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数列通项公式习题

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数列通项公式的求法 几种常见的数列的通项公式的求法 一、 观察法 例:根据数列的前 4 项,写出它的一个通项公式: 1 4 9 16 1 , 2 , 3 , 4 ,? 1, (1) 9, 99, 999, 9999, … (2) (3) 2 5 10 17 2 , 3 1 , 2 2 1 2 ,? (4) , ? , 5 2 3 3 4 , ? ,? 4 5 二、公式法 例: 已知数列{an}是公差为 d 的等差数列,数列{bn}是公比为 q 的(q∈R 且 q≠1)的等比数列,若 函数 f (x) = (x-1)2,且 a1 = f (d-1),a3 = f (d+1),b1 = f (q+1),b3 = f (q-1),(1)求数列{ a n }和{ b n } 的通项公式; 练习.等差数列 ?an ? 是递减数列,且 a2 ? a3 ? a4 =48, a2 ? a3 ? a4 =12,则数列的通项公式是( (A) an ? 2n ? 12 (B) a n ? 2n ? 4 (C) an ? ?2n ? 12 (D) a n ? ?2n ? 10 ) 三、累加法: an?1 ? an ? f (n) 例. 若在数列 ?an ? 中, a1 ? 3 , an?1 ? an ? n ,求通项 an 。 练习 1. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 1 , a n ?1 ? a n ? 2 ,求 an 。 2 n ?n 练习 2.已知数列 {an } 满足 a1 ? 3 , a n ? a n ?1 ? 1 (n ? 2) ,求此数列的通项公式. n(n ? 1) 答案: a n ? 2 ? 四、叠乘法: a n?1 = f (n)· an 例:在数列{ an }中, a1 =1, (n+1)· a n?1 =n· an ,求 an 的表达式。 1 n 练习:已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,前 n 项和 S n 与 an 的关系是 S n ? n(2n ? 1)an ,试求通项公式 an 。 3 五、Sn 法:利用 an ? ? ?S n ? S n?1 ?S1 ( n ? 2) ( n ? 1) 注意:要先分 n=1 和 n ? 2 两种情况分别进行运算,然后验证能否统一。 例:已知下列两数列 {an } 的前 n 项和 sn 的公式,求 {an } 的通项公式。 (1) S n ? n3 ? n ? 1 。 (2) sn ? n2 ? 1 六、待定系数法(辅助数列法,型如: an?1 ? ?an ? m.(? ? 0且? ? 1 ,m ? R) ) 例:已知数 {an } 的递推关系为 an ?1 ? 2an ? 1,且 a1 ? 1 求通项 an 。 练习:在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , a 2 ? 2 , a n ? 2 ? 2 1 a n ?1 ? a n ,求 an 。 3 3 7 3 1 an == ? (? ) n ?1 4 4 3 七.形如 an?1 ? pan ? q n 例. 在数列{an}中a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 2n (n ? N ? ), 求数列{an}的通项公式 试卷 21 题: 在数列{an }中a1 ? 1, an ?1 ? 2an ? 2n (n ? N ? ), (1)设bn ? an .证明{bn }是等差数列。 2n ?1 八.倒数法求通项: 例:已知数列{ an }中 a1 ? 1 且 an?1 ? an (n? N ) ,求数列的通项公式。 , an ? 1 r r 九 . 形如 a n?1 ? pan 型 ( 其中 p,r 为常数, p>0 , a n ? 0 ) 用对数法 . 两边取对数得 lg an?1 ? lg( p ? an ) , 2 例.设正项数列 ?a n ? 满足 a1 ? 1 , a n ? 2a n a n ? 的通项公式. ?1 (n≥2).求数列 ? lg an?1 ? lg p ? r lg an ,设 bn ? lg an ∴原等式变为 bn?1 ? rbn ? lg p 即变为基本型。 练习 数列 ?a n ? 中, a1 ? 1 , a n ? 2 a n ?1 (n≥2) ,求数列 ?a n ? 的通项公式. 2? 2 答案: a n ? 2 2?n 数列的前 n 项求和的求法 1.公式法:①等差数列求和公式;②等比数列求和公式, 特别声明:运用等比数列求和公式,务必检查其公比与 1 的关系,必要时需分类讨论.;③常用公式: 1? 2 ? 3 ? ? n ? 1 n(n ? 1) , 12 ? 22 ? 2 ?1 ,求 log2 3 ? n2 ? 1 n(n ? 1)(2n ? 1) , 6 例、已知 log3 x ? x ? x 2 ? x3 ? ? ? ? ? x n ? ? ? ? 的前 n 项和. 2.分组求和法:在直接运用公式法求和有困难时,常将“和式”中“同类项”先合并在一起,再运用公式法求和. 例、 求数列的前 n 项和: 1 ? 1, 1 1 1 ? 4, 2 ? 7,? ? ?, n ?1 ? 3n ? 2 ,… a a a 练习: 求数列{(n+1)(2n+1)}的前 n 项和 Sn. 3.倒序相加法:若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联,则常可考虑选用倒序相 加法,发挥其共性的作用求和(这也是等差数列前 n 和公式的推导方法). 例、求 sin 2 ? 1 ? sin 2 2? ? sin 2 3? ? ? ? ? ? sin 2 88? ? sin 2 89? 的值 练习: 求 cos 2 89 ? cos2 88 ? cos2 87 ? ??? ? cos2 2 ? cos2 1 . 的值 4.错位相减法:如果数列的通项

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数列通项公式与数列求和精选练习题(有答案) - 1.求通项公式:Sn法、累加法

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