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辽宁师大附中2015届高三上学期10月模块考试数学(理)试题

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高三理科数学试题
考试时间:90 分钟 试卷分值:120 分 命题人:郭文慧 校对人:于南西 第Ⅰ卷 选择题(共 50 分) 一、选择题:本题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。 1.若 a、b 为实数,则“ ab ? 1 ”是“ 0 ? a ? A. 充分而不必要条件 C. 充要条件
x y

1 ”的( b



B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 )

2.已知实数 x, y 满足 a ? a (0 ? a ? 1) ,则下列关系式恒成立的是( A. x ? y
3 2 3

B. sin x ? sin y
2

C. ln( x ? 1) ? ln( y ? 1)

D.

1 1 ? 2 x ?1 y ?1
2

3.下列四个图中,函数 y ?

10 ln x ? 1 x ?1

的图象可能是(



4. 已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数 , 且在区间 [0, ??) 单调递增 . 若实数 a 满足
f (log 2 a ) ? f (log 1 a ) ? 2 f (1) , 则 a 的最小值是(
2



A.

3 2

B.1

C.

1 2

D.2

5.已知向量 a、b , 其中 a ? A.

2 ,b ? 2 , 且 则向量 a 和 b 的夹角是 ( (a ? b) ? a ,
C.
3? 4



?
4

B.

?
2

D. ?

6.把函数 y ? sin 3 x 的图象适当变化就可以得 y ? 以是( )

2 这个变化可 (sin 3 x ? cos 3 x) 的图象, 2

A.沿 x 轴方向向右平移

?
4

B.沿 x 轴方向向左平移

?
4

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C.沿 x 轴方向向右平移

?
12


D.沿 x 轴方向向左平移

?
12

7. 已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,又知 ( x ln x) ' ? ln x ? 1 ,且 S10 ?

?

e

1

ln xdx ,

S 20 ? 17 ,则 S30 为(
A.33 8 .已知 sin( A. ?

B.46

C.48

D.50 )

2? 4 3 7? ,则 sin(? ? ? ? ) ? sin ? ? ) 的值是 ( 3 5 6
B.

2 3 5

2 3 5

C. ?

4 5

D.

4 5

9. 已知函数 f (x) =lnx+tan ?( ? ∈ ( 0, ) ) 的导函数为 f ?( x) , 若使得 f ?( x0 ) = f ( x0 )

?

2

成立的 x0 <1,则实数 ? 的取值范围为( A. (



?
4



?
2



B. (0,

?
3



C. (

?
6



?
4



D. (0,

?
4



?1?x 10.已知函数 f(x)=? ? -log2x,实数 a、b、c 满足 f(a)f(b)f(c)<0(0<a<b<c),若实数 ?3?
x0 是方程 f(x)=0 的一个解,那么下列不等式中,不可能成立的是(
A.x0<a B.x0>b C.x0<c D.x0>c )

第Ⅱ卷 (共 70 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将正确答案填在相 应位置上。 11.函数 f ( x) 的定义域为 R, f (?1) ? 1 ,对任意 x ? R, f '( x) >3,则 f ( x) >3x+4 的解集 为 .

m2 ? 9 ? 0 ,则实数 m 的值 12. 已知 f ? x ? ? tan x ? cos? x ? m ? 为奇函数,且 m 满足不等式 m?m ? 1?
为 .

13.已知 x>0,y>0,且

2 1 ? =1,若 x+2y>m2+2m 恒成立,则实数 m 的取值范围 x y

.

14. 已知点 O 是 ?ABC 的外接圆圆心,且 AB ? 3, AC ? 4 .若存在非零实数 x, y ,使得

AO ? x AB ? y AC ,且 x ? 2 y ? 1 ,则 cos ?BAC ?

.

三、解答题:本大题共 5 小题,共 50 分. 2 15.已知命题 p :任意 x ? [1, 2] ,有 x 2 ? a ? 0 ,命题 q :存在 x0 ? R ,使得 x0 ? (a ? 1) x0 ? 1 ? 0 . 若“ p 或 q 为真”,“ p 且 q 为假”,求实数 a 的取值范围.

