??? ? ? BO 。如果令平面α 的法向量为 n ,考虑到法向量的方向,可以得到 B 点到平面α 的距 ??? ? ? AB ? n ??? ? BO ? ? n
离为 。

cos∠ABO=

因此要求一个点到平面的距离,可以分以下几步完成: 1、求出该平面的一个法向量. 2、找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量. 3、求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模,即可求出点到平面的距离.

由于

? ? n ?? ? ? n0 n

可以视为平面的单位法向量, 所以点到平面的距离实质就是平面的单位法向量与从该点

出发的斜线段向量的数量积的绝对值,即 . 另外,等积法也是点到面距离的常用求法. (二)线面距、面面距均可转化为点面距离用求点面距的方法进行求解。 (三)两异面直线距离的求法 如图(b)所示,设 l1、l2 是两条异面直线, n 是 l1 与 l2 的公垂线段 AB 的方向向量,又 C、D 分别是

??? ? ?? ? d ? AB ? n0

?

l1、l2 上的任意两点,则 l1 与 l2 的距离是

??? ? ? ??? ? CD ? n d ? AB ? ? n



【典型例题】

b 分别是直线 l1、l2 的方向向量,根据下列条件判断 l1 与 l2 的位置关系。 例 1. 设 a 、
(1) a =(2,3,-1), b =(-6,-9,3); (2) a =(5,0,2), b =(0,4,0); (3) a =(-2,1,4), b =(6,3,3)
? ? ? ? ? ?

? ?

(2, 3, ?1 ) 解:(1)∵ a ? , b =(-6,-9,3)
1? ? ? a ?? b 3 ∴ ,∴ a // b ,∴l1//l2
(2)∵ a =(5,0,2), b =(0,4,0) ∴ a ? b ? 0 ,∴ a ? b ,∴l1⊥l2 (3)∵ a ? (-2,1,4,), b =(6,3,3) ∴ a 与 b 不共线,也不垂直 ∴l1 与 l2 的位置关系是相交或异面
? ?

?

?

?

?

?

? ?

?

?

?

?

v 分别是平面α 、β 的法向量,根据下列条件判断α 、β 的位置关系: 例 2. 设 u 、
(1) u =(1,-1,2), v =(3,2,
? ? ? ? ? ?

? ?

?

1 2 );

(2) u =(0,3,0), v =(0,-5,0); (3) u =(2,-3,4), v =(4,-2,1)。 解:(1)∵ u =(1,-1,2), v =(3,2, ∴ u? v ? 0 ?u ? v
? ? ?

?

1 2)

? ?

?

?

∴α ⊥β
?

(2)∵ u =(0,3,0), v =(0,-5,0)

3? u ?? v 5 ∴

?

? u// v

?

?

?? // ?

(3)∵ u =(2,-3,4), v =(4,-2,1) ∴ u 与 v 既不共线、也不垂直,∴α 与β 相交 点评:应熟练掌握利用向量共线、垂直的条件。 例 3. 已知点 A(3,0,0),B(0,4,0),C(0,0,5),求平面 ABC 的一个单位法向量。 ? ? AC 解:由于 A(3,0,0),B(0,4,0),C(0,0,5),∴ AB =(-3,4,0), =(-3,0,5) ? 设平面 ABC 的法向量为 n (x,y,z) ? ? ? ? n ? AB ? 0 且 n ? AC ? 0 则有 ?? 3x ? 4 y ? 0 5 5 ? x? y? ? 3 x ? 5 z ? 0 3, 4 即? 取 z=1,得 ? 5 5 769 ? ,, 1 | n |? 12 于是 n =( 3 4 ),又
? ?

?

?

? 20 15 12 n ?( , , ) 769 769 769 ∴平面α 的单位法向量是
? ? 例 4. 若直线 l 的方向向量是 a =(1,2,2),平面α 的法向量是 n =(-1,3,0),试求直线 l 与平 面α 所成角的余弦值。 分析:如图所示,直线 l 与平面α 所成的角就是直线 l 与它在平面内的射影所成的角,即∠ABO,而

? ? 在 Rt△ABO 中,∠ABO= 2 ∠BAO,又∠BAO 可以看作是直线 l 与平面α 的垂线所成的锐角,这样∠BAO 就
与直线 l 的方向向量 a 与平面α 的法向量 n 的夹角建立了联系,故可借助向量的运算求出∠BAO,从而求 出∠ABO,得到直线与平面所成的角。

解:∵ a =(1,2,2,), n =(-1,3,0) ∴

?

?

| a |? 3

?



| n |? 10

?

, a? n ? 5
?

? ?

cos ? a , n ??

? ?

? ?

a? n

| a |?| n | ∴ 若设直线 l 与平面α 所成的角是θ

?

?

10 6

则有 cos ? ? sin ? a , n ?

? ?

cos ? a , n ??


? ?

10 6 26 6

sin ? a , n ??


? ?

26 26 6 6 因此 ,即直线 l 与平面α 所成角的余弦值等于 。 CC BC ABCD ? A1B1C1D1 例 5. 如图(a)所示,在正方体 中,M、N 分别是 1 、 1 1 的中点。 A BD 求证:(1)MN//平面 1 ; A1BD // 平面B1D1C (2)平面 。 cos ? ?

(1)证法一:如图(b)所示,以 D 为原点,DA、DC、

DD1

所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空

1 1 A 间直角坐标系,设正方体的棱长为 1,则可求得 M(0,1, 2 ),N( 2 ,1,1,),D(0,0,0), 1(1, 1 1 ? 0,1),B(1,1,0),于是 MN =( 2 ,0, 2 )。
的法向量是 n (x,y,z) ?x ? z ? 0 ? ? ? ? ? x? y?0 n ? DA1 ? 0且 n ? DB ? 0 则 ,得 ? 设平面 取 x=1,得 y ? ?1 , z ? ?1,? n =(1,-1,-1)
?

A1BD

?

1 1 ? ? MN ? n 2 2 MN ? n 又 =( ,0, )·(1,-1,-1)=0,∴ A1BD
? ?

∴MN//平面

? ? ? ? ? 1 ? 1 ? 1 1 ? MN ? C 1 N? C 1 M ? C 1 B 1 ? C 1 C ? (D 1 A 1 ? D 1 D) ? DA 1 2 2 2 2 证法二:∵
? ? MN // DA1 ,∴ MN // 平面A1BD ∴
? ? ? ? ? ?1D A ?1D D 1 1 1 2 证法三:∵ MN ? C1 N? C1M 2

? 1 ? ? 1 ? (DB? BA) ? (D1 A 1 ? A 1 D) 2 2 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ? DB? BA? D1 A 1 ? A 1 D 2 2 2 2 ? ? ? ? 1 1 1 ? DB? DA1 ? (BA? DA) 2 2 2 ? ? 1 1 1 ? ? DB? DA 1 ? BD 2 2 2 ? 1 ? ? DA 1 ? 0 ? DB 2 ? ? ? ? ? ? MN 可用 DA 与 DB MN 与 DA DB 是共面向量 1 1、 即 线性表示,故 ? MN ∴ //平面 A1BD,即 MN//平面 A1BD。 ? A BD (2)证明:由(1)求得平面 1 的法向量为 n =(1,-1,-1) ? 同理可求平面 B1D1C 的法向量 m =(1,-1,-1) ? ? ∴ m // n ∴平面 A1BD//平面 B1D1C ?
例 6. 如图,在正方体 GBD。

ABCD ? A1B1C1D1

中,O 为 AC 与 BD 的交点,G 为 CC1 的中点。求证:A1O⊥平面

? ? ? ? ? ? A B ? a , A D ? b, A1A ? c ,则 1 1 1 1 证明:设
?? ?? ?? a ? b ? 0, b ? c ? 0, a ? c ?0 ? ? ? ? 1 ? ? ? 1 ? ? A1O ? A1 A? AO ? A1 A? (AB? AD) ? c ? ( a ? b ) 2 2 而 ? ? ? ? ? BD ? AD? AB ? b ? a ? ? ? 1 ? ? 1 ? 1 ? ? 1? OG ? OC? CG ? (AB? AD) ? CC1 ? ( a ? b ) ? c 2 2 2 2 ? ? ? 1? 1? ? ? A1O? BD ? ( c ? a ? b ) ? ( b ? a ) 2 2 ∴

