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江苏省南京市江宁高中2013届高三迎市统测模拟考试数学试题(含详解)

时间:2013-03-05


2012-2013 年南京市江宁高级中学迎市统测高三模拟试卷
2012-12-16

姓名 班级 成绩 一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将答案填入答题纸填空题的 相应答题线上. )

2 ? 1 ? ni ,其中 n ? R , i 是虚数单位,则 n = 1 . 1? i 2.命题 p: ? x∈R,2x2+1>0 的否定是____ ? x∈R,2x2+1≤0 __________.
1.已知 3. 1, 3, 5 这五个数字组成没有重复数字的三位数, 用 2, 4, 其中奇数共有 36 个.(用 数字作答) 4.若根据 5 名儿童的年龄 x (岁)和体重 y (kg)的数据,用最小二乘法得到用年龄预报体

? 重的线性回归方程是 y ? 2 x ? 7 ,已知这 5 名儿童的年龄分别是 3,4,5,6,7,则这 5
名儿童的平均体重是 17 kg.

4 5.定义 M n =x(x+1)(x+2)?(x+n-1),其中 x∈R,n∈N*,例如 M -4 =(-4)(-3)(-2)(-1)=24,则函 x

数 f(x)= M2007 的奇偶性为____奇函数__________. x-1003 6.曲线 y= ? x ? 6 x ,则过坐标原点且与此曲线相切的直线方程为
2

y ? 6x

. .

7.已知复数 z ? x ? yi( x, y ? R) ,且 | z ? 2 |? 3 ,则

y 的最大值是 x

3

8.用反证法证明命题:“如果 a, b ? N , ab 可被 3 整除,那么 a , b 中至少有一个能被 3 整除”时,假设的内容应为 假设 a , b 都不能被 3 整除 .

9.给出下面类比推理命题(其中 R 为实数集, C 为复数集) : ①“若 a, b ? R, 则 a ? b ? 0 ? a ? b ”类比推出“若 a, b ? C , 则 a ? b ? 0 ? a ? b ” ; ②“若 a, b ? R, 则 ab ? 0 ? a ? 0 或 b ? 0 ”类比推出“若 a, b ? C , 则 ab ? 0 ? a ? 0 或b ? 0” ; ③“若 a, b ? R, 则 a ? b ? 0 ? a ? b ” 类比推出“若 a, b ? C , 则 a ? b ? 0 ? a ? b ” ; ④“若 a, b ? R, 则 a ? b ? 0 ”类比推出“若 a, b ? C , 则 a ? b ? 0 ”
2 2 2 2

所有命题中类比结论正确的序号是

①② .

10.对于 R 上的可导函数 f ( x ) ,若满足 ( x ? 2) f '( x) ? 0 ,则 f (0) ? f (3) 与 2 f (2) 的大 小关系为 不小于 . (填“大于”“小于”“不大于”“不小于” 、 、 、 )

11.从装有 n ? 1 个球(其中 n 个白球,1 个黑球)的口袋中取出 m 个球 (0 ? m ? n, m, n,
m m ? N ? ) ,共有 Cn?1 种取法。在这 Cn?1 种取法中,可以分成两类:一类是取出的 m 个球全部 m 1 m m 为白球,一类是取出的 m ? 1 个白球和 1 个黑球,共有 C10 ? Cn ? C1 ? Cn ?1 ? Cn?1 ,即有等 m m m 式: Cn ? Cn ?1 ? Cn?1 成立。试根据上述思想化简下列式子:

0 m 1 m m m m Ck ? Cn ? Ck ? Cn ?1 ? Ck2 ? Cn ?2 ? ? ? Ckk ? Cn ?k = Cn?k .( 2 ? k ? m ? n, k , m, n ? N * )

12.已知 x ? (0,1] f ( x) ? (1 ? 2x ? 2t )dt ,则 f (x) 的值域是 ?
x 0

1 [0, ] 4

13、某校为了了解学生的课外阅读情况,随机调查了 50 名学生,得到他们在某一天各自 课外阅读所用的时间的数据如下表: 阅读时间(小时) 人数 0 5 0.5 20 1 10 1.5 10 2 5 小时。

由此可以估计该校学生在这一天平均每人的课外的阅读时间为 14、下列四个命题:
a b ① “ a ? b” 是 “ 2 ? 2 ” 成立的充要条件;

5 2

② “ a ? b” 是 "lg a ? lg b " 成立的充分不必要条件;
2 ③函数 f ( x) ? ax ? bx( x ? R) 为奇函数的充要条件是 “ a ? 0”

④定义在 R 上的函数 y ? f (x) 是偶函数的必要条件 是“

f (? x) ? 1” 。 f ( x)
①③ 。 (把真命题的序号都填上)

其中真命题的序号是

15.试求使不等式

1 1 1 1 ? ? ?? ? ? 5 ? 2t 对一切正整数 n 都成立的最小自然数 t 的 n ?1 n ? 2 n ? 3 3n ? 1
值,并用数学归纳法加以证明. 15 解:设 f (n) ?

