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2017高考汇编——专题01 集合与函数

时间:2017-07-29


专题 01 集合与函数
1.【2017 课标 1,理 1】已知集合 A={x|x<1},B={x| 3x ? 1 },则 A. A ? B ? {x | x ? 0} C. A ? B ? {x | x ? 1} 【答案】A 【解析】
[来源:学优高考网 gkstk]

B. A ? B ? R D. A ? B ? ?

试题分析:由 3x ? 1 可得 3x ? 30 ,则 x ? 0 ,即 B ? {x | x ? 0} ,所以

A ? B ? {x | x ? 1} ? {x | x ? 0} ? {x | x ? 0} , A ? B ? {x | x ? 1} ? {x | x ? 0} ? {x | x ? 1} ,故选 A.
【考点】集合的运算,指数运算性质. 【名师点睛】集合的交、并、补运算问题,应先把集合化简再计算,常常借助数轴或韦恩图进行处理. 2.【2017 课标 II,理】设集合 ? ? ?1, 2, 4? , ? ? x x ? 4 x ? m ? 0 。若 ? ? ? ? ?1 ? ,则 ? ? (
2

?

?



A. ?1, ?3? 【答案】C 【解析】

B. ?1,0?

C. ?1,3?

D. ?1,5?

【考点】 交集运算,元素与集合的关系 【名师点睛】集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大,特别是含有字母的集合,在求出字母的 值后,要注意检验集合中的元素是否满足互异性。两个防范:一是不要忽视元素的互异性;二是保证运算 的准确性。

) x ? y ? 1 ,B= ( x, y│ ) y ? x ,则 A ? B 中元素的个数为 3.【2017 课标 3,理 1】已知集合 A= ( x , y│
2 2

?

?

?

?

A.3 【答案】B 【解析】

B.2

C.1

D.0

试题分析:集合中的元素为点集,由题意,结合 A 表示以 ? 0, 0 ? 为圆心,1 为半径的单位圆上所有点组成
2 2 的集合,集合 B 表示直线 y ? x 上所有的点组成的集合,圆 x ? y ? 1 与直线 y ? x 相交于两点 ?1,1? ,

? ?1, ?1?

,则 A ? B 中有两个元素.故选 B.

【考点】 交集运算;集合中的表示方法. 【名师点睛】求集合的基本运算时,要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合,这是正 确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大,特别是含有字母的集 合,在求出字母的值后,要注意检验集合中的元素是否满足互异性. 4.【2017 北京,理 1】若集合 A={x|–2<x<1},B={x|x<–1 或 x>3},则 A ? B= (A){x|–2<x<–1} (C){x|–1<x<1} 【答案】A 【解析】 试题分析:利用数轴可知 A ? B ? x ?2 ? x ? ?1 ,故选 A. 【考点】集合的运算
[来源:gkstk.Com]

(B){x|–2<x<3} (D){x|1<x<3}

?

?

【名师点睛】集合分为有限集合和无限集合,若集合个数比较少时可以用列举法表示,若集合是无限集 合就用描述法表示,注意代表元素是什么,集合的交、并、补运算问题,应先把集合化简再计算,常常 借助数轴或韦恩图进行处理. 学优高考网 5.【2017 浙江,1】已知 P ? {x | ?1 ? x ? 1} , Q ? {0 ? x ? 2} ,则 P ? Q ? A. (?1,2) 【答案】A B. (0,1) C. (?1,0) D. (1,2)

【考点】集合运算 【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题,应先把集合化简再计算,常常借助数轴或韦恩图处理. 6.【2017 天津,理 1】设集合 A ? {1, 2,6}, B ? {2, 4}, C ? {x ? R | ?1 ? x ? 5} ,则 ( A ? B) ? C ? (A) {2} 【答案】 B (B) {1, 2, 4} (C) {1, 2, 4,6} (D) {x ? R | ?1 ? x ? 5}

, 2, 4, 6} ? [?1, 5] ? {1, 2, 4} ,选 B. 【解析】 ( A ? B) ? C ? {1
【考点】 集合的运算 【名师点睛】集合的交、并、补运算问题,应先把集合化简再计算,常常借助数轴或韦恩图进行处理. 7. 【2017 课标 1, 理 5】 函数 f ( x) 在 (??, ??) 单调递减, 且为奇函数. 若 f (1) ? ?1 , 则满足 ?1 ? f ( x ? 2) ? 1

