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2011年湖南省高中数学竞赛试卷A卷

时间:2012-03-26


2011 年湖南省高中数学竞赛试卷 A 卷
注意事项:1、首先填写所在县(市)学校、年级和姓名 2、用蓝色或黑色钢笔、圆珠笔书写 3、本试卷共 14 题,满分 150 分 一 题号 1~10 分数 复核人 11 12 13 14 二 总分

得分

评卷人

一、填空题(本大题共 10 小题,每小题 7 分,满分 70 分) 1、已知函数 f(x)=x3+ax2+x+1(a∈R)在区间 ( ?

2 1 1 , ? )内为减函数,在区间(- ,+∞) 3 3 3

内为增函数,则a=
2、设 A、B 是两个集合,称(A,B)为一个“对子” ,当 A≠B 时,将(A,B)和(B,A) 视为不同的“对子” ,满足集合 AUB={1,2,3,4}的不同对子(A,B)的个数为 3、设函数f ( x) = x 2 + x + m( m ∈ R + ), 若f (t ) < 0, 则你对函数y = f ( x)在(t,t+1)中零点 存在情况的判断是

x 02 x2 2 2 + y = 1 的两个焦点分别为 F1、F2,点 P(x0,y0)满足 0 < + y0 ≤ 1 , 4、已知椭圆 C: 2 2
则|PF1|+|PF2|的取值范围是 5、已知复数 z1 满足 ( z1 ? 2)(1 + i ) = 1 ? i (i为虚数单位), 复数z2的虚部为2,

则z1 z2为实数的条件是z2 =
6、已知数列 {an }满足递推关系式an +1 = 2an + 2n ? 1( n ∈ N + ), 且 ? λ的取值是 7、过函数 f ( x ) = x + cos x ? 3 sin x 的图象上的一点的切线的斜率为 k,则 k 的取值范围 是

? a n +λ ? 为等差数列,则 n ? ? 2 ?

uuuu r uuuuu r uuuur 8 、 已 知 平 面 内 三 点 A 、 B 、 C 满 足 | AB |= 3,| BC | = 4,| CA | = 5, 则 uuu uuu uuu uuu uuu uuu r r r r r r AB BC + BC CA + CA AB 的值为

9、边长为 4 的正方形 ABCD 沿 BD 折成 60o 的二面角,则 BC 中点与点 A 的距离为

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10、规定一双筷子由同色的两支组成,现黑、白、黄筷子各 8 支,不用眼睛看,任意地取 只筷子才能做得到。 出筷子来,使得至少有两双筷子不同色,则至少要取出 二、解答题(本大题共 4 个小题,满分 80 分)

得分

评卷人

11、 (本小题满分 20 分) 如果将抛物线的焦点所在的区域称为抛物线的内部, 试问: 在允许将抛物线平移或旋转 的条件下, 平面内 2011 条抛物线的内部能否盖住整个平面?请作出判断,并证明你的结论。

得分

评卷人

12、

(本小题满分 20 分)

设 ak =

1 1 1 1 2 2 + 2 + 2 +K + ,求证:2011 ∈ ( , ). 2 2 k k +1 k + 2 (k + 1) ? 1 a2010 a2011

得分

评卷人

13、

(本小题满分 20 分)

(1)、设实数 t>0,求证: (1 + ) ln(1 + t ) > 2 (2) 、从编号为 1 到 100 的 100 张卡片中,每次随机地抽取张,然后放回;用这种方式连续 抽取 20 次,设抽的 20 个号码互不相同的概率为 p,求证: p <

2 t

1 e2

得分

评卷人

14、 (本小题满分 20 分) 如图所示,已知由△ABC 的顶点 A 引出的两条射线 AX、AY 分别交 BC 于点 X、Y, 求证: AB CX CY = AC BX BY 成立的充要条件是∠BAX=∠CAY。
2 2

A
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B

C X Y

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