1 1 1 1 ? ? ?? ? n ?1 n ? 2 n ? 3 3n ? 1 1 1 1 1 1 1 ? ??? )?( ? ??? ) ∵ f (n ? 1) ? f (n) ? ( n?2 n?3 3n ? 4 n ?1 n ? 2 3n ? 1 1 1 1 1 1 1 2 ? ? ? ? ? ? ? 3n ? 2 3n ? 3 3n ? 4 n ? 1 3n ? 2 3n ? 4 3n ? 3 6n ? 6 2(3n ? 3) 6n ? 6 2(3n ? 3) ? ? ? 2 ? 2 ?0 2 (3n ? 2)(3n ? 4) (3n ? 3) 9n ? 18n ? 8 9n ? 18n ? 9 1 1 1 13 ∴ f ( n) 递增,∴ f ( n) 最小为 f (1) ? ? ? ? 2 3 4 12 13 ∵ f (n) ? 5 ? 2t 对一切正整数 n 都成立,∴ 5 ? 2t ? ,∴自然数 t ? 2 12
∴自然数 t 的最小值为 2 下面用数学归纳法证明 ????????????????7 分

1 1 1 1 ? ? ??? ?1 n ?1 n ? 2 n ? 3 3n ? 1 1 1 1 13 ? 1 ,∴ n ? 1 时成立 (1)当 n ? 1 时,左边 ? ? ? ? 2 3 4 12 1 1 1 1 ? ? ?? ? ?1 (2)假设当 n ? k 时成立,即 k ?1 k ? 2 k ? 3 3k ? 1 1 1 1 1 ? ? ??? 那么当 n ? k ? 1 时,左边 ? k ?2 k ?3 k ?4 3k ? 4 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ??? ? ? ? ? k ?1 k ? 2 k ? 3 3k ? 1 3k ? 2 3k ? 3 3k ? 4 k ? 1 1 1 1 1 ? 1? ? ? ? 3k ? 2 3k ? 3 3k ? 4 k ? 1 2 ? 1? ?1 (3k ? 2)(3k ? 4)(3k ? 3) ∴ n ? k ? 1 时也成立 1 1 1 1 ? ? ??? ? 1 成立 ??????14 分 根据(1) (2)可知 n ?1 n ? 2 n ? 3 3n ? 1
注:第(1)小题也可归纳猜想得出自然数 t 的最小值为 2

16. 已知等腰梯形 PDCB 中 (如图 1) PB=3, 1, , DC= PB=BC= 2 , 为 PB 边上一点, PA=1, A 且 将△PAD 沿 AD 折起,使面 PAD⊥面 ABCD(如图 2) 。 (1)证明:平面 PAD⊥PCD; (2)试在棱 PB 上确定一点 M,使截面 AMC 把几何体分成的两部分 VPDCMA : VMACB ? 2 : 1 ; (3)在 M 满足(Ⅱ)的情况下,判断直线 AM 是否平行面 PCD. 16.(I)证明:依题意知: CD ? AD.又 ? 面PAD ? 面ABCD

? DC ? 平面PAD. 又DC ? 面PCD

? 平面PAD ? 平面PCD.

(II)由(I)知 PA ? 平面 ABCD ∴平面 PAB⊥平面 ABCD. 在 PB 上取一点 M,作 MN⊥AB,则 MN⊥平面 ABCD,

1 1 1 h S ?ABC ? h ? ? ? 2 ? 1 ? h ? 3 3 2 3 1 1 (1 ? 2) 1 VP ? ABCD ? S ?ABC ? PA ? ? ? 1? 1 ? 3 3 2 2 1 h h 1 要使 VPDCMA : VMACB ? 2 : 1, 即( ? ) : ? 2 : 1, 解得 h ? 2 3 3 2
设 MN=h 则 VM ? ABC ? 即 M 为 PB 的中点. 17.已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c, (a, b, c ? R) 满足:对任意实数 x,都有 f ( x) ? x , 且当 x ?(1,3)时,有 f ( x) ? (1)证明: f (2) ? 2 ; (2)若 f (?2) ? 0, f ( x) 的表达式; (3)设 g ( x) ? f ( x) ?

