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江苏省江阴市山观高级中学2016届高考数学一轮复习 函数 第5课时 指数函数教学案

时间:2016-03-27


第 5 课时
基础过关 1.根式:
n (1) 定义:若 x ? a ,则 x 称为 a 的 n 次方根

指数函数

① 当 n 为奇数时, a的n 次方根记作__________; ② 当 n 为偶数时,负数 a 没有 n 次方根,而正数 a 有两个 n 次方根且互为相反数,记作 ________(a>0). (2) 性质:
n n ① ( a) ? a ;

② 当 n 为奇数时, n a n ? a ; ③ 当 n 为偶数时, n a n ? _______= ? 2.指数: (1) 规定: 0 ① a= -p ② a =
n m ③ a n ? a (a ? 0, m m

? a(a ? 0) ? ? a(a ? 0)

(a≠0); ; .

(2) 运算性质:
r s r ?s ① a ? a ? a (a ? 0, r (a>0, r、 s ? Q) r s r?s ② (a ) ? a (a ? 0, r (a>0, r、 s ? Q) r r r ? 0, r ? r、 s ? Q) ③ (a ? b) ? a ? b (a ? 0, b (a>0,

注:上述性质对 r、 s ? R 均适用. 3.指数函数: ① 定义:函数 称为指数函数,1) 函数的定义域为 ;2) 函数的值 域为 ;3) 当________时函数为减函数,当_______时为增函数. ② 函数图像: 1) 过点 ,图象在 ;2) 指数函数以 为渐近线(当 0 ? a ? 1 时,图象 向 无限接近 x 轴,当 a ? 1 时,图象向
x ?x 无限接近 x 轴);3)函数 y ? a 与y ? a 的图象关

于 对称. ③ 函数值的变化特征:
0 ? a ?1 a ?1

-1-

① x ? 0时 ② x ? 0时 ③ x ? 0时

① x ? 0时 ② x ? 0时 ③ x ? 0时

典型例题 例 1. 已知 a= ,b=9.求: 解:(1)原式= a 2 3 . a ∵a= ,∴原式=3.? (2)方法一 化去负指数后解.?
1 9
7 ? 1
3 1 ? ? 2 3

1 9

(1) a 2 a ?3 ?
8 1 ( ? )? 3 2

3

7

3

a ?8 ? a15 ;
7 1 ? 6 2
4 5 ?(? ? ) 3 2 ? 1 2

3

(2) =a .?

a ?1 ? b ?1 . (ab)?1

÷[a

·a

15 1 ? 3 2

]?= a

1 1 a?b ? 1 82 a ?1 ? b?1 a b ? ? ab ? a ? b. ∵a= , b ? 9, ∴a+b= . ?1 1 1 9 9 (ab) ab ab

方法二 利用运算性质解.?
a ?1 ? b?1 a ?1 b?1 1 1 ? ?1 ?1 ? ?1 ?1 ? ?1 ? ?1 ? b ? a. ?1 (ab) a b a b b a

∵a= , b ? 9, ∴a+b=

1 9

82 . 9

变式训练 1:化简下列各式(其中各字母均为正数): (1)
(a 3 ? b ?1 ) 2 ? a 2 ? b 3
6 2 ? 1 1 1

a ? b5

;

2 1 1 ? 5 13 ?2 ?3 2 3 2 ?1 (2) a ? b ? (?3a b ) ? (4a ? b ) . 6
? 1 1 1 1

解:(1)原式=

a 3b 2 ? a 2b3 a b
5 2
? 1 6

1 6

5 6

?a
1 3

1 1 1 ? ? ? 3 2 6

?b2

1 1 5 ? ? 3 6

? a 0 ? b 0 ? 1.
1 6 1 3

b ) ? ? a b ? (a b ) ? ? a ? b ? ? ? (2)原式=- a b ? (2a ·
?3 ?3

?

3 2

5 4

?

?