?? ? 1 ? ? ? ? ? c ( b ? a ) ? ( a ? b )( b ? a ) 2 ?? ?? 1 ? ? ? c ? b ? c ? a ? (b 2 ? a 2 ) 2 ? 1 ? ? (| b | 2 ? | a | 2 ) ? 0 2 ? ? 同理 A1O? OG ? 0
A O ? OG , 1 A O? 又 BD ? OG ? O ,∴ 1 面 GBD。
∴ 例 7. (2004 年天津)如图(a)所示,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD⊥底面 ABCD, PD=DC,E 是 PC 的中点。 (1)证明:PA//平面 EDB; (2)求 EB 与底面 ABCD 所成角的正切值。

A1O ? BD

(1)证明:如图(b)所示建立空间直角坐标系,D 为坐标原点

设 DC=a,连结 AC,AC 交 BD 于 G,连结 EG

a a 依题意得 A(a,0,0),P(0,0,a),E(0, 2 , 2 )
∵底面 ABCD 是正方形 ∴G 是此正方形的中心

a a 故点 G 的坐标为( 2 , 2 ,0) a a ? ? ? ∴ PA =(a,0,-a), EG =( 2 ,0, 2 ) ? ? PA ? 2 EG ∴ ,这表明 PA//EG

而 EG ? 平面 EDB,且 PA ? 平面 EDB ∴PA//平面 EDB (2)解:依题意得 B(a,a,0),C(0,a,0)

a 如图(b)取 DC 的中点 F(0, 2 ,0),连结 EF、BF a a ? ? ? DC 2 2 ∵ FE =(0,0, ), FB =(a, ,0), =(0,a,0) ? ? ? ? ∴ FE? FB ? 0 , FE? DC ? 0
∴FE⊥FB,FE⊥DC。

∴tan∠EBF

? | FE | ? ? ? | FB |

a 2 ? 5 5 5 a 2

5 ∴EB 与底面 ABCD 所成角的正切值为 5
A D AC ABCD ? A1B1C1D1 例 8. 正方体 中,E、F 分别是 1 1 、 1 1 的中点,求: (1)异面直线 AE 与 CF 所成角的余弦值; (2)二面角 C—AE—F 的余弦值的大小。 DD1 解:不妨设正方体棱长为 2,分别取 DA、DC、 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直 角坐标系,则 A(2,0,0),C(0,2,0),E(1,0,2),F(1,1,2) ? ? ? ? | AE | ? 5 | CF |? 6 CF (1)由 AE =(-1,0,2), =(1,-1,2),得 , ? ? AE ? CF =-1+0+4=3 ∴ ? ? ? ? ? ? ? ? AE ? CF ? | AE | ? | CF | ? cos ? AE , CF ?? 30 cos ? AE , CF ? 又

? ? 30 30 cos ? AE, CF ?? 10 ,∴所求值为 10 ∴

? (2)∵ EF =(0,1,0) ? ? AE ? EF =(-1,0,2)·(0,1,0)=0 ∴ ∴AE⊥EF,过 C 作 CM⊥AE 于 M

? ? ? EF , MC ? 则二面角 C—AE—F 的大小等于 ? ? 设 AM ? m AE ∵M 在 AE 上,∴
? ? ? ? MC ? AC? AM =(-2,2,0)-(-m,0,2m)=(m-2,2,-2m) 则 AM =(-m,0,2m),
∵MC⊥AE ? ? MC ? AE =(m-2,2,-2m)·(-1,0,2)=0 ∴ ? ? 6 5 2 8 4 m? MC ? (? ,2,? ) | MC |? 5 ,∴ 5 5 5 , ∴

8 4 ? ? ? ? EF ? MC ∴ =(0,1,0)·( 5 ,2, 5 )=0+2+0=2 ? ? ? ? ? ? ? ? 6 5 EF? MC ?| EF | ? | MC | ? cos ? EF, MC ?? cos ? EF, MC ? 5 又
? ? cos ? EF, MC ??


5 3

5 ∴二面角 C—AE—F 的余弦值的大小为 3 例 9. 已知正方形 ABCD 的边长为 4,E、F 分别是 AB、AD 的中点,H 是 EF 与 AC 的交点,CG⊥面 ABCD, 且 CG=2。求 BD 到面 EFG 的距离。 分析:因 BD//平面 EFG,故 O 到面 EFG 与 BD 到面 EFG 距离相等,证明 OM 垂直于面 EFG 即可。 解:如图所示,分别以 CD、CB、CG 所在直线为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系。

易证 BD//面 EFG,设 AC ? BD =O,EF⊥面 CGH,O 到面 EFG 的距离等于 BD 到面 EFG 的距离,过 O 作 OM⊥HG 于 M,易证 OM⊥面 EFG,可知 OM 为所求距离。另易知 H(3,3,0),G(0,0,2),O(2,2,0)。 ? ? ? 设 GM ? ? GH , GH =(3,3,-2) ? ? ? OM ? GM ? GO ? ? (3,3,?2) ? (2,2,?2) ? (3? ? 2,3? ? 2,?2? ? 2) 则

? ? OM ? GH ? 0 ,∴ 3(3? ? 2) ? 3(3? ? 2) ? 2(2 ? 2? ) ? 0 又

? 8 2 2 6 OM ? ( , , ) 11 ,∴ 11 11 11 ∴ ? 2 6 2 11 | OM |? 2 ? ( ) 2 ? ( ) 2 ? 11 11 11 ∴

??

2 11 即 BD 到平面 EFG 的距离等于 11
【励志故事】 习惯 父子俩住山上,每天都要赶牛车下山卖柴。老父较有经验,坐镇驾车,山路崎岖,弯道特多,儿子眼 神较好,总是在要转弯时提醒道:“爹,转弯啦!” 有一次父亲因病没有下山,儿子一人驾车。到了弯道,牛怎么也不肯转弯,儿子用尽各种方法,下车 又推又拉,用青草诱之,牛一动不动。 到底是怎么回事?儿子百思不得其解。最后只有一个办法了,他左右看看无人,贴近牛的耳朵大声叫 道:“爹,转弯啦!” 牛应声而动。 牛用条件反射的方式活着, 而人则以习惯生活。 一个成功的人晓得如何培养好的习惯来代替坏的习惯, 当好的习惯积累多了,自然会有一个好的人生。 空间向量与立体几何 知识要点。 1. 空间向量的概念:在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注: (1)向量一般用有向线段表示 同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 (2)空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。
王新敞
奎屯 新疆

2. 空间向量的运算。 定义:与平面向量运算一样,空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如图) 。

??? ? ??? ? ??? ? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? ? ??? ? ? OB ? OA ? AB ? a ? b ; BA ? OA ? OB ? a ? b ; OP ? ?a(? ? R) ? ? ? ? 运算律:⑴加法交换律: a ? b ? b ? a ? ? ? ? ? ? ⑵加法结合律: (a ? b ) ? c ? a ? (b ? c ) ? ? ? ? ⑶数乘分配律: ? (a ? b ) ? ?a ? ?b
3. 共线向量。 (1)如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合,那么这些向量也叫做共线向量或平行向 量, a 平行于 b ,记作 a // b 。 能是平行直线。

? ? ? ? ? ? ? ? 当我们说向量 a 、 b 共线(或 a // b )时,表示 a 、 b 的有向线段所在的直线可能是同一直线,也可
?
(2)共线向量定理:空间任意两个向量 a 、 b ( b ≠ 0 ) , a // b 存在实数λ ,使 a =λ b 。

?

?

?

?

?

?

?

?

?

4. 共面向量 (1)定义:一般地,能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明:空间任意的两向量都是共面的。

? ? ? p ? xa ? yb 。

( 2 )共面向量定理:如果两个向量 a, b 不共线, p 与向量 a, b 共面的条件是存在实数 x, y 使

? ?

?

? ?

5. 空间向量基本定理:如果三个向量 a, b , c 不共面,那么对空间任一向量 p ,存在一个唯一的有序实 数组 x, y, z ,使 p ? xa ? yb ? zc 。

? ? ?

?

? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? 若三向量 a, b , c 不共面,我们把 {a, b , c} 叫做空间的一个基底, a, b , c 叫做基向量,空间任意三个不共

面的向量都可以构成空间的一个基底。 推论:设 O, A, B, C 是不共面的四点,则对空间任一点 P ,都存在唯一的三个有序实数 x, y, z ,使

??? ? ??? ? ??? ? ???? OP ? xOA ? yOB ? zOC。

6. 空间向量的直角坐标系: (1)空间直角坐标系中的坐标: 在空间直角坐标系 O ? xyz 中, 对空间任一点 A , 存在唯一的有序实数组 ( x, y, z ) , 使 OA ? xi ? yi ? zk , 有序实数组 ( x, y, z ) 叫作向量 A 在空间直角坐标系 O ? xyz 中的坐标,记作 A( x, y, z ) , x 叫横坐标, y 叫 纵坐标, z 叫竖坐标。

(2)若空间的一个基底的三个基向量互相垂直,且长为1 ,这个基底叫单位正交基底,用 {i, j, k} 表示。 (3)空间向量的直角坐标运算律: ①若 a ? (a1 , a2 , a3 ) , b ? (b1, b2 , b3 ) ,则 a ? b ? (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ,

?? ?

