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数学新课程标准解读(2011版)_图文

时间:2018-08-05

数学新课程标准解读(2011版)

宜章县教研室 邓冰
二Ο一二年九月

一、课标修订的背景与依据 二、课标的变化 1、理念的变化 2、目标的变化 3、内容结构的变化 三、对几个关键词的理解 1、“四基”与“四能” 2、基本思想 3、基本活动经验 四、实施建议

一、课标修订的背景与依据
? ? ? ? ? ? ●2001年国家启动了新世纪基础教育课程改革 ●2005年开始修改数学课程标准 ●2007年4月推出义务教育数学课程标准修改稿 ●2011年完善数学课程标准修改 ●2012年实施义务教育数学课程标准 2011年版(黄皮书)

(一)课标修订的背景
◆大纲和标准有什么区别 大纲: 数学学科应该教什么内容 内容学生应该掌握到什么程度。 培养专门人才 课程标准与教学大纲相比 重视学生能力的培养和数学素养的提高→ 基本特征是重视过程性目标和要求。 培养合格人才→积极向上、善于思考、愿意 学习、合格公民

二、新课标的变化
◎理念的变化 ◎目标的变化 ◎内容的变化

(一)理念上的变化
1、核心理念
◎数学是研究数量关系和空间形式的科学。

(原:数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、
逐渐抽象概括、形成方法和理论,并进行广泛应

用的过程。)

(一)理念上的变化

◎人人都能获得良好的数学教育,
不同的人在数学上得到不同的发展。
(原:人人学有价值的数学,人人获得

必需的数学,不同的人在数学上得到
不同的发展。)

良好的数学教育:
符合数学课程认知规律和学生身心发展规 律;能促进学生的全面发展和可持续发展;体 现教育的公平性 知识技能、数学思考、问题解决、情感态度四

个方面的课程目标的整体实现,是学生受到良
好数学教育的标志。

(一)理念上的变化
2、十个数学课程与教学中应当注重发展的
核心概念: 数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分 析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用 意识、创新意识。
(原:数感、符号感、空间观念、统计观念、应用意识、

推理能力。)

核心概念1

◆数感(含义归纳)
◎数感是“关于数字(量)的一种直觉”; ◎数感与语感、方向感、美感等类似,都会有一种 “直感”的涵义,具有对特定对象的一种敏感性 及相关的鉴别(鉴赏)能力; ◎数感是一种主动地、自觉地或自动化地理解数和 运用数的态度和意识,是一种基本的数学素养; ◎数感包含感觉、知觉、观念、能力,可以用“知 识”来统一指称,这一知识是程序性的、内隐的、 非结构性的。

核心概念1

? 《课标》描述的数感:
理解数的意义;能用多种方法来表示数;

能在具体的情境中把握数的相对大小关系;
能用数来表达和交流信息;能为解决问题

而选择适当的算法;能估计运算的结果,
并对结果的合理性作出解释。”
(数与数量;数量关系;运算结果估计)

核心概念2

◆符号意识
◎符号既是数学的语言,也是数学的工具,更是数学的方法。

◎特点:抽象性、明确性 、可操作性、简略性和通用性 。
◎数学符号最本质的意义就在于它是数学抽象的结果。数学 符号不仅是一种表示方式,更是与数学概念、命题等具体 内容相关的、体现数学基本思想的核心概念。

核心概念2
? 符号感主要表现在:
能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律,

并用符号来表示;理解符号所代表的数量关系和
变化规律;会进行符号间的转换;能选择适当的 程序和方法解决用符号所表达的问题。

核心概念2
符号意识主要是指
? 能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律; ? 知道使用符号可以进行运算和推理,得到的结论具有一般 性。 ? 理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。 发展学生的符号意识是数学教学的重要目标。

核心概念3

◆空间观念
◎根据物体特征抽象出几何图形,根据几何图形想 象出所描述的实际物体; ◎想象出物体的方位和相互之间的位置关系; ◎描述图形的运动和变化; ◎依据语言的描述画出图形。
-----《标准》从四个方面加以刻画描述,是学生学习的要 求以及需要达成的目标的描述,它包括观察、想象、比较、 综合、抽象分析的过程

? 空间观念主要表现在:
能由实物形状想象出几何图形,由几何图形 想象出实物形状,进行几何体与三视图、展开图 之间的转化;能根据条件做出立体模型或画出图 形;能从较复杂的图形中分解出基本的图形,并 能分析其中的基本元素及其关系;能描述实物或 几何图形的运动和变化;能采用适当方式描述物 体间的位置关系;能运用图形形象地描述问题, 利用直观来进行思考。

爷爷上车时看了看手表,刚好8:15,公交车以平均40千米/时的速度行 驶,在小学站停留了3分,到达广场站的时间是多少?


