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2014年三明市高中毕业班质量检查理科数学试题

时间:2014-05-04


2014 年三明市普通高中毕业班质量检查

理 科 数 学
本试卷分第 I 卷 (选择题) 和第Ⅱ卷 (非选择题) , 第Ⅱ卷第 21 题为选考题, 其他题为必考题. 本 试卷共 6 页.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.考生作答时,将答案答在答题卡上,请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超 出答题区域书写的答案无效,在草稿纸、试题卷上答题无效. 3.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号;非选择 题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签)笔或碳素笔书写,字体工整、笔记清楚. 4.做选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 5.保持答题卡卡面清洁,不折叠、不破损,考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式: 样本数据 x1 , x2 ,…, xn 的标准差 锥体体积公式

s?
?

? ? ? 1 [( x1 ? x)2 ? ( x2 ? x) ? … ? ( xn ? x)2 ] n

V ?

1 Sh 3

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式

其中 S 为底面面积, h 为高 球的表面积、体积公式

V ? Sh
其中 S 为底面面积, h 为高

S ? 4?R 2 , V ?

4 3 ?R 3

其中 R 为球的半径

第 I 卷(选择题

共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1. 若复数 z 满足 zi ? 4 ? 5i (其中 i 为虚数单位),则复数 z 为 A. 5 ? 4i B. ?5 ? 4i C. 5 ? 4i D. ?5 ? 4i 2.已知集合 A ? {x | lg( x ? 2) ? 1} ,集合 B ? {x | A. (2,12) B. (2,3)

1 ? 2 x ? 8} ,则 A B 等于 2
D. (?1,12)

C. (?1,3)

3.观察下列关于两个变量 x 和 y 的三个散点图,它们从左到右的对应关系依次为

A.正相关、负相关、不相关 C.负相关、正相关、不相关

B.负相关、不相关、正相关 D.正相关、不相关、负相关

理科数学第 1 页(共 5 页)

4. 设 a, b 是两条不同直线, ? , ? 是两个不同平面,下列四个命题中正确的是 A.若 a, b 与 ? 所成的角相等,则 a // b C.若 a ? ? , b ? ? , ? ? ? ,则 a ? b 5.在二项式 ( x A.-56 B.若 a // ? , b // ? , ? // ? ,则 a // b D.若 a ? ? , b ? ? , a // b ,则 ? // ?

1 n ) 的展开式中恰好第5项的二项式系数最大,则展开式中含 x 2 项的系数是 x
B.-35 C. 35 D.56

6.设 a ? 0 且 a ? 1 ,命题 p :函数 f ( x) ? a x 在 R 上是增函数 ,命题 q :函数 g ( x) ? (a ? 2) x3 在

R 上是减函数,则 p 是 q 的
A.充分不必要条件 C.充分必要条件 7.已知双曲线 my 2 ? x2 ? 1(m ? R) 与椭圆 A. y ? ? 3x B. y ? ? B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

y2 ? x 2 ? 1 有相同的焦点,则该双曲线的渐近线方程为 5
C. y ? ?

3 x 3

1 x 3

D. y ? ?3x

8.如图是某个四面体的三视图,若在该四面体的外接球内任取一 点,则点落在四面体内的概率为 A.

9 13p

B.

1 13p

C.

9 13 169p

D.

13 169p

ì 1- x - 1 , x [0, 2], ? ? ? 9.已知函数 f ( x) = í 1 ? f ( x - 2), x ? (2, ? ? ? ?2
A.1 B.2

),

则函数 y = f ( x) - ln( x + 1) 的零点个数为

C.3

D.4

10.在数列 {an } 中, a1 ? 列 {bn } 是 A.递增数列

1 ,且 an?5 ? an ? 5 , an?1 ? an ? 1 ,若数列 {bn } 满足 bn ? an ? n ? 1,则数 2

B.递减数列

C.常数列

D.摆动数列

理科数学第 2 页(共 5 页)

第Ⅱ 卷(非选择题 共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案填在答题卡相应位置. 11.曲线 y ? x2 ? 1 与直线 x ? 0 , x ? 1 及 x 轴所围成的图形的面积是 12.执行如图所示的程序框图,若输入的 a ? 5 ,则输出的结 果是__ __. .

