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上海市虹口区2016届高三数学三模试卷(文科) Word版含解析

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2016 年上海市虹口区高考数学三模试卷(文科)
一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共 14 题,只要求在答题纸相应题号的空格内直接 填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.设集合 M={x| ≥0},N={x|2x≥1},则 M∩N= . . .

2.在△ABC 中,tanA=﹣ ,则 sin2A= 3.已知复数 z=

(i 为虚数单位) , 表示 z 的共轭复数,则 z? = (a1+a2+…+an)

4.若等比数列{an}的公比 q 满足|q|<1,且 a2a4=4,a3+a4=3,则

= . 5. = = 若函数 f (x) (x﹣a) |x| (a∈R) 存在反函数 f﹣1 (x) , 则f (1) +f﹣1 (﹣4) 6.在数学解题中,常会碰到形如“



”的结构,这时可类比正切的和角公式.如:设 a,

b 是非零实数,且满足

=tan

,则 =



7.若一个球的半径与它的内接圆锥的底面半径之比为 ,且内接圆锥的轴截面为锐角三角 形,则该球的体积与它的内接圆锥的体积之比等于 . 8.某小区有排成一排的 8 个车位,现有 5 辆不同型号的轿车需要停放,则这 5 辆轿车停入 车位后,剩余 3 个车位连在一起的概率为 (结果用最简分数表示) . 9.若双曲线 x2﹣ =1 的一个焦点到其渐近线的距离为 2 ,则该双曲线的焦距等

于 . 10.若复数 z 满足|z+3|=|z﹣4i|(i 为虚数单位) ,则|z|的最小值为



11.已知实数 x,y,满足

且目标函数 z= x+y 的最大值是 2,则实数 m 的

值为 . 2 12.过抛物线 x =8y 的焦点 F 的直线与其相交于 A,B 两点,O 为坐标原点.若|AF|=6, 则△OAB 的面积为 . 13. 若关于 x 的方程 2x|x|﹣a|x|=1 有三个不同实根, 则实数 a 的取值范围为 . n * 14.若数列{an}满足:an+1+(﹣1) an=n(n∈N ) ,则 a1+a2+…+a100= . 二、选择题(本大题共 4 题,满分 20 分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的 相应题号上,将所选答案的代号涂黑,选对得 5 分,否则一律零分. 15.关于三个不同平面 α,β,γ 与直线 l,下列命题中的假命题是( )

A.若 α⊥β,则 α 内一定存在直线平行于 β B.若 α 与 β 不垂直,则 α 内一定不存在直线垂直于 β C.若 α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l,则 l⊥γ D.若 α⊥β,则 α 内所有直线垂直于 β 16.若函数 y=f(x)的图象与函数 y=3x+a 的图象关于直线 y=﹣x 对称,且 f(﹣1)+f(﹣3) =3,则实数 a 等于( ) A.﹣1 B.1 C.2 D.4 17.在锐角△ABC 中,B=60°,| ﹣ |=2,则 ? 的取值范围为( ) A. (0,12) B.[ ,12) C. (0,4] D. (0,2]

18.在平面直角坐标系中,定义两点 P(x1,y1)与 Q(x2,y2)之间的“直角距离”为:d(P, Q)=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|.现给出下列 4 个命题: ①已知 P(1,2) ,Q(cos2θ,sin2θ) (θ∈R) ,则 d(P,Q)为定值; ②已知 P,Q,R 三点不共线,则必有 d(P,Q)+d(Q,R)>d(P,R) ; ③用|PQ|表示 P,Q 两点之间的距离,则|PQ|≥ d(P,Q) ;

④若 P,Q 是圆 x2+y2=2 上的任意两点,则 d(P,Q)的最大值为 4; 则下列判断正确的为( ) A.命题①,②均为真命题 B.命题②,③均为假命题 C.命题②,④均为假命题 D.命题①,③,④均为真命题 三、解答题(本大题共 5 题,满分 74 分)解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必 要的步骤. 19.已知函数 f(x)= 的图象过点 和点 .

