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2017年江门市一模(理科数学)(答案解析版)

时间:2018-03-05

保密★启用前

试卷类型:B

江门市 2017 年高考模拟考试
数学(理科)

本试卷 4 页,23 题,满分 150 分,测试用 120 分钟.(考试时间 2017.2.22)
第Ⅰ卷

一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合

题目要求的. 1.已知全集为 R,集合 M={?1,0,1,3},N={x|x2?x?2≥0},则 M∩?RN=?( )
A.{?1,0,1,3} B.{0,1,3} C.{?1,0,1} D.{0,1}

2.设 i 是虚数单位,若(2a+i)(1﹣2i)是纯虚数,则实数 a=( )

A.1

B.?1

C.4

D.?4

3.已知一组数据 a、b、9、10、11 的平数为 10,方差为 2,则|a?b|=( )

A.2

B.4

C.8

D.12

4.ABCD?A1B1C1D1 是棱长为 2 的正方体,AC1、BD1 相交于 O,在正方体内(含正方体表面)

随机取一点 M,OM≤1 的概率 p=( )

A. ? 6

B. ? 4

C. 3 ?

D. 2 ?

5.《九章算术》中,将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.某“堑堵”的三视图如图,

则它的表面积为( )

A.2

B.4+2 2

C.4+4 2

D.6+4 2

6.等差数列中{an},a1=2,公差为 d,则“d=4”是“a1,a2,a5 成等比数列”的( )

A.充要条件

B.充分非必要条件

C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件

7.F 是抛物线 y2=4x 的焦点,P、Q 是抛物线上两点,|PF|=2,|QF|=5,则|PQ|=( )

A. 3 5 B. 4 3 C. 3 5 或 13

D. 3 5 或 4 3

8.若的 (x2 ? a)(x ? 1 )10 展开式中 x6 的系数为?30,则常数 a=( ) x

A.?4

B.?3

C.2

D.3

9.四面体 ABCD 中∠BAC=∠BAD=∠CAD=60°,AB=2,AC=3,AD=4,则四面体 ABCD 的

体积 V=( )

A.2 2

B.2 3

C.4

D.4 3

1

10.到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平

面内的轨迹是( )

A.直线

B.椭圆

C.抛物线 D.双曲线

11.函数 f(x)= 3 sinωxcosωx+cos2ωx(ω>0)(ω>0)在区间[? , ? ] 的值域是[? 1 , 1] ,则

63

22

常数 ω 所有可能的值的个数是( )

A.0

B.1

C.2 ?

D.4

12.已知函数 f(x)的图象与函数 y=x3? 3x2+2 的图象关于点 (1 ,0) 对称,过点(1,t)仅能作曲 2
线 y= f(x)的一条切线,则实数 t 的取值范围是( )

A.(﹣3,﹣2)

B.[﹣3,﹣2]

C.(﹣∞,﹣3)∪(﹣2,+∞) D.(﹣∞,﹣3]∪[﹣2,+∞)

第Ⅰ卷

本卷包括必考题和选考题两部分,第 13~21 题为必考题,每个试题考生都必须做答,第

22~23 题为选考题,考生根据要求做答.

二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分.

13.偶函数 f(x)在(0,+∞)单调递减,f(1)=0,不等式 f(x)>0 的解集为 .

14.正项数列{an}满足

a1=

1 4

,a1+a2+…+an=2anan+1,则通项

an=



15.某个部件由 3 个型号相同的电子元件并联而成,3 个电子元件中有一个正常工作,该部

件正常工作,已知这种电子元件的使用年限 ξ(单位:年)服从正态分布,且使用年限少

于 3 年的概率和多于 9 年的概率都是 0.2.该部件正常工作超过 9 年的概为



16.若向量

? a

? 、b

满足∣

? a

?

? b

∣=2,∣

? a

?

? b

∣=3,则∣ a?

∣?∣

? b

∣的取值范围是



三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(12 分)△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别是,a、b、c,△ABC 的面积 S ? 3 AB ? AC . 2
(Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)若 b+c=5,a= 7 ,求△ABC 的面积的大小.

