nbhkdz.com冰点文库

圆锥曲线的探究性(即存在问题) 2

时间:2014-02-09

1 错误!未指定书签。 . (2013 届北京丰台区一模理科)已知以原点为对称中心、F(2,0)为右焦

点的椭圆 C 过 P(2, 2 ),直线 l :y=kx+m(k≠0)交椭圆 C 于不同的两点 A,B。 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)是否存在实数 k,使线段 AB 的垂直平分线经过点 Q(0,3)?若存在求出 k 的取 值范围;若不存在,请说明理由。

2 错误! 未指定书签。 . (2013 届北京市延庆县一模数学理) 已知动点 P ( x, y ) 与一定点 F (1,0) 的

距离和它到一定直线 l : x ? 4 的距离之比为 (Ⅰ) 求动点 P ( x, y ) 的轨迹 C 的方程;

1 . 2

(Ⅱ) 已知直线 l ? : x ? my ? 1 交轨迹 C 于 A 、B 两点, 过点 A 、B 分别作直线 l : x ? 4 的垂线,垂足依次为点 D 、 E .连接 AE 、 BD ,试探索当 m 变化时,直线 AE 、 BD 是否相交于一定点 N ?若交于定点 N ,请求出 N 点的坐标,并给予证明;否则说明 理由.
3 错误!未指定书签。 . (2013 届门头沟区一模理科)在平面直角坐标系 xOy 中, 动点 P 到直

线 l : x ? 2 的距离是到点 F (1, 0) 的距离的 2 倍. (Ⅰ)求动点 P 的轨迹方程; (Ⅱ)设直线 FP 与(Ⅰ)中曲线交于点 Q ,与 l 交于点 A ,分别过点 P 和 Q 作 l 的垂 线,垂足为 M , N ,问:是否存在点 P 使得 ?APM 的面积是 ?AQN 面积的 9 倍?若存 在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由.

4 错误!未指定书签。 . ( 【解析】北京市朝阳区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 )已知

点 A 是椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1? t ? 0 ? 的左顶点,直线 l : x ? my ? 1(m ? R) 与椭圆 C 相交 9 t

于 E , F 两点,与 x 轴相交于点 B .且当 m ? 0 时,△ AEF 的面积为 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

16 . 3

(Ⅱ)设直线 AE , AF 与直线 x ? 3 分别交于 M , N 两点,试判断以 MN 为直径的 圆是否经过点 B ?并请说明理由.

5、已知椭圆 C 的中心在坐标原点,左顶点 A?? 2,0? ,离心率 e ? . F 的直线交椭圆 C 于 P 、 Q 两点(不同于点 A ) (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)当 PQ ?

1 , F 为右焦点,过焦点 2

24 时,求直线 PQ 的方程; 7

(Ⅲ)判断 ?ABC 能否成为等边三角形,并说明理由.

6.(本小题满分 13 分) 如图,已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的长轴为 AB ,过点 B 的直线 l 与 x 轴垂直,椭圆的 a 2 b2

离心率 e ?

3 , F 为椭圆的左焦点,且 AF g BF ? 1 . 2

(I)求此椭圆的方程; (II)设 P 是此椭圆上异于 A, B 的任意一点, PH ? x 轴, H 为垂足,延长 HP 到点 Q 使 得 HP ? PQ . 连接 AQ 并延长交直线 l 于点 M , N 为 MB 的中点,判定直线 QN 与以 AB 为直径的圆 O 的位置关系.

1.错误!未找到引用源。解: (Ⅰ)设椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? b ? 0 ? ,由题意 a 2 b2

?a 2 ? b 2 ? 4 x2 y 2 ? 2 2 ? ? 1 . …………5 a ? 8 b ? 4 ,解得 , ,所以椭圆 C 的方程为 ?4 2 8 4 ? 2 ? 2 ?1 ?a b


(Ⅱ)假设存在斜率为 k 的直线,其垂直平分线经过点 Q(0,3) , 设 A(x1,y1)、B(x2,y2),AB 的中点为 N(x0,y0),

? x2 y 2 ?1 ? ? 2 2 2 由? 8 得 (1 ? 2k ) x ? 4mkx ? 2m ? 8 ? 0 , …………………6 分 4 ? y ? kx ? m ?
2 2 所以 8k ? m ? 4 ? 0 ,…7 ? ? 16m2 k 2 ? 4(1 ? 2k 2 )(2m2 ? 8) ? 64k 2 ? 8m2 ? 32 ? 0 ,