? ? x ? y ? 1, ? 13.已知变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1, 若 x, y 取整数,则 ? 3 ?y ? , ? 2
目标函数 z = 2 x + y 的最大值是 .

2n

14.已知矩形的周长为 36,矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱,则旋转形成的圆柱的侧面积的最 大值为 . 15.对于集合 A ,如果定义了一种运算“ ? ” ,使得集合 A 中的元素间满足下列 4 个条件: (ⅰ) ?a, b ? A ,都有 a ? b ? A ; (ⅱ) ?e ? A ,使得对 ?a ? A ,都有 e ? a ? a ? e ? a ; (ⅲ) ?a ? A , ? a? ? A ,使得 a ? a? ? a? ? a ? e ; (ⅳ) ?a, b, c ? A ,都有 ? a ?b? ? c ? a ? ?b ? c ? , 则称集合 A 对于运算“ ? ”构成“对称集” . 下面给出三个集合及相应的运算“ ? ” : ① A ? 整数 ,运算“ ? ”为普通加法; ② A ? 复数 ,运算“ ? ”为普通减法; ③ A ? 正实数 ,运算“ ? ”为普通乘法. 其中可以构成“对称集”的有 . (把所有正确的序号都填上)

? ?

?

?

?

?

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 13 分) 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况, 从该流水线上随机抽取 40 件产品作为样本,测得它 们的重量(单位:克) ,将重量按如下区间分组:

(490 , 495] , (495 , 500] , (500 , 505] , (505 , 510] ,
(510 , 515] ,得到样本的频率分布直方图(如图所
示) .若规定重量超过 495 克但不超过 510 克的产品 为合格产品,且视频率为概率,回答下列问题:
理科数学第 3 页(共 5 页)

(Ⅰ)在上述抽取的 40 件产品中任取 2 件,设 X 为合格产品的数量,求 X 的分布列和数学期 望 EX ; (Ⅱ)若从流水线上任取 3 件产品,求恰有 2 件合格产品的概率. 17.(本小题满分 13 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形, AB // DC , AB ? AD , 平面 PAD ? 平面 ABCD ,若 AB ? 8 ,

DC ? 2 , AD ? 6 2 , PA ? 4 , 1 ?PAD ? 45 ,且 AO ? AD . 3 (Ⅰ)求证: PO ? 平面 ABCD ;
(Ⅱ)设平面 PAD 与平面 PBC 所成二面角的 大小为 ? (0 ? ? ? 90 ) ,求 cos ? 的值.

P

D O A

C

B 17 题图

18.(本小题满分 13 分)

已知点 A, B 是抛物线 C : y 2 ? 2 px( p ? 0) 上不同的两点,点 D 在抛物线 C 的准线 l 上,且焦点

F 到直线 x ? y ? 2 ? 0 的距离为

3 2 . 2

(I)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ) 现给出以下三个论断: ①直线 AB 过焦点 F ; ②直线 AD 过原点 O ; ③直线 BD 平行 x 轴. 请你以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个正确的命题,并加 以证明. 19.(本小题满分 13 分) 若函数 f ( x) = a sin x + b cos x (a, b

R) ,非零向量 m ? (a, b) ,我们称 m 为函数 f ( x) 的“相

伴向量” , f ( x ) 为向量 m 的“相伴函数”. (Ⅰ)已知函数 f ( x) ? (sin ? x ? cos ? x) ? 2cos
2 2

? x ? 2 (? ? 0) 的最小正周期为 2? ,求函数

f ( x) 的“相伴向量” ;
(Ⅱ)记向量 n ? ( 3,1) 的“相伴函数”为 g( x) ,将 g( x) 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,再将所得的图象上所有点向左平移 若 h(2? ?