55°

50°

700米

核心概念4

◆几何直观
几何直观所指有两点:一是几何,在这里 几何是指图形;一是直观,这里的直观不 仅仅是指直接看到的东西(直接看到的是 一个层次),更重要的是依托现在看到的 东西、以前看到的东西进行思考、想象。 综合起来几何直观就是依托、利用图形进 行数学的思考、想象。(合情推理)
它在本质上是一种通过图形所展开的想象能力。

? 《标准》对几何直观的描述

几何直观是指利用图形描述和分析问题。 借助几何直观可以把复杂的数学问题变得 简明、形象,有助于探索解决问题的思路, 预测结果 几何直观可以帮助学生直观地理解数学,在 整个数学学习过程中都发挥着重要作用。”

? 数学—几何—图形 ? 图形可以帮助我们发现、描述、研究的问题,可 以帮助我们寻找研究的思路,可以帮助我们理解 和记忆研究的结果。 ? 数学直观与数学逻辑同样重要,数形结合是认识 数学的基本角度。

核心概念5
◆数据分析观念
(对数据的领悟)

了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究,收集 数据,通过分析做出判断,体会数据中蕴涵着信息;了解 对于同样的数据可以有多种分析的方法,需要根据问题的 背景选择合适的方法;通过数据分析体验随机性,一方面

对于同样的事情每次收集到的数据可能不同,另一方面只 要有足够的数据就可能从中发现规律。

数据分析是统计的核心。

核心概念6

◆运算能力
? 根据一定的数学概念、法则和定理,由一 些已知量通过计算得出确定结果的过程, 称为运算。 ? 能够按照一定的程序与步骤进行运算,称 为运算技能。 ? 不仅会根据法则、公式等正确地进行运算, 而且理解运算的算理,能够根据题目条件 寻求正确的运算途径,称为运算能力。

核心概念6

? 《标准》:
主要是指能够根据法则和运算律正确地

进行运算的能力。培养运算能力有助于学
生理解运算的算理,寻求合理简洁的运算

途径解决问题。

◆如何培养小学生的运算能力 ◎培养学生良好的计算习惯; ◎基础计算要过关; ◎注重计算策略的教学; ◎理解算理,便于灵活、简便地进行计算; ◎向学生传授灵活的估算策略,提高学生的估算 能力。

核心概念7

◆推理能力
◎合情推理 从已有的事实出发,凭借经验和直觉,通过归纳和 类比等推断某些结果。其范围包含广泛,如有 分类、归纳、类比、联想、猜测,等等。 (从特殊到一般) ◎演绎推理 从已有的事实(包括定义、公理、定理等)确定 的规则(包括运算的定义、法则、顺序等)出 发,得到某个具体结论的推理,它是必然性推 理。 (从一般到特殊)

核心概念7
第一、第二学段,学生接触主要是合情推理。

在解决问题的过程中,两种推理功能不同, 相辅相成:合情推理用于探索思路,发现 结论;演绎推理用于证明结论。

核心概念7
? 推理能力主要表现在:
能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学

猜想,并进一步寻求证据、给出证明或基
础反例;能清晰、有条理地表达自己的思 考过程,做到言之有理、落笔有据;在与 他人交流的过程中,能运用数学语言、合 乎逻辑地进行讨论与质疑。

核心概念8
◆模型思想

所谓数学模型,就 是根据特定的研究 目的,采用形式化 的数学语言,去抽 象地,概括地表征 所研究对象的主要 特征、关系所形成 的一种数学结构。

? 总体目标:体会数学 知识之间、数学与其 他学科之间、数学与 生活之间的联系
? 通过数学建模建立与 外部世界的联系

? 模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部
世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包

括:从现实生活或具体情境中抽象出数学问题,
用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学 问题中的数量关系和变化规律,求出结果、并讨 论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步 形成模型思想,提高学习数学的兴趣和应用意识。

核心概念9
◆应用意识 (在标准中,应用意识有两个方面的含义)

◎ 有意识利用数学的概念、原理和方法解释现 实世界中的现象,解决现实世界中的问题。 (数学知识现实化) ◎认识到现实生活中蕴涵着大量与数量和图形 有关的问题,这些问题可以抽象成数学问题, 用数学的方法予以解决。

(现实问题数学化)

核心概念9

? 在整个数学教育的过程中都应该培养
学生的应用意识,综合实践活动是培 养应用意识很好的载体。

核心概念10
◆创新意识
◎创新能力是指完成创新工作的能力。 ◎创新意识指认识创新的重要,在学习数学

的过程中有好奇心,对新事物感兴趣,不 断地发现和提出问题,有创新的欲望,尝 试去做一些对自己是新的、没有想过、没 有做过的事情,用学过的数学方法解决问 题。

? 创新意识的培养是现代数学教育的基本任
务,应体现在数学教与学的过程之中。学

生自己发现和提出问题是创新的基础;独
立思考、学会思考是创新的核心;归纳概

括得到猜想和规律,并加以验证,是创新
的重要方法。创新意识的培养应该从义务

教育阶段做起,贯穿数学教育的始终。

? 这些核心概念的内涵在性质上是体现的学习主 体——学生的特征,它们涉及的是学生在数学学 习中应该建立和培养的关于数学的感悟、观念、 意识、思想、能力等。 ? 核心概念本质上体现的是数学的基本思想。 ? 这些核心概念都是数学课程的目标点,也应该成 为数学课堂教学的目标,并通过教师的教学予以 落实。