4mk , 1 ? 2k 2 x ?x 2mk m , y0 ? kx0 ? m ? , ? x0 ? 1 2 ? ? 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2 ?线段 AB 的垂直平分线过点 Q(0,3) x1 ? x2 ? ?
2.错误! 未找到引用源。 解: (Ⅰ)由题意得

……………8 分

( x ? 1) 2 ? y 2 1 x2 y2 ? , 化简并整理, 得 ? ? 1. 4 3 | x?4| 2
x2 y2 ? ? 1. 4 3
3 2 3 2
………3 分

所以动点 P ( x, y ) 的轨迹 C 的方程为椭圆

(Ⅱ)当 m ? 0 时, A(1, ) 、 B (1,? ) , D (4, ) 、 E (4,? ) 直线 AE 的方程为: 2 x ? 2 y ? 5 ? 0 ,直线 BD 的方程为: 2 x ? 2 y ? 5 ? 0 ,

3 2

3 2

5 5 , y ? 0 ,直线 AE 、 BD 相交于一点 ( ,0) . 2 2 5 假设直线 AE 、 BD 相交于一定点 N ( ,0) . ………5 分 2
方程联立解得 x ? 证明:设 A(my1 ? 1, y1 ) , B (my 2 ? 1, y 2 ) ,则 D (4, y1 ) , E (4, y 2 ) ,

? x ? my ? 1 ? 2 2 由 ? x2 y2 消去 x 并整理得 (3m ? 4) y ? 6my ? 9 ? 0 ,显然 ? ? 0 , ?1 ? ? 3 ?4
? 6m ?9 , y1 y 2 ? . 2 3m 2 ? 4 3m ? 4 3 3 因为 NA ? (my1 ? , y1 ) , NE ? ( , y 2 ) , 2 2 3 3 3 所以 (my1 ? ) ? y 2 ? y1 ? ? my1 y 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 2 2 ? 9m 3 ? 6m ?0 ………11 分 ? ? ? 3m 2 ? 4 2 3m 2 ? 4
由韦达定理得 y1 ? y 2 ? 所以, NA // NE ,所以 A 、 N 、 E 三点共线, ………7 分

………12 分

同理可证 B 、 N 、 D 三点共线,所以直线 AE 、 BD 相交于一定点 N ( ,0) .14 分 ,
3 错误!未找到引用源。 (Ⅰ)解:设点 P 的坐标为 ( x, y ) .

5 2

由题意知 2 ? ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 2 ? x 化简得

……………………………3 分

x2 ? 2 y 2 ? 2 x2 ? 2 y 2 ? 2
……………………………5 分

所以动点 P 的轨迹方程为

(Ⅱ)设直线 FP 的方程为 x ? ty ? 1 ,点 P ( x1 , y1 ), Q ( x2 , y2 ) 因为 ?AQN ∽ ?APM ,所以有 PM ? 3QN ,由已知得 PF ? 3QF , 所以有 y1 ? ?3 y2 (1) 由? ……………………………7 分

? x ? ty ? 1 ?x ? 2 y ? 2
2 2
2

,得 (t 2 ? 2) y 2 ? 2ty ? 1 ? 0 , ? ? 0

y1 ? y2 ? ?


2t 1 (2) , y1 ? y2 ? ? 2 (3) t ?2 t ?2 1 3

……………………………10

由(1) (2) (3)得 t ? ?1, y1 ? 1, y2 ? ? 或 t ? 1, y1 ? ?1, y2 ? 所以 存在点 P 为 (0, ?1)

1 3

4.错误!未找到引用源。解: (Ⅰ)当 m ? 0 时,直线 l 的方程为 x ? 1 ,设点 E 在 x 轴上方,

? x2 y 2 ? 1, 4 2t 2 2t 2 2t ? ? ), F (1, ? ) ,所以 EF ? 由? 9 解得 E (1, . t 3 3 3 ? x ?1 ?
因为△ AEF 的面积为

1 4 2t 16 ? 4? ? ,解得 t ? 2 . 2 3 3

所以椭圆 C 的方程为 分

x2 y 2 ? ?1. 9 2

………………………………………………… 4

? x2 y 2 ? 1, ? ? 2 2 (Ⅱ)由 ? 9 得 (2m ? 9) y ? 4my ? 16 ? 0 ,显然 m ? R .…………………5 2 ? x ? my ? 1 ?

分 设 E ( x1, y1 ), F ( x2 , y2 ) , 则 y1 ? y2 ?

