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2016

时间:2017-03-01


第 23 课时

2.3.1 圆的标准方程

课时目标 1.掌握圆的标准方程及其推导方法. 2.会判断点与圆的位置关系. 3.会用待定系数法求圆的标准方程.

识记强化

1.圆的标准方程:若圆的圆心坐标为 C(a,b),半径为 r,则圆的标准方程为(x-a) 2 2 2 2 2 +(y-b) =r ;特别地,如果圆心在坐标原点,圆的标准方程就是 x +y =r . 2.点与圆的位置关系的判定方法 2 2 2 设圆的标准方程为(x-a) +(y-b) =r ,则圆心为 A(a,b),半径为 r,若点 M(x0,y0) 2 2 2 2 2 2 在圆上,则(x0-a) +(y0-b) =r ;若点 M(x0,y0)在圆外,则(x0-a) +(y0-b) >r ;若点 M(x0,y0)在圆内,则(x0-a)2+(y0-b)2<r2.反之也成立.

2

课时作业

一、选择题(每个 5 分,共 30 分) 1.以(2,-1)为圆心,4 为半径的圆的标准方程为( ) 2 2 A.(x+2) +(y-1) =4 2 2 B.(x+2) +(y-1) =16 2 2 C.(x-2) +(y+1) =16 2 2 D.(x-2) +(y+1) =4 答案:C 2 2 2 解析:由圆心为(a,b),半径为 r 的圆的标准方程为(x-a) +(y-b) =r ,易知答案 为 C. 2 2 2.方程(x-a) +(y-b) =0 表示的图形是( ) A.以(a,b)为圆心的圆 B.以(-a,-b)为圆心的圆 C.点(a,b) D.点(-a,-b) 答案:C ?x=a ? 2 2 解析:方程(x-a) +(y-b) =0,解得? ,因此它只表示一个点 (a,b),故选 ? ?y=b C. 3.已知点 A(-4,-5),B(6,-1),则以线段 AB 为直径的圆的方程是( ) 2 2 A.(x+1) +(y-3) =29 2 2 B.(x-1) +(y+3) =29 2 2 C.(x+1) +(y-3) =116 2 2 D.(x-1) +(y+3) =116
1

答案:B |AB| 1 2 2 解析: 圆心在线段 AB 的中点(1, -3), 半径为 = ?6+4? +?-1+5? = 29, 2 2 2 2 所以所求圆的方程为(x-1) +(y+3) =29.故选 B. 2 2 4.点 P(m,5)与圆 x +y =24 的位置关系是( ) A.在圆内 B.在圆上 C.在圆外 D.不确定 答案:C 2 2 2 解析:∵m +5 =25+m ≥25>24,∴点 P 在圆外. 2 2 5. 若直线 y=ax+b 经过第一、 二、 四象限, 则圆(x+a) +(y+b) =1 的圆心位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案:D 2 2 解析:由题意,知(-a,-b)为圆(x+a) +(y+b) =1 的圆心.由直线 y=ax+b 经过 第一、二、四象限,得到 a<0,b>0,即-a>0,-b<0,故圆心位于第四象限. 2 2 6.已知点 P(2,5),M 为圆(x+1) +(y-1) =4 上任一点,则 PM 的最大值为( ) A.7 B.8 C.9 D.10 答案:A 解析:把动点最值问题转化为两定点距离问题,PM 的最大值转化为 P 到圆心的距离加 上半径长. 2 2 |PM|max= ?2+1? +?5-1? +2=7. 二、填空题(每个 5 分,共 15 分) 2 2 7.与圆(x-2) +(y+3) =16 同圆心且过点 P(-1,1)的圆的方程为________. 2 2 答案:(x-2) +(y+3) =25 解 析 : 因 为 已 知 圆 的 圆心 为 (2 , - 3) , 所 以 所求 圆 的 圆 心 为 (2 , - 3) . 又 r = 2 2 2 2 ?2+1? +?-3-1? =5,所以所求圆的方程为(x-2) +(y+3) =25. 2 2 8.已知圆 O 的方程为(x-3) +(y-4) =25,则点 M(2,3)到圆上的点的距离的最大值 为________. 答案:5+ 2 解析:由题意,知点 M 在圆 O 内,MO 的延长线与圆 O 的交点到点 M(2,3)的距离最大, 2 2 最大距离为 ?2-3? +?3-4? +5=5+ 2. 2 2 2 2 2 9.若实数 x、y 满足(x+5) +(y-12) =14 ,则 x +y 的最小值是________. 答案:1 2 2 2 2 2 解析:已知 x,y 满足(x+5) +(y-12) =14 ,因此点(x,y)在圆(x+5) +(y-12) 2 2 2 2 2 2 2 =14 上,x +y 表示点(x,y)与原点距离的平方.因为(0+5) +(0-12) =13 <14 ,所以 2 2 原点在圆的内部,所以原点到圆上点的距离的最小值为 14- ?0+5? +?0-12? =14 2 2 -13=1,所以 x +y 的最小值为 1. 三、解答题 10.(12 分)求圆心在 x 轴上,且过 A(1,4),B(2,-3)两点的圆的方程. 解:设圆心为(a,0), 2 2 则 ?a-1? +16= ?a-2? +9,所以 a=-2. 2 半径 r= ?a-1? +16=5, 2 2 故所求圆的方程为(x+2) +y =25. 11.(13 分)已知圆 C 经过点 A(2,-3),B(-2,-5),且圆心在直线 l:x-2y-3=0 上,求圆 C 的方程. 2 2 2 解:设圆 C 的方程为(x-a) +(y-b) =r .

