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3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域公开课

时间:2016-10-25


二元一次不等式(组) 与平面区域 3.3.1
北流市实验中学

目标解读
1.知识与技能:了解二元一次不等式(组)的相 关概念,能根据二元一次不等式(组)确定 所表示的平面区域。 2.过程与方法:在通过探究二元一次不等式组 的特点,确定二元一次不等式组所表示的平 面区域。

3.情感、态度与价值观:体会数与形的完美结 合,提高数学素养。

观察下列式子:
1、4 x 2 ? 4 x ? 1 ? 0
3、 x ? y ? 6

2、 ? x ? 3 ? 0
4、

? ?x ? 4 ? 0

? y ? ?3x ? 12 ? ?x ? 2 y

问题:你能试着给二元一次不等式和二元一次不等 式组下定义吗?

二元一次不等式和二元一次不等式组的定义

(1)二元一次不等式:
含有两个未知数,并且未知数的最高次数是1的 不等式叫做二元一次不等式 ;

x? y ?6
(2)二元一次不等式组:
由几个二元一次不等式组成的不等式组称为 二元一次不等式组。

? y ? ?3x ? 12 ? ?x ? 2 y

?2 x ? y ? 15 ? ? x ? 2 y ? 15 ? x ? 3 y ? 27 ?

(3)二元一次不等式(组)的解集:

满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有 序实数对(x,y),所有这样的有序实数对(x,y) 构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集。
(4)二元一次不等式(组)的解集与平面直角 坐标系内的点之间的关系:

二元一次不等式(组)的解集 可以看成是直角坐标系内的点构成的集合。

?x ? 3 ? 0 的解集所表示图形吗? 你知道不等式组 ? ?x ? 4 ? 0
-3 0 4 x

回忆:

一元一次不等式(组)的解集所表示的图形 ------数轴上的区间

思考:
那么,在直角坐标系内,二元一次不等式 (组)的解集表示什么图形呢?

新课引入

问题:在平面直坐标系中,y=1 表示的点的集合表示什么图形?

y>1 呢?
o

y
y=1 x

y

y>1

(x0 , y0) (x , y)

y=1
x

o y<1

x0 ? x, y0 ? 1

新知探究:
探究二元一次不等式(组)的解集表示的图形 二元一次不等式x – y < 6的解集所表示的图形。 作出x–y = 6 的图像—— 一条直线, 直线把平面分成三部分。 x–y=6 y 直线上 x O 右下方区域 左上方 区域

新知探究:

验证:设点P(x,y 1)是直 线x – y = 6上的点,选取点 A(x,y 2),使它的坐标 满足不等式x – y < 6, 请完成下面的表格, 横坐标 x
点 P 的纵坐标 y1

y O

x – y = 6 A( x, y2 ) x
P( x, y1 )

–3 –2 –1

0

1

2

3

- 9 - 8 - 7 - 6 - 5 - 4 - 3 6 4 0

点 A 的纵坐标 y2 - 8 - 6 - 5 - 3

新知探究:
当点A与点P有相同的横坐标 时,它们的纵坐标有什么关 系? ( A点纵坐标大于P点纵坐标) 直线x – y = 6左上方点的坐标 与不等式x – y < 6有什么关系? y O
P( x, y1 )

A( x, y2 )

x–y=6 x

(左上方点的坐标满足不等式) 直线x – y = 6右下方点的坐标 呢? (右下方点的坐标不满足不等式)

新知探究:
结论

不等式x – y < 6表示 直线x – y = 6左上方 的平面区域;

不等式x – y > 6表示 直线x – y = 6右下方 的平面区域;

直线叫做这两个区域的边界

新知探究:
从特殊到一般情况: 二元一次不等式Ax + By + C>0在平面直角坐 标系中表示直线Ax + By + C = 0某一侧所有点

组成的平面区域。(虚线表示区域不包括边界
直线) 注意: 若不等式中可以取等号, 则边界应画成实线, 否则应画成虚线。 y O Ax + By + C = 0 x

新知探究:
如何判断二元一次不等式表示直线的哪一侧 平面区域? 判断方法 直线定界,特殊点定域。 由于直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)代 入Ax+By+C所得实数的符号都相同(同侧同号), 所以只需在直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0),根 据Ax+By+C的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线 的哪一侧区域。 一般地 C≠0时,常把原点作为特殊点 C=0时,可取其他特殊点。

例题分析

例1:画出不等式 x + 4y < 4表示的平面区域 解:(1) 先画直线x + 4y – 4 = 0 直线定界 (画成虚线)
(2) 取原点(0,0), 代入x + 4y – 4, ∵ 0 + 4× 0 – 4 = – 4 < 0 特殊点定域
y 1

∴原点在x + 4y – 4 < 0表示的平 面区域内,不等式x + 4y – 4 < 0 表示的区域如图所示。

4 x x+4y―4=0

课堂练习1 分别在坐标系画出下列不等式表示的平面区域 (1) x-y+5≥0
y 5

(2) x+y≥0
y

(3) x<3
y

x-y+5=0

x=3

-5
0 x 0 x 0 x

x+y=0

? y ? ?3x ? 12 例2.用平面区域表示不等式组 ? 的解集; ? x ? 2y
此区域为 所求 y 12 8 4 0 4 8 x y=-3x+12 二元一次不等式组表示平面区域: 是各个不等式所表示平面区域的公共部分 x=2y

课堂练习2
画出不等式组

?2 x ? y ? 2 ≤ 0 表示的平面区域 ? ?x ? y ? 2≥ 0
y 2 1

2x ? y ? 2 ? 0 x? y?2?0

0 -1
-2

1

2

3

x

所以黄色阴影部分即 为所求。

例3.一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥 料,生产1车皮甲种肥料需用的主要原料 是磷酸盐4吨,硝酸盐18吨,生产1车皮乙 种肥料需用的主要原料是磷酸盐1吨,硝 酸盐15吨,现有库存磷酸盐10吨,硝酸盐 66吨。如果在此基础上进行生产,设x,y 分别是计划生产甲、乙两种混合肥料的车 皮数,请列出满足生产条件的数学关系式, 并画出相应的平面区域。

解:设x,y分别是计划生产甲、乙两种混 合肥料的车皮数,则x,y所满足的数学关 系式为
? 4 x ? y ≤ 10 ?18 x ? 15 y ≤ 66 分别画出不等式组中, ? ? x≥0 ? 各不等式所表示的区域. ? y≥0 ?

y

然后取交集,就 是不等式组所表示

的区域。

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 O

4x+y=10

18x+15y=66 x 1 2 3 4

小结
1、二元一次不等式Ax+By+C>0(或<0)在平面直 角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点 组成的平面区域。 2、二元一次不等式组表示平面区域:是各个 不等式所表示平面区域的公共部分

小结
3、二元一次不等式表示直线哪一侧平面区域的 判断方法: C≠0时,取原点作特殊点; 直线定界,特殊点定域。 C=0时,取其他特殊点。

注意:(1)画图时应非常准确,否则将得不到正确结果。 (2) 若区域包括边界, 则把边界画成实线;
若区域不包括边界,则把边界画成虚线。

课后作业
思考题

1、点(3,1)和点(-4,6)在直线3x-2y+a=0 的两侧,则( ) A.a<-7或a>24, B.-7<a<24 C.a=-7或a=24, D.以上都不对 变式:如果同侧呢?

思考题
1、点(3,1)和点(-4,6)在直线3x-2y+a=0 的两侧,则( ) A.a<-7或a>24, B.-7<a<24 C.a=-7或a=24, D.以上都不对 变式:如果同侧呢?


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