1 ( x ? 2) 2 成立。 8

m 1 x , x ? [0,??) ,若 g (x) 图上的点都位于直线 y ? 的上方, 2 4

求实数 m 的取值范围。 17. 解: (1)由条件知 f (2) ? 4a ? 2b ? c ? 2 恒成立 又∵取 x=2 时, f (2) ? 4a ? 2b ? c ?

1 (2 ? 2) 2 ? 2 与恒成立, 8

∴ f (2) ? 2 .

(2)∵ ?

?4a ? 2b ? c ? 2 ?4a ? 2b ? c ? 0

∴ 4a ? c ? 2b ? 1, ∴ b ?

1 , 2

c ? 1 ? 4a .

又 f ( x) ? x 恒成立,即 ax2 ? (b ? 1) x ? c ? 0 恒成立. ∴ a ? 0, ? ? ( ? 1) ? 4a (1 ? 4a ) ? 0 ,
2

1 2

1 1 1 ,b ? ,c ? , 8 2 2 1 2 1 1 ∴ f ( x) ? x ? x ? . 8 2 2
解出: a ? (3)由分析条件知道,只要 f (x) 图象(在 y 轴右侧)总在直线 y ? 可,也就是直线的斜率

m 1 x ? 上方即 2 4

m 小于直线与抛物线相切时的斜率位置,于是: 2

? ?y ? ? ? ?y ? ? ?

1 2 1 1 x ? x? 8 2 2 m 1 x? 2 4

∴ m ? (??,1 ? 解法 2: g ( x) ?
2

2 ). 2
1 2 1 m 1 1 x ? ( ? ) x ? ? 在x ? [0,?? ) 必须恒成立, 8 2 2 2 4

即 x ? 4(1 ? m) x ? 2 ? 0在x ? [0,??) 恒成立. ①△<0,即 [4(1-m)] -8<0,解得: 1 ?
2

2 2 ? m ? 1? ; 2 2

?? ? 0 ? ② ?? 2(1 ? m) ? 0 ? f ( 0) ? 2 ? 0 ?

解出: m ? 1?

2 2 ). . 总之, m ? (??,1 ? 2 2

18 已知定义在 R 上的函数 f ( x) ? x (ax ? 3) ,其中 a 为常数.
2

(1)若 x=1 是函数 f (x) 的一个极值点,求 a 的值; (2)若函数 f (x) 在区间(-1,0)上是增函数,求 a 的取值范围; (3) 若函数 g ( x) ? f ( x) ? f ?( x), x ? [0,2] , x=0 处取得最大值, ..a 的取值范围. 在 求正数 解: (I) f ( x) ? ax3 ? 3x 2 , f ?( x) ? 3ax2 ? 6 x ? 3x(ax ? 2).

? x ? 1是f ( x) 的一个极值点,? f ?(1) ? 0,? a ? 2 ;
(II)①当 a=0 时, f ( x) ? ?3x 2 在区间(-1,0)上是增函数,? a ? 0 符合题意; ②当 a ? 0时, f ?( x) ? 3ax ( x ?

2 2 ), 令f ?( x) ? 0得 : x1 ? 0, x 2 ? ; a a

当 a>0 时,对任意 x ? (?1,0), f ?( x) ? 0,? a ? 0 符合题意;

2 a 综上所述, a ? ?2.

当 a<0 时,当 x ? ( ,0)时f ?( x) ? 0,?

2 ? ?1,? ?2 ? a ? 0 符合题意; a

(III) a ? 0, g ( x) ? ax3 ? (3a ? 3) x 2 ? 6x, x ? [0,2].

g ?( x) ? 3ax2 ? 2(3a ? 3) x ? 6 ? 3[ax2 ? 2(a ? 1) x ? 2],
令 g ?( x) ? 0,即ax2 ? 2(a ? 1) x ? 2 ? 0(*),显然有? ? 4a 2 ? 4 ? 0. 设方程(*)的两个根为 x1 , x2 ,由(*)式得 x1 x 2 ? ?

2 ? 0 ,不妨设 x1 ? 0 ? x2 . a

当 0 ? x2 ? 2 时, g ( x2 ) 为极小值,所以 g (x) 在[0,2]上的最大值只能为 g (0) 或

g (2) ;
当 x2 ? 2 时,由于 g (x) 在[0,2]上是单调递减函数,所以最大值为 g (0) ,所以在[0, 2]上的最大值只能为 g (0) 或 g (2) , 又已知 g (x) 在 x=0 处取得最大值,所以 g (0) ? g (2), 即 0 ? 20 a ? 24, 解得 a ?