(1)求函数 f(x)的最大值与最小值; (2)将函数 y=f(x)的图象向左平移 φ(0<φ<π)个单位后,得到函数 y=g(x)的图象; 已知点 P(0,5) ,若函数 y=g(x)的图象上存在点 Q,使得|PQ|=3,求函数 y=g(x)图 象的对称中心. 20.已知函数 f(x)=ax2﹣2ax+b(a>0)在区间[﹣1,3]上的最大值为 5,最小值为 1. (1)求 a,b 的值及 f(x)的解析式; (2)设 g(x)= ,若不等式 g(3x)﹣t?3x≥0 在 x∈[0,2]上有解,求实数 t 的取值

范围. 21. AB 是△ABC 外接圆 O 的直径, AB=4, 如图, 四边形 DCBE 为矩形, 且 DC⊥平面 ABC, BE=1. (1)证明:直线 BC⊥平面 ACD; (2)当三棱锥 E﹣ABC 的体积最大时,求异面直线 CO 与 DE 所成角的大小.

22.设椭圆 C:

+

=1(a>b>0) ,定义椭圆 C 的“相关圆”E 为:x2+y2=

.若

抛物线 y2=4x 的焦点与椭圆 C 的右焦点重合,且椭圆 C 的短轴长与焦距相等. (1)求椭圆 C 及其“相关圆”E 的方程; (2)过“相关圆”E 上任意一点 P 作其切线 l,若 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点,求证:∠AOB 为定值(O 为坐标原点) ; (3)在(2)的条件下,求△OAB 面积的取值范围. 23.设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,Sn=λan﹣1(λ 为常数,n=1,2,3,…) . 2 (I)若 a3=a2 ,求 λ 的值; (II)是否存在实数 λ,使得数列{an}是等差数列?若存在,求出 λ 的值;若不存在.请说 明理由 2, 3, …) (III) 当 λ=2 时, 若数列{bn}满足 bn+1=an+bn (n=1, , 且 b1= , 令 求数列{cn}的前 n 项和 Tn. ,

2016 年上海市虹口区高考数学三模试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共 14 题,只要求在答题纸相应题号的空格内直接 填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.设集合 M={x| ≥0},N={x|2x≥1},则 M∩N= [0,3) .

【考点】交集及其运算. 【分析】分别求出 M 与 N 中不等式的解集确定出 M 与 N,找出两集合的交集即可. 【解答】解:由 M 中不等式变形得: (x﹣3) (x+1)≤0,且 3﹣x≠0, 解得:﹣1≤x<3,即 M=[﹣1,3) , 由 N 中不等式变形得:2x≥1=20,即 x≥0, ∴N=[0,+∞) , 则 M∩N=[0,3) , 故答案为:[0,3) .

2.在△ABC 中,tanA=﹣ ,则 sin2A= ﹣ 【考点】三角函数中的恒等变换应用.



【分析】由题意得 A 为钝角,且 sinA= ,cosA=﹣ ,由此由二倍角公式得 sin2A. 【解答】解:△ABC 中,tanA=﹣ , ∴sinA= ,cosA=﹣ , ∴sin2A=2sinAcosA=﹣ .

3.已知复数 z=

(i 为虚数单位) , 表示 z 的共轭复数,则 z? =

1 .

【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简 z,再由 求得 z? .

【解答】解:∵z=

=



∴z? = 故答案为:1.



4. a3+a4=3, 若等比数列{an}的公比 q 满足|q|<1, 且 a2a4=4, 则

= 16 . (a1+a2+…+an)

【考点】等比数列的通项公式. 【分析】 由等比数列通项公式列出方程组, 求出首项和公比, 由此能求出 【解答】解:∵等比数列{an}的公比 q 满足|q|<1,且 a2a4=4,a3+a4=3, ∴ , (a1+a2+…+an) .

