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赏析2012年高考湖北卷理科压轴题

时间:2015-09-22


2  

数 学通 讯 一一 2 O 1 2年 第 7 、 8期 ( 上半 月)  

? 辅教导学 ?  

赏析 2 0 1 2 年高考湖 北卷理科压轴题 

圆 圈 圈 圈 
2 0 1 2年 高考 湖北卷 理科 第 2 2题 为 :  
( I)已知 函数 . 厂 ( z ) 一r x—x   +( 1 一r ) ( z> 
nq  


魏仁洪  
( 湖 北 省 水 果 湖 高 级 中学 ,4 3 0 0 7 1 )  

● 

q  

O ) , 其中r 为有 理数 , 且0 <r <1 .求 . 厂 ( z ) 的最小 
值;   ( Ⅱ)试用 ( I)的结 果证 明如 下命 题 : 设 n   ≥ 

第( 1 l I )问实际 上就是 著名 的加权平 均 值 不 等 

式, 它应 该是 来 源 于刘 玉琏 主 编 的高 等 学 校 教 材 
《 数 学 分析讲 义 》 上 册 中的一道 习题 :  

0 , n 2 ≥0 , b 。 , b 2为 正 有 理 数.若 b l +b 2— 1 , 则 
n l  口 2   2≤  a l b 1 +口 2 b 2 ;  

证 明下面 的不 等式 , 并 讨论等 号成 立 的条件 :  
1   1 z 2   2 …z H 。 n≤ n l x l +n 2  z +… +n   ,  

( Ⅲ) 请将( Ⅱ)中 的命题 推 广 到一 般 形式 , 并  用 数学 归纳 法证 明你所 推广 的命 题.  
注  当 a为正有 理数 时 , 有求 导公 式 (  )  =  

.  

其中 X l ,  z , …, X  ≥ 0 , 口 l , n 2 , …, 口  > 0 , 且 
a 1+ a 2 + … +口  = 1 .  

二、 解 法 分 析 

( I ) 厂( z )一 r 一 ̄ X - r -  一 r ( 1一 X r -   ) , 令  /( z ) 一0 , 得 z= = = 1 .  
当 0< X< 1时 ,  ( z ) <0 , 所以 厂 (  ) 在( o ,   1 )内是减 函数 ;  

这道试 题沿 袭 了湖 北卷 理 科 压 轴题 一 题 多 问  的设 计模式 , 三 个 问题 层 次 分 明 , 由易 到 难 , 逐 层  推进 , 先探 讨 简单 结 论 , 再推广到一般形式 , 较好 

地控 制 了人 口难度 , 使考 生易 于人 手.   第( I)问求 函数 的最 小 值 , 考 查 函数 和 导 数 
知 识 的应用 , 是学 生熟 悉 的问题 ; 第( Ⅱ)问指 明要  利用( I)的结 果 , 考查学 生 知识迁 移 的能 力 , 关键  是 选 取合适 的 值 代 入第 ( I)问得 到 的不 等 式 中 ,  
0 .  

当 X> 1时, /( z )> 0 , 所以, ( z )在 ( 1 ,  
+6 。 )内是增 函数 ;   故 函数 f ( x )在 X一 1处取得 最小 值 f ( 1 )=  ( Ⅱ)由 ( 工) 知, 当 X> 0时 , 有 , (  ) ≥ , ( 1 )  
= 0, 即 

得到 所要 的结果 , 有一 定 的技巧 ; 第( Ⅲ)问要 求把  ( Ⅱ)中的命 题推 广 到一 般 形 式 , 变 化 的 方 向 不 明  确, 很多 学生 没有得 到 正确 的 的 推广 命 题 , 即使得 
到 了正确 的 的推 广 命 题 , 但 要 用数 学 归 纳 法证 明  它, 仍然 具有 很大 的挑 战性 .  


