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2013-2014学年高中数学 第二章 2.5(二)等比数列的前n项和(二)基础过关训练 新人教A版必修5

时间:2013-12-04


§2.5
一、基础过关

等比数列的前 n 项和(二)

1. 在各项都为正数的等比数列{an}中, 首项 a1=3, 3 项和为 21, a3+a4+a5 等于( 前 则 A.33 B.72 C.84 D.189

)

1 2.已知{an}是首项为 1 的等比数列,Sn 是{an}的前 n 项和,且 9S3=S6,则数列{ }的前 5

an

项和为 15 A. 和 5 8 31 B. 和 5 16 C. 31 16 D. 15 8

(

)

3.一弹性球从 100 米高处自由落下,每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下,则第 10 次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位) A.300 米 C.199 米 B.299 米 D.166 米 ( )

4.某企业在今年年初贷款 a 万元,年利率为 γ ,从今年年末开始每年偿还一定金额,预计 五年内还清,则每年应偿还 A. ? ( B. D. ? )

a? 1+γ ?
1+γ ?

5

万元 -1
5

aγ ? 1+γ ?
? 1+γ ?
5

5

万元 -1

C. ? 1+γ ?

aγ ? 1+γ ?
4

万元 -1

aγ 1+γ ?

5

万元

5.等比数列{an}共 2n 项,其和为-240,且奇数项的和比偶数项的和大 80,则公比 q= ________. 6.等比数列{an}中,前 n 项和为 Sn,S3=2,S6=6,则 a10+a11+a12=________. 7.在等比数列{an}中,已知 S30=13S10,S10+S30=140,求 S20 的值. 8.一个热气球在第一分钟上升了 25 m 的高度,在以后的每一分钟里,它上升的高度都是它 在前一分钟里上升高度的 80%.这个热气球上升的高度能超过 125 m 吗? 二、能力提升 9.数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=1,an+1=3Sn(n≥1),则 a6 等于 A.3×4
4

( D.4 +1 (
5

)

B.3×4 +1

4

C.4

5

10.某工厂月生产总值的平均增长率为 q,则该工厂的年平均增长率为 A.q C.(1+q)
12

)

B.12q D.(1+q) -1
12

11.银行一年定期储蓄存款年息为 r,三年定期储蓄存款年息为 q,银行为吸收长期资金, 鼓励储户存三年定期的存款,那么 q 的值应略大于________.
1

12.利用等比数列前 n 项和公式证明 a +a 是不为 0 的常数,且 a≠b. 三、探究与拓展

n

n-1

an+1-bn+1 * b+an-2b2+…+bn= ,其中 n∈N a,b a-b

13.已知{an}是以 a 为首项,q 为公比的等比数列,Sn 为它的前 n 项和. (1)当 S1,S3,S4 成等差数列时,求 q 的值; (2)当 Sm,Sn,Sl 成等差数列时,求证:对任意自然数 k,am+k,an+k,al+k 也成等差数列.

2

答案 1.C 2.C 3.A 4.B 5.2 6.16 7.解 ∵S30≠3S10,∴q≠1. 由?
? ?S30=13S10 ?S10+S30=140 ?
10 1

,∴?

? ?S10=10 ?S30=130 ?



?a ? ? ∴? a? ? ?
1 20 10

1-q ? =10 1-q 1-q ? =130 1-q
10 30



∴q +q -12=0. ∴q =3, ∴S20=

a1? 1-q20? 10 =S10(1+q )=10×(1+3)=40. 1-q

4 8.解 用 an 表示热气球在第 n 分钟上升的高度,由题意,得 an+1= an, 5 4 因此,数列{an}是首项 a1=25,公比 q= 的等比数列. 5 热气球在前 n 分钟内上升的总高度为

a1? 1-qn? Sn=a1+a2+…+an= = 1-q

? ?4?n? 25×?1-? ? ? ? ?5? ? ? ?4?n? =125×?1-? ? ?<125. 4 ? ?5? ? 1- 5

故这个热气球上升的高度不可能超过 125 m. 1 3 9.A 10.D 11. [(1+r) -1] 3 12.证明 ∵a≠0,b≠0,a≠b,∴ ≠1. ∴左端=a +a
n n-1

b a

? b ?b?2 ?b?n? b+an-2b2+…+bn=an?1+ +?a? +…+?a? ? ? ?? ? a ? ?

? ?b? ? ? ?b? ? an?1-? ?n+1? an+1?1-? ?n+1? n+1 n+1 ? ?a? ? ? ?a? ? a -b = = = =右端. b a-b a-b 1- a
∴a +a
n n-1

an+1-bn+1 b+an-2b2+…+bn= . a-b
n-1

13.(1)解 由已知,得 an=aq

,因此

S1=a,S3=a(1+q+q2),S4=a(1+q+q2+q3).
当 S1,S3,S4 成等差数列时,S4-S3=S3-S1,
3

可得 aq =aq+aq ,化简得 q -q-1=0. 1± 5 解得 q= . 2 (2)证明 若 q=1,则{an}的各项均为 a,此时 am+k,an+k,al+k 显然成等差数列. 若 q≠1,由 Sm,Sn,Sl 成等差数列可得 Sm+Sl=2Sn,
n a? qm-1? a? ql-1? 2a? q -1? m l n 即 + = ,整理得 q +q =2q . q-1 q-1 q-1

3

2

2

因此,am+k+al+k=aq

k-1

(q +q )=2aq

m

l

n+k-1

=2an+k.

所以 am+k,an+k,al+k 成等差数列.

4


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