的 x 的取值范围是 A. [?2, 2] 【答案】D 【解析】 B. [?1,1] C. [0, 4] D. [1,3]

【考点】函数的奇偶性、单调性 【名师点睛】奇偶性与单调性的综合问题,要重视利用奇、偶函数与单调性解决不等式和比较大小问题, 若 f ( x ) 在 R 上为单调递增的奇函数,且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,则 x1 ? x2 ? 0 ,反之亦成立. 8.【2017 课标 1,理 11】设 x、y、z 为正数,且 2 x ? 3 y ? 5z ,则 A.2x<3y<5z 【答案】D 【解析】试题分析:令 2x ? 3y ? 5z ? k (k ? 1) ,则 x ? log2 k , y ? log3 k , z ? log5 k ∴ B.5z<2x<3y C.3y<5z<2x D.3y<2x<5z

2 x 2lg k lg 3 lg 9 ? ? ? ? 1 ,则 2 x ? 3 y , 3y lg 2 3lg k lg8

2 x 2lg k lg 5 lg 25 ? ? ? ? 1 ,则 2 x ? 5 z ,故选 D. 5z lg 2 5lg k lg 32
【考点】指、对数运算性质 【名师点睛】对于连等问题,常规的方法是令该连等为同一个常数,在用这个常数表示出对应的 x, y , z ,通 过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则,尤其是换底公式和 0 与 1 的对数 表示. 9.【2017 天津,理 4】设 ? ? R ,则“ | ? ?

π π 1 |? ”是“ sin ? ? ”的 12 12 2

(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件 【答案】 A 【解析】 | ? ?

π π π 1 1 π π |? ? 0 ?? ? ? sin ? ? ,但 ? ? 0,sin ? ? ,不满足 | ? ? |? ,所以是 12 12 6 2 2 12 12

充分不必要条件,选 A. 【考点】 充要条件

【名师点睛】本题考查充要条件的判断,若 p ? q ,则 p 是 q 的充分条件,若 q ? p ,则 p 是 q 的必要条 件,若 p ? q ,则 p 是 q 的充要条件;从集合的角度看,若 A ? B ,则 A 是 B 的充分条件,若 B ? A , 则 A 是 B 的必要条件,若 A ? B ,则 A 是 B 的充要条件,若 A 是 B 的真子集,则 A 是 B 的充分不必要条 件,若 B 是 A 的真子集,则 A 是 B 的必要不充分条件. 学优高考网
x x 10.【2017 北京,理 5】已知函数 f ( x ) ? 3 ? ( ) ,则 f ( x )

1 3

(A)是奇函数,且在 R 上是增函数 (C)是奇函数,且在 R 上是减函数 【答案】A

(B)是偶函数,且在 R 上是增函数 (D)是偶函数,且在 R 上是减函数

【考点】函数的性质 【名师点睛】本题属于基础题型,根据奇偶性的定义 f ? ? x ? 与 f ? x ? 的关系就可以判断函数的奇偶性, 判断函数单调性的方法,1.平时学习过的基本初等函数的单调性;2.函数图象判断函数的单调性;3.函数 的四则运算判断,增函数+增函数=增函数,增函数-减函数=增函数,判断函数的单调性;4.导数判断函 数的单调性. 11.【2017 山东,理 1】设函数 y= 4-x2 的定义域 A ,函数 y=ln(1-x) 的定义域为 B ,则 A ? B= (A) (1,2) 【答案】D
2 【解析】试题分析:由 4 ? x ? 0 得 ?2 ? x ? 2 ,由 1 ? x ? 0 得 x ? 1 ,故

(B)(1,2? ?

(C) (-2,1)

(D)[-2,1)

A ? B={x | ?2 ? x ? 2} ?{x | x ? 1} ? {x | ?2 ? x ? 1} ,选 D.
【考点】 1.集合的运算 2.函数的定义域 3.简单不等式的解法. 【名师点睛】集合的交、并、补运算问题,应先把集合化简再计算,常常借助数轴或韦恩图进行处理. 12.【2017 山东,理 3】已知命题 p: ?x>0,ln ? x ? 1? >0 ;命题 q:若 a>b,则 a2>b2 ,下列命题为真命题 的是 (A) p ? q (B) p ? ?q (C)
?

p ?q

(D) ? p ? ?q

【答案】B

【考点】1.简易逻辑联结词.2.全称命题. 【名师点睛】解答简易逻辑联结词相关问题,关键是要首先明确各命题的真假,利用或、且、非真值表, 进一步作出判断. 13.【2017 山东,理 10】已知当 x ??0,1? 时,函数 y ? ? mx ? 1? 的图象与 y ?
2

x ? m 的图象有且只有一个

交点,则正实数 m 的取值范围是 (A) ? 0,1? ? ? 2 3, ??