X   ≤ 7 X+ ( " 1 一r )   a 2 b 2成 立 ;  

① 

若 a 1 , a 2中有 一 个 为 0 , 则 口 l  n 2   b 2≤ a l b l +  若 n 1 , n 2 均不 为 0 , 由b l +b 2 — 1 可得 b 2 — 1  




背景 探 究 

b   . 在 0 中令  =  , r =b   , 可得 (   )  ≤ 6   .  
( 22   a2  

这 道试 题 以 凸 函数 及 其 应 用 为 切 入 点 , 具 有 

很深 刻 的高等 数学背 景.   第( I)问来 自于重要 的贝努利 ( B e r n o u l l i ) 不  等式 : 设 z≥一 1 , 则当 0 < 口< 1时 , ( 1 + ) 。 ≤1  
+  ; 当O L < 0或 a> 1时 , ( 1 +z )  ≥ 1 +  . 在 

+( 1 一b 1 ) , 即n 1  a 2 卜 。 1 ≤a l b l +a 2 ( 1 一b 1 ) , 亦 
n 2  

即a 1  a 2   b 2≤ a 1 b 1 +a 2 b 2 .  

综上 , 对n 1 ≥0 , 口 2 ≥0 , b   , b 2 为 正有 理数 且 b  
+b 2= 1 , 总有 n l  a 2   b 2≤ a 1 b l +C l 2 b 2 .  

这里 , 令 a— r , 并 把 X用  一 1 替 换后 即得 本题 的 
结论 : 对 一切 z> 0 , z   ≤ r a g +( 1 一r ) , 其中 0 <r  
< 1 .  

( Ⅲ) ( Ⅱ)中命 题 的推广形 式 为 : 设口   , a   , …,   a   为 非负 实数 , b   , b   ”, b   为正有理 数 , 若b 。 +b :  
+ … +b  = l , 则  a 1 厶 1   a 2   b 2 …a   ≤  a 1 6 1 +口 2 b 2 +… +口   6   ②  用数 学归 纳法证 明如下 :  

第( Ⅱ)问来 自于杨 格不 等 式 : 设 有 理 数 p> 
1   1   、  

1 , q >1 且÷ +   =1 , 口 , 6 为正数 , 则a b≤  +  

?

辅教 导学 ?  

数 学 通 讯— — 2 O 1 2年 第 7 、 8期 ( 上半月)  

3  

( 1 )当 , 2 — 1 时, b 1 — 1 , 有 Ⅱ l ≤ 口 l , ② 成立 .   ( 2 )假设 当  一 k时 , ② 成立, 即若 a   , a   , …,  

( 1 ) 若口 l b 1 +1 2 2 b 2 + … +a . b  ≤ b l +b z + … 
+b   , 则 口 l   1   a 2   b 2 …口   ≤ 1 ;  

a   为非 负 实数 , b   , b : , …, b   为 正有 理数 , 且b 。 +b z   + …+b  一 1 , 则Ⅱ 2   n  …n  ≤ 口 l b l +口 2 b 2 + … + 
a   b^ .  

( 2 )若 b 1+ b 2+ … + b  一 1 ,则  b l  6 2  …6   ≤b ; +b l +… +b : .  

≤ 

当7 2 一k +1 时, 已知 a l , a 2 , …, a   , 口 抖 1 为非 负 

这 两道压 轴题 不仅 最 后 一 问 的结 论 在 形式 上  非常 相 似 , 而且 它 们有 着 共 同的背 景 — — 一般 形  式 的加 权平 均值 不等式 :  
若 口   ≥ 0 , b f > 0 (  一 1 , 2 , …,  ) , 则 
( 口 i   b   a 2 b 2 …Ⅱ  一 )   幸 : : 巧  

实数, b   , b 。 , …, b   , 6 抖   为正 有 理数 , 且b 。 +b z +… 
+b   +b k + 1 —1 , 此时 0 <6 抖 l < 1 , 即l 一6 抖l >0 ,  
于 是 

口 }   n  … n  n  
6 1  


一 (   2   口  …  ) 口 2  
6 ,   6^  

/ 口 I b l + a z b z+ … + 口   b  

( 口 1   :   :   口 2 上 1 - b k k , ]   …口   啼

)   一 b k + l 口   .  

