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第六讲双曲线

时间:2014-11-04


第八章

平面解析几何

高三备课组

第八章
【考纲速读吧】

平面解析几何
双曲线

第六讲

1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简单几何性质. 2.了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用. 3.理解数形结合的思想.

【要点集结号】
1 条重要规律
双曲线为等轴双曲线?双曲线离心率 e= 2?双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系) .

2 种必会方法
1.定义法:由题目条件判断出动点轨迹是双曲线,由双曲线定义,确定 2a、2b 或 2c,从而求出 a2、b2, 写出双曲线方程. 2.待定系数法:先确定焦点是在 x 轴上还是在 y 轴上,设出标准方程,再由条件确定 a2、b2 的值,即“先 x2 y2 定型,再定量”;如果焦点位置不好确定,可将双曲线方程设为 2- 2=λ(λ≠0) ,再根据条件求 λ 的值. m n

3 点必须注意
1.区分双曲线中的 a,b,c 大小关系与椭圆 a,b,c 关系,在椭圆中 a2=b2+c2,而在双曲线中 c2=a2+b2. 2.求双曲线的离心率 e 时,只要求出 a、b、c 的一个齐次方程,再结合 c2=a2+b2,就可求得 e(e>1) , 而椭圆的离心率 e∈(0,1) . x2 y2 b y2 x2 3.双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的渐近线方程是 y=± x, 2- 2=1(a>0,b>0)的渐近线方程是 a b a a b a y=± x. b

【课前自主导学】01
1.双曲线的概念 平面内与两个定点 F1,F2(|F1F2|=2c>0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨 迹叫做________.这两个定点叫双曲线的________,两焦点间的距离叫做________. 集合 P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中 a、c 为常数且 a>0,c>0; (1)当________时,P 点的轨迹是双曲线; (2)当________时,P 点的轨迹是两条________; (3)当________时,P 点不存在.

判一判
判断下列点的轨迹是否为双曲线(请在括号内填写“是”或“否”) (1)平面内到点 A(0,2) ,B(0,-2)距离之差等于 2 的点的轨迹; ( ) (2)平面内到点 A(0,2) ,B(0,-2)距离之差的绝对值等于 3 的点的轨迹; ( (3)平面内到点 A(0,2) ,B(0,-2)距离之差等于 4 的点的轨迹; ( ) (4)平面内到点 A(0,2) ,B(0,-2)距离之差的绝对值等于 4 的点的轨迹; ( (5)平面内到点 A(0,2) ,B(0,-2)距离之差等于 6 的点的轨迹; ( ) (6)平面内到点 A(0,2) ,B(0,-2)距离之差的绝对值等于 6 的点的轨迹. ( 2.双曲线的标准方程和几何性质 准方程 x2 y2 - =1(a>0,b>0) a2 b2

) ) )

y2 x2 - =1(a>0,b>0) a2 b2

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图形

性 质

范围 对称性

x≥____或 x≤____,y∈R 对称轴:坐标轴对称中点:原点

x∈R,y≤-a 或 y≥a

想一想
(1)Ax2+By2=1 表示焦点在 y 轴上的双曲线的条件是什么? (2)若双曲线的两条渐近线的夹角是 90°,则双曲线的实轴长与虚轴长有何关系?

填一填
y2 (1)已知双曲线 x2- =1(b>0)的一条渐近线的方程为 y=2x,则 b=________. b2 (2)若双曲线 mx2+y2=1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m 等于________.

【自我校对】
1. 双曲线 焦点 焦距 a<c a=c 射线 a>c 判一判: (1)否 (2)是 (3)否 (4)否 (5)否 (6)否 a 2.a -a ± x (1,+∞) a2+b2 b 想一想: (1)提示:A<0,B>0. (2)提示:相等. 1 填一填: (1)2 (2)- 4