?

?

? ?

? ? ? a ? b ? (a1 ? b1, a2 ? b2 , a3 ? b3 ) , ? a ? (?a1, ?a2 , ?a3 )(? ? R) , ? ? a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 , ? ? a // b ? a1 ? ?b1, a2 ? ?b2 , a3 ? ?b3 (? ? R) , ? ? a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? 0 。 ??? ? ②若 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 ) ,则 AB ? ( x2 ? x1, y2 ? y1, z2 ? z1 ) 。
(4)模长公式:若 a ? (a1 , a2 , a3 ) , b ? (b1, b2 , b3 ) , 则 | a |?

一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。

?

?

? ? ? ? ? 2 2 2 2 2 2 a ? a ? a1 ? a2 ? a3 , | b |? b ? b ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 a ?b ? ? (5)夹角公式: cos a ? b ? ? 。 2 2 2 2 2 2 | a |?| b | a1 ? a2 ? a3 b1 ? b2 ? b3
(6)两点间的距离公式:若 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 ) , 则 | AB |? 或 d A, B ?

?

??? ?

??? ?2 AB ? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 ? ( z2 ? z1 )2 ,

( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ? ( z2 ? z1 ) 2

7. 空间向量的数量积。

(1)空间向量的夹角及其表示:已知两非零向量 a, b ,在空间任取一点 O ,作 OA ? a ,OB ?b ,则

? ?

??? ?

? ? ???

?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角,记作 ? a, b ? ;且规定 0 ?? a, b ?? ? ,显然有 ? a, b ??? b , a ? ;若 ? ? ? ? ? ? ? ? a , b ?? ,则称 a 与 b 互相垂直,记作: a ? b 。 2 ??? ? ? ??? ? ? ? (2)向量的模:设 OA ? a ,则有向线段 OA 的长度叫做向量 a 的长度或模,记作: | a | 。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (3) 向量的数量积: 已知向量 a, b , 则 | a| |? b 记作 a ? b , 即 a ?b ? |c o s ? ,? ab ? 叫做 a, b 的数量积, ? ? ? ? | a| |? b |c o s? ,? ab ? 。
(4)空间向量数量积的性质: ① a ? e ?| a | cos ? a, e ? 。② a ? b ? a ? b ? 0 。③ | a |2 ? a ? a 。 (5)空间向量数量积运算律:

? ?

?

? ?

?

?

? ?

?

? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ③ a ? (b ? c ) ? a ? b ? a ? c (分配律) 。

① (?a) ? b ? ?(a ? b ) ? a ? (?b ) 。② a ? b ? b ? a (交换律) 。

? ?

【典型例题】 例 1. 已知平行六面体 ABCD- A ?B ?C ?D ? ,化简下列向量表达式,标出化简结果的向量。 ⑴ AB ? BC ; ⑶ AB ? AD ?

??? ? ??? ?

??? ? ????

? ? ???? ???? 1 ???? 1 ??? CC ? ; ⑷ ( AB ? AD ? AA?) 。 2 3

⑵ AB ? AD ? AA? ;

??? ? ???? ????

M G

例 2. 对空间任一点 O 和不共线的三点 A, B, C ,问满足向量式:

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? OP ? xOA ? yOB ? zOC (其中 x ? y ? z ? 1 )的四点 P, A, B, C 是否共面?

例 3. 已知空间四边形 OABC , 其对角线 OB, AC , 点 G 在线段 MN M , N 分别是对边 OA, BC 的中点, 上,且 MG ? 2GN ,用基底向量 OA, OB, OC 表示向量 OG 。

??? ? ??? ? ??? ?

????

例 4. 如图,在空间四边形 OABC 中, OA ? 8 , AB ? 6 , AC ? 4 , BC ? 5 , ?OAC ? 45? , ?OAB ? 60? ,求 OA 与 BC 的夹角的余弦值。

O

A

C
B

说明:由图形知向量的夹角易出错,如 ? OA, AC ?? 135? 易错写成 ? OA, AC ?? 45? ,切记!

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

AB ? BC ? 4 , E 为 AC F 为 BC1 与 B1C 的交 例 5. 长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, 1 1 与 B1 D1 的交点,
点,又 AF ? BE ,求长方体的高 BB1 。

【模拟试题】 1. 已知空间四边形 ABCD ,连结 AC , BD ,设 M , G 分别是 BC , CD 的中点,化简下列各表达式,并 标出化简结果向量: (1) AB ? BC ? CD ;

??? ? ??? ? ??? ?

(2) AB ?

??? ?

? ??? ? ???? 1 ??? ? ???? 1 ??? ( BD ? BC ) ; (3) AG ? ( AB ? AC ) 。 2 2

2. 已知平行四边形 ABCD,从平面 AC 外一点 O 引向量。

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ???? ???? ???? OE ? kOA, OF ? kOB, OG ? kOC, OH ? kOD 。 (1)求证:四点 E , F , G, H 共面; (2)平面 AC // 平面 EG 。

3. 如图正方体 ABCD ? A 1 ? 1B 1C1D 1 中, B1 E1 ? D1 F

1 A1 B1 ,求 BE1 与 DF1 所成角的余弦。 4

4. 已知空间三点 A(0,2,3) ,B(-2,1,6) ,C(1,-1,5) 。 ⑴求以向量 AB, AC 为一组邻边的平行四边形的面积 S;

??? ? ??? ?

⑵若向量 a 分别与向量 AB, AC 垂直,且| a |= 3 ,求向量 a 的坐标。

?

??? ? ??? ?

?

?

5. 已知平行六面体 ABCD ? A?B?C ?D? 中,

AB ? 4, AD ? 3, AA? ? 5, ?BAD ? 90? , ?BAA? ? ?DAA? ? 60? ,求 AC ? 的长。
[参考答案] 1. 解:如图,

? ??? ? ??? ? 1 ??? ? 1 ??? ? 1 ??? ( BD ? BC ) ? AB ? BC ? BD 。 2 2 2 ??? ? ???? ? ???? ? ???? ? AB ? BM ? MG ? AG ; ???? 1 ??? ? ???? ???? ???? ? ???? ? (3) AG ? ( AB ? AC ) ? AG ? AM ? MG 。 2 ??? ? ??? ? ???? 2. 解: (1)证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AC ? AB ? AD , ??? ? ???? ??? ? ∵ EG ? OG ? OE , ???? ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? ???? ? k ? OC ? k ? OA ? k (OC ? OA) ? k AC ? k ( AB ? AD) ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ? ??? ? ? k (OB ? OA ? OD ? OA) ? OF ? OE ? OH ? OE ??? ? ???? ? EF ? EH ∴ E , F , G, H 共面; ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? (2)解:∵ EF ? OF ? OE ? k (OB ? OA) ? k ? AB ,又∵ EG ? k ? AC , ∴ EF // AB, EG // AC 。 所以,平面 AC // 平面 EG 。
(2) AB ? 3.

(1) AB ? BC ? CD ? AC ? CD ? AD ;

??? ? ??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

????

??? ?

解:不妨设正方体棱长为 1 ,建立空间直角坐标系 O ? xyz , 则 B(1,1, 0) , E1 (1, ,1) , D(0,0,0) , F1 (0, ,1) ,

???? ? 1 1 ,1) , DF1 ? (0, ,1) , 4 4 ???? ? ???? ? 17 ∴ BE1 ? DF1 ? , 4
∴ BE1 ? (0, ?

???? ?