— ■  干 
一1 ,  
即 
al   b  1 2 2   … 1 2n  ^  

_ ’  

因为 丁  

+ r 

+ … +丁  

由 归 纳 假 设 可 得 
! !  
all -b H 1   a2   l… 口  } 十  

≤ c  等螽 

+ . ”  

≤ 

+a z?   5 2  
b  


实 际上 , 这 两 道 试 题 都 是 以凸 函 数 为 背 景 命  制的, 都 可 以根 据 凸 函数 的性 质 ( 琴 生 不等 式 )来 
进行 证 明 , 限于篇 幅 , 这 里 不作介 绍.  

十 …   一ak ‘— 1


  。

.  

b k + l  

对 于第 ( Ⅲ)问 , 如 果 没有 要 求 用 数学 归 纳 法 
证明, 我 们 还可 以这样 来考 虑 :   当n   , a : , …, 1 2   中有一 个 为 0 时, 不等 式 ② 显  然 成立 .  
’  

a 1 b 1+ a 2 b 2 + … + n I b  
1— 6 抖1  

从而 n  a 2 。 …a   n  
≤ (  

当n   , a 。 , …, 口  都 大于 0时 , 注 意到 b   +b   + 


+b  一 1 , 要证 明 ② 式 , 即证 
口 1   6 1   a b 2 … 2   口


又 因为 ( 1 一b t + 。 ) +6 抖  一 1 , 由( 1 I )中结论 得 

6 一  

(  

1 堕} 二生  ) - 一 b i +   。   6 抖1   一  


≤  ( 口 1 b l +以 2 b 2 +… +n   6   )   1 +   2 + … +   一 ,  

为叙 述方便 , 记 A 一Ⅱ l b l +1 2 2 b 2 + … +a . b   ,  

≤堕  
+ “抖1 6 々 +  

. ( 1 一   )  
即证  ≤ l , 即证 (   ?(  )  ? … ?  

一 a 1 b 1 +a 2 b 2 + … +n ^ b 女+ 口 抖l 6 抖l ,  

(   )  ≤ 1 , 即 证 

从而 n  n  …n   口   ≤   a l b 1 十口 z b 2 +… +a k b I  
+  + 1 6 抖1 .  

6 - 1 n (   ) +6 z l n (  ) + … +6 H l n (   )≤ 0 ③  显然 , 不 等式 ③ 的左 边与 函数 l n x有 关 , 一 个  很 自然 的想 法是 寻找 一个 与 l n x有关 的不 等 式 l n x  

故 当 ”一 k + 1时 , ② 成立.   由( 】 ) ( 2 )可 知 , 对一 切正 整数  , 所 推 广 的命 
题 成立 .   三、 重 新 审 视 

≤ g (   ) , 使 得 b l g (   ) + 6 z g ( 署 ) + … + 6   g (   )  
= 0.  

比较 有意 思 的是 , 重新 审 视 这道 压轴 题 时 , 竟  然发 现它 与 2 0 1 1 年高 考湖 北卷 理科 压轴题 同根 同 
源, 遥 相 呼应 , 2 0 1 1 年 高 考湖 北卷 理科 压轴 题 为 :   (I)已知 函数 _ 厂 ( z )一 l n x— X+ 1 , z∈ ( O ,   +。 。 ) , 求 函数 厂 ( z )的最 大值 ;   ( Ⅱ)设 a   ,  ( 忌一 1 , 2 , …, n )均 为 正 数,  
证明:  

为 了有 效利 用 b   +b  + … + b  一 l和 A 一  Ⅱ   b 。 +a 2 b   + … 十a   6   这 两个 条件 , 最好 选 取一个 


次 函数 g ( z )一 k x+ b , 这样 的话 ,  

b l g (   ) + 6 z g ( 鲁 ) + … +  (   )  


k( b  ?   ( A 1+ 6 z。  

+ … + 

?  

)  

4  
+ b ( b 1 + b 2+ … + b   )  


数 学通 讯 —— 2 O l 2 年第7 、 8期 ( 上半 月)  

?辅教 导 学 ?  