(二)新课标在目标上的变化

(二)目标变化

◆总目标
1、获得适应社会生活和进一步发展所
必需的数学的基础知识、基本技能、

基本思想、基本活动经验。
-----明确提出“四基”

2. 体会数学知识之间、数学与其他学科之间、

数学与生活之间的联系,运用数学的思维
方式进行思考,增强发现和提出问题的能

力、分析和解决问题的能力。
----明确提出“四能”

(二)目标变化

3. 了解数学的价值,提高学习数学的 兴趣,增强学好数学的信心,养成良 好的学习习惯,具有初步的创新意识 和科学态度。

(三)课程内容的变化
? 四个学习领域
数与代数

? 四个课程内容
数与代数

空间与图形
统计与概率 实践与综合应用

图形与几何
统计与概率 综合与实践

结构上的变化
◆ 数与代数:

内容结构没有变化,第一学段是“数的认识;数
的运算;常见的量;探索规律”。第二学段是 “数的认识;数的运算;式与方程;正比例、反 比例;探索规律”。第三学段是“数与式;方程 与不等式;函数”。

◆图形与几何

第一、二学段,内容结构没有变化。第三学 段,将原来的四部分调整为三部分:原来 的“图形的认识”、“图形与变换”、 “图形与坐标”、“图形与证明” ,调整 为“图形的性 质”、“图形的变化”、“图形与坐标”。 其中的“图形的性质”是实验稿中第一和 第四部分的整合。

内容上的具体变化

第一学段
◆统计与概率---1、适当降低难度 第一学段统计与概率部分内容大幅减少,由原来的11 条具体要求,减少为3条。全部删除了有关概率内容的 (不确定现象)的3条,部分内容移到第二学段。 实践表明,第一学段学生理解不确定现象有难度,不 容易理解事件发生的可能性。这一学段学生主要应学习和 掌握确定的量,开始理解和掌握自然数、分数和小数。因 此,将不确定现象的描述后移。 对于统计内容也降低了难度,平均数、条形统计图 等内容也移到第二学段。

2.增加或调整一些内容
增加的内容: ◎ “知道用算盘可以表示多位数”; ◎ “能结合具体情境比较两个一位小数 的大小,能比较两个同分母分数的大小”。

3、调整的内容: ◎估算的要求改为“能结合具体情境,选择适当的 单位进行简单估算,体会估算在生活中的作用”, 更加具体、明确,有助于认识和理解估算的价值 与意义。
强调“选择适当的单位”“要有具体的情境”根据实际 需要选择适当的单位进行估算。

◎ “能口算一位数乘除两位数”,从第二学段移到 第一学段。在第一学段数认识和相关运算的基础 上,学生完全可以掌握这一内容。原来在第二学 段出现明显滞后。(估算与近似计算的区别)

例6 学校组织987名学生去公园游玩。如果公园的门票每张 8元,带8000元钱够不够? [说明] 本例的目的是希望学生了解在什么样的情境中需要估 算。能结合具体情境,选择适当的单位是第一学段估算的 核心。比如,在此例中适当的方法是把987人看成1000人, 所以适当的单位是“1000人”。 注:要知道原数估成1000后是舍了还是入了,舍的不够,入 的就够。987≈1000是入的,就够。1087 ≈1000是舍的, 就不够。 ? 一般来说,估计教室的长度时,通常以“米”为单位;估 计书本的长度时,通常以“厘米”为单位。也可以用身边 熟悉的物体的长度为单位,如步长、臂长等。

例26 李阿姨去商店购物,带了100元,她买了两袋 面,每袋30.4元,又买了一块牛肉,用了19.4元, 她还想买一条鱼,大一些的每条25.2元,小一些 的的每条15.8元。请帮助李阿姨估算一下,她带 的钱够不够买小鱼?能不能买大鱼?