3 2

5 4

?

1 2

?

3 2

5 4

1 ab 3
x

??

5 ab . 4ab 2

例 2. 函数 f(x)=x -bx+c 满足 f(1+x)=f(1-x)且 f(0)=3,则 f(b )与 f(c )的大小关系是 ( x x x x A.f(b )≤f(c )? B.f(b )≥f(c ) x x C.f(b )>f(c ) D.大小关系随 x 的不同而不同 解:A
1 2
a

2

x



变式训练 2:已知实数 a、b 满足等式 ( ) ? ( ) ,下列五个关系式:?①0<b<a;②a<b<0;③0<a
b

1 3

<b;④b<a<0;⑤a=b.?其中不可能成立的关系式有 A. 1 个 ? B. 2 个 ? C.3 个 解:B ?? 例 3. 求下列函数的定义域、值域及其单调区间:? (1)f(x)=3
x 2 ? 5x ? 4



) ? D.4 个?

;?(2)g(x)=-( ) ? 4( ) ? 5 .
x x

1 4

1 2

-2-

解:(1)依题意 x -5x+4≥0,?解得 x≥4 或 x≤1,? ∴f(x)的定义域是(-∞,1]∪[4,+∞).? 令 u= x 2 ? 5x ? 4 ? ( x ? ) 2 ? , ∵x∈(-∞,1]∪[4,+∞),? ∴u≥0,即 x ? 5x ? 4 ≥0,而 f(x)=3
2

2

5 2

9 4

x 2 ? 5x ? 4

≥3 =1,?

0

∴函数 f(x)的值域是[1,+∞).? ∵u= ( x ? ) 2 ? ,∴当 x∈(-∞,1]时,u 是减函数,? 当 x∈[4,+∞)时,u 是增函数.而 3>1,∴由复合函数的单调性可知,? f(x)=3
x2 ? 5x ? 4

5 2

9 4

在(-∞,1]上是减函数,在[4,+∞)上是增函数.?

故 f(x)的增区间是[4,+∞),减区间是(-∞,1].? (2)由 g(x)=-( ) ? 4( ) ? 5 ? ?( ) ? 4( ) ? 5, ?
x x 2x x

1 4

1 2

1 2

1 2

∴函数的定义域为 R,令 t=( )
2

1 2

x

(t>0),∴g(t)=-t +4t+5=-(t-2) +9,?

2

2

∵t>0,∴g(t)=-(t-2) +9≤9,等号成立的条件是 t=2,? 即 g(x)≤9,等号成立的条件是( ) =2,即 x=-1,∴g(x)的值域是(-∞,9].?
x

1 2

由 g(t)=-(t-2) +9 (t>0),而 t=( ) 是减函数,∴要求 g(x)的增区间实际上是求 g(t)的减区
x

2

1 2

间,?求 g(x)的减区间实际上是求 g(t)的增区间.? ∵g(t)在(0,2]上递增,在[2,+∞)上递减,? 由 0<t=( ) ≤2,可得 x≥-1,?由 t=( ) ≥2,可得 x≤-1.?
x x

1 2

1 2

∴g(x)在[-1,+∞)上递减,在(-∞,-1]上递增,? 故 g(x)的单调递增区间是(-∞,-1],单调递减区间是[-1,+∞).? 变式训练 3:求下列函数的单调递增区间:?(1)y=( ) 解:(1)函数的定义域为 R.? 令 u=6+x-2x ,则 y=( ) .?
u

1 2

6? x ?2 x 2

;(2)y=2

x 2 ? x ?6

.?

