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2017-2018学年高中数学北师大版必修5课时作业:第3章 不等式 23 Word版含答案

时间:2018-06-20

§23 基本不等式与最大(小)值

时间:45 分钟 满分:80 分

班级________ 姓名________分数________

一、选择题:(每小题 5 分,共 5×6=30 分) 1.已知 x>1,y>1,且 lgx+lgy=4,则 lgxlgy 的最大值是( A.4 1 C.1 D. 4 2.如果直角形的周长为 2,则它的最大面积是( A.3+2 2 C.3+ 2 B.3-2 2 D.3- 2
a b

)

B.2

)

3.已知实数 a,b 满足 a+b=2,则 3 +3 的最小值是( A.18 B.6 C.2 3 4 D.2 3

)

1 1 x y 4.已知 x>0,y>0,lg2 +lg8 =lg2,则 + 的最小值是( x 3y A.2 B.2 2 C.4 D.2 3 5.下列求最值过程中正确的是( )

)

2 A.若 0<x<π ,则 y=sinx+ ≥2 sinx

2 sinx· =2 2.所以 y 的最小值是 2 2 sinx

2 2 2 B.若 0<x<π ,则 y=sinx+ =( sinx- ) +2 2≥2 2.所以 y 的最小值 sinx sinx 是2 2 4 C.若 x>0,则 y=2+x+ ≥2+2

x

x· =6.所以 y 的最小值是 6 x
-x 2 ] =4.所以 y 的最大值为 4
2

4

D.若 0<x<1,则 y=x(4-x)≤[

x+

6.某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为 800 元.若每批生产 x 件,则平 均仓储时间为 天,且每件产品每天的仓储费用为 1 元,为使平均到每件产品的生产准备费 8 用与仓储费用之和最小,每批应生产产品( )

x

A.60 件 B.80 件 C.100 件 D.120 件 二、填空题:(每小题 5 分,共 5×3=15 分) 1 + 7.设 x∈R ,则 y=log2(x+ +6)的最小值为________.

x

8.若实数 x、y 满足 x +y +xy=1,则 x+y 的最大值是________. 9.若对任意 x>0,

2

2

x ≤a 恒成立 ,则 a 的取值范围是________. x +3x+1
2

三、解答题:(共 35 分,其中第 10 小题 11 分,第 11、12 小题各 12 分) 1 10.已知 0<x< ,试求函数 f(x)=x(1-3x)的最大值. 3

12 11.求 f(x)= +3x 的值域.

x

1 9 已知 x>0,y>0,且 + =1,试求 x+y 的最小值.

x y

一、选择题 1.A ∵x>1,y>1,lgx>0,lgy>0,∴lgxlgy≤( 时,等号成立. 2 2 2 2.B 2=a+b+ a +b ≥2 ab+ 2ab,∴ ab≤ =2- 2. 2+ 2 ∴ab≤(2- 2) =6-4 2.
2

lgx+lgy 2 ) ,当且仅当 x=y=100 2

S= ab≤3-2 2.
3.B ∵a+b=2,∴3 +3 ≥2 3 ·3 =2 3 4.C 由 lg2 +lg8 =lg2,得 lg2
x y x+3y a b a b a+b

1 2

=6,当且仅当 a=b=1 时取等号.

=lg2.

1 1 ?1 1 ? x 3y ∴x+3y=1, + =? + ?(x+3y)=2+ + ≥4. x 3y ?x 3y? 3y x 5.C A、B、D 中等号都取不到.A 中需满足 sinx= sinx= 2 2 ,即 sinx= 2?(0,1];B 中由 sinx

得 sinx= 2?(0,1];D 中由 x=4-x 得 x=2?(0,1). sinx

800 x 6.B 若每批生产 x 件产品,则每件产品的生产准备费用是 ,存储费用是 ,总的费 x 8 800 x 用是 + ≥2 x 8 二、填空题 1 1 7.3 因为 x>0,所以 x+ ≥2(当且仅当 x=1 时,等号成立),所以 y=log2(x+ + 800 x 800 x · =20,当且仅当 = 时取等号,即 x=80. x 8 x 8

x

x

6)≥log2(2+6)=3,所以当 x=1 时,y 取得最小值 3. 8. 2 3 3

1 1 3 2 2 2 2 2 2 2 解析: ∵xy≤ (x+y) , ∴1=x +y +xy=(x+y) -xy≥(x+y) - (x+y) = (x+y) , 4 4 4 4 2 3 2 3 3 2 3 2 ∴(x+y) ≤ ,∴- ≤x+y≤ ,当 x=y= 时,x+y 取得最大值 . 3 3 3 3 3 1 9.[ ,+∞) 5

解析: 若对任意 x>0, 2 为 x>0,所以 y=

x x ≤a 恒成立 , 只需求得 y= 2 的最大值即可. 因 x +3x+1 x +3x+1
1 ≤ 1 x+ +3 2 1 = ,当且仅当 x=1 时取等号,所以 5 1 x· +3 1

x = x2+3x+1

x

x

a 的取值范围是[ ,+∞).
三、解答题 1 10.∵0<x< ,∴1-3x>0. 3 1 1 3x+ -3x 2 1 ∴y=x(1-3x)= ·3x·(1-3x)≤ [ ]= . 3 3 2 12 1 当且仅当 3x=1-3x,即 x= 时,等号成立. 6 1 1 ∴当 x= 时,函数 f(x)取得最大值 . 6 12 12 11.当 x>0 时,由基本不等式,得 f(x)= +3x≥2

1 5

x

12 ·3x=2 36=12,

x

12 当且仅当 3x= ,即 x=2 时,等号成立.当 x<0 时,-x>0,

x

12 所以-f(x)= +(-3x)≥2 -x 当且仅当- 3x = 12]∪[12,+∞).

12 -x

-3x =12,即 f(x)≤-12,

12 ,即 x=- 2 时,等号成立.所以函数 f(x)的值域为(-∞,- -x

1 9 1 9 y 9x 12.解法一:∵ + =1,∴x+y=(x+y)·( + )=10+ + .

x y

x y

x

y

∵x>0,y>0,∴ + 当且仅当 =

y 9x ≥2 x y

y 9x · =6. x y

y 9x ,即 y=3x 时等号成立. x y

1 9 又 + =1,∴x=4,y=12.

x y

即 x=4,y=12 时,x+y 取得最小值 16. 1 9 解法二:由 + =1 得 y+9x=xy,

x y

∴(x-1)(y-9)=9.由已知得 x>1,y>9, ∴x+y=10+(x-1)+(y-9)≥10+2

x-

y-

=16 当且仅当 x-1=y-9

时等号成立. 1 9 又∵ + =1,∴x=4,y=12.

x y

∴当 x=4,y=12 时,x+y 取得最小值 16. 1 9 y 解法三:由 + =1 得 x= . x y y-9 ∵x>0,y>0,∴y>9. ∴x+y=

y 9 9 +y=y+ +1=(y-9)+ +10. y-9 y-9 y- 9

∵y>9,∴y-9>0. ∴y-9+ 9 ≥2 y-9

y-

9 =6. y-9

当且仅当 y-9=

9 ,即 y=12 时等号成立.此时 x=4, y-9

∴当 x=4,y=12 时,x+y 取得最小值 16.


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