[说明] 本题有两问。第一问“够不够买小鱼”可以这样估算: 买一袋面不超过31元,两袋面不超过62元;买牛肉不超过 20元;买小鱼不超过16元;总共不超过60+20+16=98(元), 李阿姨的钱是够用的。 第二问“能不能买大鱼”可以这样估算: 买一袋面至少要30元,两袋面至少要60元;买牛肉至少要 19元;买大鱼至少要25元;总共至少要60+19+25=104(元)。 已经超过100元了,李阿姨不能再买大鱼了。 这类问题在生活中很常见。从数学上看,第一问要判断100 元是否超过三种物品的价格总和,适当放大;第二问要判断三种 物品的价格总和是否超过100元,适当缩小。一般不需要精确计 算,只需要估算就可以了。

◎增加了“认识小括号,能进行简单的整数

四则混合运算(两步)”,与第二学段形 成一个连续的、渐进的混合运算。在第一 学段认识小括号,在第二学段认识中括号。
◎“结合实例认识面积,体会并认识面积单

位厘米?、分米?、米?,能进行简单的单位 换算”,增加了分米?的认识,将千米?、 公顷的认识移到第二学段,并降低了要求。

第二学段 具体内容的修改

1. 统计与概率等内容适当降低难度
◎删除--“众数、中位数”和“能设计统计活动, 检验某些预测”,“初步体会数据可能产生误导” ◎在表述方式和具体要求上也做了一些调整。强调 了在搜集数据中运用适当的方法。“会根据实际 问题设计简单的调查表,能选择适当的方法(如 调查、试验、测量)收集数据”。
教学中应当引导学生用比较科学合理的方法,收集有效 的数据。在经历收集整理数据的过程中,逐步使学生了 解数据的重要性。

2、调整了对可能性的要求,更具可操作性,符合小 学生的特点。 ◎结合具体情境,了解简单的随机现象;能列出简 单随机现象中所有可能发生的结果。 ◎通过实验、游戏等活动,感受随机现象结果发生 的可能性是有大小的,能对一些简单的随机现象 发生的可能性大小作出定性描述,并和同学交流”
(原:“体验事件发生的等可能性以及游戏规则的公平性, 会求一些简单事件发生的可能性;能设计一个方案,符合 指定的要求;对简单事件发生的可能性作出预测,并阐述 自己的理由”)

3、删除“了解两点确定一条直线和两条相交 直线确定一个点”。 这个内容对于小学生来说较为抽象,与生 活经验的联系不很紧密,要求学生了解意 义不大。
把“了解两点确定一条直线”放在第三学 段作为进行演绎证明的基本事实(公理) 之一。

4、小数、分数、百分数重点强调了理解他 们的意义,以及会进行小数、分数和百分 数的转化。

在这个转化的过程中,学生必然需要了解 它们之间的关系,所以不再提“探索小数、 分数和百分数之间的关系”。

5. 增加或调整部分内容 增加“在具体情境中,了解常见的数量关系: 总价=单价×数量、路程=速度×时间,并能解决 简单实际问题”。 学生了解一些常见数量关系,特别是运用这些 数量关系解决问题,是小学阶段问题解决的核心。 “总价=单价×数量路程=速度×时间”是小学阶 段最常用的数量关系,绝大多数实际问题都可以 用归结为这两类数量关系。增加这一要求,为小 学数学课程与教学中的问题解决提供了一个重要 基础。

6、增加“结合简单实际情境,了解等量关系, 并能用字母表示”。
了解数量关系是学习字母表示数的重点。使学 生在实际情境中了解数量关系,也为学习简易方 程做准备。

增加“了解圆的周长与直径的比为定 值”,强调在探索周长与直径比过程中认 识圆周率。

三、理解新增的几个关键词
(一)“四基”与“四能” (二)基本数学思想 (三)基本活动经验

(一)怎样理解“四基”与“四能”
◎四基:

基础知识、 基本技能、 基本思想、 基本活动经验 ◎四能: 发现问题和提出问题的能力、 分析问题和解决问题的能力

(一)怎样理解“四基”“四能”

(一)“双基”为什么要发展为“四基” 如何认识“四基”? ◎体现数学教育三维目标:知识与技能;过程与方 法;情感、态度和价值观 ◎符合素质教育的理念,有利于培养创 新型人才。 “四基”可以看作是对学生进行良好数学教育 的集中体现,

主要观点(顾沛)
●“双基”发展为“四基”,在《课标》中的表述

为:“通过义务教育阶段的数学学习,学生能获 得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基 础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。”
(现实意义和长远意义,总目标具体化)

●“知识与技能”、“过程与方法”、“情感态度

与价值观” 三维目标结合数学学科的特点的具体 化。

? 许多年来,“双基”概念一直在发展中深化。至2000年, 中华人民共和国教育部制定的《九年义务教育全日制初级 中学数学教学大纲(试验修订版)》中的表述:数学“基 础知识是指:数学中的概念、法则、性质、公式、公理、 定理以及由其内容所反映出来的数学思想和方法。基本技 能是指:能够按照一定的程序与步骤进行运算、作图或画 图、进行简单的推理。” 并且,“双基”在此已经是与 思维能力、运算能力、空间观念等相互联系表述的。 ? 在“知识爆炸”的时代,对于过去数学“双基”的某些 内容,如繁杂的计算、细枝末节的证明技巧等,需要有所 删减;而对于估算、算法、数感、符号意识、收集和处理 数据、概率初步、统计初步、数学建模初步等,又要有所 增加。这就是数学“双基”内容的与时俱进。

为什么有了“双基”还不够,现在还要增加两条,
成为“四基”?