2

18.(12 分)为了摸清整个江门大道的交通状况,工作人员随机选取 20 处路段,在给定的 测试时间内记录到机动车的通行数量情况如下(单位:辆): 147 161 170 180 163 172 178 167 191 182 181 173 174 165 158 154 159 189 168 169
(Ⅰ)完成如下频数分布表,并作频率分布直方图; 通行数量区间 [145,155) [155,165) [165,175) [175,185) [185,195)
频数
(Ⅱ)现用分层抽样的方法从通行数量区间为[165,175)、[175,185)及[185,195)的路 段中取出 7 处加以优化,再从这 7 处中随机选 2 处安装智能交通信号灯,设所取出的 7 处中, 通行数量区间为[165,175)路段安装智能交通信号灯的数量为随机变量 X(单位:盏),试 求随机变量 X 的分布列与数学期望 E(X).
频率 组距
0.04

0.035

0.03

0.025

0.02

0.015

0.01

0.005

通行数 135 145 155 165 175 185 195 205

19.(12 分)如图,多面体 EF﹣ABCD 中,ABCD 是正方形,AC、BD 相交于 O,EF∥AC, 点 E 在 AC 上的射影恰好是线段 AO 的中点. (Ⅰ)求证:BD⊥平面 ACF; (Ⅱ)若直线 AE 与平面 ABCD 所成的角为 60°,求平面 DEF 与平面 ABCD 所成角的正弦值.

3

20.(12 分)设函数 f(x)=ex﹣ax,a 是常数. (Ⅰ)若 a=1,且曲线 y=f(x)的切线 l 经过坐标原点(0,0),求该切线的方程; (Ⅱ)讨论 f(x)的零点的个数.

21.(12

分)椭圆

E: x2 a2

?

y2 b2

? 1(a>b>0)的左右焦点分别为

F1、F2,D

为椭圆短轴上

的一个顶点,DF1 的延长线与椭圆相交于 G.△DGF2 的周长为 8,|DF1|=3|GF1|. (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)过椭圆 E 的左顶点 A 作椭圆 E 的两条互相垂直的弦 AB、AC,试问直线 BC 是否恒过 定点?若是,求出此定点的坐标;若不是,请说明理由.

请考生在第 22、23 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分。 22.(本小题满分 10 分)[选修 4-4:坐标系与参数方程] 极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点 O 处,极轴与 x 轴的正半轴重合,两坐标系单位长

度相同.已知曲线的极坐标方程为

ρ=2cosθ+2sinθ,直线

l

的参数方程为

?x ?? y

? ?

2?t ?1?

(t t

为参数).

(Ⅰ)将直线 l 的参数方程化为普通方程,将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程;

(Ⅱ)设曲线 C 上到直线 l 的距离为 d 的点的个数为 f(d),求 f(d)的解析式.

23.(本小题满分 10 分)[选修 4-5:不等式选讲] 设函数 f(x)=∣ x ? 1 ∣+∣x﹣a+1∣(a>0 是常数).
a (Ⅰ)证明:f(x)≥1; (Ⅱ)若 f (3) ? 11 ,求 a 的取值范围.
2

4

江门市 2017 年高考模拟考试
数学(理科)参考答案与试题解析
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.已知全集为 R,集合 M={﹣1,0,1,3},N={x|x2﹣x﹣2≥0},则 M∩?RN=( ) A.{﹣1,0,1,3} B.{0,1,3} C.{﹣1,0,1} D.{0,1} 【考点】交、并、补集的混合运算. 【分析】先求出 N,从而得到 CRN,由此能求出 M∩?RN. 【解答】解:∵全集为 R,集合 M={﹣1,0,1,3}, N={x|x2﹣x﹣2≥0}={x|x≤﹣1 或 x≥2}, ∴CRN={x|﹣1<x<2}, ∴M∩?RN={0,1}. 故选:D. 【点评】本题考查交集的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意补集、交集定义的合理 运用.

2.设 i 是虚数单位,若(2a+i)(1﹣2i)是纯虚数,则实数 a=( ) A.1 B.﹣1 C.4 D.﹣4 【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简,再由实部为 0 且虚部不为 0 求解. 【解答】解:∵(2a+i)(1﹣2i)=2a+2+(1﹣4a)i 是纯虚数,



,解得 a=﹣1.

故选:B. 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题.

3.已知一组数据 a、b、9、10、11 的平均数为 10,方差为 2,则|a﹣b|=( ) A.2 B.4 C.8 D.12 【考点】极差、方差与标准差;众数、中位数、平均数. 【分析】根据题意,可得 a+b=20,①以及(a﹣10)2+(b﹣10)2=8,②;解可得 a、b 的值, 计算可得|a﹣b|的值,即可得答案.