?

6 ? ) ? , ? ? (0, ) ,求 sin ? 的值; 3 5 2
理科数学第 4 页(共 5 页)

2? 个单位长度,得到函数 h( x) , 3

(Ⅲ)对于函数 ? ( x) ? sin x cos 2 x ,是否存在“相伴向量”?若存在,求出 ? ( x) “相伴向量” ; 若不存在,请说明理由. 20.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? a ln x ? bx (a, b ? R) , g ( x) ?

(1, f (1)) 处的切线方程为 x ? y ? 1 ? 0 . (Ⅰ)求 a , b 的值; (Ⅱ)若函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在区间 (0, 2) 内有且仅有一个极值点,求 m 的取值范围; 1 (Ⅲ)设 M ( x, y ) ( x ? m ? ) 为两曲线 y ? f ( x) ? c (c ? R) , y ? g ( x) 的交点,且两曲线在 m
交点 M 处的切线分别为 l1 , l2 .若取 m ? 1 ,试判断当直线 l1 , l2 与 x 轴围成等腰三角形时 c 值的个数并说明理由. 21.本题设有(1) 、 ( 2) 、 (3)三个选答题,每小题 7 分,请考生任选 2 个小题作答,满分 14 分.如 果多做,则按所做的前两题记分.作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并 将所选题号填入括号中. (1) (本小题满分 7 分)选修 4—2:矩阵与变换 若二阶矩阵 M 满足: M ? (Ⅰ)求二阶矩阵 M ; (Ⅱ)若曲线 C : x ? 2 xy ? 2 y ? 1 在矩阵 M 所对应的变换作用下得到曲线 C ? ,求曲线 C ? 的方
2 2

1 2 1 x ? (m ? ) x (m ? 0) ,且 y ? f ( x) 在点 2 m

?1 2? ? 5 8? ??? ?. ?3 4? ? 4 6?

程. (2) (本小题满分 7 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知在平面直角坐标系 xOy 中,圆 M 的方程为 ? x ? 4 ? ? y ? 1 .以原点 O 为极点,以 x 轴正
2 2

半轴为极轴,且与直角坐标系取相同的单位长度,建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为

?? 1 ? ? sin ? ? ? ? ? . 6? 2 ?
(Ⅰ)求直线 l 的直角坐标方程和圆 M 的参数方程; (Ⅱ)求圆 M 上的点到直线 l 的距离的最小值. (3) (本小题满分 7 分)选修 4—5:不等式选讲 设函数 f ( x) = 2x - 1 - x + 1 . (Ⅰ)求不等式 f ( x) ? 0 的解集 D ;

{x | 0 (Ⅱ)若存在实数 x 危

x

2} ,使得 3x + 2 - x > a 成立,求实数 a 的取值范围.

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2014 年三明市普通高中毕业班质量检查

理科数学试题参考解答及评分标准
一、选择题 1.D 2.B 二.填空题: 11. 3.D 4.C 5.A 14. 162? 6.D 7.A 8.C 9.B 10.C

4 3

12.62

13.5

15.①、③

三、解答题: 16.解: (Ⅰ)由样本的频率分布直方图得,合格产品的频率为

0.04 ? 5 ? 0.07 ? 5 ? 0.05 ? 5 ? 0.8 .

??????????????????2 分

所以抽取的 40 件产品中,合格产品的数量为 40 ? 0.8 ? 32 . ???????????3 分 则 X 可能的取值为 0,1,2, 所以 P ? X ? 0 ?? ????????????????4 分

1 1 2 C82 C8 C32 64 C32 7 124 ? P X ? 1 ? ? P X ? 2 ? ? , , , ? ? ? ? 2 2 2 C40 195 C40 195 C40 195

因此 X 的分布列为

X
P

0

1

2

7 195

64 195

124 195
????????7 分

故 X 数学期望 EX ? 0 ?

