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答案版2014-2015学年高一数学期末测试卷(1)

时间:2015-11-12


2014-2015 学年第一学期高一数学期末考试
学校:
一、填空题(每小题 3 分,共 36 分) 1.函数写出命题“若 x ? 0且y ? 0 ,则 x ? y ? 0 ”的否命题
2 2

姓名:

否命题:“若 x ? 0或y ? 0 ,则 x ? y ? 0 ”
2 2

2.已知集合 A ? ?1, x? , B ? 1, x 2 3.若集合 M ? x x ? 2
2

?

?

? 且 A ? B ,则 x ?
1

0



? , N ? ?x y ? lg( x ? 1)? ,则 M
2

N?
. .

(1,2)

.

4.已知实数 a, b 满足 a ? b ? 2 ,则 ab 的最大值为 5.函数 f ( x) ? x ? lg
3

1? x 的奇偶性为 1? x

奇函数

?? ? 6.函数 f ? x ? ? ? ? ?4?

3? 2 x ? x 2

的单调递增区间是

(?1,1)

.

7.若函数 f (x)是定义在 R 上的偶函数,在 (??,0] 上是减函数,且 f(2)=0,则使得 f (x)<0 的 x 的取值范围是
2

(?2,2)

.

8. 已知关于 x 的方程 x ? 6 x ? 5 ? a 有四个不相等的实数根, 则 a 的取值范围是

(0,4) .

? 1 ? 3 9.函数 f ( x) ? ? x ? 3, x ? 0 ,若 f (a) ? 2 ,则实数 a 的取值范围是 x ? ?3 ? 1, x ? 0
(?1, 0? ? (0,??)
10.若函数 y ? .

x ?b 在 (a, b ? 4)(b ? ?2) 上的值域为 (2, ??) ,则 a ? b = ?6 . x?2 ?1, x ? A 11.定义全集 U 的子集 A 的特征函数为 f A ( x) ? ? ,这里 U A 表示 A 在全集 U 中 0, x ? A U ? 的补集, 那么对于集合 A、B ? U , 下列所有正确说法的序号是 (1) (2) (3) .
(1) A ? B ? f A ( x) ? f B ( x) (3) f A
B

(2) f

UA

( x) ? 1 ? f A ( x)
B

( x) ? f A ( x) ? f B ( x)

(4) f A

( x ) ? f A ( x) ? f B ( x)
y x1

12.对任意的 x1 ? 0 ? x2 ,若函数 f ( x) ? a x ? x1 ? b x ? x2 的大致图像为如图所示的一条折线(两侧的 射线均平行于 x 轴) ,试写出 a 、 b 应满足的 条件是
O

x2

x

a ? b ? 0, a ? b ? 0

.

第 12 题图

二、选择题(每小题 4 分,共 16 分) 13.条件甲: log3 x ? 2 是条件乙: log3 x ? 1 成立的(
2

B



A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件
?x

14 .若函 数 f ( x) ? (k ? 1)a ? a
x

(a ? 0, a ? 1) 在 R 上 既是 奇函 数,又 是减函 数, 则


g ( x) ? log a ( x ? k ) 的图像是( A

15.已知 x0 是函数 f ( x) ? 2 ?
x

A. f ? x1 ? ? 0, f ? x2 ? ? 0 C. f ? x1 ? ? 0, f ? x2 ? ? 0

1 的一个零点.若 x1 ? ?1, x0 ? , x2 ? ? x0 , ?? ? ,则 (B 1? x B. f ? x1 ? ? 0, f ? x2 ? ? 0
D. f ? x1 ? ? 0, f ? x2 ? ? 0

)

16.设 f ( x) 是定义在 R 上的函数. ①若存在 x1 , x2 ? R , x1 ? x 2 ,使 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,则函数 f ( x) 在 R 上单调递增; ②若存在 x1 , x2 ? R , x1 ? x 2 ,使 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,则函数 f ( x) 在 R 上不可能单调递减; ③若存在 x2 ? 0 对于任意 x1 ? R 都有 f ( x1 ) ? f ( x1 ? x2 ) 成立, 则函数 f ( x) 在 R 上递增; ④对任意 x1 , x2 ? R , x1 ? x 2 ,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,则函数 f ( x) 在 R 上单调递减. 则以上真命题的个数为( B A.0 B.1 C.2 三、解答题(10+12+12+14=48 分) ) D.3

17.设全集 U ? R ,集合 A ? { x | | x ? a | ? 1} , B ? {x | (1)求集合 B ;

x ?1 ? 2}. x?2 (2)若 A ? U B ,求实数 a 的取值范围.
UB

x ?1 ?2?0 x?2 x ?5 ? ?0 2分 x?2 B ? (??, 2) ? ?5, ??)

? ? 2,5 ?

2分 2分

| x ? a | ?1 ? A ? (a ? 1, a ? 1) A?
UB

2分 ?

?

a ?1? 2 a ?1?5

3? a ? 4

2分

18.已知不等式 x ? 3x ? m ? 0 的解集为 x 1 ? x ? n, n ? R ,函数 f ? x ? ? ? x ? ax ? 4 .
2

?