6 6 , 又因为 a ? 0, 所以 a ? (0, ]. 5 5

19.已知在平面直角坐标系 xoy 中,若在曲线 C1 的方程 F ( x, y) ? 0 中,以 (?x, ?y) (? 为 正实数)代替 ( x, y ) 得到曲线 C 2 的方程 F (?x, ?y) ? 0 ,则称曲线 C1、C2 关于原点“伸 缩” ,变换 ( x, y) ? (?x, ?y) 称为“伸缩变换” ? 称为伸缩比. ,

(Ⅰ)已知曲线 C1 的方程为

x2 y2 ? ? 1 ,伸缩比 ? ? 2 ,求 C1 关于原点“伸缩变换”后 9 4

所得曲线 C 2 的标准方程;

x2 y2 2 (Ⅱ)射线 l 的方程 y ? ? 1 经“伸缩变换”后得到椭 x( x ? 0) ,如果椭圆 C1: ? 16 4 2
圆 C 2 ,若射线 l 与椭圆 C1、C2 分别交于两点 A、 B ,且 AB ? 2 ,求椭圆 C 2 的标 准方程; (Ⅲ)对抛物线 C1:y 2 ? 2 p1 x , 作变换 ( x, y) ? (?1 x, ?1 y) , 得抛物线 C2:y 2 ? 2 p2 x ; 对 C 2 作变换 ( x, y) ? (?2 x, ?2 y) 得抛物线 C3:y 2 ? 2 p3 x ,如此进行下去,对抛物 线 Cn:y 2 ? 2 pn x 作变换 ( x, y) ? (?n x, ?n y) ,得抛物线 Cn?1:y 2 ? 2 pn?1 x , .若 ?

1 p1 ? 1, ? n ? ( ) n ,求数列 ? pn ? 的通项公式 pn . 2
19.解(Ⅰ) 由条件得

x2 ( 2 x) 2 ( 2 y ) 2 ? y 2 ? 1 ; 分) ? ? 1 ,得 C 2 : (2 9 9 4 4

(Ⅱ) ? C2、C1关于原点“伸缩变换” ,对 C1 作变换 ( x, y) ? (?x, ?y)(? ? 0) ,

得到 C 2

?2 x 2
16

?

?2 y 2
4

? 1 , 分) (3

? 2 x ( x ? 0) ?y ? 4 3 2 6 ? 2 , ) ; 分) 解方程组 ? 得点 A 的坐标为 ( (4 2 2 3 3 ?x ? y ?1 ? 16 4 ?

? 2 x ( x ? 0) ?y ? 4 3 2 6 ? 2 解方程组 ? 得点 B 的坐标为 ( (5 , ) ; 分) 3? 3? ?2 x 2 ?2 y 2 ? ? 16 ? 4 ? 1 ?

AB ? (

2 2 ? ?1 4 3 4 3 2 2 6 2 6 2 = 2, ? ) ?( ? ) = ? 3? 3 3? 3
2 , 3

2 化简后得 3? ? 8? ? 4 ? 0 ,解得 ?1 ? 2,? 2 ?

因此椭圆 C 2 的方程为

x2 y2 x2 ? ? 1 . 分) (7 (漏写一个方程扣 1 分) ? y2 ? 1或 36 9 4

(Ⅲ)对 C n : y 2 ? 2 pn x 作变换 ( x, y) ? (?n x, ?n y) 得 抛物线 Cn?1 : (?n y) 2 ? 2 pn ?n x, y ? 得
2

2 pn

?n

x,

又? y ? 2 p n?1 x,? p n?1 ?
2

?n

pn

,即

p n?1 1 (9 ? ? 2 n , 分) pn ?n

p p p 2 p3 p 4 ?? ? n-1 ? n = 2 ? 2 2 ? 23 ? ?? 2 n?1 , ? ? p n?2 p n ?1 p1 p 2 p3

1 pn n ( n ?1) , (11 分) ? 21?2?3???( n?1) ? 2 2 p1



pn?1 ? 2 pn , pn ? 2
n
1

n?1

pn?1 ? ? ? 2

( n?1)?( n?2)???2?1

p1 ?

1 n ( n?1) 22

p1

p1 ? 1 ,? p n ? 2 2

n ( n ?1)

. (12 分)


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