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16.已知 f ? x ? ? 3 cos 2 x ? 2sin( (1)最小正周期及对称轴方程;

3? ? x) sin(? ? x), x ? R 2

(2) 已知锐角 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , 且 f ? A ? ? ? 3 , a ? 3 , 求

BC 边上的高的最大值.

17.已知首项都是 1 的两个数列{an},{bn}(bn≠0,n∈N ) 满足 anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0. (1)令 cn= ,求数列{cn}的通项公式; (2)若 bn=3
n-1

*

an bn

,求数列{an}的前 n 项和 Sn.

18.已知向量 a

3 ? (sin x, ), b ? (cos x, ?1) . 4 2 (1)当 a // b 时,求 cos x ? sin 2 x 的值; (2)设函数 f ( x ) ? 2( a ? b) ? b , 已知在△ ABC 中, 内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、b、c ,


a ? 3 , b ? 2, sin B ?

6 3

,求 f ? x ? ? 4 cos? 2 A ?

? ?

??

? ?? ? ( x ? ?0, ? )的取值 6? ? 3?

范围.

19.已知函数 (1)当 a

f ( x) ? ( x 2 ? 2 x) ? ln x ? ax 2 ? 2 .

? ?1 时,求 f ( x) 在 (1, f (1)) 处的切线方程;

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(2)设函数 g ( x) ?

f ( x) ? x ? 2 ,

(ⅰ)若函数 g ( x ) 有且仅有一个零点时,求 a 的值; (ⅱ)在(ⅰ)的条件下,若 e
?2

? x ? e , g ( x) ? m ,求 m 的取值范围。

高三理科数学答案
一、选择题: BACCA CCCAD 二、填空题 11.

? ?1, ?? ?

12. ?

?
2

13. -4<M<2

14.

2 3
2

三、解答题 15.解析 :解:p 真 ,任意 x ? [1, 2] ,有 x 2 ? a ? 0 ,即 a ? x 2 在 x ? [1, 2] 恒成立, x ? 1, 4

[ ]

则 a≤ 1 ?(2 分) 2 q 真 , 则 △ = ( a-1 ) -4 > 0,即 a > 3 或 a < -1 ?(4 分) ∵“ p 或 q ”为 真 ,“ p 且 q ”为 假 , ∴ p,q 中 必 有 一 个 为 真 , 另 一 个 为 假 ? 当 p 真 q 假时,有 í

ì ? a?1 得 -1 ≤ a ≤ 1 ? ( 8 分 ) a 3 ? ? - 1# ì a>1 ? 得 a> 3 ? a>3或a< - 1 ?

当 p 假 q 真时,有 í

∴实数 a 的取值范围为-1≤a≤1 或 a>3 ?(12 分) 16 解 析 ( Ⅰ )

?? ? f ? x ? ? 3 cos 2x ? sin 2x ? ? 2 sin x? ? ? 2 3? ?
?
2 , 得x ? k? 5? ? ,k ?Z 2 12

? f ? x ?的最小正周期为? , 令2 x ?
(Ⅱ)由 f ? A ? ? ? 3 得 sin ? 2 A ?

?
3

? k? ?

? ?

??

3 ? ? ?? , 又A ? ? 0, ?, ? A= ?? 3? 2 3 ? 2?

由余弦定理得 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A得9=b 2 ? c 2 ? bc ? bc

即bc ? (当且仅当 9 b=c时取等号)
设 BC 边上的高为 h ,由三角形等面积法知

1 1 3 9 3 ah ? bc sin A, 得3h ? bc ? 2 2 2 2

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?h ?

3 3 3 3 ,即 h 的最大值为 . 2 2

an+1 an 17.解:(1)因为 anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0,bn≠0(n∈N*),所以 - =2, bn+1 bn 即 cn+1-cn=2,所以数列{cn}是以 c1=1 为首项,d=2 为公差的等差数列, 故 cn=2n-1. - - (2)由 bn=3n 1,知 an=(2n-1)3n 1,于是数列{an}的前 n 项和 - Sn=1×30+3×31+5×32+?+(2n-1)×3n 1, - 3Sn=1×31+3×32+?+(2n-3)×3n 1+(2n-1)×3n, - 将两式相减得-2Sn=1+2×(31+32+?+3n 1)-(2n-1)×3n=-2-(2n-2)×3n, 所以 Sn=(n-1)3n+1.

