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江西省师大附中 临川一中2015-2016学年高三上学期期末联考数学(文)试卷

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江西省师大附中 临川一中 2015-2016 学年 高三上学期期末联考
数学(文)试卷
命题人:朱建洲 审题人:吴财昌 2016.1 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题意) 1.若纯虚数 z 满足 ?1 ? i ? z ? 1 ? ai ,则实数 a 等于( A. 0 2.已知函数 y ? sin ? ? x ? 的最小正值为( A. 1 ) B. 2 C. B. ?1或 1 ) C. ? 1 D. 1

? ?

??

? 向右平移 个单位后,所得的图像与原函数图像关于 x 轴对称,则 ? 3? 3

?

5 2


D. 3

3.“ m ? 3 ”是“曲线 mx2 ? (m ? 2) y 2 ? 1 为双曲线”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
2

4.设曲线 y ? sin x 上任一点 ( x, y ) 处切线斜率为 g ( x) , 则函数 y ? x g ( x) 的部分图象可以为 (



5.如右图,当输入 x ? ?5 , y ? 15 时,图中程序运行后输出的结果为( ) A.3; 33 6.定义 B.33;3 C.-17;7 D.7;-17

INPUT INPUT IF ELSE x<0

x y THEN

n 为 n 个正数 p1 , p2 ,?, pn 的“均倒数” ,若已知数 p1 ? p2 ? ? ? pn
的 前 n 项 的 “ 均 倒 数 ” 为

x = y+3 y = y-3 END IF PRINT END x-y,y+x



?an ?

a 1 , 又 bn ? n , 则 5 5n

1 ? b1 b2

1 ? ? ? b2 b3

1 ( ? b1 0b 1


1

PRINT x-y ,y+x END

A.

8 17

B.

9 19

C.

10 21

D.

11 23

?x ? 0 ? 7.若关于 x, y 的不等式组 ? x ? y ? 0 ,表示的平面区域是等腰直角三角形区域,则其表示的区 ?kx ? y ? 1 ? 0 ?
域面积为( A. 1 或 ) B.

1 4

1 1 或 2 8

C. 1 或

1 2

D.

1 1 或 2 4

8.如图,网格纸是边长为 1 的小正方形,在其上用粗线画出了某多面体 的三视图,则该多面体的体积为( ) A.4
2

B.8
2

C.16

D.20

9.不等式 2 x ? axy ? y ? 0 对于任意 x ? [1,2] 及 y ? [1,3] 恒成立,则实数 a 的取值范围是( A. a ≤ 2 2 B. a ≥ 2 2 C. a ≤



11 3

D. a ≤

9 2

x2 y 2 10.过双曲线 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的右焦点 F 作一条直线,当直线斜率为 1 时,直线与双曲线 a b
左、右两支各有一个交点;当直线斜率为 3 时,直线与双曲线右支有两个不同的交点,则双曲线离 心率的取值范围为( ) A. (1, 2) B. (1, 10) C. ( 2, 10)
? ?

D. ( 5, 10)
? ?

11.已知 A, B, C 是单位圆上互不相同的三点,且满足 AB ? AC ,则 AB? AC 的最小值为( A. ?



1 4
x

B. ?

1 2

C. ?

3 4

D. ?1

12.已知函数 f ? x ? ? 2 ? A. ?0,1?

a ,其在区间 ?0,1? 上单调递增,则 a 的取值范围为( 2x
C. ? ?1,1? D. ? ? 1 , 1 ? ? ? 2 2? ?



B. ? ?1,0?

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 已 知 函 数 y ? f? ? x 的 图 象 在 点 M 2 ,f

?

? ?2 ?

处 的 切 线 方 程 是 y ? x?4 , 则

f ? 2? ? f ? ? 2? ?


tan ?

1 1 tan ? 14.已知 sin(? ? ? ) ? ,sin(? ? ? ) ? ,那么 log5 的值是 2 3



15.为促进抚州市精神文明建设,评选省级文明城市,现省检查组决定在未来连续 5 天中随机选取 2

天对抚州的各项文明建设进行暗访,则这两天恰好为连续两天的概率
? ?


?

16.已知 ?ABC 中, AB ? 7, AC ? 8, BC ? 9 , P 点在平面 ABC 内,且 PA? PC ? 7 ? 0 ,则 PB 的 最大值为 . 三、解答题(本大题共 8 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分)在公比为 2 的等比数列 ?an ? 中,a 2 与 a5 的等 差中项是 9 3 . (Ⅰ)求 a1 的值; (Ⅱ)若函数 y ? a1 sin ?

?? ? x ? ? ? , ? ? ? 的一部 ?4 ?