?4m ?16 ,………………………………………………6 分 , y1 y2 ? 2 2m ? 9 2m 2 ? 9

x1 ? my1 ? 1 , x2 ? my2 ? 1 .
y1 ? ( x ? 3), y1 6 y1 ?y ? x1 ? 3 又直线 AE 的方程为 y ? 解得 M (3, ( x ? 3) ,由 ? ), x1 ? 3 x ? 3 1 ? x?3 ?
同理得 N (3,

???? ? 6 y2 6 y1 ???? 6 y2 ) .所以 BM ? (2, ), BN ? (2, ) ,……………………9 分 x2 ? 3 x1 ? 3 x2 ? 3 6 y1 6 y2 ) ? (2, ) [来源:Zxxk.Com] x1 ? 3 x2 ? 3

又因为 BM ? BN ? (2,

???? ? ????

? 4?

36 y1 y2 36 y1 y2 ? 4? ( x1 ? 3)( x2 ? 3) (my1 ? 4)(my2 ? 4)

?

4(my1 ? 4)(my2 ? 4) ? 36 y1 y2 m2 y1 y2 ? 4m( y1 ? y2 ) ? 16
?16(4m2 ? 36) ? 16 ? 4m2 ? 16 ? 4(2m2 ? 9) ?32m2 ? 16(2m2 ? 9)

?

?

?64m2 ? 576 ? 64m2 ? 128m2 ? 576 ? 0 .…………………………13 分 9
???? ? ????
………………………………… 14

所以 BM ? BN , 所以以 MN 为直径的圆过点 B . 分 5 解: (Ⅰ)设椭圆方程为 由已知 a ? 2, e ?
2 2

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0) , a2 b2

c 1 ? , a 2
2

∴c ?1 , b ? a ?c ? 3 ,

----------------------------------2 分

∴ 椭圆方程为 (Ⅱ)解法一

x2 y2 ? ? 1. 4 3

---------------------------------------------4 分

椭圆右焦点 F ?1,0? . 设直线 P Q 方程为 x ? my ? 1 ( m ∈R) . -------------------------------5 分

? x ? my ? 1, ? 由 ? x2 y 2 ? 1, ? ? 3 ?4

得 3m ? 4 y ? 6my ? 9 ? 0 .①
2 2

?

?

-----------6 分

显然,方程①的 ? ? 0 . 设 P?x1 , y1 ?, Q?x2 , y2 ? ,则有 y1 ? y2 ? ?

6m 9 . , y1 y2 ? ? 2 2 3m ? 4 3m ? 4

----7 分

PQ ?

?m

2

? 1?? y1 ? y2 ? ?
2

?m

2

? 36 m 2 36 ? ? ? 1?? ? 2 2 ? ?3m 2 ? 4? 3m ? 4 ? ? ?

? 12
∵ PQ ?

?m ?3m

2 2

?1

? ? 4?
2

2

? 12 ?

m2 ? 1 . 3m 2 ? 4

24 , 7

m 2 ? 1 24 ? ∴ 12 ? . 3m 2 ? 4 7
解得 m ? ?1 . ∴直线 PQ 方程为 x ? ? y ? 1 ,即 x ? y ? 1 ? 0 或 x ? y ? 1 ? 0 . 解法二: 椭圆右焦点 F ?1,0? . 当直线的斜率不存在时, PQ ? 3 ,不合题意. 设直线 P Q 方程为 y ? k ( x ? 1) , 由? --------------------------------------5 分
2 2 2

----------9 分

? y ? k ? x ? 1?,
2 2 ?3 x ? 4 y ? 12,

得 3 ? 4k x ? 8k x ? 4k ? 12 ? 0 .
2

?

?



----6 分

显然,方程①的 ? ? 0 . 设 P?x1 , y1 ?, Q?x2 , y2 ? ,则 x1 ? x2 ?

8k 2 4k 2 ? 12 , x ? x ? . 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

--------7 分

PQ ?

?1 ? k ???x ? x ?
2 1 2

2

? 4 x1 ? x2

?

?

?

?? 8k 2 ? 2 4k 2 ? 12 ? ? ? 1 ? k ?? ? 4 ? ? 3 ? 4k 2 ? 3 ? 4k 2 ? ? ? ? ? ?
2

?

= 12 ∵ PQ ?