由|q|<1,解得



a1+a2+…+an=





(a1+a2+…+an)=

=16.

故答案为:16. 5.若函数 f(x)=(x﹣a)|x|(a∈R)存在反函数 f﹣1(x) ,则 f(1)+f﹣1(﹣4)= ﹣1 . 【考点】反函数. 【分析】根据 f(x)存在反函数 f﹣1(x) ,得出 f(x)是定义域上的单调函数,求出 a 的值 以及 f(x)的解析式,即可求出 f(1)+f﹣1(﹣4)的值. 【解答】解:∵函数 f(x)=(x﹣a)|x|= 且 f(x)存在反函数 f﹣1(x) , ∴f(x)是定义域 R 的单调增函数, ∴a=0, ∴f(x)= , ,

∴f(1)+f﹣1(﹣4)=1+(﹣2)=﹣1. 故答案为:﹣1.

6.在数学解题中,常会碰到形如“

”的结构,这时可类比正切的和角公式.如:设 a,

b 是非零实数,且满足

=tan

,则 =



【考点】两角和与差的正切函数.

【分析】先把已知条件转化为 tan

=

=tan(

+θ) .利用正切函数的周期

性求出

,即可求得结论.

【解答】解:因为 tan

=

=tan(

+θ) .且 tanθ=



+θ=kπ+ .tanθ=tan(kπ+ )= .

∴θ=kπ+ ∴ = 故答案为:



7.若一个球的半径与它的内接圆锥的底面半径之比为 ,且内接圆锥的轴截面为锐角三角 形,则该球的体积与它的内接圆锥的体积之比等于 .

【考点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台) . 【分析】设球的半径为 5,圆锥底面半径为 3,则圆锥的高为 9,代入体积公式计算即可得 出比值. 【解答】 解: 设球的半径为 5, 则圆锥的底面半径为 3, ∴球心到圆锥底面的距离为 =4. ∵内接圆锥的轴截面为锐角三角形,∴圆锥的高为 4+5=9. ∴V 球= ∴V 球:V 圆锥= 故答案为: . ,V 圆锥= 27π= . =27π.

8.某小区有排成一排的 8 个车位,现有 5 辆不同型号的轿车需要停放,则这 5 辆轿车停入 车位后,剩余 3 个车位连在一起的概率为 (结果用最简分数表示) .

【考点】古典概型及其概率计算公式. 【分析】先求出基本事件总数,再求出这 5 辆轿车停入车位后,剩余 3 个车位连在一起,包 含的基本事件个数,由此能求出这 5 辆轿车停入车位后,剩余 3 个车位连在一起的概率. 【解答】解:某小区有排成一排的 8 个车位,现有 5 辆不同型号的轿车需要停放, 基本事件总数 n= ,

这 5 辆轿车停入车位后,剩余 3 个车位连在一起,包含的基本事件个数 m= ∴这 5 辆轿车停入车位后,剩余 3 个车位连在一起的概率为: p= = = .



故答案为:



9. 若双曲线 x2﹣

=1 的一个焦点到其渐近线的距离为 2

, 则该双曲线的焦距等于 6 .

【考点】双曲线的简单性质. 【分析】根据焦点到其渐近线的距离求出 b 的值即可得到结论. 【解答】解:双曲线的渐近线为 y=±bx,不妨设为 y=﹣bx,即 bx+y=0, 焦点坐标为 F(c,0) , 则焦点到其渐近线的距离 d= = =b=2 ,

则 c=

=

=

=3,

则双曲线的焦距等于 2c=6, 故答案为:6

10.若复数 z 满足|z+3|=|z﹣4i|(i 为虚数单位) ,则|z|的最小值为 【考点】复数的代数表示法及其几何意义. 【分析】设 z=a+bi, (a,b∈R) .由|z+3|=|z﹣4i|(i 为虚数单位) ,可得 =



,化为:6a+8b﹣7=0.再利用原点到直线的距离公式即可得出.

