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【K12】安徽省长丰县高中数学第二章数列2.3等差数列的前n项和1教案新人教A版必修5

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小初高学习+试卷+教案+习题 2.3.1 项目 课题 等差数列的前 n 项和(一) 内容 2.3.1 等差数列的前 n 项和(一 修改与创新 (共 一、知识与技能 掌握等差数列前 n 项和公式及其获取思路;会用等差数列的前 n 项 和公式解决一些简单的与前 n 项和有关的问题 二、过程与方法 通过公式的推导和公式的运用,使学生体会从特殊到一般,再从一 教学 目标 般到特殊的思维规律,初步形成认识问题、解决问题的一般思路和方法; 通过公式推导的过程教学,对学生进行思维灵活性与广阔性的训练,发 展学生的思维水平 三、情感态度与价值观 通过公式的推导过程,展现数学中的对称美,通过生动具体的现实 问题,令人着迷的数学史,激发学生探究的兴趣,树立学生求真的勇气 和自信心,增强学生学好数学的心理体验,产生热爱数学的情感 教学 教学重点 等差数列的前 n 项和公式的理解、推导及应用 重、 教学难点 灵活应用等差数列前 n 项和公式解决一些简单的有关问题 难点 教学 多媒体课件 准备 导入新课 教师出示投影胶片 1: 教学过 程 1 课时) 印度泰姬陵 aj Maha 是世界七大建筑奇迹之一,所在地阿格 拉市,泰姬陵是印度古代建筑史上的经典之作,这个古陵墓融合了古印 小初高学习+试卷+教案+习题 小初高学习+试卷+教案+习题 度、阿拉伯和古波斯的建筑风格,是印度伊斯兰教文化的象征 陵寝以宝石镶饰,图案之细致令人叫绝.传说当时陵寝中有一个等边 三角形图案,以相同大小的圆宝石镶饰而成,共有 100 层(如下图),奢 华之程度,可见一斑.你知道这个图案中一共有多少颗宝石吗? (这问题 赋予了课堂人文历史的气息,缩短了数学与现实之间的距离,引领学生 步入探讨高斯算法的阶段) 生 只要计算出 1+2+3+…+100 的结果就是这些宝石的总数 师 对,问题转化为求这 100 个数的和.怎样求这 100 个数的和呢?这里 还有一段故事 教师出示投影胶片 2: 高斯是伟大的数学家、天文学家,高斯十岁时,有一次老师出了一 道题目,老师说:“现在给大家出道题目: 过了两分钟,正当大家在: 1+2=3;3+3=6;4+6=10…算得不亦乐乎 时,高斯站起来回答说: 教师问:“你是如何算出答案的? 高斯回答说:因为 1+100=101 ; 2+99=101 ;…; 50+51=101 ,所以 101×50=5 050. 师 这个故事告诉我们什么信息?高斯是采用了什么方法来巧妙地计算 出来的呢? 生 高 斯 用 的 是 首 尾 配 对 相 加 的 方 法 . 也 就 是 : 小初高学习+试卷+教案+习题 小初高学习+试卷+教案+习题 1+100=2+99=3+98=…=50+51=101 , 有 50 个 101 , 所 以 师 对,高斯算法的高明之处在于他发现这 100 个数可以分为 50 组,第 一个数与最后一个数一组,第二个数与倒数第二个数一组,第三个数与 倒数第三个数一组,…,每组数的和均相等,都等于 101,50 个 101 就 等于 5 050 了 高斯算法将加法问题转化为乘法运算,迅速准确得到了结果 作为数学王子的高斯从小就善于观察,敢于思考,所以他能从一些简单 的事物中发现和寻找出某些规律性的东西 师 问:数列 1 , 2 , 3 ,…, 100 是什么数列?而求这一百个数的和 1+2+3+…+100 相当于什么? 生 这个数列是等差数列, 1+2+3+…+100 这个式子实质上是求这数列的前 100 项的和. 师 对,这节课我们就来研究等差数列的前 n 项的和的问题 推进新课 [合作探究] 师 我们再回到前面的印度泰姬陵的陵寝中的等边三角形图案中,在图中 我们取下第 1 层到第 21 层,得到右图,则图中第 1 层到第 21 层一共有 多少颗宝石呢 生 这是求“1+2+3+…+21”奇数个项的和的问题,高斯的方法不能用了. 要是偶数项的数求和就好首尾配成对了 师 高斯的这种“首尾配对”的算法还得分奇、偶个项的情况求和,适用 于偶数个项,我们是否有简单的方法来解决这个问题呢 生 有!我用几何的方法,将这个全等三角形倒置,与原图补成平行四边 形.平行四边形中的每行宝石的个数均为 22 个,共 21 行.则三角形中的 小初高学习+试卷+教案+习题 小初高学习+试卷+教案+习题 宝石个数就是 (1 ? 21) ? 21 2 师 妙得很!这种方法不需分奇、偶个项的情况就可以求和,真是太好了! 我将他的几何法写成式子就是: 1+2+3+…+21, 21+20+19+…+1, 对齐相加(其中下第二行的式子与第一行的式子恰好是倒序 这实质上就是我们数学中一种求和的重要方法——“倒序相加法 现在我将求和问题一般化: (1)求 1 到 n 的正整数之和,即求 1+2+3+…+(n-1)+n.(注:这问题在前面 思路的引导下可由学生轻松解决 (2)如何求等差数列{an}的前 n 项的和 Sn 生 1 对于问题(2),我这样来求:因为 Sn=a1+a2+a3+…+an, Sn=an+an-1+…+a2+a1, 再将两式相加, 因为有等差数列的通项的性质: 若 m+n=p+q, 则 am+an=ap+aq, 所以 S n ? n(a1 ? a n ) 2 生 2 对于问题(2),我是这样来求的: 因为 Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+(a1+3d)+…+[a1+(n-1)×d] , 所以 Sn=na1+[1+2+3+…+(n-1)]d=na1+ 即 Sn=na1+ n( n ? 1) d 2 n( n ? 1) d 2 [教师精讲] 两位同学的推导过程都很精彩,一位同学是用“倒序相加法”,后一位 同学用的是基本量来转化为用我们前面求得的结论,并且我们得到了等 差数列前 n 项求和的两种不同的公式.这两种求和公式都很重要,都称为 等差数列的前 n 项和公式.其中公式(Ⅰ)是基本的,我们可以发

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