7 64 124 312 8 ? 1? ? 2? ? ? . 195 195 195 195 5
4 , 5

???????9 分

(Ⅱ)因为从流水线上任取 1 件产品合格的概率为 0.8 ?

?????10 分

所以从流水线上任取 3 件产品,恰有 2 件合格产品的概率为

? 1 ?? 4 ? 48 . P? C ? ?? ? ? ? 5 ?? 5 ? 125
2 3

2

?????????????????13 分

17.解: (Ⅰ)因为 AO ?

1 AD , AD ? 6 2 ,所以 AO ? 2 2 , 3
2 2 2

?????1 分

在 ?PAO 中,由余弦定理 PO ? PA ? AO ? 2PA ? AO cos ?PAO , 得 PO ? 4 ? 2 2
2 2

?

?

2

? 2? 4? 2 2 ?

2 ?8, 2

??????????????3 分

? PO ? 2 2 ,? PO2 ? AO2 ? PA2 ,
? PO ? AD ,
又 平面 PAD ? 平面 ABCD ,平面 PAD

??????????????????4 分

?????????????????????????5 分 平面 ABCD ? AD , PO ? 平面 PAD ,

理科数学第 6 页(共 5 页)

? PO ? 平面 ABCD .

????????????????????????6 分

(Ⅱ)如图,过 O 作 OE // AB 交 BC 于 E ,则 OA , OE , OP 两两垂直,以 O 为坐标原点, 分 别 以 OA , OE , OP 所 在 直 线 为 x 、y 、z 轴 , 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ??????????7 分 O ? xyz , 则 O (0,0,0) , A(2 2,0,0) , B(2 2,8,0) ,

z

C(?4 2, 2, 0), P(0,0, 2 2).

P

???8 分

? BC ? (? 6 2, ? 6, 0) , PB ? (2 2, 8 , ? 2 2) ,????????9 分 设平面 PBC 的一个法向量为 n = ( x , y , z ) ,
? ? ? ? y ? ? 2 x, ?n ? BC , ?? 6 2 x ? 6 y ? 0, 由? 得? 即? ? ? ? z ? ?3x, ?n ? PB, ?2 2 x ? 8 y ? 2 2 z ? 0, ?

D O A x

C E y B

取 x ?1则 y ? ? 2 ,

z ? ?3 ,

所以 n ? (1, ? 2, ? 3) 为平面 PBC 的一个法向 量. ???????????11 分

AB ? 平面 PAD , ? AB ? ? 0, 8, 0 ? 为平面 PAD 的
一个法向量. 所以 cos AB , n ?

AB n AB ? n

?

8 ? (? 2) 6 , ????????????12 分 ?? 6 8 1? 2 ? 9
???????????????????13 分

? cos ? ? cos AB , n ?

6 . 6

p ?0?2 p 3 2 2 ? 18. 解: (I)因为 F ( , 0) , 依题意得 d ? , 2 2 2

??????????2 分

2 解得 p ? 2 ,所以抛物线 C 的方程为 y ? 4 x ?????????????4 分 (Ⅱ)①命题:若直线 AB 过焦点 F ,且直线 AD 过原点 O ,则直线 BD 平行 x 轴. ?????????????5 分 设直线 AB 的方程为 x ? ty ? 1 , A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , ?????????6 分

由?

? x ? ty ? 1,
2

? y ? 4 x, ? y1 y2 ? ?4 ,

得 y ? 4ty ? 4 ? 0 ,
2

?????????????????8 分

y1 ?????????????????9 分 x, x1 y 所以点 D 的坐标为 (?1, ? 1 ) , x1 y 4y 4 ????????????????????12 分 ?? 1 ? ? 21 ? ? ? y2 , x1 y1 y1 ?????????????????????13 分 ? 直线 DB 平行于 x 轴. ②命题:若直线 AB 过焦点 F ,且直线 BD 平行 x 轴,则直线 AD 过原点 O .
直线 AD 的方程为 y ?
理科数学第 7 页(共 5 页)

?????????????5 分 设直线 AB 的方程为 x ? ty ? 1, A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , ?????????6 分

? y ? 4 x, ? y1 y2 ? ?4 ,
2

由?