【解答】解:设 z=a+bi, (a,b∈R) . ∵|z+3|=|z﹣4i|(i 为虚数单位) , ∴ = ,

化为:6a+8b﹣7=0. ∴|z|= 的最小值为原点(0,0)到直线 l:6a+8b﹣7=0 的距离, : = ,

故答案为:



11.已知实数 x,y,满足

且目标函数 z= x+y 的最大值是 2,则实数 m 的

值为



【考点】简单线性规划. 【分析】先求出目标函数取得最大值时对应的交点 A 的坐标,利用 A 也在直线 y=mx 上, 进行求解即可. 【解答】解:先作出可行域, ∵z= x+y 的最大值是 2, ∴作出 z= x+y=2 的图象,则直线 z= x+y=2,与区域相交为 A,







即 A(1, ) , 同时 A 也在 y=mx,上, 则 m= , 故答案为: .

12.过抛物线 x2=8y 的焦点 F 的直线与其相交于 A,B 两点,O 为坐标原点.若|AF|=6, 则△OAB 的面积为 6 . 【考点】抛物线的简单性质. 【分析】求得抛物线的焦点和准线方程,运用抛物线的定义可得 A 的坐标(﹣4 ,4) , 再由三点共线的条件:斜率相等,可得 B 的坐标,由△OAB 的面积为 |OF|?|xA﹣xB|, 计算即可得到所求值. 【解答】解:抛物线 x2=8y 的焦点 F(0,2) ,准线为 y=﹣2, 由抛物线的定义可得|AF|=yA+2=6,

解得 yA=4,可设 A(﹣4 设 B(m,

,4) ,

) ,由 A,F,B 共线可得,

kAF=kBF,即 解得 m=2 即有 B(2

= (﹣4 舍去) , ,1) ,



则△OAB 的面积为 |OF|?|xA﹣xB|= ?2?|﹣4 故答案为:6 .

﹣2

|=6



13.若关于 x 的方程 2x|x|﹣a|x|=1 有三个不同实根,则实数 a 的取值范围为 (﹣∞,﹣ 2 ) . 【考点】根的存在性及根的个数判断. 【分析】首先进行转化,再对 x 进行分类讨论,由二次函数的图象以及性质得到 a 的范围. 【解答】解:∵方程 2x|x|﹣a|x|=1 有三个不同实根, ∴函数 y=2x|x|﹣a|x|﹣1 有 3 个不同的零点, ∴y= ,

对称轴为 x= ,与 y 轴交点为(0,﹣1) ∴a≥0 时,不符合条件, ∴a<0, 且△>0 ∴a∈ , 故答案为: (﹣∞,﹣2 ) 14.若数列{an}满足:an+1+(﹣1)nan=n(n∈N*) ,则 a1+a2+…+a100= 2550 . 【考点】数列的求和. 【分析】an+1+(﹣1)nan=n(n∈N*) ,可得:a2﹣a1=1,a3+a2=2,a4﹣a3=3,a5+a4=4,a6﹣ a5=5, a7+a6=6, a8﹣a7=7, a4+a2=2+3, a8+a6=6+7, a12+a10=10+11, …, …, 可得 a3+a1=1=a7+a5=…, 利用分组求和即可得出. 【解答】解:∵an+1+(﹣1)nan=n(n∈N*) , ∴a2﹣a1=1,a3+a2=2,a4﹣a3=3,a5+a4=4,a6﹣a5=5,a7+a6=6,a8﹣a7=7,…, 可得 a3+a1=1=a7+a5=…,∴(a1+a3+…+a99)=25. a4+a2=2+3,a8+a6=6+7,a12+a10=10+11,…,∴a2+a4+…+a100=5×25+8× 则 a1+a2+…+a100=2550. 故答案为:2550. 二、选择题(本大题共 4 题,满分 20 分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的 相应题号上,将所选答案的代号涂黑,选对得 5 分,否则一律零分. =2525.