?

?
?

(B) ? 0,1? ? ?3, ??? (D) 0, 2 ? ? ?3, ?? ?

(C) 0, 2 ? ? ? 2 3, ??

?

?

?

?

?

【答案】B 【解析】试题分析:当 0 ? m ? 1 时,

1 ? 1 , y ? (mx ? 1)2 单调递减,且 y ? (mx ?1)2 ?[(m ?1)2 ,1] , m 1 y ? x ? m 单调递增,且 y ? x ? m ?[m,1 ? m] ,此时有且仅有一个交点;当 m ? 1 时, 0 ? ? 1 , m 1 y ? (mx ? 1)2 在 [ ,1] 上单调递增,所以要有且仅有一个交点,需 (m ?1)2 ? 1 ? m ? m ? 3 选 B. m

【考点】函数的图象、函数与方程及函数性质的综合应用. 【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围; (2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决; (3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解. 14.【2017 天津,理 6】已知奇函数 f ( x) 在 R 上是增函数, g ( x) ? xf ( x) .若 a ? g (? log 2 5.1) , b ? g (20.8 ) ,
c ? g (3) ,则 a,b,c 的大小关系为

(A) a ? b ? c 【答案】 C

(B) c ? b ? a

(C) b ? a ? c

(D) b ? c ? a

【解析】因为 f ( x ) 是奇函数且在 R 上是增函数,所以在 x ? 0 时, f ( x) ? 0 , 从而 g ( x) ? xf ( x) 是 R 上的偶函数,且在 [0, ??) 上是增函数,

a ? g (? log2 5.1) ? g (log2 5.1) ,

20.8 ? 2 ,又 4 ? 5.1 ? 8 ,则 2 ? log2 5.1 ? 3 ,所以即 0 ? 20.8 ? log2 5.1 ? 3 ,

g (20.8 ) ? g (log2 5.1) ? g (3) ,
所以 b ? a ? c ,故选 C. 【考点】 指数、对数、函数的单调性 【名师点睛】比较大小是高考常见题,指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数,借助指数 函数和对数函数的图象,利用函数的单调性进行比较大小,特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结 合不仅能比较大小,还可以解不等式. 学优高考网
? x ? 1,x ? 0, 1 15. 【2017 课标 3, 理 15】 设函数 f ( x) ? ? x 则满足 f ( x) ? f ( x ? ) ? 1 的 x 的取值范围是_________. 2 ?2 ,x ? 0,

【答案】 ? ?

? 1 ? , ?? ? ? 4 ?

3 ? 2x ? , x ? 0 ? 2 ? 1? ? x 1 1 ? 写成分段函数的形式: g ? x ? ? f ? x ? ? f ? x ? ? ? ?2 ? x ? , 0 ? x ? , 2? ? 2 2 ? 1 ? x ?1 ? 2 ?1 2 , x ? 2 ?

?

?

函数 g ? x ? 在区间 ? ??, 0? , ? 0, ? , ? , ?? ? 三段区间内均单调递增, 2 2 且: g ? ? ? ? 1, 20 ? 0 ?

? ?

1? ? 1 ? ?

? ?

? 1? ? 4?

1 ? 1, 2

?

2 ? 1 ? 20?1 ? 1 ,

?

据此 x 的取值范围是: ? ?

? 1 ? , ?? ? . ? 4 ?