? x ? ty ? 1,

得 y 2 ? 4ty ? 4 ? 0 , ?????????????????8 分

即点 B 的坐标为 ( x2 , ?

4 ), y2

?????????????????9 分

∵直线 BD 平行 x 轴,∴点 D 的坐标为 (?1, ? ∴ OA ? ( x1 , y1 ) , OD ? (?1, ? 由于 x1 (?

4 ), y1

??????????10 分

4 ), y1

4 ) ? y1 (?1) ? ? y1 ? y1 ? 0 , y1
?????????????????12 分

∴ OA ∥ OD ,即 A, O, D 三点共线,

∴直线 AD 过原点 O . ?????????????????????13 分 ③命题:若直线 AD 过原点 O ,且直线 BD 平行 x 轴,则直线 AB 过焦点 F . ?????????????5 分 设直线 AD 的方程为 y ? kx (k ? 0) ,则点 D 的坐标为 (?1, ?k ) , ????6 分 ∵直线 BD 平行 x 轴, ∴ yB ? ?k ,∴ xB ? 由?

k2 k2 ,即点 B 的坐标为 ( , ? k ) , 4 4

????????8 分

? y ? kx,
2

? y ? 4 x, 4 4 4 4 ∴ x A ? 2 , y A ? , 即点 A 的坐标为 ( 2 , ) , k k k k 2 4 4 k ∴ FA ? ( 2 ? 1, ) , FB ? ( ? 1, ?k ) , k k 4

得 k x ? 4x ,
2 2

???????????10 分

4 4 k2 4 4 由于 ( 2 ? 1)( ? k ) ? ? ( ? 1) ? ? ? k ? k ? ? 0 , k k 4 k k
∴ FA ∥ FB ,即 A, F , B 三点共线, ∴直线 AB 过焦点 F .
2

???????????????12 分 ?????????????????????13 分
2

19.解: (Ⅰ) f ( x) ? (sin ? x ? cos ? x) ? 2cos

?x ? 2

? sin 2 ? x ? cos2 ? x ? sin 2? x ? 1 ? cos 2? x ? 2
? sin 2? x ? cos 2? x

? 2 sin(2? x ? ) , 4 2? 1 ? 2? ,故 ? ? . 依题意得 2? 2

?

???????????????1 分 ???????????????2 分

理科数学第 8 页(共 5 页)

∴ f ( x) ? sin x ? cos x ,即 f ( x ) 的“相伴向量”为(1,1) . (Ⅱ)依题意, g( x) ? 3 sin x ? cos x ? 2sin( x ?

???3 分

?
6

) , ???????????4 分

将 g( x) 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) , 得到函数 y ? 2sin( x ?

1 2

?
6

),

?????????????????????5 分

再将所得的图象上所有点向左平移 即 h( x) ? 2sin( x ?

1 ? 1 ) ? 2 cos x , ???????????6 分 2 2 2 ? 6 ? 3 ∵ h(2? ? ) ? ,∴ cos(? ? ) ? , 3 5 6 5 ? ? ? 2? ? 4 ) ,∴ sin(? ? ) ? , ∵ ? ? (0, ) ,∴ ? ? ? ( , ?????8 分 2 6 6 3 6 5
∴ sin ? ? sin[(? ?

2? 1 2? ? ) ? ], 个单位长度,得到 h( x) ? 2sin[ ( x ? 3 2 3 6

?

) ? ] ? sin(? ? ) cos ? cos(? ? )sin ? 6 6 6 6 6 6

?

?

?

?

?