15.关于三个不同平面 α,β,γ 与直线 l,下列命题中的假命题是( A.若 α⊥β,则 α 内一定存在直线平行于 β B.若 α 与 β 不垂直,则 α 内一定不存在直线垂直于 β C.若 α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l,则 l⊥γ D.若 α⊥β,则 α 内所有直线垂直于 β



【考点】空间中直线与直线之间的位置关系. 【分析】根据空间线面位置关系的判定和性质判断或距离说明. 【解答】解:对于 A,假设 α∩β=a,则 α 内所有平行于 a 的直线都平行 β,故 A 正确; 对于 B,假设 α 内存在直线 a 垂直于 β,则 α⊥β,与题设矛盾,故假设错误,故 B 正确; 对于 C,设 α∩γ=c,β∩γ=d,在 γ 内任取一点 P,作 PM⊥c 于点 M,PN⊥d 于点 N, 则 PM⊥α,PN⊥β,且 PM、PN 不可能共线. 又 l? α,l? β, ∴PM⊥l,PN⊥l. 又 PM∩PN=P,PM? γ,PN? γ, ∴l⊥γ.故 C 正确. 对于 D,假设 α∩β=a,则 α 内所有平行于 a 的直线都平行 β,故 D 错误. 故选:D.

16.若函数 y=f(x)的图象与函数 y=3x+a 的图象关于直线 y=﹣x 对称,且 f(﹣1)+f(﹣3) =3,则实数 a 等于( ) A.﹣1 B.1 C.2 D.4 【考点】反函数. 【分析】设(x,y)为函数 y=f(x)的图象上的一点,则关于直线 y=﹣x 对称的点为(﹣y, ﹣x) .代入函数 y=3x+a 可得:f(x)=a﹣log3(﹣x) .即可得出. 【解答】解:设(x,y)为函数 y=f(x)的图象上的一点,则关于直线 y=﹣x 对称的点为 (﹣y,﹣x) . 代入函数 y=3x+a 可得:﹣x=3﹣y+a,∴﹣y+a=log3(﹣x) ,即 f(x)=a﹣log3(﹣x) . ∵f(﹣1)+f(﹣3)=3,∴a﹣0+a﹣log33=3,解得 a=2. 故选:C. 17.在锐角△ABC 中,B=60°,| A. (0,12) B.[ ﹣ |=2,则 ? 的取值范围为( )

,12) C. (0,4]

D. (0,2]

【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】以 B 为原点,BA 所在直线为 x 轴建立坐标系,得到 C 的坐标,找出三角形为锐角 三角形的 A 的位置,得到所求范围. 【解答】解:以 B 为原点,BA 所在直线为 x 轴建立坐标系, ∵B=60°,| ﹣ |=| |=2,

∴C(1, ) , 设 A(x,0) ∵△ABC 是锐角三角形, ∴A+C=120°,∴30°<A<90°, 即 A 在如图的线段 DE 上(不与 D,E 重合) , ∴1<x<4, 则 =x2﹣x=(x﹣ )2﹣ ,

∴ 的范围为(0,12) . A 故选: .

18.在平面直角坐标系中,定义两点 P(x1,y1)与 Q(x2,y2)之间的“直角距离”为:d(P, Q)=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|.现给出下列 4 个命题: ①已知 P(1,2) ,Q(cos2θ,sin2θ) (θ∈R) ,则 d(P,Q)为定值; ②已知 P,Q,R 三点不共线,则必有 d(P,Q)+d(Q,R)>d(P,R) ; ③用|PQ|表示 P,Q 两点之间的距离,则|PQ|≥ d(P,Q) ;