? “双基”仅仅涉及上述三维目标中的一个 目标——“知识与技能”。新增加的两条 则还涉及三维目标的另外两个目标—— “过程与方法”和“情感态度与价值观”。

2、怎样理解“四能” 发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力 ? 发现问题和提出问题是学生数学问题意识的具体 体现。分析和解决问题固然重要,而发现和提出 问题更是培养学生创新意识需要的。重视发现问 题和提出问题能力的培养,对于整体上提高学生 数学素养,特别是社会适应能力更为重要。

? 发现问题:
发现问题是经过多方面、多角度的数学思

维,从表面上看来没有关系的一些现象中
找到数量或者空间方面的某些联系,或者 找到数量或者空间方面的某些矛盾,并把 这些联系或者矛盾提炼出来。

? 提出问题
在已经发现问题的基础上,把找到的联系或者矛 盾用数学语言、数学符号集中地以“问题”的形 态表述出来 这些,也可以概括地表述为,培养学生从数学角 度出发的“问题意识”。 。

? 增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的 能力 “发现问题”,是经过多方面、多角度的数学 思维,从表面上看来没有关系的一些现象中找到 数量关系或者空间形式的某些联系,或者找到数 量关系或者空间形式的某些矛盾,并把这些联系 或者矛盾提炼出来。“提出问题”,是在已经发 现问题的基础上,把找到的联系或者矛盾用数学 语言、数学符号集中地以问题的形态表述出来。

? 此次修订增加的“发现问题和提出问题的能力”,
是从培养学生的创新意识和创新能力考虑的,是 对创新性人才的基本要求。 为此,在数学教学中教师就要努力创设适当 的情境,让学生用数学的眼光来看待和分析这些

情境,采用探究式的教学方法,引导学生发现问
题和提出问题。

2、在解决问题的全过程中培养 人教版----解决问题: ? 第一层次:在情境中发现问题 ? 第二层次:在解决问题问题的过程中发现数学规 律,发现数学思想。

3. 运用数学的思维方式进行思考
◎学会思考的重要性不亚于学会知识,它将使学生终身受 益。运用数学的思维方式进行思考,也称为数学的理性思 维。包括形象思维、逻辑思维和辩证思维,合情推理和演 绎推理等等。

义务教育阶段数学课程进行的全过程,都应注意培养学生
的数学思维和数学推理。其中的第一学段和第二学段,学 生较多接触和学习的是合情推理,第三学段则必须加强演

绎推理的教学。

4、对数学知识的考查,既要全面又突出重点.
注重学科的内在联系和知识的综合性,从

学科的整体高度和思维价值的高度考虑问
题,在知识网络的交汇点设计试题,使对

数学知识的考查达到必要的深度.

(二)关于数学的“基本思想”
数学思想是数学科学发生、发展的根 本,是探索研究数学所依赖的基础, 也是数学课程教学的精髓,内涵十分 丰富。
(基本思想而非基本思想方法,用后者易使人想 到具体的方法。)

数学思想是对数学知识的本质的认识,是 对数学规律的理性认识,是从某些具体的 数学内容和对数学认识过程中提炼上升的 数学观点,它在认识活动中被反复运用带 有普遍的指导意义,是建立数学和用数学 解决问题的指导思想。
钱佩玲主编《中学数学思想方法》

数学的基本思想

1、“数学的基本思想”主要指(或者为可 以有): 数学抽象的思想; 数学推理的思想; 数学模型的思想。 (数学审美的思想)
(其他的思想由此衍化、发展)

2、由“基本思想”演变、派生、发 展出来的数学思想

由“基本思想”演变、派生、发展出来的数学思想

◎由“抽象思想”派生出(可以有): 分类的思想,集合的思想,“变中有不变” 的思想,符号表示的思想,对应的思想,有限 与无限的思想,等等。 (数学无时无刻不在抽象 一年级:实物操作——抽象计算)

◎由“推理思想”派生出:
归纳的思想,演绎的思想,公理化思想, 数形结合的思想,转换化归的思想,联想 类比的思想,逐步逼近的思想,运筹的思 想,代换的思想,特殊与一般的思想,等 等。

◎由“建模思想”派生出:

简化的思想,量化的思想,函数的思

想,方程的思想,优化的思想,随机
的思想,统计的思想,等等

? 由“数学审美的思想”派生出来的可以有:
简洁的思想,对称的思想,统一的思想,

和谐的思想,以简驭繁的思想,“透过现
象看本质”的思想,等等

开放的练习设计--《巧用中点》

? 正方形花坛设计:“一半种花,一半种草”,看 谁设计得更美?

