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1.5正弦函数y=sinx的图像与性质

时间:2012-11-26


1.5.2 正弦函数的 图像

知识回顾
1. 三角函数是以角(实数)为自变量的函数.

y ? sin x, x ? R
2. 常用画图的方法: 描点法 ? ? ? ? y =sinx 过点 ( ,sin ),( ,sin ) 6 6 3 3 ? 3 而 sin ? ? 0.866, 不便于描 点 3 2

故介绍另一种画法:几何法(即利用三 角函数线画图)

正弦函数的图象
一.三角函数线 正弦函数
sin?=MP
y

正弦线MP
注意:三 角函数线 是有向线 段!

P
?

-1

O

A(1,0)x M

余弦线OM

问题提出 问题:如何利用单位圆中正弦线来作出正弦函 数的图象? 描图:用光滑曲线
B
y

将这些正弦线的 终点连结起来

1

O1

A O
-1

? 3

2? 3

?

4? 3

5? 3

2?

x

y=sinx x?R y=sinx x?[0,2?] f ( x ? 2k? ) ? f ( x) 利用图象平移

终边相同角的三角函数值相等 即: sin(x+2k?)=sinx, k?Z

y
1

?

?
2

o -1

? 2

?

3? 2

2?

x

y=sinx x?[0,2?] y y=sinx x?R
1 -4? -3? -2? -?

正弦曲线

o
-1

?

2?

3?

4?

5?

6?

x

想一想
如何作出正弦函数的图象(在精确度要求不太高 时)?
? ( ,1) 2? 1 ( ,1) 2 ? ( ? ,0) ( 2? ,0) ( ,1) ( 2? ,0) (0,0) ( ? ,0) ? 2 o x 3? ? 2? ? (0,0) ( ? ,0) 2 ( 2 ,1) 2 ( 2? ,0) (0,0) ? -1 ( ? ,0) (3? ,-1) ( ,1) ( 2? ,0) 3? 2 (0,0) ? ( ? ,0)2 3,1) ( ?3? ( 2? ,0) ( ,1) ( ( 3 ( ? ,0) 2 2 ,1)? ,1) ( 2? ,0) 2 (0,0) ? 2( 3,1) ? (0,0) ( ( ? ,0) ( 2? ,0) 2 3? ,-1) ? 2 ,1) (? (0,0) 32 ,-1) ( ? ,1) ( 2? ,0) ( ? ,0) 3? ( (0,0) 2 ( 2? ,0) ( ? ,0) ( (222,-1) ,-1) ( 2 ,1) (0,0)

y

五点画图法

?

?
2

五点法——

例1.用五点法画出函数y=2-sinx,x?[0, 2?]的简图:
x
sinx 2-sinx 0 0 2
y 2 1

?
2

? 0 2

3? 2

2? 0 2 步骤: 1.列表 2.描点 3.连线
2?
x

1 1

-1 3

y=-sinx,x?[0, 2?]

? ? 2

o -1

? 2

?

3? 2

y=sinx,x?[0, 2?]

课内练习
练习:在同一坐标系内,用五点法分别画出函数
y=
? sin(x+ 2

),x?[
?

?

? 2

,

3? 2

] ;y=sinx,x?[0, 2?]
?

x x
y 2 1
?

?

02

? 0
2

?2 0 -1

3? ? 2

3? 22 ?

sinx ? 1 0 sin( x+ 2 )

0 1

-1 0

0 1

y=sinx,x?[0, 2?]
? 2

?
2

o -1

?

3? 2

2?

x

课堂小结

小 1. 正弦函数曲线 结

几何画法

五点法

2.注意与诱导公式、三角函数线等知识的联 系
y

1

? ? 2

o
-1

? 2

?

3? 2
y=sinx,x?[0, 2?]

2?

x

课后作业

用“五点法”作下面函数的图象.

1、y=sin(x+π), x∈ [ 0,2π]
2、y=2sinx, x ∈[ 0,2π]
关键是把“五点”找准,并想一想 找 “五点”有什么规律?

1.5.3 正弦函数的 性质

正弦函数 y=sinx 的性质
y 1
y ?1
?
2

? 2?

??