【考点】 分段函数;分类讨论的思想 【名师点睛】(1)求分段函数的函数值,要先确定要求值的自变量属于哪一段区间,然后代入该段的解析式 求值,当出现 f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值. (2)当给出函数值求自变量的值时,先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上,然后求出相应自变量的 值,切记要代入检验,看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围. 16.【2017 北京,理 13】能够说明“设 a,b,c 是任意实数.若 a>b>c,则 a+b>c”是假命题的一组整数 a, b,c 的值依次为______________________________. 【答案】-1,-2,-3(答案不唯一)

【考点】不等式的性质 【名师点睛】对于判断不等式恒成立问题,一般采用举反例排除法.解答本题时利用赋值的方式举反 例进行验证,答案不唯一. 17.【2017 山东,理 15】若函数 e x f ? x ? ( e ? 2.71828? 是自然对数的底数)在 f ? x ? 的定义域上单调递增, 则称函数 f ? x ? 具有 M 性质.下列函数中所有具有 M 性质的函数的序号为 ① f ? x ? ? 2? x 【答案】①④ ② f ? x ? ? 3? x ③ f ? x ? ? x3 ④ f ? x ? ? x2 ? 2 .

?e? ?x 【解析】试题分析:① e f ? x ? ? e ? 2 ? ? ? 在 R 上单调递增,故 f ? x ? ? 2 具有 ? 性质; ?2?
x x ?x

x

?e? ?x ② e f ? x ? ? e ? 3 ? ? ? 在 R 上单调递减,故 f ? x ? ? 3 不具有 ? 性质; 3 ? ?
x x ?x

x

③ e f ? x ? ? e ? x ,令 g ? x ? ? e ? x ,则 g? ? x ? ? e ? x ? e ? 3x ? x e
x x 3 x 3 x 3 x 2

2 x

? x ? 2? ,?当 x ? ?2 时,

g? ? x ? ? 0 ,当 x ? ?2 时, g? ? x ? ? 0 ,? ex f ? x ? ? ex ? x3 在 ? ??, ?2? 上单调递减,在 ? ?2, ?? ? 上单调递
增,故 f ? x ? ? x 不具有 ? 性质;
3
x x 2 x 2 ④ e f ? x ? ? e x ? 2 ,令 g ? x ? ? e x ? 2 ,则 g ? ? x ? ? e

?

?

?

?

x

?x

2

2 ? 2? ? e x ? 2 x ? e x ?? x ? 1? ? 1? ? 0 , ? ?

? e x f ? x ? ? e x ? x 2 ? 2 ? 在 R 上单调递增,故 f ? x ? ? x2 ? 2 具有 ? 性质.
【考点】1.新定义问题.2.利用导数研究函数的单调性. 【名师点睛】 1.本题考查新定义问题, 属于创新题, 符合新高考的走向. 它考查学生的阅读理解能力, 接受新思维的能力, 考查学生分析问题与解决问题的能力,新定义的概念实质上只是一个载体,解决新问题时,只要通过这个 载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可. 2.求可导函数单调区间的一般步骤 (1)确定函数 f(x)的定义域(定义域优先); (2)求导函数 f′(x); (3)在函数 f(x)的定义域内求不等式 f′(x)>0 或 f′(x)<0 的解集. (4)由 f′(x)>0(f′(x)<0)的解集确定函数 f(x)的单调增(减)区间.若遇不等式中带有参数时,可分类讨论求得单 调区间. 3.由函数 f(x)在(a,b)上的单调性,求参数范围问题,可转化为 f′(x)≥0(或 f′(x)≤0)恒成立问题,要注意“=”是 否可以取到.学优高考网 18.【2017 北京,理 14】三名工人加工同一种零件,他们在一天中的工作情况如图所示,其中点 Ai 的横、 纵坐标分别为第 i 名工人上午的工作时间和加工的学优高考网零件数,点 Bi 的横、纵坐标分别为第 i 名工人下午的工作时间和加工的零件数,i=1,2,3. ①记 Q1 为第 i 名工人在这一天中加工的零件总数,则 Q1,Q2,Q3 中最大的是_________. ②记 pi 为第 i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数,则 p1,p2,p3 中最大的是_________.

【答案】 Q1 【解析】



p2 .

[来源:gkstk.Com]

【考点】1.图象的应用;2.实际应用. 【名师点睛】考查了根据实际问题分析和解决问题的能力,以及转化与化归的能力,因为第 i 名工人加工总 的零件数是 Ai ? Bi ,比较总的零件数的大小,即可转化为比较

Ai ? Bi A ? Bi 的大小,而 i 表示 Ai Bi 中点连 2 2

线的纵坐标,而第二问也可转化为 Ai Bi 中点与原点连线的斜率. 学优高考网 19.【2017 北京,理 8】根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限 M 约为 3 ,而可观测宇宙中普通物质
80 的原子总数 N 约为 10 .则下列各数中与 361

M N

最接近的是

(参考数据:lg3≈0.48) (A)10 (C)10
33 53 (B)10

73

(D)10

93

[来源:学 优高考 网 gkstk]

【答案】D 【解析】

M 3361 3361 试题分析: 设 两边取对数,lg x ? lg 80 ? lg 3361 ? lg1080 ? 361? lg 3 ? 80 ? 93.28 , ? x ? 80 , N 10 10
所以 x ? 1093.28 ,即 【考点】对数运算 【名师点睛】本题考查了转化与化归能力,本题以实际问题的形式给出,但本质就是对数的运算关系, 以及指数与对数运算的关系,难点是 x?