?

2

(1)求 m, n 的值;

(2)若 y ? f ? x ? 在 (??,1] 上递增,解关于 x 的不等式 log a ?nx 2 ? 3x ? 2 ? m ? 0 . 解:(1) 由条件得: ?
2

?

?

?1 ? n ? 3 ?m ? 2 , 所以 ? ?n ? 2 ?1? n ? m

4分

(2)因为 f ? x ? ? ? x ? ax ? 4 在 ? ??,1? 上递增, 所以

a ?1,a ? 2. 2

2分

log a ? ?nx 2 ? 3x ? 2 ? m ? ? log a ? ?2 x 2 ? 3x ? ? 0 .

所以 ?

? ?2 x ? 3x ? 0 2 ? ?2 x ? 3x ? 1 ? 0
2

2分 ,

3 ? 0 ? x ? ? ? 2 所以 ? . 1 ? x ? 1或x ? ? 2 ?

1 3 2分 或1 ? x ? . 2 2 k 19.设幂函数 f ( x) ? (a ? 1) x (a ? R, k ? Q) 的图像过点 ( 2, 2) . (1)求 a, k 的值;
所以 0 ? x ? (2)若函数 h( x) ? ? f ( x) ? 2b f ( x) ? 1 ? b 在 [0, 1] 上的最大值为 2,求实数 b 的值.

(1)a ? 1 ? 1? a ? 2
(2) f ( x) ? x
2

2分

( 2)k ? 2 ? k ? 2

2分

h( x) ? ? x 2 ? 2bx ? 1 ? b h ( x ) ? ?( x ? b ) 2 ? b 2 ? b ? 1 x ?[0,1]

1)b ? 1, hmax ? h(1) ? b ? 2
3)b ? 0, hmax ? h(0) ? 1 ? b ? 2 ? b ? ?1 2分

2分

2)0 ? b ? 1, hmax ? h(b) ? b ? b ? 1 ? 2
2

?b ?

1? 5 (舍) 2

2分

综上:?b ? 2或b ? ?1

2分

20.对于函数 f1 ( x), f 2 ( x), h( x) ,如果存在实数 a, b 使得 h( x) ? a ? f1 ( x) ? b ? f 2 ( x) ,那么 称 h( x) 为 f1 ( x), f 2 ( x) 的生成函数. (1)设 f1 ( x) ? log 2 x, f 2 ( x) ? log 1 x, a ? 2, b ?1 ,生成函数 h( x) .
2

若不等式 3h ( x) ? 2h( x) ? t ? 0 在 x ?[2, 4] 上有解,求实数 t 的取值范围;
2

1 ( x ? 0) ,取 a ? 0, b ? 0 ,生成函数 h( x) 图像的 x 最低点坐标为 (2, 8) . 若对于任意正实数 x1 , x2 且 x1 ? x2 ? 1 .试问是否存在最大的常数 m , 使 h( x1 )h( x2 ) ? m 恒成立?如果存在,求出这个 m 的值;如果不存在,请说明理由.
( 2)设 f1 ( x) ? x ( x ? 0),

f 2 ( x) ?

解: (1) h( x) ? 2 f1 ( x) ? f 2 ( x) ? 2log 2 x ? log 1 x ? log 2 x
2

若不等式 3h ( x) ? 2h( x) ? t ? 0 在 x ?[2, 4] 上有解,
2

3h2 ( x) ? 2h( x) ? t ? 0 ,
即 t ? ?3h ( x) ? 2h( x) ? ?3log 2 x ? 2log 2 x
2 2

设 s ? log 2 x ,则 s ?[1, 2] , y ? ?3log 2 x ? 2log 2 x ? ?3s ? 2s ,
2 2

ymax ? ?5 ,故, t ? ?5 .
(2)由题意,得 h( x) ? ax ?

b b ( x ? 0) ,则 h( x) ? ax ? ? 2 ab x x

b ? ?a ? 2 8 ? 2a ? ? 8 2 ,解得 ? ,所以 h( x) ? 2 x ? ( x ? 0) ? x ?b ? 8 ? 2 ab ? 8 ? 假设存在最大的常数 m ,使 h( x1 )h( x2 ) ? m 恒成立.
于是设 u ? h( x1 )h( x2 ) ? 4( x1 ? = 4 x1 x2 ?

4 4 64 x x )(x2 ? ) ? 4 x1 x2 ? ? 16( 1 ? 2 ) x1 x2 x1 x2 x2 x1

2 x 2 ? x2 ( x ? x )2 ? 2 x1 x2 64 64 80 ? 16 ? 1 ? 4 x1 x2 ? ? 16 ? 1 2 ? 4 x1 x2 ? ? 32 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2

x1 ? x2 2 1 1 ) ? ,即 t ? (0, ] 2 4 4 80 1 设 u ? 4t ? ? 32 在 t ? (0, ] 上单调递减, 4 t 1 u ? u ( ) ? 289 ,故存在最大的常数 m ? 289 4
令 t ? x1 x2 ,则 t ? x1 x2 ? (


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