4 3 ?3 . 10

?????????????????????10 分 (Ⅲ)若函数 ? ( x) ? sin x cos 2 x 存在“相伴向量” , 则存在 a , b ,使得 sin x cos 2 x ? a sin x ? b cos x 对任意的 x ? R 都成立,?????11 分 令 x ? 0 ,得 b ? 0 , 因此 sin x cos 2 x ? a sin x ,即 sin x ? 0 或 cos 2 x ? a , 显然上式对任意的 x ? R 不都成立, 所以函数 ? ( x) ? sin x cos 2 x 不存在“相伴向量”. ??????????13 分

(注:本题若化成 ? ( x) ? sin x-2 sin3 x ,直接说明不存在的,给 1 分) 20. 解:(Ⅰ) f ?( x) ? ∴ a ? 1, b ? 0 . (Ⅱ) h( x) ? ln x ?

a ? b ,∴ f ?(1) ? a ? b ? 1 ,又 f (1) ? b ? 0 , x
?????????????3 分

1 2 1 x ? (m ? )x ; 2 m 1 1 ∴ h?( x ) ? ? x ? (m ? ) x m 1 由 h?( x) ? 0 得 ( x ? m)( x ? ) ? 0 , m 1 ∴ x ? m或 x ? . ?????????????5 分 m 1 1 ? 2 ? m 时,函数 h( x) 在区间 (0, 2) 内有且仅有 ∵ m ? 0 ,当且仅当 0 ? m ? 2 ? 或 0 ? m m
一个极值点. ?????????????6 分

理科数学第 9 页(共 5 页)

1 1 ,即 0 ? m ? ,当 x ? (0, m) 时 h?( x) ? 0 ;当 x ? (m, 2) 时 m 2 h?( x) ? 0 ,函数 h( x) 有极大值点 x ? m , 1 1 1 ? 2 ? m, 若0 ? 即 m ? 2 时, 当 x ? (0, ) 时 h?( x) ? 0 ; 当 x ? ( , 2) 时 h?( x) ? 0 , m m m 1 函数 h( x) 有极大值点 x ? , m 1 ? ? 综上, m 的取值范围是 ?m | 0 ? m ? 或m ? 2 ? . ?????????????8 分 2 ? ?
若0 ? m ? 2 ? (Ⅲ)当 m ? 1 时,设两切线 l1 , l2 的倾斜角分别为 ? , ? ,

an? = g ?( x) ? x ? 2 , 则 tan ? ? f ?( x) ? ,t
∵ x ? 2 , ∴ ? , ? 均为锐角, ????????????????9 分

1 x

当 ? ? ? ,即 2 ? x ? 1 ? 2 时,若直线 l1 , l2 能与 x 轴围成等腰三角形,则 ? ? 2? ;当 ? ? ? , 即 x ? 1 ? 2 时,若直线 l1 , l2 能与 x 轴围成等腰三角形,则 ? ? 2? . 由 ? ? 2? 得, tan ? ? t an2? ?

2t an? , 1? t an 2 ?



1 2( x ? 2) 2 = ,即 3x ? 8 x ? 3 ? 0 , x 1 ? ( x ? 2) 2

此方程有唯一解 x ?

4? 7 ? (2,1 ? 2) ,直线 l1 , l2 能与 x 轴围成一个等腰三角形.??11 分 3
2t an? , 1? t an 2?

an2? ? 由 ? ? 2? 得, tan ? ? t

1 x ,即 x3 ? 2 x2 ? 3x ? 2 ? 0 , 得 x- 2= 1 1? 2 x 2?
设 F ( x) ? x ? 2 x ? 3x ? 2 , F ?( x) ? 3x ? 4 x ? 3,
3 2 2

当 x ? (2, ??) 时, F ?( x) ? 0 ,∴ F ( x) 在 (2, ??) 单调递增,则 F ( x) 在 (1 ? 2, ??) 单调递 增,由于 F ( ) ? 0 ,且 1 ? 2 ?
3 2