3 4

1 4

???? ? ???? ? 1 1 15 BE1 ? DF1 ? 0 ? 0 ? (? ? ) ? 1?1 ? 。 4 4 16 15 ???? ? ???? ? 15 16 cos BE1 , DF1 ? ? 。 17 17 17

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AB ? AC 1 ? ??? ? ? 4. 分析:⑴? AB ? (?2, ?1,3), AC ? (1, ?3, 2),? cos ?BAC ? ??? | AB || AC | 2 ??? ? ??? ? ? ∴∠BAC=60°,? S ?| AB || AC | sin 60 ? 7 3 ? ? ? ??? ⑵设 a =(x,y,z) ,则 a ? AB ? ?2x ? y ? 3z ? 0, ? ? ??? ? a ? AC ? x ? 3y ? 2z ? 0,| a |? 3 ? x2 ? y2 ? z 2 ? 3 ? ? 解得 x=y=z=1 或 x=y=z=-1,∴ a =(1,1,1)或 a =(-1,-1,-1) 。 ???? ? 2 ??? ? ??? ? ???? 2 5. 解: | AC? | ? ( AB ? AD ? AA?) ??? ? ???? ???? ??? ? ???? ??? ? ???? ???? ???? ?| AB |2 ? | AD |2 ? | AA? |2 ?2 AB ? AD ? 2 AB ? AA? ? 2 AD ? AA? ? 42 ? 32 ? 52 ? 2 ? 4 ? 3 ? cos90? ? 2 ? 4 ? 5 ? cos60? ? 2 ? 3 ? 5 ? cos60? ? 16 ? 9 ? 25 ? 0 ? 20 ? 15 ? 85 ???? ? 所以, | AC? |? 85 。

4

4

专题四:立体几何 第三讲 空间向量与立体几何 【最新考纲透析】 1.空间向量及其运算 (1)了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。 (2)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。 (3)掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 2.空间向量的应用 (1)理解直线的方向向量与平面的法向量。 (2)能用向量语言表述直线与直线,直线与平面,平面与平面的垂直、平行关系。 (3)能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理) 。 (4)能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题,了解向量方法在研究 立体几何问题中的应用。 【核心要点突破】 要点考向 1:利用空间向量证明空间位置关系 考情聚焦:1.平行与垂直是空间关系中最重要的位置关系,也是每年的必考内容,利用空间向量判断空 间位置关系更是近几年高考题的新亮点。 2.题型灵活多样,难度为中档题,且常考常新。 考向链接:1.空间中线面的平行与垂直是立体几何中经常考查的一个重要内容,一方面考查学生的空间 想象能力和逻辑推理能力;另一个方面考查“向量法”的应用。 2.空间中线面的平行与垂直的证明有两个思路:一是利用相应的判定定理和性质定理去解决;二是利用 空间向量来论证。 例 1: (2010· 安徽高考理科· T18) 如图, 在多面体 ABCDEF 中, 四边形 ABCD 是正方形,EF ∥ AB ,

EF ? FB , AB ? 2 EF , ?BFC ? 90? , BF ? FC , H 为 BC 的中点。 (1)求证: FH ∥平面 EDB ;

(2)求证: AC ? 平面 EDB ; (3)求二面角 B ? DE ? C 的大小。 【命题立意】本题主要考查了空间几何体的线面平行、线面垂直的证明、二面角的求解的问题,考查了考 生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。 【思路点拨】可以采用综合法证明,亦可采用向量法证明。 【规范解答】

?四边形ABCD为正方形, ? AB ? BC , 又 ? EF ? FB, EF // AB,? AB ? FB, 且BC ? FB ? B, ? AB ? 平面FBC ,? AB ? FH , 又BF ? FC , H 为BC中点, ? FH ? BC , 且AB ? BC ? B, ? FH ? 平面ABC.

??? ? ???? ???? 如图,以H 为坐标原点,分别以HB、 GH、 HF的方向为 x轴、y轴、z轴的正方向建立坐标系, 令BH ? 1, 则A(1, ?2,0), B(1,0,0), C(?1,0,0), D(?1, ?2,0), E(0, ?1,1), F (0,0,1).
E D G A X B H Z F C Y

(1)

?? ? 设AC与BD的交点为G,连接GE、GH,则G(0,-1,0), ? GE ? (0, 0,1), ???? ?? ? ???? 又 ? HF ? (0, 0,1),? GE // HF GE ? 平面EDB,HF ? 平面EDB,? HF // 平面EDB ??? ? ?? ? ??? ? ?? ? ? AC ? (?2, 2,0), GE ? (0,0,1),? AC ? GE ? 0,? AC ? GE.

?? ? 设平面BDE的法向量为n1 ? (1, y1 , z1 ), ??? ? ??? ? ? BE ? (?1, ?1,1), BD ? (?2, ?2, 0). ??? ? ?? ? ? ? BE ?n1 ? 0 ??1 ? y1 ? z1 ? 0 由 ? ??? ,即 ? ,得y1 ? ?1,z1 ? 0, ? ?? ? ? ? BD?n1 ? 0 ? ?2 ? 2 y1 ? 0 ?? ? ? n1 ? ( 1, ? 1,0) ?? ? 设平面CDE的法向量为n 2 ? (1, y2 , z2 ), ??? ? ??? ? ? CD ? (0, ?2, 0), CE ? (1, ?1,1). ??? ? ?? ? ? y2 ? 0 ?CD?n 2 ? 0 ? 由 ? ??? ,即 ? ,得y2 ? 0,z2 ? ?1, ? ?? ? ? ?CE ?n 2 ? 0 ?1 ? y2 ? z2 ? 0 ?? ? ? n2 ? ( 1, 0,-1) ?? ?? ? ?? ?? ? n1 ?n2 1 1 ? ? ? cos ? n1 , n2 ?? ?? ?? ? , | n1 || n2 | 2 2 2 ?? ?? ? ?? n1 , n2 ?? 60? , 即二面角B-DE-C为60?。
【方法技巧】1、证明线面平行通常转化为证明直线与平面内的一条直线平行; 2、证明线面垂直通常转化为证明直线与平面内的两条相交直线垂直; 3、确定二面角的大小,可以先构造二面角的平面角,然后转化到一个合适的三角形中进行求解。 4、 以上立体几何中的常见问题, 也可以采用向量法建立空间直角坐标系, 转化为向量问题进行求解证明。

? AC ? 平面EBD. (2) 又AC ? BD,且GE ? BD=G, (3)

应用向量法解题,思路简单,易于操作,推荐使用。 要点考向 2:利用空间向量求线线角、线面角 考情聚焦:1.线线角、线面角是高考命题的重点内容,几乎每年都考。 2.在各类题型中均可出现,特别以解答题为主,属于低、中档题。 考向链接:1.利用空间向量求两异面直线所成的角,直线与平面所成的角的方法及公式为: (1)异面直线所成角



分别为异面直线

的方向向量,则

(2)线面角 设 是直线 l 的方向向量, n 是平面的法向量,则 2.运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤为: (1)建立恰当的空间直角坐标。 (2)求出相关 点的坐标。 (3)写出向量坐标。 (4)结合公式进行论证、 计算。 (5)转化为几何结论。

?

1 例 2: (2010·辽宁高考理科·T19)已知三棱锥 P-ABC 中,PA⊥ABC,AB⊥AC,PA=AC= 2 AB,N 为 AB 上
一点,AB=4AN,M,S 分别 为 PB,BC 的中点. (Ⅰ)证明:CM⊥SN; (Ⅱ)求 SN 与平面 CMN 所成角的大小. 【命题立意】本题考查了空间几何体的线面与面面垂直、线面角的求解以及几何体的 计算问题,考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。 【思路点拨】建系,写出有关点坐标、向量的坐标,

SN 的数量积,写出答案; 计算 CM、 求平面 CMN 的法向量,求线面角的余弦,求线面角,写出答案。 【规范解答】 设 PA=1,以 A 为原点,射线 AB、AC、AP 分别为 x,y,z 轴正方向建立空间直角坐标系,如图。
1 1 1 则 P(0,0,1),C(0,1,0),B(2,0,0),M(1,0, 2 ),N( 2 ,0,0),S(1, 2 ,0)
(I)

???? ? ??? ?