【核心要点研究】02
【考点一】双曲线的定义及标准方程
x2 y2 例 1 (1)[2012· 湖南高考]已知双曲线 C: 2- 2=1 的焦距为 10,点 P(2,1)在 C 的渐近线上,则 C 的 a b 方程为( ) x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 A. - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1 20 5 5 20 80 20 20 80 2 2 (2)[2012?大纲版全国卷]已知 F1、F2 为双曲线 C:x -y =2 的左、右焦点,点 P 在 C 上,|PF1|=2|PF2|, 则 cos∠F1PF2=( ) 1 3 3 4 A. B. C. D. 4 5 4 5 b [解析] (1)由焦距为 10,知 2c=10,c=5.将 P(2,1)代入 y= x 得 a=2b. a 2 2 2, 2 2 2 2 a +b =c 5b =25,b =5,a =4b =20. (2)由 x2-y2=2,得 a=b= 2,c=2.∵|PF1|-|PF2|=2a,|PF1|=2|PF2|, ∴|PF1|=4 2,|PF2|=2 2,|F1F2|=2c=4. |PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2 3 x2 y2 由余弦定理,得 cos∠F1PF2= = .所以方程为 - =1. 2|PF1|· |PF2| 4 20 5

【师说点拨】
1.解决双曲线上的点与焦点距离及有关的问题,常用双曲线的定义. 2.求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法.具体过程是先定形,再定量,即先确定双曲线标准方 程的形式,然后再根据 a、b、c、e 及渐近线之间的关系,求出 a、b 的值.

【变式探究】
[2013?浙江宁波]根据下列条件,求双曲线的标准方程:
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x2 y2 (1)与双曲线 - =1 有共同的渐近线,且过点(2,2 3) ; 4 3 x2 y2 (2)与双曲线 - =1 有公共焦点,且过点(-3 2,4) . 16 9 x2 y2 解析: (1)设所求双曲线方程为 - =λ(λ≠0) ,将点(2,2 3)代入得 λ=-3,所以双曲线方程为 4 3 2 2 y x - =1. 9 12 ?-3 2?2 42 x2 y2 (2)设双曲线方程为 2- 2=1,由题意易求 c=5.又双曲线过点(-3 2,4) ,∴ - 2=1. a b a2 b 2 2 x y 又∵a2+b2=25,∴a2=9,b2=16.故所求双曲线的方程为 - =1. 9 16

【考点二】双曲线的几何性质
例 2 (1)[2012· 新课标全国高考]等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,C 与抛物线 y2=16x 的准 线交于 A,B 两点,|AB|=4 3,则 C 的实轴长为( ) A. 2 B. 2 2 C. 4 D. 8 x2 y2 (2)[2012· 江苏高考]在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线 - 2 =1 的离心率为 5,则 m 的值为 m m +4 ________

【审题视点】

根据双曲线的焦点、离心率等有关几何性质求解. x2 y2 [解析] (1)设双曲线的方程为 2- 2=1,抛物线的准线为 x=-4,且|AB|=4 3,故可得 A(-4,2 3) , a b B(-4,-2 3) ,将点 A 坐标代入双曲线方程得 a2=4,故 a=2,故实轴长为 4. m2+m+4 (2)由题意得 e= = 5,所以 m=2. m 奇思妙想:本例(2)中若双曲线的焦点为(4,0) ,则双曲线的离心率为多少. 16 4 3 解:由题意知 m2+m+4=16(m>0) ,解得 m=3.∴e2= ,∴e= . 3 3

【师说点拨】
根据双曲线的特点,考查较多的几何性质就是双曲线的离心率和渐近线.求离心率或离心率的取值范 围的方法通常是根据条件列出关于 a, c 的齐次方程或不等式, 然后再转化成关于 e 的方程或不等式求解. 求 渐近线方程的关键是分清两种位置下的双曲线所对应的渐近线方程.

【变式探究】
x2 y2 x2 y2 [2012· 天津高考]已知双曲线 C1: 2- 2=1(a>0,b>0)与双曲线 C2: - =1 有相同的渐近线,且 a b 4 16 C1 的右焦点为 F( 5,0) ,则 a=________,b=________. 答案:1 2 解析:∵ 双曲线 C1 与 C2 有共同的渐近线,∴ b2=4a2.① 又∵ a2+b2=5,② 联立① ② 得,a=1,b=2.