分图像如图所示, M ?1, a1 , N 3, ? a1 为图像上的两点,设

?

?

?

?

?MPN ? ? ,其中 P 与坐标原点 O 重合, 0 ? ? ? ? ,求 tan ?? ? ? ? 的值.
18.(本小题满分 12 分)2015 年 9 月 3 日,抗战胜利 70 周年纪念活动在北京隆重举行,受到全国 人民的瞩目。纪念活动包括举行纪念大会、阅兵式、招待会和文艺晚会等,据统计,抗战老兵由于 身体原因,参加纪念大会、阅兵式、招待会这三个环节(可参加多个,也可都不参加)的情况及其 概率如下表所示: 参加纪念活动的环节数 概率 0 1 2 3

1 3 (Ⅰ)若 m ? 2 n ,则从这 60 名抗战老兵中按照参加纪念活动的环节数分层抽取 6 人进行座谈,求 参加纪念活动环节数为 2 的抗战老兵中抽取的人数; (Ⅱ)某医疗部门决定从(1)中抽取的 6 名抗战老兵中随机抽取 2 名进行体检,求这 2 名抗战老兵中 至少有 1 人参加纪念活动的环节数为 3 的概率.

1 6

m

n

19. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 如 图 , 四 棱 柱 A B CD? A1 B1C1 D1 的 底 面

ABCD是 平 行 四 边 形 , 且

AB ? 1 , BC ? 2 , ?ABC ? 600 , E 为 BC 的 中 点 , AA1 ? 平 面
. A B CD (Ⅰ)证明:平面 A1 AE ? 平面 A1 DE ; (Ⅱ)若 DE ? A1 E ,试求异面直线 AE 与 A1 D 所成角的余弦值. 20.(本小题满分 12 分)已知椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? ,其右焦 a 2 b2

点 F ?1,0 ? ,离心率为

2 . 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程;

(Ⅱ) 已知直线 x ? y ? m ? 0 与椭圆 C 交于不同的两点 A, B , 且线段 AB 的中点不在圆 x ? y ?
2 2

5 9

内,求 m 的取值范围. 21.(本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ?

ln x ? k (其中 k ? R , e 是自然对数的底数) , f ?? x? 为 ex

f ? x ? 导函数.
(Ⅰ)当 k ? 2 时,求曲线 y ? f ? x ? 在点 1, f ?1? 处的切线方程; (Ⅱ)若 f ? ?1? ? 0 ,试证明:对任意 x ? 0 , f ? ? x ? ?

?

?

e?2 ? 1 恒成立. x2 ? x

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时用 2B 铅 笔在答题卡上把所选题目对应题号上方的方框涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, AB 是圆 O 的直径, AC 是弦,?BAC 的平分线 AD 交圆 O 于点 D , DE ? AC ,交 AC 的 延长线于点 E , OE 交 AD 于点 F 。 (Ⅰ)求证: DE 是圆 O 的切线; (Ⅱ)若

AF AC 2 的值. ? ,求 DF AB 5
A

E

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:极坐标与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程是 ? =1,以极点为原点,极轴为 x 轴的正

C
F

D
B

t ? x ? 1 ? , ? 2 ? (t 为 半轴建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程为 ? 3 ?y ? 2 ? t ? ? 2
参数) . (Ⅰ)写出直线 l 与曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ) 设曲线 C 经过伸缩变换 ?

O

? x ? ? 2 x, 得到曲线 C ? , 设曲线 C ? 上任一点为 M ( x, y ) , 求 x ? 2 3y ? y? ? y

的最小值. 24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? x ? 3 ? x ? 2 . (Ⅰ)若不等式 f ? x ? ? m ?1 有解,求实数 m 的最小值 M ; (Ⅱ)在(1)的条件下,若正数 a , b 满足 3a ? b ? ? M ,证明:

3 1 ? ? 3. b a

江西省师大附中 临川一中 2015-2016 学年 高三上学期期末联考
数学(文)答案
1—6DDACAC 13.7 14.1 7—12DCACBC 15.

2 5

16.10 ----------3 分

17.试题解析: (Ⅰ) 解:由题可知 a2 ? a5 ? 18 3 ,又 a5 ? 8a2 , 故 a2 ? 2 3 ∴ a1 ? 3 ----------5 分

(Ⅱ)∵点 M ?1, a1 在函数 y ? a1 sin ?

?

?

?? ? x ? ? ? 的图像上, ?4 ?
-------------7 分

∴ sin ? ?

3 ? ? ? ? ? ? ? 1 ,又∵ ? ? ? ,∴ ? ? ? 4 ? 4 ?

如图,连接 MN ,在 ?MPN 中,由余弦定理得

PM ? PN ? MN cos ? ? 2 PM PN
0? ? ??
∴ ? ?? ?? ∴ ??