???? ? ? 1 ??? 1 1 CM ? (1, ?1, ), SN ? (? , ? , 0), 2 2 2 ???? ? ??? ? 1 1 因为CM ?SN ? ? ? ? 0 ? 0 2 2 所以CM ? SN ???? 1 (II) NC ? (? ,1, 0), 2 ? 设a ? ( x, y, z )为平面CMN的一个法向量, z ? x? y? ?0 ? ? ? 2 则? 令x ? 2, 得a ? (2,1, ?2) ?? 1 x ? y ? 0 ? ? 2 1 -1? ??? ? 2 ? 2 因为|cos ? a SN ? |= 2 2 3? 2 所SN与平面CMN所成的角为45o
【方法技巧】 (1)空间中证明线线,线面垂直,经常用向量法。 (2)求线面角往往转化成直线的方向向量与平面的法向量的夹角问题来解决。 (3) 线面角的范围是 0°~90°, 因此直线的方向向量与平面法向量的夹角的余弦是非负的, 要取绝对值。 要点考向 3:利用空间向量求二面角 考情聚焦:1.二面角是高考命题的重点内容,是年年必考的知识点。 2.常以解答题的形式出现,属中档题或高档题。 考向链接:求二面角最常用的办法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量,然后通过两个平面的 法向量的夹角得到二面角的大小,但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角。 其计算公式为:设 分别为平面 的法向量,则 ? 与 互补或相等,

例 3: (2010·天津高考理科·T19)

ABCD ? A1B1C1D1 中, E 、 F 分别是 棱 BC , CC1 AB : AD : AA1 ? 1: 2 : 4 上的点, CF ? AB ? 2CE , AD 求异面直线 EF 与 1 所成角的余弦值;
如图,在长方体 证明 AF ? 平面

A1ED

求二面角 1 的正弦值。 【命题立意】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识,考查用空间向量 解决立体几何问题的方法,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力。 【思路点拨】建立空间直角坐标系或常规方法处理问题。 【规范解答】方法一:以 A 为坐标原点,AB 所在直线为 X 轴,AD 所在直线为 Y 轴建立空间直角坐标系(如

A ? ED ? F

? 3 ? E ?1, , 0 ? D(0, 2,0) , F (1, 2,1) , A1 (0,0, 4) , ? 2 ? 图所示) ,设 AB ? 1 ,依题意得

??? ? ???? ? ??? ? ???? ? EF ?A1D 3 ??? ? ? 1 ? cos EF , A D ? ? ? ??? ? ???? ? ???? ? 1 EF ? ? 0, ,1? 5 EF A1D ? 2 ? , A1D ? (0,2, ?4) ,于是 易得 , 3 A D 所以异面直线 EF 与 1 所成角的余弦值为 5 。 ???? ? ? ? 3 ? ??? 1 ? ??? ? EA1 ? ? ?1, ? , 4 ? ED ? ? ?1, , 0 ? AF ? (1, 2,1) , 2 ?, 2 ? ? ? 证明:已知 ???? ??? ? ??? ? ??? ? EA AF ? EA1 , AF ? ED ,又 EA1 ? ED ? E 于是 AF · 1 =0, AF · ED =0.因此,

A ED 所以 AF ? 平面 1
?1 y?z ?0 ? ? ??? ? ?2 ? ? ?u ?EF ? 0 ? ?? x ? 1 y ? 0 ? ? ? ??? u ? ED ? 0 ? u ? ( x , y , z ) ? 2 (3)解:设平面 EFD 的法向量 ,则 ? ,即 ?
不妨令 X=1,可得

u ? (1, 2 ?1)
? ?

?

。由(2)可知,

AF 为平面 A ED 的一个法向量。
1
?

?

cos
于是

? ? AF 2 , = u AF = u ? ? 3 |u||AF| ?

sin
,从而

u,AF =

?

5 3

5 A -ED-F 所以二面角 1 的正弦值为 3
要点考向 4:利用空间向量解决探索性问题 考情聚焦:立体几何中已知结论寻求结论成立的条件(或是否存在问题) ,能较好地考查学生的逻辑推理 能力和空间想象能力,是今后考查的重点,也能很好地体现新课标高考的特点。 例 4: (2010· 福建高考理科· T18) 如图, 圆柱 OO1 内有一个三棱柱 ABC-A1B1C1, 三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形,且 AB 是圆 O 的直径。 (I)证明:平面 A1ACC1 ? 平面 B1BCC1; (II) 设 AB=AA1,在圆柱 OO1 内随机选取一点, 记该点取自三棱柱 ABC-A1B1C1 内的概率为 p。 (i)当点 C 在圆周上运动时,求 p 的最大值;
0 0 (ii)记平面 A1ACC1 与平面 B1OC 所成的角为 ? ( 0 ? ? ? 90 ) 。当 p 取最大

值时,求 cos ? 的值。 【命题立意】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,以及几何体的体积、几 何概型等基础知识;考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力;考查数形结合思想、化归与转化 思想、必然与或然思想。

【思路点拨】第一步先由线线垂直得到线面垂直,再由线面垂直得到面面垂直;第二步首先求出长方体的 体积,并求解三棱柱的体积的最大值,利用体积比计算出几何概率。立体几何中我们可以利用向量处理角 度问题,立体几何中涉及的角:有异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等。关于角的计算,

? ? a ?b ? ? cos ? a , b ?? ? ? ? ? a , b | a || b | ,利用这一结论,我们可以较 均可归结为两个向量的夹角。对于空间向量 ,有
方便地处理立体几何中的角的问题。

? A1 A ? 平面 ABC , BC ? 平面 ABC , ? A1 A ? BC ,又 AB 是 ? O 的直径, ? BC ? AB ,又? AC ? AA1 ? A ,? BC ? 平面 A1 ACC1 ,而 BC ? 平面 B1BCC1 ,所以平面 A1 ACC1
【规范解答】 ( I )

? 平面 B1BCC1 ;
(II) (i)设圆柱的底面半径为 r ,则 ABC-A1B1C1,的体积为

AB ? AA1 ? 2r ,故圆柱的体积为 V ? ?r 2 ? 2r ? 2?r 3 ,设三棱柱

V1 ,所以

P?

V1 V ,所以当 V1 取得最大值时 P 取得最大值。又因为点 C 在圆周上运

动,所以当 OC ? AB 时, ?ABC 的面积最大,进而,三棱柱 ABC-A1B1C1,的体

1 1 ? 2r ? r ? 2r ? 2r 3 V 积 1 最大,且其最大值为 2 ,故 P 的最大值为 ? ;
(ii)由(i)知, P 取最大值时, OC ? AB ,于是,以 O 为坐标原点,建立空 间直角坐标系

向量为

??? ? A1 ACC1 ,? BC ? ? r , ?r ,0 ? 是平面 A1 ACC1 的一个法向量,设平面 B1OC 的法 ? ???? ? ? n ? OC ? rx ? 0 ? ? ? ???? ? ? n ? ? x, y, z ? ? ?n ? OB1 ?ry ? 2rz ? 0
,由于 , ,

O ? xyz , 则 C ? r,0,0? , B ? 0, r,0? , B1 ? 0, r,2r ? , ? BC ? 平 面

所以平面 1 的一个法向量为 【方法技巧】立体几何中我们可以利用空间向量处理常见的问题,本题的(II) (i)也可以采用向量法进 行证明: 以 O 为坐标原点, 建立空间直角坐标系 则
2

B OC

? n ? ? 0, ?2,1?

? ??? ? 10 ? cos ? ? cos n , BC ? 0 0 5 。 ,? 0 ? ? ? 90 ,

C ? r cos ?, r sin ?,0? O ? xyz , 设圆柱的底面半径为 r , ,
3

AB ? AA1 ? 2r , V 所以 故圆柱的体积为 V ? ?r ? 2r ? 2?r , 设三棱柱 ABC-A1B1C1,的体积为 1 , 1 S?ABC ? ? 2r ? r cos ? ? r 2 cos ? V 2 所以当 1 取得最大值时 P 取得最大值。 ,所以当 cos ? ? 1 时的 ?ABC 的 1 ? 2r ? r ? 2r ? 2r 3 V 面积最大,进而,三棱柱 ABC-A1B1C1,的体积 1 最大,且其最大值为 2 ,故 P 的最大值为 1 ?;
【高考真题探究】

P?

V1 V ,

r r 1. (2010· 广东高考理科· T10) 若向量 a = (1,1,x) , b =(1,2,1), =-2,则 x = .
【命题立意】本题考察空间向量的坐标运算及向量的数量积运算.

r r r r ( c ? a ) ? (2 b ) c =(1,1,1),满足条件

【思路点拨】 先算出 c ? a 、 2b ,再由向量的数量积列出方程,从而求出 x.

? ?

?

r r r ? ? ? ? (0,0,1 ? x ) ( c ? a ) ? (2 b ) ? ?2 2 b ? (2 , 4 , 2) c ? a 【规范解答】 , ,由



(0,0,1 ? x) ? (2, 4, 2) ? ?2 ,即 2(1 ? x) ? ?2 ,解得 x ? 2. 【答案】2 E , F 分别在线段
V AEF 翻 折 成 V A' EF , 使 平 面

2. (2010·浙江高考理科·T20)如图, 在矩形 ABCD 中,点

AB, AD 上 , A' EF ? 平面BEF .
(Ⅱ)点

AE ? EB ? AF ?