5

【解答】解:一组数据 a、b、9、10、11 的平均数为 10,方差为 2, 则有 a+b+9+10+11=50,即 a+b=20,①

[(a﹣10)2+(b﹣10)2+(9﹣10)2+(10﹣10)2+(11﹣10)2]=2, 即(a﹣10)2+(b﹣10)2=8,②

联立①、②可得:





则|a﹣b|=4; 故选:B. 【点评】本题考查数据方差、平均数的计算,关键是求出 a、b 的值.

4.ABCD﹣A1B1C1D1 是棱长为 2 的正方体,AC1、BD1 相交于 O,在正方体内(含正方体表面) 随机取一点 M,OM≤1 的概率 p=( ) A. B. C. D. 【考点】几何概型. 【分析】由题意可得概率为体积之比,分别求正方体的体积和球的体积可得. 【解答】解:由题意可知总的基本事件为正方体内的点,可用其体积 23=8, 满足 OM≤1 的基本事件为 O 为球心 1 为半径的球内部在正方体中的部分,其体积为 V= π× 13= π,
故概率 P= = .
故选:A. 【点评】本题考查几何概型,涉及正方体和球的体积公式,属基础题.

5.《九章算术》中,将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.某“堑堵”的三视图如图, 则它的表面积为( )

6

A.2 B.4+2 C.4+4 D.6+4 【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱,由三视图求出几何元素的长度, 由面积公式求出几何体的表面积. 【解答】解:根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱,底面是一个直角三角形, 两条直角边分别是 、斜边是 2,且侧棱与底面垂直,侧棱长是 2,

∴几何体的表面积 S=

=6+4 ,

故选:D. 【点评】本题考查三视图求几何体的表面积,由三视图正确复原几何体是解题的关键,考查 空间想象能力.

6.等差数列中{an},a1=2,公差为 d,则“d=4”是“a1,a2,a5 成等比数列”的( ) A.充要条件 B.充分非必要条件 C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】由 a1,a2,a5 成等比数列,可得: =a1?a5,(2+d)2=2×(2+4d),解得 d,即 可判断出结论. 【解答】解:由 a1,a2,a5 成等比数列,可得: =a1?a5,∴(2+d)2=2×(2+4d),解得 d=0 或 4. ∴“d=4”是“a1,a2,a5 成等比数列”的充分不必要条件. 故选:B. 【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、简易逻辑的判定方法,考查了推理能 力与计算能力,属于中档题.

7.F 是抛物线 y2=4x 的焦点,P、Q 是抛物线上两点,|PF|=2,|QF|=5,则|PQ|=( )

A.3 B.4 C.3 或

D.3 或 4

【考点】抛物线的简单性质.

【分析】根据抛物线的性质将|PF|,|QF|转化为到准线的距离,求出 P,Q 的坐标,得出答

案.

【解答】解:抛物线的准线方程为 x=﹣1,

7

∴|PF|=x1+1=2,|QF|=x2+1=5. ∴x1=1,x2=4. ∴P(1,±2),Q(4,±4),

∴|PQ|= = 或

=3

故选:C.

【点评】本题考查了抛物线的性质,属于基础题.

8.若的(x2+a)(x﹣ )10 展开式中 x6 的系数为﹣30,则常数 a=( ) A.﹣4 B.﹣3 C.2 D.3 【考点】二项式系数的性质. 【分析】根据题意求出(x﹣ )10 展开式中含 x4 项、x6 项的系数,得出(x2+a)(x﹣ )10 的展开式中 x6 的系数,列出方程求出 a 的值. 【解答】解:(x﹣ )10 展开式的通项公式为:

Tr+1= ?x10﹣r?

=(﹣1)r? ?x10﹣2r;

令 10﹣2r=4,解得 r=3,所以 x4 项的系数为﹣ =﹣120;

令 10﹣2r=6,解得 r=2,所以 x6 项的系数为 =45;

所以(x2+a)(x﹣ )10 的展开式中 x6 的系数为:﹣120+45a=﹣30, 解得 a=2. 故选:C. 【点评】本题考查了利用二项展开式的通项公式求二项展开式的特定项问题问题,是基础题.

9.四面体 ABCD 中∠BAC=∠BAD=∠CAD=60°,AB=2,AC=3,AD=4,则四面体 ABCD 的体积 V=( ) A.2 B.2 C.4 D.4 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积. 【分析】由题意画出图形,通过分割补形,求出 B 到底面 ACD 的距离,代入体积公式求解. 【解答】解:如图,

8

在 AC 上取 E,使 AE=2,在 AD 上取 F,使 AF=2,连接 BE、BF、EF, 则四面体 B﹣AEF 为正四面体,过 B 作 BO⊥平面 AEF,垂足为 O, 连接 AO 并延长,交 EF 于 G,则 AG= ,AO= ,

∴BO=



=.