18.解析:解: (1)

3 3 a // b,? cos x ? sin x ? 0,? tan x ? ? 4 4 2 cos x ? 2sin x cos x 1 ? 2 tan x 8 cos 2 x ? sin 2 x ? ? ? sin x 2 ? cos 2 x 1 ? tan 2 x 5
(2) f ( x) ? 2(a ? b) ? b ?

? 3 2 sin(2 x ? ) + 4 2

由正弦定理得

a b 2 ? 3? ? 可得 sin A ? , 所以A ? , 或 A ? sin A sin B 2 4 4

因为 b

? a ,所以 A ?

? 4

? 1 ?? ? ? ? 11? ? ? ? ?? , f ? x ? ? 4 cos? 2 A ? ? ? 2 sin(2 x ? ) ? , x ? ?0, ? ? 2 x ? ? ? , 4 2 6? 4 ? 4 12 ? ? 3? ? ?
所以

3 ?? 1 ? ? 1 ? f ? x ? ? 4 cos? 2 A ? ? ? 2 ? 2 6? 2 ?
2 2

19. 解析 :解:(1)当 a ? ?1 时, f ( x) ? ( x ? 2 x) ln x ? x ? 2 定义域 ? 0, ?? ? ,

f ?( x) ? ? 2 x ? 2 ? ln x ? ? x ? 2 ? ? 2 x
? f ?(1) ? ?3 ,又 f (1) ? 1 f ( x) 在 ?1, f ?1? ? 处的切线方程 3 x ? y ? 4 ? 0
(2) (ⅰ)令 g ? x ? ? f ? x ? ? x ? 2 ? 0 则 x 2 ? 2 x ln x ? ax 2 ? 2 ? x ? 2

?

?

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即a

?

1 ? ( x ? 2) ? ln x x

令 h( x ) ?

1 ? ( x ? 2) ? ln x , x
1 1 2 ? 2 ln x 1 ? x ? 2 ln x ? ? ? x2 x x2 x2

则 h?( x) ? ?

令 t ( x) ? 1 ? x ? 2 ln x

t ?( x) ? ?1 ?

2 ?x ? 2 ? , x x

t ?( x) ? 0 , t ( x) 在 (0, ??) 上是减函数


t ?1? ? h? ?1? ? 0

所以当 0 ? x ? 1 时, h? ? x ? ? 0 ,当 1 ? x 时, h? ? x ? ? 0 , 所以 h ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递增,在 ?1, ?? ? 上单调递减,

? h ? x ?max ? h(1) ? 1
所以当函数 g ? x ? 有且今有一个零点时, a ? 1 (ⅱ)当 a ? 1 , g ? x ? ? x 2 ? 2 x ln x ? x 2 ? x ,若 e

?

?

?2

? x ? e, g ( x) ? m, 只需证明

g ( x) max ? m,

g ?( x) ? ? x ? 1?? 3 ? 2 ln x ?
令 g ?( x) ? 0 得 x ? 1 或 x ? e 又
? 3 2

e ?2 ? x ? e ,
? 3 ? 3

? 函数 g ( x) 在 (e ?2 , e 2 ) 上单调递增,在 (e 2 ,1) 上单调递减,在 (1, e) 上单调递增
3 3 ? ? 1 ?3 2 2 g ( e ) ? ? e ? 2 e 又 2 ? 3 2



g (e) ? 2e 2 ? 3e

3 3 ? ? 1 ?3 3 2 g (e ) ? ? e ? 2e ? 2e 2 ? 2e ? 2e(e ? ) ? g (e) 2 2

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即 g (e

3 ? 2

) ? g (e)
? m ? 2e 2 ? 3e
??????14 分

g ( x) max ? g (e) ? 2e 2 ? 3e


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