2 FD ? 4 3 . 沿 直 线 EF 将

' (Ⅰ)求二面角 A ? FD ? C 的余弦值;

M , N 分别在线段 FD, BC 上,若沿直线 MN 将四边形 MNCD 向上翻折,使 C 与 A' 重合,求线

段 FM 的长。 【命题立意】本题主要考察空间点、线、面位置关系,二面角等基础知识,考查空间向量的应用,同 时考查空间想象能力和运算求解能力。 【思路点拨】方法一利用相应的垂直关系建立空间直角坐标系,利用空间向量解决问题;方法二利用 几何法解决 求二面角问题和翻折问题。 【规范解答】方法一: (Ⅰ)取线段 EF 的中点 H,连结 A H ,因 为 A E = A F 及 H 是 EF 的中点, 所以 A H ? EF ,又因为平面 A EF ?
' ' ' ' '

平面 BEF .
' 如图建立空间直角坐标系 A-xyz,则 A (2,2, 2 2 ) ,C(10,8,
?

0) ,F(4,0,0) ,D(10,0, 0).
? ?

' 故 FA =(-2,2,2 2 ) ,

FD =(6,0,0).设 n =(x,y,z)为平面 A' FD 的一个法向量,所 ? ??2 x ? 2 y ? 2 2 z ? 0 ? ?6 x ? 0 以? 。 ? n ? (0, ?2, 2) 。 取 z ? 2 ,则 ? ? n ?m 3 ? ? cos? n, m? ? ? ? ? ? n ?m 3 m ? (0,0,1) BEF
又平面 的一个法向量 ,故



3 所以二面角的余弦值为 3 FM ? x, BN ? a ,则 M (4 ? x,0,0) , N (a,8,0) , (Ⅱ)设
因为翻折后, C 与 A ' 重合,所以 CM ? A ' M , CN ? A ' N ,
2 2 2 2 2 2 ? (2 2) ?(6 ? x) ? 8 ? 0 =(? 2 ? x) ? 2 ? 21 13 ? x? a? 2 2 2 2 (10 ? a ) ? (2 ? a ) ? 6 ? (2 2) 4 , 4 , ? 故, ? ,得 21 FM ? 4 。 所以

3. (2010· 陕西高考理科· T18) 如图, 在四棱锥 P—ABCD 中, 底面 ABCD 是矩形 PA⊥平面 ABCD, AP=AB=2, BC= 2 2 ,E,F 分别是 AD,PC 的中点. (Ⅰ)证明:PC⊥平面 BEF; (Ⅱ)求平面 BEF 与平面 BAP 夹角的大小。 【命题立意】本题考查了空间几何体的的线线、线面垂直、以及二面角的求解 问题, 考查了同学们的空间想象能力以及空间思维能力以及利用空间向量解决 立体几何问题的方法与技巧。

【思路点拨】思路一:建立空间直角坐标系,利用空间向量求解;思路二: 利用几何法求解. 【规范解答】解法一 (Ⅰ)如图,以 A 为坐标原点,AB,AD,AP 所在的直 线分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系.∵AP=AB=2, BC= 2 2 ,四边形 ABCD 是矩形. ∴A,B,C,D 的坐标为 A(0,0,0),B(2,0,0),C(2, 2 2 ,0),D(0, 2 2 , 0),P(0,0,2) 又 E,F 分别是 AD ,PC 的中点,∴E(0, 2 ,0),F(1, 2 ,1). ∴ PC =(2, 2 2 ,-2) BF =(-1, 2 ,1) EF =(1,0, 1) ,

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ??? ? ??? ? ? PC PC BF EF ∴ · =-2+4-2=0, · =2+0-2=0, ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ∴ PC ⊥ BF , PC ⊥ EF ,∴PC⊥BF,PC⊥EF, BF ? EF ? F ,∴PC⊥平面 BEF ?? ??? ? ?? ? ???? n1 ? PC ? (2,2 2, ?2), n2 ? AD ? (0,2 2,0), ( II)由( I)知平面 BEF 的法向量 平面 BAP 的法向量 ?? ?? ? ?n1 ? n2 ? 8, ?? ?? ? n1 ?n2 ?? ?? ? 8 2 cos ? ? cos n1 , n2 ? ?? ?? ? , ? ? 2 4 ? 2 2 n n 1 2 设平面 BEF 与平面 BAP 的夹角为 ? ,则
0 0 ∴ ? ? 45 , ∴ 平面 BEF 与平面 BAP 的夹角为 45

4. (2010·重庆高考文科·T20)如题图,四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 为矩形, PA ? 底面ABCD , PA ? AB ? 2 , 点 E 是棱 PB 的中点. (I)证明: AE ? 平面PBC ; (II)若 AD ? 1 ,求二面角 B ? EC ? D 的平面角的余弦值. 【命题立意】本小题考查空间直线与直线、直线 与平面的位置关系, 考查余弦定理及其应用,考查空间向量的基础知识和在立体几何中的应用,考 查空间想象能力,推理论证能力,运算求解能力,考查数形结合的思想,考查 化归与转化的思想. 【思路点拨】 (1)通过证明线线垂直证明结论:线面垂直, (II)作出二面角的平面角,再利用三角函数、 余弦定理等知识求余弦值.或建立空间直角坐标系,利用向量的坐标运算证明垂直和求出有关角的三角函 数值. 【规范解答】 (I)以 A 为坐标原点,

AB, AD, AP 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正半轴, A ? xyz .如图所示. 建立空间直角坐标系
射线

D(0, a,0) ,则 B ( 2,0,0) , C ( 2, a,0) , P (0,0, 2 ) , E ??? ? 2 2 2 2 ??? ? ( ,0, ) AE ? ( , 0, ) BC ? (0, a,0) , 2 2 2 2 。 于 是 , uu u r uuu r uu u r uuu r ??? ? PC ? ( 2, a, ? 2) ,则 AE ? BC ? 0, AE ? PC ? 0 ,
设设

uu u r uuu r uu u r uuu r AE ? BC , AE ? PC 所以 ,故 AE ? 平面PBC . ?? n1 AE ? 平面BEC
(II)设平面 BEC 的法向量为 ,由(Ⅰ)知,

,故可

?? ? ??? ? 2 2 ?? ? u u r uuu r u u r uuu r n1 ? EA ? (? , 0, ) n2 ? (x2 , y2 , z2) n ? DC ? 0, n ? DF ?0, 2 2 2 取 . 设平面 DEC 的法向量 ,则 2 ,由 ???? AD ? 1 ( 2,1,0) (0,1,0) ,得 D ,G ,

? x2 ? 0 ? ??? ? ? 2 2 2 2 DE ? ( ,-1, ) x2 ? y2 ? z2 ? 0 ? x ? 0 , z2 ? 2 y2 , 2 2 ,故 ? 2 2 从而 DC ?( 2,0,0) , ,所以 2 ?? ?? ? ?? ?? ? n1 ?n2 3 ? ?? cos ? n1 , n2 ?? ?????? ?? ? 3 n1 n2 (01 , ,2) y ? 1 ,则 n2 ? 可取 2 ,从而 .
【方法技巧】 (1)用几何法推理证明、计算求解; (2)空间向量坐标法,通过向量的坐标运算解题. 5. (2010·江西高考文科·T20) 如图, ?BCD 与 ?MCD 都是边长为 2 的正三角形, 平面 MCD ? 平面 BCD , AB ? 平面 BCD , AB ? 2 3 . (1)求直线 AM 与平面 BCD 所成的角的大小; (2)求平面 ACM 与平面 BCD 所成的二面角的正弦值. M 【命题立意】本题主要考查空间几何体的线线、线面与面面垂直关系及 D 平行关系,考查空间线面角、二面角的问题以及有关的计算问题,考查空 B 间向量的坐标运算,考查数形结合思想,考查考生的空间想象能力、推理 论证能力、划归转化能力和运算求解能力。 C 【思路点拨】 本题主要有两种方法, 法一: 几何法 (1) 直接找出线面角, 然后求解; (2)对二面角的求法思路, 一般是分三步①“作” ,②“证” ,③“求”. 其中“作”是关键, “证” 是难点.法二:建立空间直角坐标系,利用空间向量中的法向量求解. 【规范解答】取 CD 中点 O,连 OB,OM,则 OB⊥CD,OM⊥CD,又平面 MCD ? 平面 BCD ,则 MO⊥平面 BCD . 以 O 为原点,直线 OC、BO、OM 为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系如 图.OB=OM= 3 , 则各点坐标分别为 O (0, 0, 0) , C (1, 0, 0) , M (0, 0, 3 ) , B(0,- 3 ,0) ,A(0,- 3 ,2 3 ) , ? (1)设直线 AM 与平面 BCD 所成的角为 .
B O A
z
A