故选:A. 【点评】本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积,考查空间想象能力和逻辑思维能力,是中档题.

10.到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平 面内的轨迹是( ) A.直线 B.椭圆 C.抛物线 D.双曲线 【考点】抛物线的定义;双曲线的标准方程. 【分析】先做出两条异面直线的公垂线,以其中一条直线为 x 轴,公垂线与 x 轴交点为原点, 公垂线所在直线为 z 轴,过 x 且垂直于公垂线的平面为 xoy 平面,建立空间直角坐标系,则 两 条异面直线的方程可得,设空间内任意点设它的坐标是(x,y,z)根据它到两条异面直线的 距离相等,求得 z 的表达式,把 z=0 和 z=a 代入即可求得 x 和 y 的关系,根据其方程判断轨迹. 【解答】解:先做出两条异面直线的公垂线,以其中一条直线为 x 轴,公垂线与 x 轴交点为 原点,公垂线所在直线为 z 轴,过 x 且垂直于公垂线的平面为 xoy 平面,建立空间直角坐标 系,则两条异面直线的方程就分别是 y=0,z=0 和 x=0,z=a(a 是两异面直线公垂线长度,是 个常数) 空间内任意点设它的坐标是(x,y,z) 那么由已知,它到两条异面直线的距离相等,即
=

9

两边平方,化简可得 z= (y2﹣x2+a2)
过一条直线且平行于另一条直线的平面是 z=0 和 z=a 分别代入所得式子 z=0 时 代入可以得到 y2﹣x2=﹣a2,图形是个双曲线 z=a 时 代入可以得到 y2﹣x2=a2,图形也是个双曲线 故选 D 【点评】本题主要考查了双曲线的方程.考查了学生分析归纳和推理的能力.

11.函数 f(x)= sinωxcosωx+cos2ωx(ω>0)(ω>0)在区间[ , ]的值域是[﹣ , ],

则常数 ω 所有可能的值的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.4 【考点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象. 【分析】利用二倍角和辅助角公式基本公式将函数化为 y=Asin(ωx+φ)的形式,将内层函数

看作整体,求出其范围,根据值域是[﹣ , ],建立关系,讨论常数 ω 所有可能的值.

【解答】解:函数 f(x)= sinωxcosωx+cos2ωx,

化简可得:f(x)=

=sin(2ωx+ ) ,

∵x∈[ , ],f(x)∈[ , ],

∴﹣1≤sin(2ωx+ )≤0,





而 T=



那么:

,即



sin(2ωx+ )=0 的结果必然是 或 .

当 时,解得 ω= 满足题意.

当 x= 时,解得 ω= 满足题意. ∴常数 ω 所有可能的值的个数为 2.

10

故选 C: 【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质,利用三角函数公式将函数进行化简是解决本 题的关键.
12.已知函数 f(x)的图象与函数 y=x3﹣3x2+2 的图象关于点( ,0)对称,过点(1,t) 仅能作曲线 y=f(x)的一条切线,则实数 t 的取值范围是( ) A.(﹣3,﹣2) B.[﹣3,﹣2] C.(﹣∞,﹣3)∪(﹣2,+∞) D.(﹣∞,﹣3)∪ [﹣2,+∞) 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】由对称性可得(x,y)为 y=f(x)图象上的点,其对称点为(1﹣x,﹣y),且在函 数 y=x3﹣3x2+2 的图象上,代入可得 f(x)的解析式,设出切点(m,n),求出 f(x)的导 数,可得切线的斜率和方程,代入点(1,t),化简整理可得 t+3=3m2﹣2m3, 由 g(m)=3m2﹣2m3,求出导数和单调区间、极值,由题意可得 t+3=3m2﹣2m3 只有一解, 则 t+3>1 或 t+3<0,解不等式即可得到所求范围. 【解答】解:函数 f(x)的图象与函数 y=x3﹣3x2+2 的图象关于点( ,0)对称, 设(x,y)为 y=f(x)图象上的点,其对称点为(1﹣x,﹣y),且在函数 y=x3﹣3x2+2 的图 象上, 可得﹣y=(1﹣x)3﹣3(1﹣x)2+2,即为 y=f(x)=(x﹣1)3+3(1﹣x)2﹣2, 设切点为(m,n),则 n=(m﹣1)3+3(1﹣m)2﹣2, f(x)的导数为 f′(x)=3(x﹣1)2+6(x﹣1)=3(x2﹣1), 可得切线的方程为 y﹣n=3(m2﹣1)(x﹣m), 代入点(1,t),可得 t﹣n=3(m2﹣1)(1﹣m), 化简可得 t+3=3m2﹣2m3, 由 g(m)=3m2﹣2m3, g′(m)=6m﹣6m2=6m(1﹣m), 当 0<m<1 时,g′(m)>0,g(m)递增;当 m<0 或 m>1 时,g′(m)<0,g(m)递减. 则 g(m)在 m=0 处取得极小值 0,在 m=1 处取得极大值 1, 由过点(1,t)仅能作曲线 y=f(x)的一条切线, 可得 t+3=3m2﹣2m3 只有一解, 则 t+3>1 或 t+3<0, 解得 t>﹣2 或 t<﹣3.
11