?

?
2

O

?1

?

3? 2

2?

3?

4?
y ? ?1

x

(1)定义域

实数集R

? 2k? 1 当x=________________时, ymax ? _____ 2
(2)值域
? ? 2k? 2 当x=________________时,
?

?

?1 ymin ? _____值域是: ?? 1, ? 1
2k?

(3)周期性

sin(x+2kπ)=sin x, (k∈Z),

(4)正弦函数的单调性
y
1

-3?

5? ? 2

-2?

3? ? 2

-?

?

?
2

o
-1

?
2

?

3? 2

2?

5? 2

x
3?
7? 2

4?

x
sinx

?

?
2



0 0



? 2



? 0



3? 2

-1

1

-1

y=sinx (x?R) ? ? ?? ? ? 2k? ?, k ? Z 增区间为 [ ? ? 2 2k? , 2 ] ? 其值从-1增至1 ? 2? , ? ?

2 ? ? ? ,3? ] ? 减区间为 [ ?22k? , 3? ? 2k? , k ? Z 其值从 1减至-1 ?2 ? 2 2 ? ?

(5)正弦函数的奇偶性
y 1
y ?1
?
2

? 2?

??

?

?
2

O

?1

?

3? 2

2?

3?

4?
y ? ?1

x

sin(-x)= - sinx (x?R)

y=sinx (x?R)是奇函数

图象关于原点对称

y=sinx (x?R) 图象关于原点对称

y
1 -3?
? 5? 2

-2?

?

3? 2

-?

?

?
2

o
-1

?
2

?

3? 2

2?

5? 2

x
3?
7? 2

4?

y=sinx

(6)正弦函数的对称性

观察下面图象: y=sinx (x R)
y 1

?

? 2? ??
-1

0

?

2?

3?

4?

5?

6?

x

对称中心(k? ,0)

? 对称轴:x ? k? ? 2

课堂小结 正弦函数的性质
定义域
值 域 奇偶性 周期性
R
[-1,1] 奇

T=2k?
当x ? [ 2k? ?

?

最小正周期: 2?
,2k? ?

?

单调性
对称性

2 ? 3? 当x ? [ 2k?+ ,2k? ? ] 减 2 2

2

] 增

对称中心(k? ,0)
对称轴:x ? k? ?

?
2

最值

ymax ? 1

y min ? -1

例1

比较下列各组正弦值的大小:

1) sin(? )与 sin(? ) 8 10
解: 1)因为

?

?

5 7 2) sin ?与 sin ? 8 8

分析: 利用正弦函数的不同区间上的单调性进行比较。
? ? ? ?? ?? ?0 2 8 10 ? ? ?? 并且f(x)=sinx在?? , ?上是增函数,所以 ? 2 2?
?

sin(?
2)因为

?

?

7 ? ? ? ?? 2 8 8

8 5?

) ? sin(?

?

10

)

并且f(x)=sinx在 [

, ? ] 上是减函数,所以 2 5 7 sin ? ? sin ? 8 8

?

例2

求函数 f ( x) ? sin(2 x ? ) 在x取何值时到达
最大值?在x取何值是到达最小值?
6

?

? 关键点:把 2 x ? 看作一个整体。 6
解: f ( x) ? sin(2 x ? ) 在 2 x ? ? ? 2k? 处到达最大值1。即, 6 6 2 当 x ? ? ? k? (k ? z ) 时, f ( x) ? sin(2 x ? ? ) 达到最大值1。 6 6 ? ? ? f ( x) ? sin(2 x ? ) 在 2 x ? ? ? ? 2k? 处达到最小值-1。即, 6 6 2 ? x ? ? ? k? (k ? z ) 时, f ( x) ? sin(2 x ? ? ) 达到最小值-1。 当 3 6

?

?

?

例3

求函数f(x)=sin2x的最小正周期。

分析:本题的关键是找到满足f(x+T)=f(x)的最小正数。
解:根据诱导公式(1)得 sin(2x+2 ? )=sin2x 即 也就是 f(x+? )=f(x) sin2(x+? )=sin2x x ?R x ?R x ?R

因此, ? 是f(x)=sin2x的最小正周期。


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