2

1 2

∵二次函数 u=6+x-2x 的对称轴为 x= ,? 在区间[ ,+∞)上,u=6+x-2x 是减函数,? 又函数 y=( ) 是减函数,? ∴函数 y=( ) 故 y=( )
1 2
6? x ?2 x 2

2

1 4

1 4

2

1 2

u

1 2

6? x ?2 x 2

在[ ,+∞)上是增函数.?
1 4

1 4

单调递增区间为[ ,+∞).?
u

(2)令 u=x -x-6,则 y=2 ,?
-3-

2

∵二次函数 u=x -x-6 的对称轴是 x= , 在区间[ ,+∞)上 u=x -x-6 是增函数.? 又函数 y=2 为增函数,? ∴函数 y=2 故函数 y=2
x 2 ? x ?6

2

1 2

1 2

2

u

在区间[ ,+∞)上是增函数.? 的单调递增区间是[ ,+∞).
ex a ? 是 R 上的偶函数.? a ex

1 2

x 2 ? x ?6

1 2

例 4.设 a>0,f(x)=

(1)求 a 的值;? (2)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数.? (1)解: ∵f(x)是 R 上的偶函数,∴f(-x)=f(x),?∴ ∴(a- )(e ?
x

e? x a ex a ? ?x ? ? x , a e a e

1 a

1 ) =0 对一切 x 均成立,? ex

∴a-

1 =0,而 a>0,∴a=1. a

(2)证明 在(0,+∞)上任取 x1、x2,且 x1<x2, 则 f(x1)-f(x2)= e = (e ? e ) (
x2 x1
x1

+

1 1 - ex - x ex e
2

1

2

1 e
x1 ? x2
x1

? 1).
x2
x2 x1

∵x1<x2,∴ e ? e , 有 e ? e ? 0. ?? ∵x1>0,x2>0,∴x1+x2>0,∴ e
1 2

x1 ? x2

>1,

1 -1<0.∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2), e x ?x

故 f(x)在(0,+∞)上是增函数. 变式训练 4:已知定义在 R 上的奇函数 f(x)有最小正周期 2,且当 x∈(0,1)时,f(x)= (1)求 f(x)在[-1,1]上的解析式;? (2)证明:f(x)在(0,1)上是减函数.? (1)解: 当 x∈(-1,0)时,-x∈(0,1).? ∵f(x)是奇函数,∴f(x)=-f(-x)=2? x 2x ?? x . 4 ?1 4 ?1
?x

2x . 4 ?1
x

由 f(0)=f(-0)=-f(0),且 f(1)=-f(-1)=-f(-1+2)=-f(1),?
? 2x ? 4x ? 1 ? 2x 得 f(0)=f(1)=f(-1)=0.∴在区间[-1,1]上,有? f(x)= ? ?? x ? 4 ?1 ?0 ? ? x ? (0,1) x ? (?1,0) x ? ?? 1,0,1?

(2)证明

当 x∈(0,1)时,f(x)=

2x . 4x ? 1

-4-

设 0<x1<x2<1,? 则 f(x1)-f(x2)=
2x 2x (2x ? 2x )(2x ? x ? 1) ? x ? , 4 ?1 4 ?1 (4x ? 1)(4x ? 1)
1 2 2 1 1 2

x1

2

1

2

∵0<x1<x2<1,∴ 2 2 >0,2
x2 ? x1

x1 ? x2

-1>0,∴f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2),?

故 f(x)在(0,1)上单调递减. 小结归纳 1.
b

N

=a,a =N,logaN=b(其中 N>0,a>0,a≠1)是同一数量关系的三种不同表示形式,

b

因此在许多问题中需要熟练进行它们之间的相互转化,选择最好的形式进行运算.在运算中, 根式常常化为指数式比较方便,而对数式一般应化为同底. 2.处理指数函数的有关问题,要紧密联系函数图象,运用数形结合的思想进行求解. 3.含有参数的指数函数的讨论问题是重点题型,解决这类问题最基本的分类方案是以“底” 大于 1 或小于 1 分类. 4.含有指数的较复杂的函数问题大多数都以综合形式出现,与其它函数(特别是二次函数)形成的 函数问题,与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等,因此要注意知识的相互渗透或 综合.

-5-


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