? 什么叫演化、派生出其他思想

举例说,“分类的思想”和“集合的思想”可以是这样由
“数学抽象的思想”派生出来的: ? 人们对客观世界进行观察时,常常从研究需要的某个角度 分析联想,排除那些次要的、非本质的因素,保留那些主 要的、本质的因素,一种有效的做法就是对事物按照其某 种本质进行分类,分类的结果就产生了“集合”。把它们 上升到思想的层面上,就形成了“分类的思想”和“集合

的思想”。

3、数学思想与数学方法的联系与区别

数学方法
在用数学思想解决具体问题时,对某一类问题 反复推敲,就会形成程序化的操作,就构成数学 方法。
? 处于较高层次的,例如有:逻辑推理的方法,合情推理的 方法,变量替换的方法,等价变形的方法,分情况讨论的 方法,等等。 ? 低一些层次的数学方法,还有很多。例如有:分析法,综 合法,穷举法,反证法,抽样法,构造法,待定系数法, 数学归纳法,递推法,消元法,降幂法,换元法,坐标法, 配方法,列表法,图像法,等等。

数学思想与数学方法
●“数学思想”往往是观念的、全面的、普遍的、深刻的、 一般的、内在的、概括的;
“数学方法”往往是操作的、局部的、特殊的、表象的、 具体的、程序的、技巧的。 ● 数学思想常常通过数学方法去体现;数学方法又常常反 映了某种数学思想。

● 数学思想是数学教学的核心和精髓,教师在讲授数学方 法时应该努力反映和体现数学思想,让学生体会和领悟数 学思想,提高学生的数学素养。
(影响其一生)

4、数学思想案例
(学习数学思想、提高数学素养)

? 例1 用算盘上的算珠表示三位数。

(渗透) 符号表示的思想

? 例8. 估计每分钟脉搏跳动的次数、阅读的字数、
跳绳的次数、走路的步数。

优化的思想;(不同策略计算结果,可以选择和
优化)

设计的数学活动;
解决问题的多种策略

? 例10 在下面的图1中,描出横排和竖排上两个数
相加等于10 的格子,再分别描出相加等于6,9的

格子,你能发现什么规律。
数形结合的思想;

函数的思想;
数学审美的思想;

情感态度和价值观

? 例19 对全班同学的身高进行调查分析。

数据分析的思想;情感态度和价值观 养成保存资料的习惯;在数学活动中体会数学思 维和数学精神。

89

图6

? 例20 (扣子)图形分类。

分类的思想;集合的思想

90

[说明] 本活动适合于本学段的各个年级,可以
在要求上有所区分。本活动的目的是希望学生能够 清楚,分类是要依赖分类标准的,例如扣子的形状、 扣子的颜色或者扣眼的数量都可以作为分类的标准, 而在不同的分类标准下分类的结果可能是不同的。

本活动将有利于培养学生把握图形的特征、抽象出
多个图形的共性的能力。另一方面,活动还要求学 生运用文字、图画或表格等方法记录对扣子进行分 类后的结果,这有利于培养学生整理数据的能力。
91

? 例22 上学时间。让学生记录自己在一个星期内 每天上学途中所需要的时间,并从这些数据中发 现有用的信息。

数据分析的思想;随机的思想
数据较多时的稳定性;培养学生认真做事的习惯。

92

? 例26 李阿姨去商店购物,带了100元,她买了两
袋面,每袋30.4元,又买了一块牛肉,用了19.4 元,她还想买一条鱼,大一些的每条25.2元,小 一些的每条15.8元。请帮助李阿姨估算一下,她 带的钱够不够买小鱼?能不能买大鱼?(单位—

—方法与单位)
简化的思想,估算的思想

估算的方法:取合适的单位;适当放大和适当缩小

? 例30 联欢会上,小明按照3个红气球、2个黄气
球、1个绿气球的顺序把气球串起来装饰教室。你

知道第16个气球是什么颜色吗?

数学模型的思想,“变中有不变”的思想,符号
表示的思想 AAABBCAAABBC…

? 例31 一个房间里有四条腿的椅子和三条腿的凳子共16个,如果椅子
腿数和凳子腿数加起来共有60个,那么有几个椅子和几个凳子? 数学推理的思想;归纳的思想,符号表示的思想,数学模型的思想 探索规律的观念;由简至繁的方法;解决问题多种策略 椅子数 凳子数 腿的总数 16 0 4×16=64 15 1 4×15+3×1=63 14 2 4×14+3×2=62 ,…… 模型:由4×16 – 60 = 凳子数 推知 4×(椅子和凳子的总数) – 腿的总 数 = 凳子数 (扩展:鸡兔同笼) 四则运算的公式就是模型

? 例32 观察下图(图8):

请指出从前面、右面、上面看到的相应图形(图9):

空间观念

(先想后看)