④若 P,Q 是圆 x2+y2=2 上的任意两点,则 d(P,Q)的最大值为 4; 则下列判断正确的为( ) A.命题①,②均为真命题 B.命题②,③均为假命题 C.命题②,④均为假命题 D.命题①,③,④均为真命题 【考点】命题的真假判断与应用. 【分析】 先根据直角距离的定义分别表示出所求的问题的表达式, 然后根据集合中绝对值的 性质进行判定即可. 【解答】解:①已知 P(1,2) ,Q(cos2θ,sin2θ) (θ∈R) ,则 d(P,Q)=|1﹣cos2θ|+|2 ﹣sin2θ|=sin2θ+2﹣sin2θ=2 为定值;故①正确, ②已知 P,Q,R 三点不共线,设 P(1,0) ,Q(0,0) ,R(0,1) , 则 d(P,Q)=|xP﹣xQ|+|yP﹣yQ|=1, d(Q,R)=|xQ﹣xR|+|yQ﹣yR|=1. d(P,R)=|xP﹣xR|+|yP﹣yR|=1+1=2,此时 d(P,Q)+d(Q,R)=d(P,R) ; ∴d(P,Q)+d(Q,R)>d(P,R)不成立,故②错误,

③若|PQ|表示 P、Q 两点间的距离,那么|PQ|= =|x1﹣x2|+|y1﹣y2|, ∵2(a2+b2)≥(a+b)2, ∴ 则|PQ|≥ d(P,Q)= ≥|x1﹣x2|+|y1﹣y2|,即 d(P,Q) ,故③正确,

,d(P,Q)

|PQ|≥d(P,Q) ,

④若 P,Q 是圆 x2+y2=2 上的任意两点,当 P,Q 是直线 y=x 与 x2+y2=2 的交点时,则 d(P, Q)的最大, 1) Q Q) =|x1﹣x2|+|y1﹣y2|=|﹣1﹣1|+|﹣1﹣1|=2+2=4, 此时 P (1, , (﹣1, ﹣1) ; 则d (P, 则 d(P,Q)的最大值为 4;故④正确, 故选:D 三、解答题(本大题共 5 题,满分 74 分)解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必 要的步骤. 19.已知函数 f(x)= 的图象过点 和点 .

(1)求函数 f(x)的最大值与最小值; (2)将函数 y=f(x)的图象向左平移 φ(0<φ<π)个单位后,得到函数 y=g(x)的图象; 已知点 P(0,5) ,若函数 y=g(x)的图象上存在点 Q,使得|PQ|=3,求函数 y=g(x)图 象的对称中心. 【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象. 【分析】 (1)利用条件求得 m、n 的值,可得函数的解析式,从而求得它的最值. (2)根据 g(x)的解析式,点 Q(0,2)在 y=g(x)的图象上,求得 φ 的值,再利用正 弦函数的图象的对称性,得出结论. 【解答】解: (1)易知 f(x)=msin2x﹣ncos2x,则由它的图象过点 , 和点

可得

,解得

.故

. 故函数 f(x)的最大值为 2,最小值为﹣2. (2)由(1)可知: . . 由

2) 于是, 当且仅当 Q (0, 在 y=g (x) 的图象上时满足条件, ∴ 0<?<π,得 .



.由

,得 .



于是,函数 y=g(x)图象的对称中心为:

20.已知函数 f(x)=ax2﹣2ax+b(a>0)在区间[﹣1,3]上的最大值为 5,最小值为 1. (1)求 a,b 的值及 f(x)的解析式; (2)设 g(x)= ,若不等式 g(3x)﹣t?3x≥0 在 x∈[0,2]上有解,求实数 t 的取值