故选:C. 【点评】本题主要考查导数的运用:求切线的方程和单调区间、极值,考查转化思想的运用, 以及化简整理能力,属于中档题.
三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分. 13.偶函数 f(x)在(0,+∞)单调递减,f(1)=0,不等式 f(x)>0 的解集为 (﹣1,0) ∪(0,1) . 【考点】奇偶性与单调性的综合. 【分析】根据题意,结合函数的奇偶性与单调性,原不等式 f(x)>0 可以转化为|x|<1 且 x≠0,解可得 x 的取值范围,即可得答案. 【解答】解:根据题意,对于函数 f(x),f(1)=0,则 f(x)>0?f(x)>f(1), 又由函数 f(x)为偶函数,则 f(x)>f(1)?f(|x|)>f(1), 函数 f(x)在(0,+∞)单调递减,则 f(|x|)>f(1)?|x|<1 且 x≠0, 综合可得:f(x)>0?|x|<1 且 x≠0, 解可得﹣1<x<1 且 x≠0, 即不等式 f(x)>0 的解集为(﹣1,0)∪(0,1); 故答案为:(﹣1,0)∪(0,1). 【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的综合应用,关键是综合运用函数的奇偶性与单调性 分析,得到关于 x 的不等式.

14.正项数列{an}满足 a1= ,a1+a2+…+an=2anan+1,则通项 an=



【考点】数列递推式.

【分析】由已知数列递推式可得数列{an}的奇数项与偶数项均为等差数列且公差都为 .分类

写出通项公式得答案.

【解答】解:由 a1+a2+…+an=2anan+1,得 Sn=2anan+1, 当 n≥2 时,Sn﹣1=2an﹣1an,两式相减得 an=2an(an+1﹣an﹣1),





又 a1= ,a1+a2+…+an=2anan+1,得



∴数列{an}的奇数项与偶数项均为等差数列且公差都为 .

12

则当 n 为奇数时,



当 n 为偶数时,







故答案为: . 【点评】本题考查数列递推式,考查等差关系的确定,训练了等差数列通项公式的求法,是 中档题.

15.某个部件由 3 个型号相同的电子元件并联而成,3 个电子元件中有一个正常工作,则改 部件正常工作,已知这种电子元件的使用年限 ξ(单位:年)服从正态分布,且使用年限少于 3 年的概率和多于 9 年的概率都是 0.2.那么该部件能正常工作的时间超过 9 年的概率为 0.488 . 【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 【分析】利用使用年限少于 3 年的概率和多于 9 年的概率都是 0.2,可得正态分布的对称轴为 ξ=6,9 年内每个电子元件能正常工作的概率为 0.2.求出 9 年内部件不能正常工作的概率, 即可求出该部件能正常工作的时间超过 9 年的概率. 【解答】解:∵使用年限少于 3 年的概率和多于 9 年的概率都是 0.2, ∴P(0<ξ<3)=P(ξ>9)=0.2, ∴正态分布的对称轴为 ξ=6, ∴9 年内每个电子元件能正常工作的概率为 0.2. ∴9 年内部件不能正常工作的概率为 0.83=0.512, ∴该部件能正常工作的时间超过 9 年的概率为 1﹣0.512=0.488. 故答案为:0.488. 【点评】本题考查概率的计算,考查正态分布、对立事件的概率,属于中档题.