2

2

2

?

4 ? 12 ? 28 3 ?? 2 8 3

又∵

5 ? 6

-------------9 分

?
12

∴ tan ?? ? ? ? ? ? tan

?? ? ? ? ? tan ? ? ? ? ?2 ? 3 -------------12 分 12 ?4 6?

?

18.试题解析: (Ⅰ)由题意可知: m ? n ?

1 1 1 1 ? ? 1,又 m ? 2n ,解得 m ? , n ? -3 分 6 3 3 6

故这 60 名抗战老兵中参加纪念活动的环节数为 0,1,2,3 的抗战老兵的人数分别为 10,20,10,20,其

6 ? 1 .-------6 分 60 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知抽取的这 6 名抗战老兵中 1 名参加了 0 个环节,记为 A ,2 名参加了 1 个环节,
中参加纪念活动的环节数为 2 的抗战老兵中应抽取的人数为 10 ? 记为 B, C ,1 名参加了 2 个环节,分别记为 D ,2 名参加了 3 个环节,分别记为 E , F ,从这 6 名抗战老兵中随机抽取 2 人,有 ? A, B ? , ? A, C ? , ? A, D ? , ? A, E ? , ? A, F ? , ? B, C ? , ? B, D ? ,

? B, E ? , ? B, F ? , ?C, D? , ?C, E ? , ?C, F ? , ? D, E ? , ? D, F ? , ? E, F ? 共

15 个基本事件,

-------9 分 记“这 2 名抗战老兵中至少有 1 人参加纪念活动的环节数为 3”为事件 M ,则事件 M 包含的基本

事件为 ? A, E ? , ? A, F ? , ? B, E ? , ? B, F ? , ? C, E ? , ? C, F ? , ? D, E ? , ? D, F ? , ? E, F ? ,共 9 个基本事件. 所以 P ? M ? ?

9 3 ? 15 5

-------12 分

19.试题解析: (Ⅰ)依题意 BE ? EC ?

1 BC ? AB ? CD, ∴ ?ABE 是正三角形, ?AEB ? 60? , 2

? ?CED ? ?CDE ?

1 ?180? ? ?ECD ? ? 30?, -------------3 分 2 ??AED ? 180? ? ?CED ? ?AEB ? 90?? DE ? AE
∵ AA1 ⊥平面 ABCD , DE ? 平面 ABCD ,? DE ? AA1,

? AA1 ? AE ? A, ?DE ? 平面 A1AE,
? DE ? 平面 A1DE ,∴平面 A1AE ? 平面 A1DE .

-------------5 分 -------------6 分

(Ⅱ)取 BB1 的中点 F ,连接 EF 、 AF ,连接 B1C,

? ?BB1C 中, EF 是中位线,? EF ? B1C ,

? A1B1 ? AB ? CD,A1B1 ? AB ? CD,
∴四边形 ABCD 是平行四边形,可得 B1C ? A1D ? EF ? A1D, 可得 ?AEF (或其补角)是异面直线 AE 与 A1D 所成的角. -------------8 分

? DE ? 3CD ? 3 ? A1E ? A1A 2 ? AE 2,AE ? AB ? 1, ? A 1 A ? 2,-------------10 分

? BF ? 22,AF ? EF ?

1 6 AE 2 ? EF2 ? AF2 6 ?1 ? , , ? cos?AEF ? ? 2 ? AE ? EF 6 2 2
6 6 .
-------------12 分

即异面直线 AE 与 A1D 所成角的余弦值为

20.试题解析: (Ⅰ)由题可知 e ?

c 2 ? ? a ? 2c ,又 c ? 1 ,故 a ? 2, b ? 1 ------3 分 a 2
----------4 分

所以椭圆的标准方程为

x2 ? y2 ? 1 2

? x2 ? y2 ? 1 ? 2 2 (Ⅱ)联立方程 ? 2 消去 y 整理得: 3x ? 4mx ? 2m ? 2 ? 0 ?x ? y ? m ? 0 ?

2 2 2 则 ? ? 16m ? 12 2m ? 2 ? 8 ? m ? 3 ? 0 ,解得 ? 3 ? m ? 3 ,----------6 分

?

? ?

?

设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则 x1 ? x2 ? ? 即 AB 的中点为 ? ?

4m 4m 2m ? 2m ? , y1 ? y2 ? x1 ? x2 ? 2m ? ? 3 3 3
----------9 分

? 2m m ? , ? ? 3 3?
2 2

又 AB 的中点不在圆 x ? y ?