? 例40 袋中装有5个球、4个红球和1个白球。只告
诉学生袋中球的颜色为红色和白色,不告诉他们

红球数目与白球数目,让学生通过多次有放回的
摸球,统计摸出红球和白球的数量及各自所占比

例,由此估计袋中红球和白球数目的情况。
随机的思想,统计的思想;数据分析的方法

? 例42 绘制学校平面图。
按照确定的比例和方位,绘制校园的平面图,

包括围墙、主要建筑、主要活动场所、道路等等。

空间观念;综合与实践的活动

? 一年级识数,教会“一一对应”是关键。

? “十进制”的产生,也是由于数数时用人的十个
手指头与所数若干物体“一一对应”。

“对应”的思想

99

3个苹果+2个苹果=5个苹果 3个桔子+2个桔子=5个桔子 3条鲤鱼+2条鲤鱼=5条鲤鱼 3+2=5

3个苹果+2个桔子=?

抽象的思想
100

(三)关于基本的活动经验

? 数学教学,本质上是师生共同进行数学活动的教
学,所以学生获得相关的活动经验当然应该是数

学课程的一个目标。
? 特别是,其中有些精神“只能意会,难以言传”,

必须要学生自己在亲身经历的过程中获得经验;
有些内容虽能言传,但是如果没有学生在数学活

动中亲身体会,理解也难以深刻。

●什么是数学活动经验? 数学基本活动经验是学生从数学的角度进行 思考,通过亲身经历数学活动过程所获得 的具有个性特征的经验。应具有主体性、 实践性、发展性、多样性等特征。

所说的“活动”,都必须有明确的数学内涵和
数学目的,体现数学的本质,才能称得上是

“数学活动”。
“活动经验”与“活动”密不可分,学生必 须要“动”:手动、口动和脑动。

? 学生要把活动中的经历、体会总结上升为“经
验”。(这些经验必须实现内化)

? 既可以是活动当时的经验,也可以是延时
反思的经验;既可以是学生自己摸索出的

经验,也可以是受别人启发得出的经验;
既可以是从一次活动中得到的经验,也可

以是从多次活动中逐渐积累得到的经验。。

? 数学活动经验不仅是实践的经验,也不仅是解题

的经验,更加重要的是思维的经验,是在数学活
动中思考的经验。 因为,创新依赖的是思考,是数学活动中创造 性的思维。而思维方法是依靠长期活动经验积累 获得的,思维品质是依靠有效的、多方面的数学

活动改善的,并不是仅仅依靠接受教师的传授获
得的。爱因斯坦说:“独立思考是创新的基础”。

? 获得数学活动经验,最重要的是积累“发现问题、 提出问题”的经验,以及“分析问题、解决问题” 的经验。
? 还应该强调的是,学生在进行“数学活动”的过 程中,除了能够获得逻辑推理的经验,还能够获 得合情推理的经验。 ? 例如,根据条件“预测结果”的经验和根据结果 “探究成因”的经验。这两种经验对于培养创新 人才也是非常重要的。

? 数学活动的教育意义在于,学生主体通过亲身经 历数学活动过程,能够获得具有个性特征的感性 认识、情感体验、以及数学意识、数学能力和数 学素养。

? 让学生获得“数学活动经验”,还能够培养学生 在活动中从数学的角度思考问题,直观地、合情 地获得一些结果,这些是数学创造的根本,是得 到新结果的主要途径。

110

基本活动经验可以按不同的标准分类:
直接的活动经验,间接的活动经验,设计的活动经验和思 考的活动经验。 直接的活动经验是与学生日常生活直接联系的数学活动中 所获得的经验,如购买物品、校园设计等。 间接的活动经验是学生在教师创设的情景、构建的模型中 所获得的数学经验,如鸡兔同笼、顺水行舟等。 设计的活动经验是学生从教师特意设计的数学活动中所获 得的经验,如随机摸球、地面拼图等。 思考的活动经验是通过分析、归纳等思考获得的数学经验, 如预测结果、探究成因等。学生只有积极参与数学课程的 教学过程,经过独立思考,经过探索实践,经过合作交流, 才有可能积累数学活动经验。
111

?
? ?

?

? 数学活动的教育意义在于,学生主体通过
亲身经历数学活动过程,能够获得具有个

性特征的感性认识、情感体验、以及数学
意识、数学能力和数学素养。

数学基本活动经验是学生从数学的

角度进行思考,通过亲身经历数学活
动过程所获得的具有个性特征的经验。

应具有主体性、实践性、发展性、多
样性等特征

四、教学建议
● 让学生经历数学知识的形成和应用过程 ● 鼓励学生自主探索与合作交流 ● 尊重学生的个体差异,满足多样化学习 需要

● 注重数学知识之间的联系提高解决问题
能力

● 充分运用现代信息技术

● 数学教学活动要注重课程目标的整体实现 ● 重视学生在学习活动中的主体地位 ● 注重学生对基础知识、基本技能理解和掌握

● 关注数学本质,引导学生感悟数学思想、积
累数学活动经验 ● 关注学生情感态度的发展 ● 合理把握“综合与实践”的实施

结束语
今后在数学教学活动中让教师和学生都要做到: 准确把握课标 探究数学本质 积累活动经验 体验数学精神 理解数学知识 学会数学思维 掌握数学方法 形成数学能力 领悟数学思想 提高数学素养