16.若向量 、 满足| + |=2,| ﹣ |=3,则| |?| |的取值范围是 [0, ,] . 【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】设向量 、 的夹角为 θ,由数量积的计算公式可得 ? =﹣ ,分析可得 180°≥θ> 90°,由﹣1≤cosθ<0,且 ? =| |?| |cosθ=﹣ ,得出| |?| |的取值范围. 【解答】解:设向量 、 的夹角为 θ,
13

对于向量 、 有:| + |=2①,| ﹣ |=3②, ①2﹣②2 可得:4 ? =﹣5,即 ? =﹣ , 则向量 、 的夹角 θ 满足 180°≥θ≥0°, 则有﹣1≤cosθ≤1,
? =| |?| |cosθ=﹣ ,

∴| |?| |=



因为| |?| |≥0,所以﹣1≤cosθ<0 ∴0≤| |?| |≤ . 故答案为:[0, ] 【点评】本题考查了平面向量数量积的运算问题,掌握数量积与夹角公式是解题的关键.

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(12 分)(2017?江门一模)△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别是,a、b、c,△ABC

的面积 S=

?.

(Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)若 b+c=5,a= ,求△ABC 的面积的大小. 【考点】余弦定理;正弦定理. 【分析】(Ⅰ)由平面向量数量积的运算,三角形面积公式可求 tanA= ,结合范围 A∈(0, π),可得 A 的值, (Ⅱ)由余弦定理结合已知可求 bc=6,进而利用三角形面积公式即可计算得解. 【解答】(本题满分为 12 分)

解:(Ⅰ)∵S=

? = bccosA,…2 分

又∵S= bcsinA,可得:tanA= ,…4 分

∴由 A∈(0,π),可得:A= …6 分 (Ⅱ)∵由余弦定理 a2=b2+c2﹣2bccosA,可得:7=b2+c2﹣bc,…8 分 ∴可得:(b+c)2﹣3bc=7,…9 分 ∴由 b+c=5,可得:bc=6,…11 分

14

∴△ABC 的面积 S= bcsinA= …12 分 【点评】本题主要考查了平面向量数量积的运算,三角形面积公式,余弦定理,三角形面积 公式在解三角形中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题.
18.(12 分)(2017?江门一模)为了摸清整个江门大道的交通状况,工作人员随机选取 20 处路段,在给定的测试时间内记录到机动车的通行数量情况如下(单位:辆): 147 161 170 180 163 172 178 167 191 182 181 173 174 165 158 154 159 189 168 169 (Ⅰ)完成如下频数分布表,并作频率分布直方图; 通行数量区 [145,155) [155,165) [165,175) [175,185) [185,195)
间 频数 (Ⅱ)现用分层抽样的方法从通行数量区间为[165,175)、[175,185)及[185,195)的路 段中取出 7 处加以优化,再从这 7 处中随机选 2 处安装智能交通信号灯,设所取出的 7 处中, 通行数量区间为[165,175)路段安装智能交通信号灯的数量为随机变量 X(单位:盏),试 求随机变量 X 的分布列与数学期望 E(X).

【考点】离散型随机变量的期望与方差;频率分布直方图;离散型随机变量及其分布列. 【分析】(I)利用已知数据即可得出;

(II)用分层抽样的方法抽取 7 处,即可得出.利用 P(X=k)=

,即可得出.

【解答】解:(Ⅰ) 通 行 数 量 [145,155) [155,165) [165,175) [175,185) [185,195)

15

区间

频数

2

4

8

4

2



(Ⅱ)用分层抽样的方法抽取 7 处,则通行数量区间为[165,175], [175,185],及[185,195)的路段应分别取 4 处、2 处、1 处… 依题意,X 的可能取值为 0,1,2 …(7 分)

利用 P(X=k)=

,可得 P(X=0)= ,P(X=1)= ,P(X=2)= . …(10 分)

∴随机变量 X 的分布列为:

X

0

1

2

P

EX=0+1× +2× = .…(12 分)

【点评】本题考查了频率分布直方图的性质、分层抽样方法、超几何分布列与数学期望计算 公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 19.(12 分)(2017?江门一模)如图,多面体 EF﹣ABCD 中,ABCD 是正方形,AC、BD 相交 于 O,EF∥AC,点 E 在 AC 上的射影恰好是线段 AO 的中点. (Ⅰ)求证:BD⊥平面 ACF; (Ⅱ)若直线 AE 与平面 ABCD 所成的角为 60°,求平面 DEF 与平面 ABCD 所成角的正弦值.
16

【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的判定. 【分析】(Ⅰ)取 AO 的中点 H,连结 EH,只需证 EH⊥BD,AC⊥BD,即可得 BD⊥平面 ACF

