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【名师一号】届高考数学大一轮总复习坐标系与参数方程计时双基练参数方程理北师大版选修-精

时间:2016-07-20


计时双基练七十七
1.下列叙述正确的个数为( (1)参数方程?
? ?x=t+1, ?y=2-t ?

参数方程

)

(t≥1)表示的曲线为直线;

(2)直线?

? ?x=-2+tcos 30°, ?y=1+tsin 150° ? ?x=2cos θ , ? ?y=5sin θ ?

(t 为参数)的倾斜角 α 为 30°;

(3)参数方程? A.0 C.2 解析

π θ 为参数且 θ ∈0, 表示的曲线为椭圆。 2 B.1 D.3

对于(1),表示的是射线;对于(2),方程可化为?

? ?x=-2+tcos 30°, ?y=1+tsin 30°, ?

表示

经过点(-2,1),倾斜角为 30°的直线;对于(3),表示的是椭圆的一部分,故只有(2)正确。 答案 B 2.以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标 系中取相同的长度单位,已知直线 l 的参数方程是?
? ?x=t+1, ?y=t-3, ?

(t 为参数),圆 C 的极坐

标方程是 ρ =4cos θ ,则直线 l 被圆 C 截得的弦长为( A. 14 C. 2 B.2 14 D.2 2

)

解析 由题意可得直线和圆的方程分别为 x-y-4=0,x +y =4x, 所以圆心 C(2,0),半径 r=2, 圆心(2,0)到直线 l 的距离 d= 2,由半径,圆心距,半弦长构成直角三角形,解得弦 长为 2 2。 答案 D 3.已知动直线 l 平分圆 C:(x-2) +(y-1) =1,则直线 l 与圆 O:? (θ 为参数)的位置关系是( A.相交 C.相离
2 2 2 2

2

2

?x=3cos θ , ? ? ?y=3sin θ ,

) B.相切 D.过圆心

解析 动直线 l 平分圆 C:(x-2) +(y-1) =1,即圆心(2,1)在直线 l 上,又圆 O:
?x=3cos θ , ? ? ? ?y=3sin θ

的普通方程为 x +y =9,且 2 +1 <9,故点(2,1)在圆 O 内,则直线 l 与
1

2

2

2

2

圆 O 的位置关系是相交。 答案 A

?x= t, ? 4.已知曲线 C1 的参数方程是? 3t y= , ? 3 ?

(t 为参数)。以坐标原点为极点,x 轴的

正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程是 ρ =2,则 C1 与 C2 交点的直角坐标为 ________。

?x= t, ? 解析 由曲线 C1 的参数方程? 3t y= , ? 3 ?
曲线 C2 的极坐标方程为 ρ =2, 可得方程 x +y =4,② 由①②联立解得? 答案 ( 3,1) 5.若点 P(x,y)在曲线? ________。 解析 由?
? ?x=cos θ , ?y=2+sin θ ?
2 2 2 2

得 y=

3 x(x≥0),① 3

?x= 3, ?y=1,

故 C1 与 C2 交点的直角坐标为( 3,1)。

?x=cos θ , ? ? ?y=2+sin θ ,

(θ 为参数,θ ∈R)上,则 的取值范围是

y x

消去参数 θ 得 x +(y-2) =1,① 设 =k,则 y=kx, 代入①式并化简得(1+k )x -4kx+3=0,此方程有实数解, ∴Δ =16k -12(1+k )≥0,解得 k≤- 3或 k≥ 3。 答案 (-∞,- 3]∪[ 3,+∞) 1 x=1+ t, ? 2 ? 6.已知 P ,P 是直线? 3 ? ?y=-2+ 2 t,
1 2 2 2 2 2

y x

(t 为参数)上的两点,它们所对应的参数

分别为 t1,t2,则线段 P1P2 的中点到点 P(1,-2)的距离是________。 解析 由 t 的几何意义可知,线段 P1P2 的中点对应的参数为 =0。
2

t1+t2
2

,P 对应的参数为 t

|t1+t2| ∴线段 P1P2 的中点到点 P 的距离为 。 2 答案 |t1+t2| 2

1 ? ?x=3+2t, 7.(2015·陕西卷)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为? 3 y= t , ? ? 2

(t

为参数), 以原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, ⊙C 的极坐标方程为 ρ =2 3sin θ 。 (1)写出⊙C 的直角坐标方程; (2)P 为直线 l 上一动点,当 P 到圆心 C 的距离最小时,求 P 的直角坐标。 解 (1)由 ρ =2 3sin θ ,得 ρ =2 3ρ sin θ ,
2 2 2 2 2

从而有 x +y =2 3y,所以 x +(y- 3) =3。 3 ? ? 1 (2)设 P?3+ t, t?, 2 2 ? ? 又 C(0, 3), 则|PC|=

? ?3+1t?2+? 3 ? 2 ? ? t- 3?2= t2+12, ? ? ?2 ?