M D

? ???? ? n ? (0,0,1) .则有 BCD 3 ? 3 AM ? 因 (0, , ) ,平面 的法向量为 ???? ? ? ???? ? ? AM ? n 3 2 sin ? ? cos AM , n ? ???? ? ? ? ? 2 6 AM ? n ? ,所以 ? ? 45 . ???? ? ??? ? CM ? ( ? 1,0, 3) CA ? (?1, ? 3, 2 3) . (2) , ?? ???? ? ? ?n1 ? CM ? ?? x ? 3z ? 0 ?? ? ? ?? ??? ? n1 ? ( x, y, z) n1 ? CA ?? x ? 3 y ? 2 3 z ? 0 . ? ? 设平面 ACM 的法向量为 ,由 得? ?? ? n ? ( 3,1,1) y ? z n ? (0,0,1) , 解得 x ? 3z , ,取 1 .又平面 BCD 的法向量为

y

x

C

则 设所求二面角为 ? ,则 6. (2010·四川高考理科·T18)

?? ? ?? ? n1 ? n 1 cos ? n1 , n ?? ?? ? ? 5 n1 ? n

sin ? ? 1 ? (

1 2 2 5 ) ? 5 . 5

已知正方体 ABCD ? A? B?C? D? 的棱长为 1,点 M 是棱 AA? 的中点,点 O 是对角线 BD? 的中点. (Ⅰ)求证: OM 为异面直线 AA? 和 BD? 的公垂线; (Ⅱ)求二面角 M ? BC ? ? B? 的大小; (Ⅲ)求三棱锥 M ? OBC 的体积. 【命题立意】本题主要考查异面直线、直线与平面垂直、 二面角、正方体、三棱锥体积等基础知识,并考查空间想象能力和逻辑推理能力,考查应用向量知识解决 数学问题的能力,转化与化归的数学思想. 【思路点拨】方法一:几何法 问题(Ⅰ) ,分别证明 OM ? AA? , OM ? BD? 即可. 问题(II)首先利用三垂线定理,作出二面角 M ? BC ? ? B? 的平面角, 然后通过平面角所在的直角三角 形,求出平面角的一个三角函数值,便可解决问题. 问题(Ⅲ)选择便于计算的底面和高,观察图形可知, ?OBC 和 ?OA?D? 都在平面 BCD?A? 内,且

S?OBC ? S?OA?D? ,故 VM ?OBC ? VM ?OA?D? ? VO?MA?D? ,利用三棱锥的体积公式很快求出 VO ? MA?D? .
方法二:建立 空间直角坐标系,利用空间向量中的法向量求解. 【规范解答】(方法一): (I)连结 AC .取 AC 的中点 K ,则 K 为 BD 的中点,连结 OK . ∵点 M 是棱 AA? 的中点,点 O 是 BD? 的中点,

由 AA? ? AK ,得 OM ? AA? . ∵

AK ? BD, AK ? BB? ,∴ AK ? 平面BDD?B? . ∴ AK ? BD ? .∴ OM ? BD? . 又∵ OM 与异面直线 AA? 和 BD? 都相交, 故 OM 为异面直线 AA? 和 BD? 的公垂线, ? ? (II)取 BB? 的中点 N ,连结 MN ,则 MN ? 平面BCC B ,
过点 过点 N 作 NH ? BC ? 于 H ,连结 MH ,则由三垂线 定理得, BC ? ? MH . ∴ ?MHN 为二面角 M ? BC ? ? B? 的平面角.

1 2 2 MN ? 1, NH ? BN sin 45? ? ? ? 2 2 4 . MN 1 tan MHN ? ? ?2 2 NH 2 4 在 Rt ?MNH 中. 故二面角 M ? BC ? ? B? 的大小为 arctan 2 2 .
( III )易知,

S?OBC ? S?OA?D? , 且 ?OBC 和 ?OA?D? 都在平面 BCD?A? 内,点 O 到平面 MA?D ? 的距离

1 1 1 VM ?OBC ? VM ?OA?D? ? VO ? MA?D? ? S ?MA?D? h ? 2 ,∴ 3 24 . D ? xyz , (方法二):以点 D 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 A(1, 0, 0) , B(1,1, 0) , C (0,1, 0) , A?(1, 0,1) , C ?(0,1,1) , D?(0,0,1) 则 h?
(I) ∵点 M 是棱 AA? 的中点,点 O 是 BD? 的中点,

???? ? 1 1 1 1 1 1 O( , , ) M (1, 0, ) OM ? ( , ? , 0) 2 2 2 , 2 , 2 2 ∴ , ???? ???? ? AA? ? (0,0,1) , BD? ? (?1, ?1,1) . ???? ? ???? ? 1 1 ???? ? ???? OM ? BD? ? ? ? ? 0 ? 0 OM ? AA? ? 0 , 2 2 , ? ? OM ? AA OM ? BD ∴ , ,
又∵ MO 与异面直线 AA? 和 BD? 都相交, 故 MO 为异面直线 AA? 和 BD? 的公垂线,

?? n1 ? ( x, y, z) ? BMC ( II ) 设 平 面 的一个法向量为 , ???? ? 1 ? BM ? (0, ?1, ) ???? 2 , BC? ? (?1,0,1) .
1 ?? ???? ? ? ? y ? z ? 0, ? ?n1 ? BM ? 0, ? 2 ? ? ? ?? ???? ? ? ?n1 ? BC ? ? 0. 即 ? ? x ? z ? 0. ?? ?? ? n ? (2,1,2) n ? (0,1,0) x ? 2, y ? 1 ? ? BC B 取 z ? 2 ,则 . 1 . 取平面 的一个法向量 2 . ?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 1 1 cos ? n1 , n2 ?? ?? ? ?? ? ? 9 ?1 3 n1 n2 ,由图可知,二面角 M ? BC ? ? B? 的平面角为锐角,
故二面角 M ? BC ? ? B? 的大小为

arccos

1 3.

1 1 2 ?? ? S四边形BCD?A? ? ?1? 2 ? n 4 4 4 ,设平面 OBC 的一个法向量为 3 ? ( x1 , y1 , z1 ) , (III)易知, ?? ? ???? ? ? ?n3 ? BD1 ? 0, ?? x1 ? y1 ? z1 ? 0, ???? ? ? ??? ? ??? ? ? ?? ? BD1 ? (?1, ?1,1) BC ? (?1,0,0) n3 ? BC ? 0. ?? x1 ? 0. ? ? , , 即 ?? ? n3 ? (0,1,1) z1 ? 1 y1 ? 1 S?OBC ?
取 ,则 ,从而 .

???? ? ?? ? 1 BM ? n3 1 1 1 2 1 1 d? ? 2 ? ?? ? VM ?OBC ? S?OBC ? d ? ? ? ? 2 2 2 n 3 3 3 4 2 2 24 . 点 M 到平面 OBC 的距离 .
【跟踪模拟训练】 一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1.已知点 A(-3,1,-4) ,则点 A 关于 x 轴的对称点的坐标为( ) (A)(-3,-1,4)(B)(-3,-1,-4)(C)(3,1,4)(D)(3,-1,-4) 2.在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,D 是 AC 的中点,AB1⊥BC1,则平面 DBC1 与平面 CBC1 所成的角为( (A)30° (B)45° (C)60° (D)90° 3. 设动直线 x ? a 与函数

)

f ( x) ? 2sin 2 (

?
4

? x)


g ( x) ? 3 cos 2x 的图象分别交于 M 、 N 两点,则

| MN | 的最大值为(
A. 2

) B. 3 C.2 D.3 )

o y A(3, 2) , B(?2, ?3) , 4. 在直角坐标系中, 设 沿 轴把坐标平面折成120 的二面角后,AB 的长为 (

A. 6

B. 4 2

C. 2 3

D. 2 11

5. 矩形 ABCD 中,AB=4,BC=3,沿 AC 将矩形 ABCD 折成一个直二面角 B-AC-D,则四面体 ABCD 的外接球 的体积为( )

125 ? A. 12

125 ? B. 9

125 ? C. 6

125 ? D. 3

6. 如图:在平行六面体

ABCD ? A1 B1C1 D1 中, M 为 A1C1 与 B1 D1 的交点。若 AB ? a , AD ? b ,

AA1 ? c 则下列向量中与 BM 相等的向量是( )

?

