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均值不等式八大技巧全学生版

时间:2015-11-25


利用均值不等式求最值的方法和技巧
几个重要的均值不等式 ① a 2 ? b 2 ? 2ab ? ab ?
a2 ? b2 (a、b ? R), 当且仅当 a = b 时, “=”号成立; 2
2

?a?b? ? ② a ? b ? 2 ab ? ab ? ? 当且仅当 a = b 时, “=”号成 ? (a、b ? R ), ? 2 ? 立;

a3 ? b3 ? c3 ③ a ? b ? c ? 3abc ? abc ? 当且仅当 a = b = c 时, (a、b、c ? R ? ), 3 “=”号成立;
3 3 3

④ a ? b ? c ? 33 abc ? abc ? ? ?

a?b?c? ? ? (a、b、c ? R ) ,当且仅当 a = b = c 3 ? ?

3

时,“=”号成立. 注: ① 注意运用均值不等式求最值时的条件: 一 “正” 、 二 “定” 、 三 “等” ; ② 熟悉一个重要的不等式链:

2 1 1 ? a b

? ab ?

a?b ? 2

a 2 ? b2 。 2

一、 配凑(8 种技巧)
1.拼凑定和
通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段,变为“积”的形式,然后以均值不等式的取 等条件为出发点,均分系数,拼凑定和,求积的最大值。

例1 已知 0 ? x ? 1 ,求函数 y ? ? x3 ? x2 ? x ? 1 的最大值。 例2 例3
求函数

y ? x 2 1 ? x 2 ? 0 ? x ? 1? 的最大值。

2 已知 0 ? x ? 2 ,求函数 y ? 6 x 4 ? x 的最大值。

?

?

2.拼凑定积
例4 例5
设 x ? ?1 ,求函数

y?

? x ? 5?? x ? 2 ? 的最小值。
x ?1
24 ? x ? 1?

已知 x ? ?1 ,求函数 y ?

? x ? 3?

2

的最大值。

例6

已知 0 ? x ? ? ,求函数 y ?

2 ? cos x 的最小值。 sin x

3.拼凑常数降幂
例7 例8 例9
若a 若x
3

? b3 ? 2, a, b ? R? ,求证: a ? b ? 2 。 ? y3 ? 2, x, y ? R? ,求 x2 ? y 2 ? 5xy 的最大值。
3 3 3

3

已知 a, b, c ? 0, abc ? 1,求证: a ? b ? c ? ab ? bc ? ca 。

4.拼凑常数升幂
例10 若 a, b, c ? R ? ,且 a ? b ? c ? 1 ,求证 a ? 5 ? b ? 5 ? c ? 5 ? 4 3 。 例11 若 a ? b ? 2, a, b,? R? ,求证: a3 ? b3 ? 2 。

5.约分配凑
2 8 例12 已知 x, y, ? 0, ? ? 1,求 xy 的最小值。 x y

例13 已知 0 ? x ? 1 ,求函数 y ?
?

4 1 ? 的最小值。 x 1? x

a2 b2 c2 1 ? ? ? ?a ? b ? c? 。 例14 若 a, b, c ? R ,求证 b?c c?a a?b 2

6.引入参数拼凑
例15 已知 x, y, z ? R ? ,且 x ? y ? z ? 1 ,求
1 4 9 ? ? 的最小值。 x y z

7.引入对偶式拼凑
例16 设

a1 , a2 , ???, an

























a 1 1 1 a1 a2 a3 1 ? 2 ? 2 ? ??? ? n ? ? ? ? ??? ? 2 2 1 2 3 n 1 2 3 n

8.确立主元拼凑

例17 在 ?ABC 中,证明 cos A cos B cosC ?

1 。 8

二、整体代换
例 18. 已知 ,求 的最小值。

三、换元
例 19. 求函数 的最大值。

四、取平方
例 20. 求函数 的最大值。

五、取倒数
( x ? 1)2 1 y? 0? x? x(1 ? 2x ) 的最小值. 2 ,求函数 例 21. 已知

六、 逆用条件
1 9 ? ? 1( x ? 0, y ? 0) x ? y 的最小值是( x y 例 22. 已知 ,则

) .

七、 巧组合
例 23. 若

a, b, c ? 0 且 a(a ? b ? c) ? bc ? 4 ? 2 3 ,求 2a ? b ? c 的最小值 .

八、 消元

y2 x, y, z 为正实数, x ? 2 y ? 3z ? 0 ,则 xz 的最小值是. 例 24.设

[练一练] 1. 若 2. 求函数 3. 求函数 4. 已知 ,且 ,求 的最大值。 的最小值。

的最小值。 ,求 的最小值。

参考答案:1.

2. 5

3. 8

4.


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