又 b i >o , 所 以  l n (  ) ≤  a l b l 6 。 (  = 1 , 2,  


是+ b,  


经过试验可 知: 取 是= 1 , b一一 1可 以符 合  要 求.   事 实上 , 设^ ( z ) =l n x- -x+ 1 , 则h   ( z ) 一 


, ” ) ,  

对于 i =l , 2 , …,  , 各 式相 加得 

6   1 n (   ) + 6 z 1 n ( 署 ) + … + 6   1 n (   )  

1 . 当  一 1 时, h   ( z ) =0 ; 当0 < z< 1 时, h   ( z )  

>0 , 所以h ( z ) 在( O , 1 )内是 增 函数 ; 当 z> 1 时,   h   ( z )< 0 , 所 以 ( z ) 在( 1 , +。 。 )内是 减 函数. 故  函数 ( z ) 在 z— l 处 取得最 大值 h ( 1 )一 0 . 于是 
h ( z )= l n s c — z+ 1 ≤ 0 , 故对 一切 z> 0 , 有  l n x≤ z一 1   ④ 

≤ ( 警+ 警+ - . . + 警)  


( 6 1 + b 2+ … + b   )  


1— —1 = 0.  

所 以不等式 ③ 成 立 , 从而 不等式 ② 成立.   ( 收 稿 日期 : 2 0 1 2 —0 6 —1 O )  

在 ④ 中分 别取 z一   (  一 1 , 2 , …,  ) , 得 

l n ( 署 ) ≤  一 1 .  

柯 西 不 等 式 及 其 应 用 
熊 诗茂  
( 湖北省武汉市马房山中学 , 4 3 O O 7 9 )  

新课 标 教材选 修 4 _ _5 《 不 等 式选 讲 》 第 三讲  中介 绍 了柯 西 不等式 , 它 不仅 形 式 优美 , 而且 具 有  重要 的应 用价 值 , 学 生 通 过 对 它 的学 习不 仅 能领  略 到它 的几何 背 景 、 证 明方 法 及其 应 用 , 而 且 能 进 


口 ; +… +a : > 0   构造 函数 
厂(  )一 ( 口 1  + 6 1 ) 。 +( 口 2 工+ 6 2 ) 。 十 … +( n   z  

+b   )  一 ( a j +a ; +…+a : )   。 +2 ( a 1 b 1 +a 2 b 2 +  +, q n b   ) z+ ( 研 +b l + … +6 三 ) .  


步感 受 到 数 学 文 化 的 美 妙 , 提 高 自身 的 数 学 
柯 西不 等式 及其证 明 

素 养.  


因为 口 { +n ; + … +口 : >0 , 且厂 (  ) ≥0 在R   上 恒成立 , 所 以二次 函数 厂 ( z )的判 别式 

△一 E Z ( a 1 6 l +n 2 b 2 + … +口   b   ) ] 。 一4 ( a i +口 ;  
+ …+a : ) (   +b i + … +  ) ≤0 ,   即( “ i +Ⅱ ; + … +口 : ) (   +b ; + … +b   )  
≥ ( n l b l +a z b z十 … 十 a   b  )  .  



柯西 不 等 式 的 一 般 形 式 为 : 设 a   , a z , n 。 , …,  

n   , 6   , b : , …, b   是 实数 , 则  ( n } +a ; +… +a : ) (   +b ; +… +b : )  
≥ ( a l b 1 +a 2 b 2十 … + “ , , b   )  ,  

当且 仅 当 n f z+b   一0 ( i 一1 , 2 , …, " ) 即n f = = :   肠, (  一 1 , 2 , …,  )时 , 等号 成立.   证法 2   变换 法.   当“ l —n 2一 …a  一 0 或 b l —b 2 一 …b  一 0  
时, 不 等式显 然成 立.  

当且 仅 当 b   一0 (  一 1 , 2 , …,  )或 存 在一 个  数足 , 使得 “  一 硒  ( i — l , 2 , … 埘) 时, 等号 成 立.  

证法 1   构 造 函数法 , 利用 二次 函数 、 二 次 不 
等式 与二 次方 程 的关 系.   当a l —n 2一 …“  一 0 或 b l —b 2 = …b ,   一0  
时, 不等 式显 然成 立.   设 a 。 , n 。 , …, a  中 至 少 有 一 个 不 为 0 , 则 a ; 4 -  

当A   一∑ n   ≠o , B   一∑ 研≠0 时, 令z ,  


去  一 去  0   一  

' 原 不 等  


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