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三角函数一对一个性化辅导示例

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第五次课 1、三角函数基本定义的回顾; 2、和差倍半公式检测; 3、和差化积、积化和差、辅助角公式的推导; 4、强化练习; 5、课后作业:2013 年高考三角函数题目练习; 一、学情分析:根据第四次课的检测,学生在如下几个方面的基础仍然有待巩固加强: 三角函数定义、诱导公式、常用三角函数值、三角函数线; 检测练习一: (巩固基础) 1、三角函数定义: (1)在平面直角坐标系内讨论角,通常以 x 轴的 为始边; (2)定义三角函数时,在角α 的终边上任取一点 P(除 外)的坐标是(x,y) ; (3)令│OP│=r,则 r= ; (4)sinα = , cosα = , tanα = ; (5)由于 r 是正数,故 sinα 的正负由 决定,cosα 的正负由 决定,tanα 的 正负由 决定; 2、诱导公式: sin(π -α )= cos(π -α )= tan(π -α )= π sin( +α )= 2 sin(π +α )= sin (-α ) = π sin( -α )= 2 π cos( +α )= 2 cos(π +α )= cos(-α ) = π cos( -α )= 2 π tan( +α )= 2 tan(π +α )= tan(-α )= π tan( -α )= 2

3、诱导公式中的规律总结: (1)互补的两个角, 相等,其余两个三角函数值相反,故在△ABC 中,sin(A+B) 与 sinC , cos(A+B)与 cosC ; (2)互余的两个角,它们的三角函数值 ; π (3)如果把α 看作锐角,则( +α )在第 2 π 象限,故( +α )的诱导公式中, 2 三角形; π (3)tan = 6 π (6) tan = 4 π (9) tan = 3 π (12) tan = 2 (15)tan 0=

为正, 为负; (4)在△ABC 中,已知 sinA=cosB, ,则△ABC 是 4、常用三角函数值: π (1)sin = 6 (4) sin π = 4 (2)cos π = 6

π (5) cos = 4 π (8) cos = 3 π (11) cos = 2 (14) cos 0=

π (7)sin = 3 (10) sin π = 2

(13) sin 0=

规律总结: (1)终边在 x 轴非负半轴上的角,余弦值等于____ ,正弦值等于____ ;终边在
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x 轴非正半轴上的角,余弦值等于____ ,正弦值等于____ ; (2)终边在 x 轴上的角,正弦值等于____,余弦值等于____ ;终边在 y 轴上的角正弦值等 于____,余弦值等于; (3)终边在 y 轴上的角正切值_________ ,终边在 x 轴上的角正切值等于_______ 。 5、根据三角函数线分析三角函数的定义域和值域; 6、反复练习三角函数图像的画法; 检测练习二: (例题讲解) 例 1 求证: 1 (1)sinα cosβ = [sin(α +β )+sin(α -β )]; 2 θ +φ θ -φ (2)cosθ +cosφ=2cos cos ; 2 2 例 2 求函数 y=sinx+ 3cosx 的周期、最大值和最小值. π ※ 例 3 如图,已知 OPQ 是半径为 1,圆心角为 的 3 扇形,C 是扇形弧上的动点,ABCD 是扇形的内接矩形, 记∠COP=α ,求当角α 取何值时,矩形 ABCD 的面积 最大?并求出这个最大面积. 例 4 求下列函数的最小正周期、递增区间及最大值. (1)y=sin2x·cos2x; x (2)y=2cos2 +1; 2 (3)y= 3cos4x+sin4x;

π π 当堂检测:求函数 f(x)=sin( +4x)+cos(4x- )的最小正周期和递减区间 3 6 检测练习三: (强化练习) 1、化简: sin(α +β )-2sinα cosβ (1) ; 2sinα sinβ +cos(α +β ) (2) (sinα +cosα )2 ; (3)cos4θ -sin4θ ; (4)sinx cosx cos2x ; 1 1 (5) ; 1-tanθ 1+tanθ 2、在△ABC 中,已知 tanA,tanB 是关于 x 的方程 x2+p(x+1)+1=0 的两个根,求∠C. ※3、观察以下各等式: 3 sin230°+cos260°+sin30°cos60°= 4

2

3 sin220°+cos250°+sin20°cos50°= 4 3 sin215°+cos245°+sin15°cos45°= 4 分析上述各式的特点,写出能反映一般规律的等式,并对等式的正确性作出证明. 4、如图,考虑点 A(1,0),P1(cosα ,sinα ), P2(cosβ ,-sinβ ),P(cos(α +β ),sin(α +β )). 你能从这个图出发,推导出公式 cos(α +β )=cosα cosβ -sinα sinβ 吗? 检测练习四: (中等难度题目训练) π π ※ 1、已知 x+y= 2sin(θ + ),x-y= 2sin(θ - ),求证:x2+y2=1. 4 4 ※ 2、求证: (1)3+cos4α -4cos2α =8sin4α ; ( 2) tanα tan2α π + 3(sin2α -cos2α )=2sin(2α - ). 3 tan2α -tanα