范围. 【考点】二次函数的性质;根的存在性及根的个数判断. 【分析】 (1)解关于 a,b 的方程组,求出 a,b 的值从而求出函数的解析式即可; (2)问题转化为 t≤2 元法求出 t 的范围即可. 【解答】解: (1)由 f(x)=a(x﹣1)2+b﹣a(a>0)及条件,可得 解得 a=1,b=2.故 f(x)=x2﹣2x+2… (2)由(1)可得 g(x)= 于是题设条件得 3x+ =x+ ﹣2, ,… ﹣2 +1=2 + 在 x∈[0,2]上有解,通过换

﹣2﹣t?3x≥0 在 x∈[0,2]上有解,…

即 t≤2

﹣2

+1=2

+ 在 x∈[0,2]上有解,…



=u∈[ ,1],∵x∈[0,2], + 在 u∈[ ,1]上有解… + ∈[ ,1],于是 t≤1,

则 t≤2

当 u∈[ ,1]时,2

因此,实数 t 的取值范围为(﹣∞,1].… 21. AB 是△ABC 外接圆 O 的直径, AB=4, 如图, 四边形 DCBE 为矩形, 且 DC⊥平面 ABC, BE=1. (1)证明:直线 BC⊥平面 ACD; (2)当三棱锥 E﹣ABC 的体积最大时,求异面直线 CO 与 DE 所成角的大小.

【考点】异面直线及其所成的角;直线与平面垂直的判定. 【分析】 (1)由题意推导出 DC⊥BC,AC⊥BC,由此能证明 BC⊥平面 ACD. (2)连接 CO,设点 C 到 AB 的距离为 h,由 ,得到当 h=2,即

CO⊥AB 时,三棱锥 E﹣ABC 的体积最大,由此能求出当三棱锥 E﹣ABC 的体积最大时, 异面直线 CO 与 DE 所成角的大小. 【解答】 (文) (本题满分 14 分) 本题共 2 个小题,第 1 小题,第 2 小题. 证明: (1)由题意,得:DC⊥平面 ABC,BC? 平面 ABC, ∴DC⊥BC, 又∵AB 是圆 O 的直径,∴AC⊥BC,… 于是由 BC⊥DC,BC⊥AC,DC∩AC=C, ∴BC⊥平面 ACD.… 解: (2)连接 CO,设点 C 到 AB 的距离为 h, 则 = = ,…

故当 h=2,即 CO⊥AB 时,三棱锥 E﹣ABC 的体积最大.… 由 DE∥BC 得,∠BCO 为异面直线 CO 与 DE 的所成角.… 而在△BCO 中,CO⊥AB,CO=OB=2 故∠BCO= ∴异面直线 CO 与 DE 所成角的大小为 .… ,

22.设椭圆 C:

+

=1(a>b>0) ,定义椭圆 C 的“相关圆”E 为:x2+y2=

.若

抛物线 y2=4x 的焦点与椭圆 C 的右焦点重合,且椭圆 C 的短轴长与焦距相等. (1)求椭圆 C 及其“相关圆”E 的方程; (2)过“相关圆”E 上任意一点 P 作其切线 l,若 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点,求证:∠AOB 为定值(O 为坐标原点) ; (3)在(2)的条件下,求△OAB 面积的取值范围. 【考点】抛物线的简单性质. 【分析】 (1)求得抛物线的焦点,可得 c=1,由 a,b,c 的关系可得 a,进而得到椭圆方程 和圆 E 的方程; (2)讨论切线 l 的斜率不存在,求出方程,可得交点 A,B,求得向量 OA,OB 的坐标, 可得∠AOB 为 90°;l 的斜率存在时,设出直线方程,联立椭圆方程,运用韦达定理,结合 直线和圆相切的条件:d=r,化简整理,计算向量 OA,OB 的数量积,即可得证;

(3)求得△AOB 的面积,讨论直线 l 的斜率,运用弦长公式和基本不等式,求得最值,由 不等式的性质,即可得到所求范围. 【解答】解: (1)由抛物线 y2=4x 的焦点(1,0)与椭圆 C 的右焦点重合, 可得 c=1,又因为椭圆 C 的短轴长与焦距相等,则 b=c=1.a= , 故椭圆 C 的方程为: +y2=1,其“相关圆”E 的方程为:x2+y2= ; , )