2

?2-a? +?-3-b? =r ? ? 2 2 2 由题意,得??-2-a? +?-5-b? =r ? ?a-2b-3=0
2 2

2

2

2

a=-1 ? ? ,解得?b=-2. ? ?r2=10

所以圆 C 的方程为(x+1) +(y+2) =10. 能力提升 12.(5 分)直线 l:3x-4y+24=0 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点,O 为坐标原点, 求△AOB 的外接圆和内切圆的方程. 解:如图所示,通过画图发现△AOB 为直角三角形,于是它的外接圆是以 AB 为直径的 圆,内切圆的圆心为(-r,r)(r>0).在方程 3x-4y+24=0 中,令 y=0,得 x=-8;令 x=0,得 y=6.故 A、B 两点的坐标分别为(-8,0),(0,6).因为△AOB 为直角三角形,故其 外接圆的圆心为 AB 的中点(-4,3), 且直径|AB|=10, 故半径长为 5.于是△AOB 外接圆的方 1 1 2 2 程为(x+4) +(y-3) =25.内切圆的半径 r= (|OA|+|OB|-|AB|)= (8+6-10)=2,故 2 2 2 2 其圆心坐标为(-2,2).于是△AOB 内切圆的方程为(x+2) +(y-2) =4.

13.(15 分)已知圆满足:①截 y 轴所得弦长为 2;②被 x 轴分成两段弧,其弧长之比是 5 3?:1.③圆心到直线 l:x-2y=0 的距离为 ,求这个圆的方程. 5 解: 设所求圆的圆心为 P(a,b), 半径为 r, 则点 P 到 x 轴、y 轴的距离分别为|b|,|a|. 2 由题设知圆 P 截 x 轴所得劣弧对的圆心角为 90°,知圆 P 截 x 轴所得弦长为 2r,故 r = 2 2 2 2 2 2b ,又圆 P 截 y 轴所得弦长为 2,所以有 r =a +1,从而有 2b -a =1.又因为圆心到直线 5 |a-2b| 5 l:x-2y=0 的距离为 ,∴d= = .即|a-2b|=1,解得 a-2b=±1,由此有 5 5 5
? ?2b -a =1, ? ?a-2b=1, ?
2 2

? ?2b -a =1, 或? ?a-2b=-1, ? ?a=-1, ? ? ?b=-1.
2

2

2

解方程组得?
2

或?

?a=1, ? ? ?b=1,

于是 r =2b =2. 2 2 2 2 ∴所求圆的方程为(x+1) +(y+1) =2 或(x-1) +(y-1) =2.

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