故当 t=0 时,|PC|取得最小值, 此时 P 点的直角坐标为(3,0)。 8.在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为? π 3
? ?x=4cos θ , ?y=4sin θ , ?

(θ 为参数),直线

l 经过点 P(2,2),倾斜角 α = 。
(1)写出圆的标准方程和直线 l 的参数方程; (2)设 l 与圆 C 相交于 A、B 两点,求|PA|·|PB|的值。 解 (1)由圆 C 的参数方程可得其标准方程为 x +y =16。
2 2

π 因为直线 l 过点 P(2,2),倾斜角 α = , 3 π ? ?x=2+tcos 3 , 所以直线 l 的参数方程为? π ? ?y=2+tsin 3 ,

(t 为参数),

3

1 x=2+ t, ? 2 ? 即? 3 ? ?y=2+ 2 t,

(t 为参数)。

1 x=2+ t, ? 2 ? (2)把直线 l 的参数方程? 3 ? ?y=2+ 2 t, 代入圆 C:x +y =16 中 3 ?2 ? 1 ?2 ? 得?2+ t? +?2+ t? =16, ? 2 ? ? 2 ?
2 2

(t 为参数),

整理得:t +2( 3+1)t-8=0,设 A、B 两点对应的参数分别为 t1,t2,则 t1t2=-8, 即|PA|·|PB|=|t1||t2|=|t1t2|=8。 故|PA|·|PB|的值为 8。 9 . (2015· 河 南 郑 州 二 模 ) 在 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 曲 线 M 的 参 数 方 程 为

2

?x= 3cos α +sin α , ? ?y=2 3sin α cos α -2sin2α +2,

(α 为参数), 若以直角坐标系中的原点 O 为极点,

π? 2 ? x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 N 的极坐标方程为 ρ sin?θ + ?= t(t 为参数)。

?

4?

2

(1)求曲线 M 的普通方程和曲线 N 的直角坐标方程; (2)若曲线 N 与曲线 M 有公共点,求 t 的取值范围。 解 (1)由 x= 3cos α +sin α ,得 x =( 3cos α +sin α ) =2cos α +2 3sin
2 2 2

α cos α +1, 所以曲线 M 可化为 y=x -1,x∈[-2,2], π? 2 2 2 2 ? 由 ρ sin?θ + ?= t,得 ρ sin θ + ρ cos θ = t, 4 2 2 2 ? ? 2 所以 ρ sin θ +ρ cos θ =t, 所以曲线 N 可化为 x+y=t。 (2)若曲线 M,N 有公共点,则当直线 N 过点(2,3)时满足要求,此时 t=5,并且向左下 方平行移动直到相切之前总有公共点,相切时仍然只有一个公共点, 联立?
?x+y=t, ? ?y=x -1, ?
2 2

得 x +x-1-t=0,

2

5 由 Δ =1+4(1+t)=0,解得 t=- 。 4

4

5 综上可求得 t 的取值范围是- ≤t≤5。 4 10 . (2016·河南 省八市重点高中 高三质量检测试题 ) 已知曲 线 C 的参数方程 为
? ?x=6cosθ ? ?y=4sinθ ?



为参数 ) ,在同一平面直角坐标系中,将曲线 C 上的点按坐标变换

1 ? ?x′=3x ? 1 ? ?y′=4y

得到曲线 C′。

(1)求曲线 C′的普通方程; (2)若点 A 在曲线 C′上,点 D(1,3)。当点 A 在曲线 C′上运动时,求 AD 中点 P 的轨迹 方程。 解 本题主要考查参数方程与普通方程的互化。 1 x′= x ? ? 3 代入? 1 y′= y ? ? 4

(1) 将 ?

?x=6cos θ ? ?y=4sin θ ?

, 得 曲 线 C′ 的 参 数 方 程 为 v

?x′=2cosθ , ? ? ?y′=sin θ , ?

∴曲线 C′的普通方程为 +y =1。 4 (2)设点 P(x,y),A(x0,y0),又 D(1,3),且 AD 的中点为 P, ∴?
? ?x0=2x-1 ?y0=2y-3 ?

x2

2



又点 A 在曲线 C′上,∴代入 C′的普通方程 +y =1,得(2x-1) +4(2y-3) =4, 4 ∴动点 P 的轨迹方程为(2x-1) +4(2y-3) =4。
2 2

x2

2

2

2

5


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