小学教师常常会跟一年级学生说“3个梨,3条鱼,3块石头,3朵花,
都是自然界具体的事物,远古的人通过长期的观察、实践和思考,逐 渐从中抽象出‘3’来”。一开始小学生可能还难以从中准确理解

“抽象”一词,但是他们由此第一次听说了“抽象”这个词,而且是
在积极的情感中听说的,这就是“渗透”。如果教师在此后的某个单 元再跟学生说“3个梨加5个梨是8个梨,3条鱼加5条鱼是8条鱼,3

朵花加5朵花是8朵花,古代的人们逐渐从中抽象出‘3+5=8’来”,
然后再讲加法在生活中的应用,小学生就可能不同程度地了解“抽象” 一词,并且由于看到了加法有用,所以他们是在积极的情感下了解

“抽象”一词的,虽然也许还不能完全理解,但是他们已经比前面讲
“3的抽象”时多了一些了解。

●关于分类、集合思想
分类的思想,集合的思想,也是重要的数学思想。第一学段的小 学生就可以经历各种简单的分类活动,例如,对一堆扣子分类,对一

盒积木分类,对全班同学分类,对一些物品分类。分类,预先应该确
定“分类的标准”,这是分类的本质,一定要让学生明确。《课标》 也在第一学段的“课程内容”中规定:“能根据给定的标准或者自己

选定的标准,对事物或数据进行分类,感受分类与分类标准的关系”。
分类“标准”一词,可能对小学生有些深奥,但是教学中不应回避, 可以让他们在活动实践里逐渐感悟。例如“扣子分类”,在老师没有

提示“分类标准”时,可能有人按扣眼的个数分类,有人按扣子的颜
色分类,有人按扣子的形状分类,待他们展示各人的分类结果时,发 现了不同的结果,再发言讨论,互相比较,自己就可能发现是因为

“分类标准”的不同造成的。

(二)关于教材使用的建议
●以《标准》为准绳来使用教材
教师在使用教材的过程中应该反复对照和学习《课标》。

《课标》是比教材更加上位的、法律意义下的“标准”性
文件,教材修订的主要依据是《课标》,所以教师应该首 先学好《课标》,并且在使用教材的过程中再反复对照和 学习《课标》,不但包括其中内容的部分,也包括理念的 部分。

●教师使用教材的基本原则是“用教材教”,而不是简单地“教 教材”。就是说,教师要根据自己对课程理念、课程目标和课 程内容的理解,结合自己所教学生的基础、自己教学的个性, 以及当地、当时的地域环境特点和教学改革情况,去把握教材, 吃透教材,调整教材,驾驭教材,选择适当的素材和流程开展 教学,而不是一成不变地“教教材”。教材是实施数学教学的 重要基本资源,但不是唯一的资源。其他的文本资源、信息技 术资源、社会教育资源、环境工具资源也需要充分利用。 《课 标》中所说“教材的编写要有利于调动教师的主动性和积极性, 有利于教师进行创造性教学”,也是鼓励教师“用教材教”。

教学改革说到底,是一个实践的问题。教师还应及时发现和利
用课堂上的生成性资源,因势利导调整预设教案,取得更好的

●教师使用教材时要特别关注学生数学思维品质的提高。数
学教学的一个重要方面是培养和改善学生的思维品质,这 应该从小学一年级开始,所以教师使用教材时可以常常问 自己:这一节课的数学知识中蕴含有哪些数学思想和哪些 数学方法?通过教学能够培养和改善学生的哪些思维品质? 教材中是如何体现的?怎样做效果会更好?

●教师使用教材时要加强教学研究。有些教材给学生预留了
自主探究与思考的较大空间,有些教材提供的问题开放性 较大,有可能在一定程度上造成了某些教师理解和把握教 材的困难。建议教师结合新课程的理念,加强教学研究, 准确、全面地理解教材编写者的意图,创造性地使用教材。

●教师使用教材时要适当选择习题,根据需要补充习题。习
题是教材的有机组成部分,在教学中有重要的作用。现在 有些教材的练习量仍然略显不足,部分练习“跳跃性”仍 然较大,建议教师根据当地学生的具体情况适当调整练习 题,增加习题的层次性、效率性和选择性,区别巩固性习 题、拓展性习题、探索性习题,在保证基础知识和基本技 能的必要训练的同时,满足学生的个性化需求,让“不同

的人在数学上获得不同的发展”。


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