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 EH⊥平面 ABCD,如图,以 H 为原点,

分别为 x 轴,y 轴,z

轴的正方向建立空间直角坐标系 H﹣xyz,求出两个面的法向量,利用向量的夹角公式即可求 解. 【解答】解:(Ⅰ)取 AO 的中点 H,连结 EH,则 EH⊥平面 ABCD…(1 分) ∵BD 在平面 ABCD 内,∴EH⊥BD… 又正方形 ABCD 中,AC⊥BD… ∵EH∩AC=H,EH、AC 在平面 EACF 内… ∴BD⊥平面 EACF,即 BD⊥平面 ACF…

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 EH⊥平面 ABCD,如图,以 H 为原点,

分别为 x 轴,y 轴,z

轴的正方向建立空间直角坐标系 H﹣xyz…

∵EH⊥平面 ABCD,∴∠EAH 为 AE 与平面 ABCD 所成的角,即∠EAH=60°,设正方形 ABCD 的

边长为 4a,

则 AC=4 ,AH= ,EA=2 ,EH= …(7 分)

各点坐标分别为 H(0,0,0),A(

,B(﹣

C(﹣3

,D(﹣

,E(0,0,

…(8 分)

易知为平面 ABCD 的一个法向量,记







∵EF∥AC,∴

…(9 分)

设平面 DEF 的一个法向量为

,则 ⊥ ,

⊥,



, 令 z= , 则 x=0 , y= ﹣ 2 , ∴

,且

,…(10 分)

17

∴ 与 的夹角 θ 为|cosθ|=

平面 DEF 与平面 ABCD 所成角 α 的正弦值为 sinα=

…(12 分)

【点评】本题考查了空间线面垂直的判定,及向量法求二面角,属于中档题.

20.(12 分)(2017?江门一模)设函数 f(x)=ex﹣ax,a 是常数. (Ⅰ)若 a=1,且曲线 y=f(x)的切线 l 经过坐标原点(0,0),求该切线的方程; (Ⅱ)讨论 f(x)的零点的个数. 【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】(Ⅰ)求出函数的导数,表示出切线方程,求出 m 的值,从而求出切线方程即可; (Ⅱ)求出函数 f(x)的导数,通过讨论 a 的范围,求出函数的单调区间,从而求出函数的 零点个数即可. 【解答】解:(Ⅰ)a=1 时,f(x)=ex﹣x,f′(x)=ex﹣1 …(1 分), 设切点坐标是(m,em﹣m), 则 k=f′(m)=em﹣1, 故切线方程是: y﹣(em﹣m)=(em﹣1)(x﹣m) … 由 0﹣(em﹣m)=(em﹣1)(0﹣m),得 m=1, 所求切线为:y=(e﹣1)x… (Ⅱ)f′(x)=ex﹣a,当 a>0 时,由 f′(x)=0 得 x=lna… (1)a>0 时,若 x<lna,则 f′(x)<0;若 x>lna,则 f′(x)>0. 函数 f(x)在区间(﹣∞,lna)单调递减,在区间(lna,+∞)单调递增, f(x)的最小值为 f(lna)=a(1﹣lna)…(7 分) ①0<a<e 时,f(lna)=a(1﹣lna)>0,f(x)无零点…(8 分) ②a=e 时,f(lna)=a(1﹣lna)=0,f(x)只有一个零点…(9 分) ③a>e 时,f(lna)=a(1﹣lna)<0,根据 f(0)=1>0 与函数的单调性, f(x)在区间(﹣∞,lna)和(lna,+∞)各有一个零点,f(x)共有两个零点…(10 分) (2)a=0 时,f(x)=ex,f(x)无零点…(11 分) (3)a<0 时,由 f(x)=0 得,ex=ax, 故曲线 y=ex 与 y=ax 只有一个交点,所以 f(x)只有一个零点. 综上所述,0≤a<e 时,f(x)无零点; a<0 或 a=e 时,f(x)有一个零点;
18

a>e 时,f(x)有两个零点…(12 分) 【点评】本题考查了切线方程问题,考查函数的单调性、最值问题,考查导数的应用以及分 类讨论思想,是一道综合题.

21.(12 分)(2017?江门一模)椭圆 E: + =1(a>b>0)的左右焦点分别为 F1、F2,

D 为椭圆短轴上的一个顶点,DF1 的延长线与椭圆相交于 G.△DGF2 的周长为 8,|DF1|=3|GF1|. (Ⅰ)求椭圆 E 的方程;

(Ⅱ)过椭圆 E 的左顶点 A 作椭圆 E 的两条互相垂直的弦 AB、AC,试问直线 BC 是否恒过定

点?若是,求出此定点的坐标;若不是,请说明理由.

