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【金版学案】2015届高考数学总复习 第十章 第二节直线与圆的位置关系课时精练试题 文(含解析)

时间:2014-09-08

第二节

直线与圆的位置关系

1. (2013·韶关二模) 如图所示, ⊙O 上一点 C 在直径 AB 上的射影为 D, CD=4, BD=8, 则⊙O 的半径等于________.

1 AD+DB 2 解析:由射影定理知 CD =BD·AD,所以 AD=2,所以圆的半径为 AB= =5. 2 2 答案:5 2.(2013·湖北卷)如图,圆 O 上一点 C 在直线 AB 上的射影为 D,点 D 在半径 OC 上的 射影为 E,若 AB=3AD,则 的值为__________.

CE EO

解析:由射影定理知

CE CD2 AD·BD = 2= EO OD OA-AD
答案:8

2



AD

AB-AD

?1AB-AD?2 ?2 ? ? ?

=8.

3.(2012·湛江二模)如图,Rt△ABC 中,∠C=90°,∠A=30°,圆 O 经过点 B,C 且
1

与 AB,AC 分别相交于点 D,E.若 AE=EC=2 3,则圆 O 的半径 R=________.

解析:连接 BE,因为∠C=90°,所以 BE 为圆 O 的直径.因为∠A=30°,AC=4 3, 所以 BC=4.在 R t△BCE 中,由勾股定理得 BE=2 7,所以圆 O 的半径 R= 7. 答案: 7 4.(2013·广州三校广一模后适应性训练)如图,半径为 2 的⊙O 中,∠AOB=90°,D 为 OB 的中点,AD 的延长线交⊙O 于 点 E,则线段 DE 的长为__________.

解析:在 Rt△AOD 中,AO=2,DO=1,所以 AD= 2 +1 = 5,又 BD=1,由相交弦定 3 5 理得 AD·DE=3DO·BD,即 5DE =3×1,所以 DE= . 5 答案: 3 5 5

2

2

2π 5.如图,点 A、B、C 是圆 O 上的点,且 AB=2,BC= 6,∠CAB= ,则∠AOB 对应 3 的劣弧长为__________.

2

解析:连接 CO,因为∠CAB=

2π 4π 2π ,所以 AB 优弧所对的圆心角为 ,从而∠BOC= , 3 3 3

在等腰三角形 BOC 中可求得半径 OB= 2,因为 AB=2,所以△AOB 为等腰直角三角形,所以 2π ∠AOB 对应的劣弧长为 . 2 答案: 2π 2

6. (2012·韶关模拟)如图, AB 是圆 O 的直径, AD=DE, AB=8,BD=6, 则 =________.

AD AC

解析:因为 AD=DE,所以∠ABD=∠DAE.又∠ADC 为公共角,所以△ADC∽△BDA.所以

AD AC

BD 6 3 = = = . AB 8 4 3 答案: 4
7.(2012·深圳调研)如图所示,AB 是圆 O 的直径,弦 AD 和 BC 相交于点 P,连接 CD. 若∠APB=120°,则 等于________.

CD AB

解析:连接 AC,依题意∠APC=60°,因为 AB 是圆 O 的直径,所以∠ACP=90°.所以 PC 1 CD PC 1 cos ∠APC= = .又△PAB∽△PDC,所以 = = . PA 2 AB PA 2 1 答案: 2 8.(2013·揭阳二模)如图,C、D 是半圆周上的两个三等分点,直径 AB=4,CE⊥AB, 垂足为 E,与 BD 相交于点 F,则 BF 的长为__________.
3

解析:依题意知∠DBA=30°,则 AD=2,过点 D 作 DG⊥AB 于 G,则 AG=BE=1,所以 BE 2 3 BF= = . cos 30° 3 答案: 2 3 3

9.(2012·陕西卷)如图所示,在圆 O 中,直径 AB 与弦 CD 垂直,垂足为 E,EF⊥DB, 垂足为 F,若 AB=6,AE =1,则 DF·DB=________.

解析:连接 AD.在 Rt△ABD 中,DE⊥AB,所以 DE =AE·EB=5.在 Rt△EBD 中,EF⊥DB, 2 所以 DE =DF·DB=5. 答案:5 10. 如图, PA 切圆 O 于点 A, 割线 PBC 经过 O, OB=PB=1, OA 绕着点 O 逆时针旋转 60° 到 OD,PD 交圆 O 于点 E 则 PE 的长为________.

2

答案:

3 7 7

11.(2013·陕西卷)如图,弦 AB 与 CD 相交于⊙O 内一点 E,过 E 作 BC 的平行线与 AD 的延长线相交于点 P.已知 PD=2DA=2, 则 PE=__________.
4

解析:因为 BC∥PE,所以∠BCD=∠PED,且在圆中,由∠BCD=∠BAD 得∠PED=∠BAD,

PE PD , PA PE 2 得 PE =PA·PD=3×2=6,所以 PE= 6.
所以△EPD∽△APE,于是 = 答案: 6 12 .(2012·天津卷)如图所示,已知 AB 和 AC 是圆的两条弦,过点 B 作圆的切线与 AC 的延长线相交于点 D.过点 C 作 BD 的平行线与圆相交于点 E,与 AB 相交于点 F,AF=3,FB 3 =1,EF= ,则线段 CD 的长为________. 2

解析:由相交弦的性质可得 AF·FB=EF·FC, AF·FB 3×1 ∴FC= = =2. EF 3 2 AC FC AF 3 8 又∵FC∥BD,∴ = = = ,即 BD= . AD BD AB 4 3 4 2 2 由切割定理得 BD =DA·DC=4DC ,解得 DC= . 3 4 答案: 3 13.(2013·陕西咸阳二模)如图,A、B 是两圆的交点,AC 是小圆的直径 ,D、E 分别是 CA、CB 的延长线与大圆的交点,已知 AC=4,BE=10,且 BC= AD,则 AB=______________.

5

解析:设 BC=AD=x,则由切割线定理得, CA·CD=CB·CE,即 4(4+x)=x(x+10), 2 2 2 2 解得 x=2,即 CB=2,又 AC 是小圆的直径,所以 AB= CA -CB = 4 -2 =2 3. 答案:2 3 14.(2012·辽宁卷)如图所示,⊙O 和⊙O′相交于 A,B 两点,过 A 作两圆的切线分别 交两圆于 C,D 两点,连接 DB 并延长交⊙O 于点 E.证明: (1)AC·BD=AD·AB; (2)AC=AE.

证明:(1)由 AC 与⊙O′相切于 A,得∠CAB= ∠ADB, 同理∠ACB=∠DAB, 所以△ACB∽△DAB.

AC AB ,即 AC·BD=AD·AB. AD BD (2)由 AD 与⊙O 相切于 A,得∠AED=∠BAD. 又∠ADE=∠BDA,得△EAD∽△ABD. AE AD 从而 = ,即 AE·BD=AD·AB. AB BD 结合(1)的结论,得 AC=AE.
从而 =

6


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