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高一复习资料——8函数的图像、函数与方程

时间:2011-07-14


第八讲

函数的图像、 函数的图像、函数与方程

一、知识回顾 1、熟练掌握常见初等函数的函数图像: 具体包括: 一次函数, 二次函数, 反比例函数, 指数函数, 对数函数, 三角函数. 2、函数图像作图的方法 (1) 描点法 描点法(关键点):通过标出函数图像经过的几个关键点, 结合函数的单调性, 奇偶性, 周期性 来作出函数的图像. 在作 y = A sin(ω x + ? )( A > 0, ω > 0) 的图像时, 所采取的五点法作图(三 个平衡位置, 一个波峰及一个波谷), 就是典型的描点法. (2) 对已知函数进行图像变换 图像变换: 图像变换 ①平移变换 平移变换:水平平移:y=f(x) → y=f(x+h); 平移变换
上移h 左移h

y=f(x) → y=f(x?h)
下移h
新新新 新新源 源源源源源源新源 源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王新王新 王 王 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王新 王 王 王kc新王oc王 x @ 2 .6 m 王 w t 1 新

右移h

垂直平移:1)y=f(x) → y=f(x)+h; y=f(x) → y=f(x)?h ②对称变换 对称变换——常用的对称变换有以下几种: 对称变换
关于x轴对称 y = f ( x) ←???? y = ? f ( x) ; →

关于y轴对称 y = f ( x) ←???? y = f (? x) ; →

关于原点对称 关于直线x = a对称 y = f ( x) ←???? y = ? f (? x) ; y = f ( x) ←????? y = f (2a ? x) → →

③翻折变换 翻折变换: 翻折变换
保留x轴上部分 y = f ( x ) ? ??????→ y =| f ( x )| ,y = f ( x) ?保留? ? ? ? ? ??→ y = f (| x |) ? y轴右边部分,并作关于y轴 对称图象(去掉 y轴左边图象) x轴下方部分作关于x轴对称变换

*④伸缩变换 伸缩变换(在三角函数中研究,对一般函数不要求): 伸缩变换
a >1, 纵向伸长到原来的a倍 y = f ( x ) ? ????? a → y = f (ax ) ; y = f ( x ) ?<??????倍 y = af ( x ) ? ?→ 0 a <1, 纵向缩短到原来的a 1 0 < a <1, 横向伸长到原来的 a a >1横向缩短到原来的 1

(3)识图 识图:分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面 识图 3、函数与方程 、 (1)函 数 零点 的 概念 :对于 函 数 y = f ( x )( x ∈ D ) , 把使 f ( x ) = 0 成 立 的 实数 x 叫 做函 数 ..

y = f ( x)( x ∈ D ) 的零点。 (2)函数零点的意义:函数 y = f (x ) 的零点就是方程 f ( x ) = 0 实数根,亦即函数 y = f (x ) 的 图像与 x 轴交点的横坐标。
方程 f ( x ) = 0 有实数根 ? 函数 y = f (x ) 的图像与 x 轴有交点 ? 函数 y = f (x ) 有零点. (3)零点存在性定理: 如果函数 y = f ( x ) 在区间 [a, b ] 上的图像是连续不断的一条曲线,并且有 f ( a ) ? f ( b ) < 0 ,

个c也就是方程 f ( x ) = 0 的根。

那么函数 y = f ( x ) 在区间 (a, b ) 内有零点,并且至少存在一个。即存在 c ∈ (a, b ) 使得 f (c ) = 0 这
1

二、例题讲解 例 1、 (1)说明下列函数 y = 2 (2)讨论函数 y =
x +1

, y = 2 x ? 2 + 3 与指数函数 y = 2 x 的图象的关系

3x + 7 1 的图象与 y = 的图象的关系。 x+2 x

例 2、作图(1) y = log 1 ( ? x )
2

(2) y = ?( )

1 2

x

(3) y = log 2 x

(4) y = x ? 1
2

例 3、已知函数 y=f(x)的图像如右图,试分别作出函数 f ( ? x );? f ( x ); f (| x |); f (| x ? 1 |) 图像

-1 y=f(x)

1 )

例 4、 (1)当 a > 1 时,在同一坐标系中函数 y = a ? x 与 y = log a x 的图像是 ( y y y y

O

x

O

x

O

x

O

x

(A) (2)(2009 山东卷理)函数 y =

(B)

(C)

(D) ( ).

e x + e? x 的图像大致为 e x ? e? x

2

(3)函数 y = f ( x) 与 y = g ( x ) 的图像 如下图:则函数 y = f ( x ) ? g ( x ) 的图像 可能是( )

例 5、设 f ( x) =| 2 ? x 2 | ,若 a < b < 0 ,且 f (a) = f (b) ,则 ab 的取值范围是( A. (0 , 2) B. (0 , 2] C. (0 , 4] D. (0 , 2)



例 6、已知函数 y = f ( x )( x ∈ R ) 满足 f ( x + 1) = f ( x ? 1) ,且当 x ∈ [? 1,1] 时, f ( x) = x 2 ,则

y = f (x) 与 y = log 5 x 的图象的交点个数为
A、2 B、3 C、4



) D、5

例 7、 (1)若函数 f ( x) = 2?| x ?1| ? m 有零点, 求实数 m 的范围. (2)函数 f ( x ) = kx ? 1 ? ( x ? 2) 有两个不同的零点,求实数 k 的取值范围
2

(3)若 0 < a < 1 ,则 f ( x ) = a ? log a x 有几个零点?
x

三、课后练习 1、函数 y = ?

1 的图像是( x +1
B



A

C

D

2、函数 f ( x ) = ln x ? A. (1, 2 )

2 的零点所在的大致区间是( x ? 1? B. ( 2,3) C. ? 1, ? 和 ( 3, 4 ) ? e?
3

) D. ( e, +∞ )

3、汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程 s 看作时间 t 的函数,其图像可能是( ) s s s s

O A.

t

O B.
x

t

O C.

t O D.

t

4、 已知函数 f ( x ) = log a (2 + b ? 1)( a > 0,a ≠ 1) 的图象如图所示, a,b 满足的关系是 则 ( ) y A. 0 < a C. 0 < b
?1

< b <1 < a < ?1

B. 0 < b < a D. 0 < a
?1

?1

<1

O

x

?1

< b ?1 < 1

?1


5、函数 f ( x ) = 1 + log 2 x 与 g ( x ) = 2? x +1 在同一直角坐标系下的图象大致是(

6、将 y = 2 3 x 向右平移 2 个单位,得到函数解析式为 到的函数解析式为 。

,再向上平移 1 个单位得

7、函数 y = 2 | x | ?1 与 y = 1 ? x 2 的图像的公共点有_______个; 8、若方程 2ax 2 ? x ? 1 = 0 在 (0,1) 内恰有一解,则 a 的取值范围是_______。 9、画出下列函数的图像,并求其值域: ⑴y=

2x + 2 x ?1

(2) y = log 2

1 ; x

(3) y = log 1 | x + 2 | .
2

10、m 为何值时,函数 y = x 2 ? 2 x ? 3 的图像与直线 y = m 恰有 ⑴4 个交点, ⑵3 个交点; ⑶2 个交点; ⑷没有交点.

4


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