【考点三】直线与双曲线的位置关系
例 3 [2012· 上海高考]在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 C:2x2-y2=1. (1)设 F 是 C 的左焦点,M 是 C 右支上一点.若|MF|=2 2,求点 M 的坐标; (2)过 C 的左顶点作 C 的两条渐近线的平行线,求这两组平行线围成的平行四边形的面积; (3)设斜率为 k(|k|< 2)的直线 l 交 C 于 P、Q 两点.若 l 与圆 x2+y2=1 相切,求证:OP⊥OQ.

【审题视点】 (1)对于双曲线中的坐标问题可运用方程思想解之; (2)求出交点坐标,再应用三角形
的面积公式求解; (3)利用直线与圆相切,求出 b 的值,将直线方程与双曲线方程联立,利用数量积的坐 标运算、根与系数的关系等知识,以算代证. x2 6 [解] (1)双曲线 C: -y2=1,左焦点 F?- ,0?,设 M(x,y) ,则 1 ? 2 ? 2

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|MF|2=?x+

2 6?2 2 ? 2 +y = 3x+ ?2.由 M 点是右支上一点,知 x≥ , 2 2? 2? ? 2 6 6 所以|MF|= 3x+ =2 2, 得 x= .所以 M? ,± 2?. 2 2 ?2 ? 2 (2)左顶点 A?- ,0?,渐近线方程:y=± 2x.过点 A 与渐近线 y= 2x 平行的直线方程为: ? 2 ?

?

?x=- 4 , ?y=- 2x, 2? ? y= 2 x+ ,即 y= 2x+1.解方程组? 得? 2? ? 1 ?y= 2x+1, ?y=2.
2 所求平行四边形的面积为 S=|OA||y|= 2 . 4 |b| =1,即 b2=k2+1. (*) k2+1 2kb
1 2 2

(3)设直线 PQ 的方程是 y=kx+b. 因直线 PQ 与已知圆相切,故

?y=kx+b, ? 由? 2 2 得(2-k2)x2-2kbx-b2-1=0. ? 2 x - y = 1 , ?

? ?x +x =2-k , 设 P(x ,y ) ,Q(x ,y ) ,则? -1-b xx= . ? ? 2-k
1 1 2 2 2 1 2 2

又 y1y2=(kx1+b) (kx2+b) ,所以 2 2 → → ?1+k2??-1-b2? 2k2b2 2 -1+b -k OP· OQ=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+kb(x1+x2)+b2= + + b = . 2-k2 2-k2 2-k2 → → 由(*)知,OP· OQ=0,所以 OP⊥OQ.

【师说点拨】
1.直线与双曲线的位置关系和直线与椭圆的位置关系有类似的处理方法,但要注意联立后得到的一元二 次方程的二次项系数能否为零. 2.当涉及直线与双曲线的交点在同一支或两支上时,在消元时要注意消去范围为 R 的变量,为解决根据 一元二次方程两根的正负条件的问题打下基础. x2 【变式探究】[2013· 鞍山模考]已知双曲线 C: -y2=1(a>0)与 l:x+y=1 相交于两个不同的点 A、 a2 → 5→ B,l 与 y 轴交于点 P,若PA= PB,则 a=________. 12 x2 ? ?a2-y2=1, 解析:因为双曲线 C 与直线 l 相交于两个不同的点,故知方程组? 有两组不同的实数解,消

? ?x+y=1,

a>0, ? ? 2 去 y 并整理,得(1-a2)x2+2a2x-2a2=0,实数 a 应满足?1-a ≠0, ? ?4a4+8a2 -a2 , 解得 0<a< 2且 a≠1.设 A(x1,y1) 、B(x2,y2) , 2a2 2a2 由一元二次方程根与系数的关系, 得 x1+x2= 2 ,① x1x2= 2 .② a -1 a -1 → 5→ 5 5 又 P(0,1) ,由PA= PB,得(x1,y1-1)= (x2,y2-1) .从而 x1= x2,③ 12 12 12

由①③,解得

? ? 12 2a ?x =17· a -1
x1=
2 2 2

5 2a2 · , 17 a2-1

代入②, 得

5 12 2a2 2a2 × × ( 2 )2= 2 , 17 17 a -1 a -1

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2a2 289 17 17 = ,解得 a= , (a=- 舍去) . 2 13 13 a -1 60