?k ? 1? ?4k ? 3?
2 2 2

2

? 12

k 2 ?1 . 4k 2 ? 3

24 , 7

k 2 ? 1 24 ∴ 12 2 ,解得 k ? ?1 . ? 4k ? 3 7
∴直线 PQ 的方程为 y ? ??x ? 1? ,即 x ? y ? 1 ? 0 或 x ? y ? 1 ? 0 . --------9 分 (Ⅲ) ?APQ 不可能是等边三角形. ------------------------------------------------11 分

如果 ?APQ 是等边三角形,必有 AP ? AQ , ∴ ?x1 ? 2? ? y1 ? ?x2 ? 2? ? y2 ,
2 2 2 2

∴ ?x1 ? x2 ? 4??x1 ? x2 ? ? ? y1 ? y2 ?? y1 ? y2 ? ? 0 , ∴ ?m? y1 ? y2 ? ? 6?m? y1 ? y2 ? ? ? y1 ? y2 ?? y1 ? y2 ? ? 0 , ∵ y1 ? y2 , ∴ m ? 1 ? y1 ? y2 ? ? 6m ? 0 ,
2

?

?

∴ m ?1
2

?

? 6m ? 3m ? 6m ? 0 , ?4
2

∴ m ? 0 ,或

m2 ? 1 ? 1 (无解) . 3m 2 ? 4
3 5 ,不能构成等边三角形. 2

而当 m ? 0 时, PQ ? 3, AP ? AQ ?

∴ ?APQ 不可能是等边三角形.--------------------------------------------------------14 分 6.(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由题意可知, A(?a, 0) , B (a, 0) , F (?c, 0) ,

AF g BF ? (a ? c)(a ? c) ? 1

? a 2 ? c 2 ? b2 ? 1

3 c2 a 2 ? b2 a 2 ? 1 3 2 2 又e ? , e ? 2 ? ,解得 a ? 4 ? 2 ? 2 2 a a a 4
所求椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1 …………………………5 分 4

(Ⅱ)设 P( x0 , y0 ) ,则 Q( x0 , 2 y0 ) ( x0 ? 2, x0 ? ?2)

由 A(?2, 0), 得 k AQ ?

2 y0 x0 ? 2 2 y0 ( x ? 2) x0 ? 2

所以直线 AQ 方程 y ?

由 B(?2,0), 得直线 l 的方程为x ? 2,
? M (2, 8 y0 ) x0 ? 2 ? N (2, 4 y0 ) x0 ? 2

由 k NQ

4 y0 ? 2 y0 x0 ? 2 2x y ? ? 20 0 2 ? x0 x0 ? 4
2 2

又点 P 的坐标满足椭圆方程得到: x0 +4 y0 ? 4 , 所以 x0 ? 4 ? ?4 y0
2 2

k NQ ?

2 x0 y0 2 x0 y0 x ? ?? 0 2 2 x0 ? 4 ?4 y0 2 y0 x0 ( x ? x0 ) 2 y0
2

? 直线 NQ 的方程: y ? 2 y0 ? ?
2

化简整理得到: x0 x ? 2 yy0 ? x0 ? 4 y0 ? 4 即 x0 x ? 2 yy0 ? 4 所以点 O 到直线 NQ 的距离 d ?

4 x0 2 +4 y0 2

? 2 ? 圆O的半径

? 直线 NQ 与 AB 为直径的圆 O 相切.……………………………………. 13 分


(二)圆锥曲线中的存在性问题.doc

(二)圆锥曲线的存在性问题 - 热点 圆锥曲线的存在性问题 (1)所谓存在性问题,就是判断满足某个(某些)条件的点、直线、曲线(或参数)等几何元 素是否存在...

圆锥曲线中的最值、范围问题2_图文.ppt

2.圆锥曲线中的存在性问题 (1)所谓存在性问题, ...即利用曲线 的定义、几何性质以及平面几何中的定理、...2 探究提高 若一个函数式的分母中含有一次式或...

9-专题2圆锥曲线综合问题_图文.ppt

第九章 圆锥曲线方程 探究2 (2)圆锥曲线中最...圆锥曲线方程 ∴x1x2+y1y2=0,即 2x1x2-(x1+...直线 CP 和 DP 的斜率都存在且不 为 0,试问...

2014圆锥曲线中的定点和定值问题(答案2).doc

2014圆锥曲线中的定点和定值问题(答案2) - 圆锥曲线中的定点和定值问题

第十节 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题_图文.ppt

第十节圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题本节...(2)特殊到一般法:根据动点或动线的特殊情况探索 ...x A B 2 2 yA yB 即4 4 +2yAyB=0, 解...