【考点】直线与椭圆的位置关系.

【分析】(Ⅰ)根据三角形的周长求出 a 的值,设 G(x0,y0),求出 b,c 的值,从而求出 椭圆 E 的方程即可;

(Ⅱ)分别设出 AB,AC 的斜率,联立直线和圆的方程组,分别求出 B、C 的坐标,求出直线

BC 的方程,从而求出直线恒过的定点即可. 【解答】解:(Ⅰ)由△DGF2 的周长是 8,得:4a=8,解得:a=2, 由|DF1|=3|GF1|且 G 在 DF1 的延长线上,

得=

,设 G(x0,y0),

则(x0,y0﹣b)= (﹣c,﹣b),x0=﹣ c,y0=﹣ b,

由 + =1,解得:c2=2,

∴b2=2,椭圆 E 的方程是 + =1; (Ⅱ)A(﹣2,0),直线 AB、AC 均有斜率, 设 AB:y=k(x+2),AC:y=﹣ (x+2),



,得:(2k2+1)x2+8k2x+8k2﹣4=0,

解得:x1=﹣2,x2=﹣



19

当 x2=﹣

时,y2=

∴B(﹣



),

同理 C(

,﹣ ),

直线 BC 的方程是 3kx+2(k2﹣1)y+2k=0, 直线 BC 恒过定点(﹣ ,0). 【点评】本题考查了求椭圆方程问题,考查直线和椭圆的关系以及转化思想,是一道中档题.

请考生在第 22、23 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分。[选修 4-4:坐 标系与参数方程] 22.(10 分)(2017?江门一模)极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点 O 处,极轴与 x 轴的正半轴重合,两坐标系单位长度相同.已知曲线的极坐标方程为 ρ=2cosθ+2sinθ,直线 l

的参数方程为

(t 为参数).

(Ⅰ)将直线 l 的参数方程化为普通方程,将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)设曲线 C 上到直线 l 的距离为 d 的点的个数为 f(d),求 f(d)的解析式. 【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 【分析】(Ⅰ)将直线 l 的参数方程消去参数,可得普通方程,将曲线 C 的极坐标方程,即 ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ,即可化为直角坐标方程;

(Ⅱ)圆心 C(1,1)到直线 l 的距离为 = ,圆的半径为 ,圆上的点到直线 l 距离 d

的取值范围是 0≤d≤ ,即可求 f(d)的解析式.

【解答】解:(Ⅰ)直线 l 的参数方程为

(t 为参数),消去参数,可得普通方程 x+y

﹣1=0; 曲线的极坐标方程为 ρ=2cosθ+2sinθ,即 ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ,∴x2+y2﹣2x﹣2y=0; (Ⅱ)x2+y2﹣2x﹣2y=0,可化为(x﹣1)2+(y﹣1)2=2,

圆心 C(1,1)到直线 l 的距离为 = ,圆的半径为 ,

圆上的点到直线 l 距离 d 的取值范围是 0≤d≤

20

∴f(d)=



【点评】本题考查三种方程的转化,考查直线与圆的位置关系的运用,考查学生分析解决问 题的能力,属于中档题. [选修 4-5:不等式选讲] 23.(2017?江门一模)设函数 f(x)=|x+ |+|x﹣a+1|(a>0 是常数). (Ⅰ)证明:f(x)≥1; (Ⅱ)若 f(3)< ,求 a 的取值范围. 【考点】绝对值不等式的解法;绝对值三角不等式. 【分析】(Ⅰ)利用绝对值不等式证明即可. (Ⅱ)将 x=3 带入,可得 f(3)=|3+ |+|3﹣a+1| ,去绝对值,即可得答案.

【解答】解:(Ⅰ)函数 f(x)=|x+ |+|x﹣a+1|≥|

∵a>0,



,当且仅当 a=1 时取等号.

|=|

|



≥1

故得:函数 f(x)=|

|≥1,即 f(x)≥1;

(Ⅱ)当 x=3 时,可得 f(3)=|3+ |+|3﹣a+1| , ∵a>0, 可得:3+ +|4﹣a|

?|4﹣a|< ,



,且



解得:

故得 a 的取值范围是(2,

).

【点评】本题考查了绝对值不等式的解法和绝对值不等式的证明.属于中档题.

21

22


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