【课课精彩无限】03
忽视直线与双曲线相交的判断致误
【选题?热考秀】 y2 [2013· 昆明段考]已知双曲线 x2- =1,过点 P(1,1)能否作一条直线 l,与双曲线交于 A、B 两点,且点 P 2 是线段 AB 的中点? [规范解答] 设点 A(x1,y1) ,B(x2,y2)在双曲线上,且线段 AB 的中点为(x0,y0) , 若直线 l 的斜率不存在,显然不符合题意. 设经过点 P 的直线 l 的方程为 y-1=k(x-1) ,即 y=kx+1-k. y=kx+1-k, ? ? 由? 2 y2 得(2-k2)x2-2k(1-k)x-(1-k)2-2=0(2-k2≠0) .① x - = 1 , ? 2 ? x1+x2 k?1-k? ∴x0= = . 2 2-k2 k?1-k? 由题意,得 =1,解得 k=2.当 k=2 时,方程①成为 2x2-4x+3=0.Δ=16-24=-8<0, 2-k2 方程①没有实数解.∴不能作一条直线 l 与双曲线交于 A,B 两点,且点 P(1,1)是线段 AB 的中点. 【备考?角度说】 No.1 角度关键词:易错分析 本题是以双曲线为背景,探究是否存在符合条件的直线,题目难度不大,思路也很清晰,但结论却不 一定正确.错误原因是考生忽视对直线与双曲线是否相交的判断,从而导致错误,因为所求的直线是基于 假设存在的情况下所得的. No.2 角度关键词:备考建议 用圆锥曲线方程与直线方程联立求解时,消元后得到的方程中要注意二次项系数为零的情境及判别 式Δ ≥0 的限制,对于求交点、弦长、中点、斜率、对称、存在性等问题都应在Δ >0 的限制下实施.

【经典演练提能】04
x2 y2 1.[2012?福建高考]已知双曲线 - =1 的右焦点为(3,0) ,则该双曲线的离心率( ) a2 5 3 14 3 2 3 4 A. B. C. D. 4 4 2 5 3 解析:由题知 c=3,∴a2+5=9,∴a=2,∴e= . 2 x2 2 2.[2013?烟台调研]与椭圆 +y =1 共焦点且过点 P(2,1)的双曲线方程是( ) 4 x2 x2 x2 y2 y2 A. -y2=1 B. -y2=1 C. - =1 D. x2- =1 4 2 3 3 2 x2 解析:椭圆 +y2=1 的焦点为(± 3,0) ,因为双曲线与椭圆共焦点,所以排除 A、C.又双曲线 4 x2 2 -y =1 经过点(2,1) ,故选 B. 2 2 2 x y 3.设双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的虚轴长为 2,焦距为 2 3,则双曲线的渐近线方程为( ) a b 2 1 A.y=± 2x B.y=± 2x C.y=± x D.y=± x 2 2 b 2 解析:由题意得 b=1,c= 3.∴a= 2,∴双曲线的渐近线方程为 y=± x,即 y=± x. a 2 x2 y2 4.[2011· 山东高考]已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆 C:x2+y2-6x+5=0 相切,且 a b 双曲线的右焦点为圆 C 的圆心,则该双曲线的方程为( )

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x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1 5 4 4 5 3 6 6 3 解析:∵圆 C:x2+y2-6x+5=0, ∴圆心为(3,0) ,r=2. x2 y2 bx ∵双曲线 2- 2=1 的右焦点为(c,0) (c>0) ,∴c=3. ∵渐近线与圆相切,渐近线方程为 y=± , a b a 3b ∴ 2 2=r 且 a2+b2=9,解得 a2=5,b2=4,故选 A. a +b b x2 y2 5. [2012· 重庆高考]设 P 为直线 y= x 与双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)左支的交点,F1 是左焦点,PF1 垂 3a a b 直于 x 轴,则双曲线的离心率 e=________. b 解析:因为 PF1 垂直于 x 轴且 P 点在双曲线的左支上,所以 P 点横坐标为-c.又因为 P 点在直线 y= x 3a b x2 y2 c2 9 上,所以 P 点坐标为(-c,- c) ,将 P 点坐标代入双曲线 2- 2=1,整理得 2= ,所以双曲线的离心 3a a b a 8 3 2 率 e= . 4 A.