圆锥曲线的概念与性质、存在性问题与曲线中的证明_图文.ppt

圆锥曲线的概念与性质、存在性问题与曲线中的证明 - 第圆锥曲线的概念与性质、存在 性问题与曲线中的证明 【主干知识】 1.必记公式 (1)三个定义式: ①...

2018年高三数学二轮复习课件 专题6第3讲定点、定值、存在性问题_....ppt

圆锥曲线的探索性问题主要体现在以下几个方面:(1)探 索点是否存在.(2)探索.

2014高三数学(理)2 圆锥曲线的综合问题.ppt

线问题.必须提醒的是“点差 法”具有不等价性,即...直线与圆锥曲线C___. (2)当a=0,b≠0时,即得到...第八章 第9讲 第15页 核心要点研究 第八章 第9...

...圆锥曲线中的参变量取值范围及探究性问题_图文.ppt

人教版新课标高中总复习(第2轮)文科数学课件:专题6第22讲 圆锥曲线中的参变量取值范围及探究性问题 - 专题六 解析几何 专题一 函数与导数 1.椭圆、双曲线和...

...圆锥曲线中的参变量取值范围及探究性问题.ppt

(第2轮)文科数学课件:专题6第22讲 圆锥曲线中的参变量取值范围及探究性问题_...1 2 , .② 3或 k ? ? 3. 2 k ?9 ? ? 1 2 ,即m ? 2 k 2 ...

专题6 第3讲定点、定值、存在性问题 课件(60张)_图文.ppt

存在性问题 1 高考考点聚焦 2 3 4 5 核心知识...(3)面积型:求面积型的最值,即求两个量的乘积的...4.探究性问题:有关圆锥曲线的探究性问题,一般假...

...圆锥曲线中的参变量取值范围及探究性问题_图文.ppt

2013届高中数学二轮总复习课件 圆锥曲线中的参变量取值范围及探究性问题_数学_...? ,即m ? .② 2 k ?9 2 2k 把②代入①,化简得k 2 ? 3,所以k ? ...

...专题6 解析几何 第3讲 圆锥曲线的综合应用 2-6-3_图....ppt

探究性问题:有关圆锥曲线的探究性问题,一般 假设满足条件的量存在,以此为基础进行推理. [失分警示] 1.求轨迹方程时要注意它的纯粹性与完备性. 2.使用函数...

第21讲 圆锥曲线中的参变量取值范围及探究性问题_图文.ppt

第21讲 圆锥曲线中的参变量取值范围及探究性问题_数学_高中教育_教育专区。 ...AE a+c 即c -ac-2a <0,两边同除以a ,得e-e-2<0,有e>1, 所以离心...

2019届高考数学大二轮复习(文理通用)课件:第1部分 专题....ppt

探索点是否 的探索性存在.(2)探索曲线是否存在...(1)圆锥曲线中的定值问题. ? (2)圆锥曲线中的...(3)面积型:求面积型的最值,即求两个量的乘积的...

...第3讲 圆锥曲线中的参变量取值范围及探究性问题_图....ppt

2013年二轮复习专题 解析几何 第3讲 圆锥曲线中的参变量取值范围及探究性问题_...? ,即m ? .② 2 k ?9 2 2k 把②代入①,化简得k 2 ? 3,所以k ? ...

...区间六★解析几何★★增分点6 圆锥曲线中的证明问题、探究性....doc

★解析几何★★增分点6 圆锥曲线中的证明问题探究性问题_高三数学_数学_高中...5? 2 25 2 (2)证明: 把 y=0 代入方程? 解得 x=1 或 x=4, 即点 ...

...第1小题满分6分,第2小题满分8分双曲线的左、右焦点....doc

即 ∴ ∴渐近线方程为 (2)若,则双曲线为 ∴, 设, ,则 , , ∴ (*...双曲线的几何性质圆锥曲线的定点、定值问题圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥...

圆锥曲线综合问题选讲(2012.4.18)_图文.ppt

? πππ当θ+=2kπ+,k∈Z,即θ=2kπ+,k∈...(3)问以存在性问题的探究为主. 此专题各个档次的...2.圆锥曲线中各量的计算、焦点三角形、焦点弦 、...

...圆锥曲线中的参变量取值范围及探究性问题_图文.ppt

专题6第21讲 圆锥曲线中的参变量取值范围及探究性问题_数学_高中教育_教育专区...1 2 , .② 3或 k ? ? 3. 2 k ?9 ? ? 1 2 ,即m ? 2 k 2 ...