(2)证明:当切线 l 的斜率不存在时切线方程为 x=± 与椭圆的两个交点为( 此时 ? ,± )或(﹣ ,±

= ﹣ =0,即∠AOB=90°;

当切线 l 斜率存在时,可设 l 的方程为 y=kx+m,与椭圆方程联立,可得 (1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣2=0 则△=16k2m2﹣4(1+2k2) (2m2﹣2)>0,即为 1+2k2>m2, 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 x1+x2=﹣ ,x1x2= ,

可得 y1y2=(kx1+m) (kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=k2?

+km(﹣



+m2=



由 l 与圆 x2+y2= 相切,可得 d=

=

,化为 3m2=2k2+2,



?

=x1x2+y1y2=

=0,即∠AOB=90°.

综上所述∠AOB=90°为定值; (3)由于 ,

求 S△ OAB 的取值范围,只需求出弦长|AB|的取值范围. 当直线 l 的斜率不存在时,可得|AB|= 当直线 l 的斜率存在时,|AB|= ? ,S△ AOB= ;

=

?

=

?

=

=





=



= ,



, ,当且仅当 4k2= . .



,即 k=±

时,



于是|AB|的取值范围为 因此 S△ OAB 的取值范围为

23.设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,Sn=λan﹣1(λ 为常数,n=1,2,3,…) . 2 (I)若 a3=a2 ,求 λ 的值; (II)是否存在实数 λ,使得数列{an}是等差数列?若存在,求出 λ 的值;若不存在.请说 明理由 2, 3, …) (III) 当 λ=2 时, 若数列{bn}满足 bn+1=an+bn (n=1, , 且 b1= , 令 ,

求数列{cn}的前 n 项和 Tn. 【考点】数列递推式;等差关系的确定;数列的求和. 【分析】 (I)利用 Sn=λan﹣1,通过 n=1,2,3,求出 a1,a2,a3,利用 a3=a22,即可求 λ 的 值; (II)通过反证法,假设存在实数 λ,使得数列{an}是等差数列,则 2a2=a1+a3,推出矛盾, 所以不存在实数 λ,使得数列{an}是等差数列. (III)当 λ=2 时,求出数列{an}、数列{bn}的通项公式,通过 然后求数列{cn}的前 n 项和 Tn. 【解答】解: (I)因为 Sn=λan﹣1, 所以 a1=λa1﹣1,a2+a1=λa2﹣1,a3+a2+a1=λa3﹣1, 由 a1=λa1﹣1 可知 λ≠1, 所以 a1= 因为 a3=a22, 所以 , ,a2= ,a3= , ,化简裂项,

所以 λ=0 或 λ=2. (II)假设存在实数 λ,使得数列{an}是等差数列,则 2a2=a1+a3, 由(I)可知, ,

所以

,即 1=0,矛盾,

所以不存在实数 λ,使得数列{an}是等差数列. (III)当 λ=2 时,Sn=2an﹣1, 所以 Sn﹣1=2an﹣1﹣1,且 a1=1, 所以 an=2an﹣2an﹣1,即 an=2an﹣1 (n≥2) . 所以 an≠0(n∈N*) ,且 (n≥2) .

所以数列{an}是以 1 为首项,2 为公比的等比数列, 所以 an=2an﹣1(n∈N*) , 因为 bn+1=an+bn(n=1,2,3,…) ,且 b1= , 所以 bn=an﹣1+bn﹣1=an﹣1+an﹣2+bn﹣2=…=an﹣1+an﹣2+…+a1+b1 = .

当 n=1 时上式也成立. 所以 bn= 因为 , .

所以

=

因为 所以 Tn=C1+C2+…+Cn =2 =1﹣



=



2016 年 7 月 29 日


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