M 最接近 1093 ,故选 D. N

3361 时,两边取对数,对数运算公式包含 1080
M n , loga M ? n loga M . N

loga M ? loga N ? loga MN , log a M ? log a N ? log a
20.【2017 浙江,17】已知 α ? R,函数 f ( x) ?| x ? 围是___________. 【答案】 (??, ] 【解析】

4 ? a | ? a 在区间[1,4]上的最大值是 5,则 a 的取值范 x

9 2

【考点】基本不等式、函数最值 【名师点睛】本题利用基本不等式,由 x ? ?1, 4? , x ?

4 ? ? 4,5? ,通过对解析式中绝对值号的处理,进行有 x

效的分类讨论:①当 a ? 5 ;② a ? 4 ;③ 4 ? a ? 5 ,问题的难点最要在于对分界点的确认及讨论上,属难 题.解题时,应仔细对各个情况进行逐一讨论. 21.【2017 江苏,1】已知集合 A ? {1, 2} , B ? {a, a2 ? 3} ,若 A ? B ? {1} 则实数 a 的值为 【答案】1
2 2 【解析】由题意 1 ? B ,显然 a ? 3 ? 3 ,所以 a ? 1 ,此时 a ? 3 ? 4 ,满足题意,故答案为 1.



.

【考点】元素的互异性 【名师点睛】(1)认清元素的属性,解决集合问题时,认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和 化简集合是正确求解的两个先决条件. (2)注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时,要注意检验集合中元素的互异性,否则很可能会因为 不满足“互异性”而导致解题错误. (3)防范空集.在解决有关 A ? B ? ?, A ? B 等集合问题时, 往往忽略空集的情况, 一定先考虑 ? 是否成立, 以防漏解. 22.【2017 江苏,11】已知函数 f ( x) ? x3 ? 2 x ? e x ? 则实数 a 的取值范围是 ▲ .
1 , 其中 e 是自然对数的底数. 若 f (a ? 1) ? f (2a2 ) ≤ 0 , ex

【答案】 [ ?1, ]

1 2

【考点】利用函数性质解不等式 【名师点睛】解函数不等式:首先根据函数的性质把不等式转化为 f ( g ( x)) ? f (h( x)) 的形式,然后根据函 数的单调性去掉“ f ”,转化为具体的不等式(组),此时要注意 g ( x) 与 h( x) 的取值应在外层函数的定义 域内学优高考网
2 ? ? x , x ? D, 23.【2017 江苏,14】设 f ( x) 是定义在 R 且周期为 1 的函数,在区间 [0,1) 上, f ( x) ? ? 其中集合 ? ? x, x ? D,

n ?1 ? ? D ? ?x x ? , n ? N*? ,则方程 f ( x) ? lg x ? 0 的解的个数是 n ? ?



.

【答案】8 【解析】由于 f ( x) ? [0,1) ,则需考虑 1 ? x ? 10 的情况 在此范围内, x ? Q 且 x ? Z 时,设 x ?

q , p, q ? N* , p ? 2 ,且 p, q 互质 p
n , m, n ? N* , m ? 2 ,且 m, n 互质 m

若 lg x ? Q ,则由 lg x ? (0,1) ,可设 lg x ? 因此 10 m ?
n

q q m n ,则 10 ? ( ) ,此时左边为整数,右边非整数,矛盾,因此 lg x ? Q p p

因此 lg x 不可能与每个周期内 x ? D 对应的部分相等, 只需考虑 lg x 与每个周期 x ? D 的部分的交点,

【考点】函数与方程 【名师点睛】 对于方程解的个数(或函数零点个数)问题, 可利用函数的值域或最值, 结合函数的单调性、 草图确定其中参数范围.从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值;从图象的对称性,分析函 数的奇偶性;从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性等.


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