5 2

5 ,所以 F (1 ? 2) ? 0 ,则 F (1 ? 2) F (3) ? 0 , 2

即方程 x ? 2 x ? 3x ? 2 ? 0 在 (2, ??) 有唯一解,直线 l1 , l2 能与 x 轴围成一个等腰三角形. 因此,当 m ? 1 时,有两处符合题意,所以直线 l1 , l2 能与 x 轴围成等腰三角形时, c 值的个数 有 2 个. ???????????????14 分
理科数学第 10 页(共 5 页)

? ?2 1 ? 1 2 ?1 2? ?1 ? ? ?2 ,? A ? ? 3 21.(1)解: (Ⅰ)设 A ? ? 1 ? ,????2 分 ? ,则 A ? ? 3 4 ? 3 4 ? ? ?2 2? ? ?2 1 ? ?5 8?? ? ? 2 1? . ?M ? ? 1??? ?? 3 ? ? ? 4 6? ? 1 1? ?2 2?
(Ⅱ)

??????????3 分

? x ? ? x? ? ? x ? ? x? ? ? 1 ?1?? x? ? M ? ? ? ? ? ?? ? ? M ?1 ? ? ? ? ?? ? , ? y ? ? y? ? ? y ? ? y? ? ? ?1 2 ?? y? ?
????????????????4 分

即?

? x ? x? ? y?, ? y ? ? x? ? 2 y?,
2 2

代入 x ? 2 xy ? 2 y ? 1可得

? x? ? y ? ?

2

? 2 ? x? ? y? ?? ? x? ? 2 y? ? ? 2 ? ? x? ? 2 y? ? ? 1 ,即 x?2 ? 4x?y? ? 5 y?2 ? 1 ,
2

故曲线 C ? 的方程为 x ? 4 xy ? 5 y ? 1.
2 2

??????????????7 分

21.(2)解: (Ⅰ)由 ? sin ? ? ?

? ?

?? 1 ? ?? 1 ? ? ? ,得 ? ? sin ? cos ? cos ? sin ? ? , 6? 2 6 6? 2 ?
?????????1 分

1 3 1 ? x? y ? ,即 x ? 3 y ?1 ? 0 , 2 2 2
设?

? x ? 4 ? cos ? , ? x ? 4 ? cos ? , ?? ? y ? sin ? , ? y ? sin ? ,

?????????2 分

所以直线 l 的直角坐标方程为 x ? 3 y ?1 ? 0 ; 圆 M 的参数方程 ?

? x ? 4 ? cos ? , (? 为参数 ) . y ? sin ? ?

?????????????3 分

(Ⅱ)设 M ? 4 ? cos ?,

sin ? ? ,则点 M 到直线 l 的距离为

d?

4 ? cos ? ? 3sin ? ? 1 2

?? ? 3 ? 2sin ? ? ? ? 6? ? ? , 2

?????????5 分

1 ?? 2? ? ? 当 sin ? ? ? ? ? ?1 即 ? ? ? ? 2k? (k ? Z ) 时, d min ? . 2 3 6? ?
圆 M 上的点到直线 l 的距离的最小值为

1 . 2

?????????7 分

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(21)(3)解: (Ⅰ)当 x ? ?1 时,由 f ? x ? ? ? x ? 2 ? 0 得 x ? 2 ,所以 x ?? ;

1 1 时,由 f ? x ? ? ?3x ? 0 得 x ? 0 ,所以 0 ? x ? ; 2 2 1 1 当 x ? 时,由 f ? x ? ? x ? 2 ? 0 得 x ? 2 ,所以 ? x ? 2 . 2 2
当 ?1 ? x ? 综上不等式 f ? x ? ? 0 的解集 D ? x 0 ? x ? 2 . (Ⅱ) 3x ? 2 ? x ? 3 x ? 2 ? x , 由柯西不等式得 ( 3 x +

????2 分 ??????3 分

?

?

??????????????4 分

2 - x )2 ? (3 1)( x + (2 - x)) = 8 ,
??????????????????????5 分

? 3x ? 2 ? x ? 2 2 ,
当且仅当 x ?

3 时取“=” , 2

? a 的取值范围是 (-

,2 2) .

???????????????????7 分

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