【限时规范特训】05
(时间:45 分钟 分值:100 分) 一、选择题 y2 1.[2013· 福州质检]设 F1、F2 分别是双曲线 x2- =1 的左、右焦点.若点 P 在双曲线上,且|PF1|=5,则 9 |PF2|=( ) A.5 B.3 C.7 D.3 或 7 答案:D 解析:∵||PF1|-|PF2||=2,∴|PF2|=7 或 3. x2 y2 2.[2013· 柳州月考]若 F(5,0)是双曲线 - =1(m 是常数)的一个焦点,则 m 的值为( ) 16 m A.3 B.5 C.7 D.9 答案:D 解析:由题意 16+m=25,所以 m=9. 3 x2 y2 3.已知 m>0,直线 y= x 是双曲线 - 2=1 的渐近线,则 m 等于 ( ) 4 4 m 3 3 3 8 16 A. B. C. D. 2 2 3 3 答案:A x2 y2 x2 y2 m 3 m 解析:双曲线 - 2=1 的渐近线为 - 2=0,即 y=± x,又 m>0,故直线 y= x 就是直线 y= x, 4 m 4 m 2 4 2 3 m 3 得 = ,所以 m= . 4 2 2 4.[2013· 东莞调研]已知中心在原点,焦点在 y 轴上的双曲线的离心率为 5,则它的渐近线方程为( ) 5 1 A.y=± 2x B.y=± x C.y=± x D.y=± 6x 2 2 答案:C a2+b2 y2 x2 c b 解析: 设双曲线的方程为 2- 2=1 (a>0, b>0) , ∵e= = 5, c= a2+b2, ∴ 1+? ?2= 5, 2 = a b a a a b a 1 ∴ =2,∴双曲线的渐近线方程为 y=± x=± x,故选 C. a b 2 x2 y2 a2 5.[2013· 洛阳模拟]过双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左焦点 F(-c,0) (c>0) ,作圆 x2+y2= 的切线, a b 4 1 → → → 切点为 E,直线 FE 交双曲线右支于点 P,若OE= (OF+OP) ,则双曲线的离心率为( ) 2 10 10 A. 10 B. C. D. 2 5 2
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答案:C → 1 → → 解析:点 F,A 是双曲线的两个焦点,由OE= (OF+OP)可知,点 E 是线段 FP 的中点,又点 O 是 FA 2 的中点,所以 OE∥PA,且 PA=2OE=a,再根据双曲线的定义可知 PF-PA=2a,可得 PF=3a,所以在直 10 角△PFA 中,有(3a)2+a2=(2c)2,对该式化简可得 e= . 2 2 y 6.[2013· 张家口模拟]设 F1,F2 是双曲线 x2- =1 的两个焦点,P 是双曲线上的一点,且 3|PF1|=4|PF2|, 24 则△PF1F2 的面积等于 ( ) A.4 2 B.8 3 C.24 D.48 答案:C 解析:由 P 是双曲线上的一点和 3|PF1|=4|PF2|可知,|PF1|-|PF2|=2,解得|PF1|=8,|PF2|=6,又|F1F2|= 1 2c=10,所以△PF1F2 为直角三角形,所以△PF1F2 的面积 S= × 6× 8=24. 2 二、填空题 x2 y2 7.[2013· 保定模拟]已知双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率 e=2,且它的一个顶点到较近焦点的 a b 距离为 1,则双曲线 C 的方程为________. y2 答案:x2- =1 3 c 解析:在双曲线中,顶点与较近焦点距离为 c-a=1,又 e= =2,两式联立得 a=1,c=2, a y2 ∴b2=c2-a2=4-1=3.∴方程为 x2- =1. 3 x2 y2 8.[2013· 沈阳模拟]若 P 是双曲线 C1: 2- 2=1(a>0,b>0)和圆 C2:x2+y2=a2+b2 的一个交点,且∠ a b PF2F1=2∠PF1F2,其中 F1、F2 是双曲线 C1 的两个焦点,则双曲线 C1 的离心率为________. 答案: 3+1 π 解析:由题知,|F1F2|为圆 C2 的直径,故有∠F1PF2= ,在 Rt△PF1F2 中,∠PF2F1=2∠PF1F2. 2 π π ∴∠PF1F2= ,∠PF2F1= .∴|PF2|=c,|PF1|= 3c.∴2a=|PF1|-|PF2|=( 3-1)c.∴e= 3+1. 6 3 2 y → → 9.已知双曲线 x2- =1 的左顶点为 A1,右焦点为 F2,P 为双曲线右支上一点,则PA1· PF2的最小值为 3 ________. 答案:-2 解析:由题可知 A1(-1,0) ,F2(2,0) , → → 设 P(x,y) (x≥1) ,则PA1=(-1-x,-y) ,PF2=(2-x,-y) , → → 2 2 2 2 2 PA1· PF2=(-1-x) (2-x)+y =x -x-2+y =x -x-2+3(x -1)=4x2-x-5. 1 → → ∵x≥1,函数 f(x)=4x2-x-5 的图象的对称轴为 x= ,∴当 x=1 时,PA1· PF2取得最小值-2. 8 三、解答题 10. [2013· 湖州检测]已知双曲线 E 的中心为原点,F(3,0)是 E 的焦点,过 F 的直线 l 与 E 相交于 A,B 两点,且 AB 的中点为 N(-12,-15) ,求 E 的方程. x2 y2 解:设双曲线的标准方程为 2- 2=1(a>0,b>0) , a b 2 2 由题意知 c=3,a +b =9. 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则有: 2 2 x1 y1 - =1, a2 b2 y1-y2 b2?x1+x2? -12b2 4b2 两式作差,得 = = = 2. x1-x2 a2?y1+y2? -15a2 5a x2 y2 2 2 2- 2=1, a b