5 4m2 m 2 5m 2 5 ? ? ? ,解得 m ? ?1 或 m ? 1 内,所以 9 9 9 9 9
----------12 分

综上可知, ? 3 ? m ? ?1 或 1 ? m ? 3 21.试题解析: (Ⅰ) 由 f ? x? ?

ln x ? 2 1 ? 2 x ? x ln x 得 f ?? x? ? ,x ? ? 0, ??? , 所以曲线 y ? f ? x ? x e xe x 1 2 ? f ?1? ? , e, e
----------3 分

在点 1, f ?1? 处的切线斜率为 f ? ?1? ? ?

?

?

?曲线 y ? f ? x ? 切线方程为 y ? ? ? ? x ? 1? ,即 x ? ey ? 3 ? 0 .

2 e

1 e

----------5 分

2 (Ⅱ)由 f ? ?1? ? 0 ,得 k ? 1 ,令 g ? x? ? x ? x f? ? x ? ,所以 g ? x ? ?

?

?

x ?1 ?1 ? x ? x ln x ? , ex

x ? ? 0, ??? ,因此,对任意 x ? 0 , g ? x ? ? e?2 ? 1等价于1 ? x ? x ln x ?

ex e?2 ? 1? , ? x ?1
----------8 分

由 h ? x ? ? 1 ? x ? x ln x , x ? ? 0, ?? ,得 h? ? x ? ? ? ln x ? 2 , x ? ? 0, ??? ,

?2 ?2 因此,当 x ? 0, e 时, h? ? x ? ? 0 , h ? x ? 单调递增; x ? e , ?? 时, h? ? x ? ? 0 , h ? x ? 单调

?

?

?

?

递减,
?2 ? e ?2 ? 1 ,故 1 ? x ? x ln x ? e?2 ? 1 , 所以 h ? x ? 的最大值为 h e

? ?

----------10 分

设 ? ? x ? ? e ? ? x ? 1? ,? ?? ? x ? ? e ? 1 ,所以 x ? ? 0, ??? 时, ?? ? x ? ? 0 , ? ? x ? 单调递增,
x x

? ? x ? ? ? ? 0? ? 0 ,故 x ? ? 0, ??? 时, ? ? x ? ? ex ? ? x ? 1? ? 0 ,即
所以 1 ? x ? x ln x ? e
?2

ex ? 1, x ?1

?1?

ex ? e?2 ? 1? . x ?1
e?2 ? 1 恒成立. x2 ? x
----------12 分

因此,对任意 x ? 0 , f ? ? x ? ?

22.试题解析: (Ⅰ)连接 OD ,可得 ?ODA ? ?OAD ? ?DAC ,∴ OD ? AE ----------3 分 又 AE ? DE ,∴ OD ? DE ,又 OD 为半径,∴ DE 是圆 O 的切线----------5 分

(Ⅱ)过 D 作 AB ? DH 于点 H ,连接 BC ,则有 ?HOD ? ?CAB ,

cos ?HOD ?

OH AC 2 ? cos ?CAB ? ? OD AB 5

----------7 分 ----------8 分

设 OD ? 5 x ,则 AB ? 10 x, OH ? 2 x ,∴ AH ? 7 x

由 ?AED ? ?AHD 可得 AE ? AH ? 7 x ,又由 ?AEF ? ?DOF , 可得

AF AE 7 ? ? DF DO 5

----------10 分 ----------2 分

23.试题解析: (Ⅰ) l : 3x ? y ? 2 ? 3 ? 0

C : x2 ? y2 ? 1

----------5 分

x? ? ? x? ? 2 x ? x ? x2 ? y2 ? 1 (Ⅱ)? ? ?? 2 代入 C 得 ? C ? : 4 ? y? ? y ? ? y ? y?
设椭圆的参数方程 ?

? x ? 2 cos? (? 为参数) ? y ? sin ?

----------7 分

则 x ? 2 3 y ? 2 cos ? ? 2 3 sin ? ? 4 sin(? ?

?
6

) 则 x ? 2 3 y 的最小值为-4 ----------10 分

24.试题解析: (Ⅰ)因为 x ? 3 ? x ? 2 ? ? x ? 3? ? ? x ? 2 ? ? 5 所以 m ?1 ? 5 ,解得 ?4 ? m ? 6 ,故 M ? ?4 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 3a ? b ? 4 所以 ----------5 分

3 1 1 b? ? 3 1 ? 1 ? 9a ? ? ? ? 3a ? b ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ? 3 ? ? b a 4 a? ?b a? 4 ? b
----------10 分

? 9a b 1 ? 9a b ? 即 3a ? b ? 2 时等号成立 ? ? 2 ? ? 6 ? 3 ,当且仅当 ? ? b a 4? b a ? ?


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