(A) 二、填空题(每小题 6 分,共 18 分)

1 1 a? b?c 2 2

1 1 1 1 a? b?c ? a? b?c 2 2 (B) 2 (C) 2

1 1 a? b?c 2 (D) 2

7.OX ,OY ,OZ 是空间交于同一点 O 的互相垂直的三条直线,点 P 到这三条直线的距离分别为 10 ,

a , b ,则 OP ? 37 ,则 a 2 ? b 2 ? _
BD1 =

_。

8.平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,AA1=2,AD=1,且 AB、AD、AA1 两两之间夹角均为 600,则 ? 9.将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角后,有下列四个结论:

AC1

(1) AC ? BD ; (2) ?ACD 是等边三角形; (3) AB 与平面 BCD 成 6 0° ; (4) AB 与 CD 所成 的角为 60°.其中正确结论的序号为_________(填上所有正确结论的序号) . 三、解答题(共 46 分) 10. 如图,在 四棱锥 P—ABCD 中,底面是边长为 2 的菱形,∠BAD=60°,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,

PO ? 3 ,E、F 分别是 BC、AP 的中点.
(1)求证:EF∥平面 PCD; (2)求二面角 A—BP—D 的余弦值.

11. 某组合体由直三棱柱

ABC ? A1B1C1 与正三棱锥 B ? ACD 组成,如图所示,其中, AB ? BC .它

的正视图、侧视图、俯视图的面积分别为 2 2 +1,1 , 2 2 +1.

CA1 与平面 ACD 所成角的正弦; AC1 上是否存在点 P ,使 B1P ? 平面 ACD ,若存在,确定点 P 的位置;若不存在,说明理 (2)在线段
(1)求直线 由. 12. 如图,三棱柱

ABC ? A1 B1C1 中, AA1 ? 面 ABC ,

BC ? AC , BC ? AC ? 2 , AA1 ? 3 , D 为 AC 的中点。 AB1 // 面 BDC1 ; (I)求证:
(Ⅱ)求二面角 1 的余弦值 参考答案 1. 【解析】选 A.∵点 A 关于 x 轴对称点的规律是在 x 轴上的坐标不变,在 y 轴,z 轴上的坐标分别变为相 反数,∴点 A(-3,1,-4)关于 x 轴的对称点的坐标为(-3,-1,4). 2. 【解析】选 B.以 A 为坐标原点,AC、AA1 分别为 y 轴和 z 轴建立空间直角坐标系.设底面边长为 2a.侧棱 长为 2b.

C ? BD ? C

3.D

4.D

5.C

6.A

7.64

8.3

9. (1) (2) (4)

10.解: (1)证明:取 PD 的中点 G,连接 FG、CG ∵FG 是△PAD 的中卫县,∴FG 在菱形 ABCD 中,AD BC,又 E 为 BC 的中点,∴CE ∴EF∥CG 又 EF ? 面 PCD,CG ? 面 PCD,∴EF∥面 PCD

1 AD 2 ,

FG,∴四边形 EFGC 是平行四边形,

(2)法 1:以 O 为原点,OB,OC,OP 所在直线分别为 x 、 图所示的空间直角坐标系。

y

、 z 轴建立如

则 0(0,0,0) ,A(0, ? 3 ,0) ,B(1,0,0) P (0,0, 3 )

AB =(1, 3 ,0) AP =(0, 3 , 3 ) n ? ( x, y, z ) ,则 设面 ABP 的发向量为
? ? ?x ? ? 3 y ?n ? AB ? 0 ?x ? 3 y ? 0 ? ? ? ? ?n ? AP ? 0 ,即 ? ? 3 y ? 3z ? 0 即 ?z ? ? y
n ? ( 3,?1,1) 又 OA ? OP ? 0 , OA ? OB ? 0 ,∴OA⊥面 PBD,∴ OA 为面 PBD 的发向量, ∴ OA =(0, ? 3 ,0)


cos ? n, OA ??

n ? OA | n || OA |

?

3 5? 3

?

5 5

5 .所以所求二面角的余弦值为 5

法 2:在菱形 ABCD 中,AC⊥BD, ∵OP⊥面 ABCD,AC ? 面 ABCD,∴AC⊥OP,OP ? BD=0,∴AC⊥面 PBD,AC⊥BP, 在面 PBD 中,过 O 作 ON⊥PB,连 AN,PB⊥面 AON,则 AN⊥PB。 即∠ANO 为所求二面角的平面角 AO=ABcos30°= 3 在 Rt△POB 中,

ON ?

15 OP ? OB 3 AN ? OA2 ? ON 2 ? ? 2 BP 2 ,∴

3 ON 5 ANO ? ? 2 ? AN 5 5 15 2 ∴cos∠ 。所以所求二面角的余弦值为 5
11. 【解析】

解:(1)设BA ? BC ? BD ? a, BB1 ? b 1 2 ? ?ab ? 2 a ? 2 2 ? 1 ? ? ?a ? 2 由条件 ? ?? ? ?b ? 2 ? 1 a2 ? 1 ? ?2

以点B为原点,分别以BC、BB1、BA为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则 A(0, 0, 2), C ( 2, 0, 0), D(0, ? 2, 0), B1 (0, 2, 0), C1 ( 2, 2, 0), A1 (0, 2, 2) ? ? 2 ? 2 2 2 ? ? ??? 2 2? ? ?ACD的重心G ? , ? , ? a ? BG =? ,? , ? ? 为平面ACD的法向量. ? 3 ? ? 3 3 ? 3 3 ? ? ? 3 ? 2 2 ? ???? ? ???? 6 3 又CA1 ? (? 2, 2, 2), 则 cos a, CA1 ? ? 6 6 2 2? 3 6 ? 所求角的正弦值为 6 ??? ? ???? ? (2)令 AP ? m AC1 ? 2m, 2m, ? 2m ???? ???? ??? ? ? B1 P ? B1 A ? AP ? 2m, 2m ? 2, 2 ? 2m ? ? a

?

?

?

?

? 2 ? ? 2m ? 3 ? ? 2 ? ? ? 2m ? 2 ? ? ? ? 无解 3 ? ? 2 ? ? 2 ? 2m ? 3 ? ? ? 不存在满足条件的点P.
12.解: (1)连接 B1C,交 BC1 于点 O,则 O 为 B1C 的中点, ∵D 为 AC 中点 ∴OD∥B1A ? 又 B1A 平面 BDC1,OD ? 平面 BDC1 ∴B1A∥平面 BDC1 (2)∵AA1⊥面 ABC,BC⊥AC,AA1∥CC1 ∴CC1⊥面 ABC 则 BC⊥平面 AC1,CC1⊥AC 如图以 C 为坐标原点,CA 所在直线为 X 轴,CB 所在直线为 Y 轴, 角坐标系 则 C1(0,0,3) B(0,2,0) D(1,0,0) C(0,0,0)

CC1 所在直线为 Z 轴建立空间直

? x ? 3z ? 0, 2 y ? 3z ? 0 ,取 z ? 2 , 则 n ? (6,3, 2)

C DB 的法向量为 n ? (x, y, z) ∴设平面 1



? ????? ? ???? n ? C 1 D, n ? C1B
C1 C ? n



又平面 BDC 的法向量为

???? ? CC1 ? (0,0,3)

? C1C, n ? ?
cos

| C1C || n |

?

2 7

2 ∴二面角 C1—BD—C 的余弦值为 7
【备课资源】 1.已知两条异面直线 a、b 所成的角为 40°,直线 l 与 a、b 所成的角都等于θ ,则θ 的取值范围是( )

(A)[20°,90°] 【解析】选 A.

(B)[20°,90°)

(C)(20°,40°]

(D)[70°,90°]

取空间任一点 O,将直线 a,b,l 平移到过 O 点后分别为 a′,b′,l′,则 l′与 a′,b′所成的角即为 l 与 a,b 所成的角.当 l′与 a′,b′共面时θ 最小为 20°.当 l′与 a′,b′确定的平面垂直时, θ 最大为 90°. 故θ 的取值范围为[20°,90°].

3.如图甲,直角梯形 ABCD 中,AB∥CD, ∠DAB= ,点 M、 N 分别在 AB, CD 上, 且 MN⊥AB, MC⊥CB, BC=2, MB=4, 现将梯形 ABCD 沿 MN 折起,使平面 AMND 与平面 MNCB 垂直(如图乙). (1)求证:AB∥平面 DNC; (2)当 DN 的长为何值时,二面角 D-BC-N 的大小为 30°?


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