※ 3、若 sin76°=m,试用含 m 的式子表示 cos7°. 2π α ※ 4、是否存在锐角α ,β ,使α +2β = ,tan tanβ =2- 3同时成立?若存在,求出α 、 3 2 β 的值;若不存在,请说明理由. ※ 5、你能利用右图,给出下列两个 等式的一个证明吗? α +β α -β 1 (sinα +sinβ )=sin cos ; 2 2 2 α +β α -β 1 (cosα +cosβ )=cos cos ; 2 2 2 ※ 6、设 f(α )=sinxα +cosxα ,α ∈{n│n=2k , k∈N+},利用三角变换,估计 f(α )在 x=2 ,4 ,6 时的取值情况,进而对 x 取一般值时 f(α )的取值范围作出一个 猜想. 答案提示: 1、等式右边作为一个整体分别求出 x、y,然后根据公式对所求结果进行三角变换化简,最 后代入 x2+y2=1. α 4、根据韦达定理构造一元二次方程,从而求出 tan 和 tanβ 的值,最后再求角的值,特别 2 π 注意α 、β 都是锐角, 是直角而不是锐角. 2 5、根据向量的共线来证明:两个向量共线它们的横坐标之比等于纵坐标之比,等于这两个 向量的数量之比; 1 6、直接根据公式降次,答案是:当 x=2k 时,( )k-1≤f (α )≤1 . 2

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检测练习五: (技巧强化练习) (家庭作业) 1、 (1)证明:tanα +tanβ =tan(α +β )-tanα tanβ tan(α +β ) (2)求 tan20°+tan40°+ 3tan20°tan40°的值. 3π (3)若α +β = ,求(1-tanα ) (1-tanβ )的值. 4 tan20°+tan40°+tan120° (4)求 的值. tan20°tan40° 提示:把 tan 的和角公式中分子作为一个整体进行逆推. 1 3 ; sin 10° cos10°

2、 (1)

(2)sin40°(tan10°-

3) ;

(3)tan70°cos10°( 3tan20°-1) ; (4)sin50°(1+ 3tan10°) . 提示:切直接化弦、通分,然后根据和差公式与诱导公式变形; 3π θ θ 3 3、 (1)已知 cosθ =- ,π <θ < ,求(sin -cos )2 的值; 5 2 2 2 α α 1 (2)已知 sin -cos = ,求 sinα 的值; 2 2 5 5 (3)已知 sin4θ +cos4θ = ,求 sin2θ 的值; 9 3 (4)已知 cos2θ = ,求 sin4θ +cos4θ 的值; 5 提示:根据平方和、平方差公式变形。 1 3 4、已知 cos(α +β )= ,cos(α -β )= ,求 tanα tanβ 的值. 5 5 检测练习六(教材 P147 页复习参考题 A 组 12、13,B 组 3、4、5、6、7.) 检测练习七:2012、2013 两年三角函数题汇编(仅限新课标卷) 练习六与练习七属于贴近高考的强化训练,需要反复做. 检测练习六: π π A-12、已知函数 f(x)=sin(x+ )+sin(x- )+cos x+a 的最大值为 1. 6 6 (1)求常数 a 的值. (2)求使 f(x)≥0 成立的 x 的取值集合. A-13、已知直线 l1∥l2,A 是 l1、l2 之间的一定点,并且 A 点到 l1、l2 的距离分别为 h1、h2 , B 是直线 l2 上一动点,作 AC⊥AB,且使 AC 与直线 l1 交于点 C,求△ABC 面积的最小值. π π 4 3 B-3、已知 sin(α + )+sinα =,- <α <0 ,求 cosα 的值. 3 5 2 π 7π 3 17π sin 2x+2sin2x B-4、已知 cos( +x)= , <x< ,求 的值. 4 5 12 4 1-tan x B-5、已知 sinθ +cosθ =2sinα ,sinθ ·cosθ =sin2β ,求证:4cos22α =cos22β .

4

π B-6、若函数 f(x)= 3sin 2x+2cos2x+m 在区间[0, ]上的最大值为 6,求常数 m 的值及此函 2 数当∈R 时的最小值,并求相应的 x 的取值集合. B-7、如图,正方形 ABCD 的边长为 1,P、Q 分别 为 AB、DA 上的点,当△APQ 的周长为 2 时, 求∠PCQ 的大小. (提示:设 PB=x,DQ=y,则 PQ=x+y,然后 根据正切值公式来求解)

练习七:2012、2013 两年高考三角函数题目汇编

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