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高中数学(北师大版)必修五教案:1.3 等比数列与等差数列概念及性质对比

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等比数列与等差数列概念及性质对比 1.数列的定义 顾名思义,数列就是数的序列,严格地说,按一定次序排列的一列数叫做数 列. 数列的基本特征是:构成数列的这些数是有序的. 数列和数集虽然是两个不同的概念,但它们既有区别,又有联系.数列又是 一类特殊的函数. 2.等差数列的定义 顾名思义,等差数列就是“差相等”的数列.严格地说,从第 2 项起,每一 项与它的前一项的差等于同一个常数的数列,叫做等差数列. 这个定义的要点有两个:一是“从第 2 项起” ,二是“每一项与它的前一项的 差等于同一个常数” .这两个要点,刻画了等差数列的本质. 3.等差数列的通项公式 等差数列的通项公式是:an= a1+(n-1)d . ① 这个通项公式既可看成是含有某些未知数的方程,又可将 an 看作关于变量 n 的函数,这为我们利用函数和方程的思想求解问题提供了工具. 从发展的角度看,将通项公式①进行推广,可获得更加广义的通项公式及等 差数列的一个简单性质,并由此揭示等差数列公差的几何意义,同时也可揭示在 等差数列中,当某两项的项数和等于另两项的项数和时,这四项之间的关系. 4.等差中项 A 称作 a 与 b 的等差中项是指三数 a,A,b 成等差数列.其数学表示是: A? a?b ,或 2 A=a+b. 2 显然 A 是 a 和 b 的算术平均值. 2 A=a+b(或 A ? b 成等差数列的一个依据,并且,2 A=a+b(或 A ? a?b )是 a,A,b 成等差数列 2 a?b )是判断三数 a,A, 2 的充要条件.由此得,等差数列中从第 2 项起,每一项(有穷等差数列末项除外) 都是它的前一项与后一项的等差中项. 值得指出的是,虽然用 2A=a+b(或 A ? a?b )可同时判定 A 是 a 与 b 的等差 2 中项及 A 是 b 与 a 的等差中项,但两者的意义是不一样的,因为等差数列 a,A,b 与等差数列 b,A,a 不是同一个数列. 5.等差数列前 n 项的和 等差数列前 n 项和的公式是: S n ? 或 S n ? na1 ? n?n ? 1? d 2 n?a1 ? a n ? , 2 ① ② 公式①和②均可看作方程.事实上,公式①和②中均含有四个量,若知其中 任意三个量的值,便可通过解方程的办法求一个量的值.若将前 n 项和的公式与 通项公式结合起来看,共有五个量,通常知道其中的任意三个量的值,通过解方 程组就可求出其余的两个量的值. 公式①的结构形式与梯形的面积公式是一致的,这可由教材中码放钢管的示 意图得到印证. 公式②中的 S n 也可看作关于变量 n 的二次式(d≠0 时) ,其图像是在二次函 数: y ? d 2 ? d? x ? ? a1 ? ? x 的图像上当 x 取 1,2,3,?时所对应的那群孤立点.这 2 2? ? 为我们利用函数的观点求解等差数列前 n 项和 S n 的最大值或最小值问题提供了直 观的背景. 6.等比数列的定义 顾名思义,等比数列就是“比值相等”的数列.严格地说,从第 2 项起,每 一项与它前一项的比等于同一个常数的数列,叫做等比数列. 和等差数列类似,这个定义也有两个要点:一是“从第 2 项起” ,二是“每一 项与它前一项的比等于同一个常数” .它们刻画了等比数列的本质. 7.等比数列的通项公式 等比数列的通项公式是:an= a1qn-1. ① 这里,一方面,可将 an 看作是 n 的函数,另一方面公式本身也可视为一个方 程.从发展的角度看,将公式①进行适当推广,便可得更加广义的通项公式及等 比数列的一个简单性质. 8.等比中项 G 称作 a 与 b 的等比中项是指三数 a,G,b,成等比数列.其数学表示是 2 G ? ? ab ,或 G =ab. 显然,只有同两数才有等比中项;若两数有等比中项,若两数有等比中项, 则必有两个,它们是一对互为相反数;一个等比数列从第 2 项起,每一项(有穷 等比数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项. 9.等比数列前 n 项的和 ?na1 ? 等比数列前 n 项和的公式是: S n ? ? a1 1 ? q n ? 1? q ? ? ? ?q ? 1? , ?q ? 1?. 公式 S n ? a1 1 ? q n 可视为一个方程,它含有四个量.若已知其中任意三个量 1? q ? ? ? ? 的值,便可通过解方程求出另一个量的值. 公式 S n ? 即 Sn ? a1 1 ? q n 1? q a1 qn ?1 . q ?1 ? ? 从函数的观点看,Sn 是关于 qn 的一次式, 因此点(qn,Sn)在直线 y ? a1 ?x ? 1? 上. q ?1

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