? ? ?

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平面解析几何

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-15-0 又 AB 的斜率是 =1,所以将 4b2=5a2 代入 a2+b2=9,得 a2=4,b2=5. -12-3 x2 y2 所以双曲线的标准方程是 - =1. 4 5 x2 y2 11.[2013· 广州模拟]已知椭圆 D: + =1 与圆 M:x2+(y-5)2=9,双曲线 G 与椭圆 D 有相同焦点, 50 25 它的两条渐近线恰好与圆 M 相切,求双曲线 G 的方程. 解:椭圆 D 的两个焦点为 F1(-5,0) ,F2(5,0) ,因而双曲线中心在原点,焦点在 x 轴上,且 c=5. x2 y2 设双曲线 G 的方程为 2- 2=1(a>0,b>0) ,∴渐近线方程为 bx± ay=0 且 a2+b2=25. a b |5a| 又圆心 M(0,5)到两条渐近线的距离为 r=3,∴ 2 =3,得 a=3,b=4. b +a2 x2 y2 ∴双曲线 G 的方程为 - =1. 9 16 x2 y2 12.[2013· 大连模拟]设 A,B 分别为双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左,右顶点,双曲线的实轴长为 4 3, a b 焦点到渐近线的距离为 3. (1)求双曲线的方程; 3 → → (2)已知直线 y= x-2 与双曲线的右支交于 M、N 两点,且在双曲线的右支上存在点 D,使 OM +O N 3 → =tOD,求 t 的值及点 D 的坐标. b |bc| 解: (1)由题意知 a=2 3,∴一条渐近线为 y= x.即 bx-2 3y=0.∴ 2 = 3. 2 3 b +12 x2 y2 2 ∴b =3,∴双曲线的方程为 - =1. 12 3 (2)设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,D(x0,y0) ,则 x1+x2=tx0,y1+y2=ty0. 2 将直线方程代入双曲线方程,得 x -16 3x+84=0, 则 x1+x2=16 3,y1+y2=12. 4 3 = , ?x y 3 ∴? x y ?12- 3 =1.
0 0 2 0 2 0

?x0=4 3, ∴? ∴t=4,点 D 的坐标为(4 3,3) . ?y0=3.

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