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2015年湖南高考文科数学试题

时间:2015-06-08


2015 年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷) 数学(文科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1、 已知 A、1+i

(1 ? i ) 2 =1+i(i 为虚数单位) ,则复数 z= z
B、1-i C、-1+i D、-1-i

2、 在一次马拉松比赛中,35 名运动员的成绩(单位:分钟)如图 I 所示。

若将运动员按成绩由好到差编为 1~35 号,再用系统抽样方法从中抽取 7 人,则其中成绩在 区间[139,151]上的运动员人数为 A、3 B、4 C、5 D、6

3、设 x ? R,则“x>1”是“ x >1”的 ?
2

A、充分不必要条件 C、充要条件

B、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

x ? y ?1 4、若变量 x、y 满足约束条件 { y ? x ? 1 ,则 z=2x-y 的最小值为 x ?1
A、-1 B、0 C、1 D、2

5、执行如图 2 所示的程序框图,如果输入 n=3,中输入的 S=

A、

6 7

B、

3 7

C、

8 9

D、

4 9

6、若双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的一条渐近线经过点(3,-4) ,则此双曲线的离心率为 a 2 b2
B、

A、

7 3

5 4

C、

4 3

D、

5 3

7、若实数 a,b 满足 A、 2

1 2 ? ? ab ,则 ab 的最小值为 a b
B、2 C、2 2 D、4

8、设函数 f(x)=ln (1+x)-ln(1-x) ,则 f(x)是 A、奇函数,且在(0,1)上是增函数 C、偶函数,且在(0,1)上是增函数
2 2

B、奇函数,且在(0,1)上是减函数 D、偶函数,且在(0,1)上是减函数

9 、已知点 A,B,C 在圆 x ? y ? 1上运动,且 AB ? BC ,若点 P 的坐标为( 2, 0 ) ,则 I PA ? PB ? PC I 的最大值为 A、6 B、7 C、8 D 、9

10、某工作的三视图如图 3 所示,现将该工作通过切削,加工成一个体积尽可能大的正方体 新工件,并使新工件的一个面落在原工作的一个面内,则原工件材料的利用率为(材料利用 率=新工件的体积/原工件的体积)

8? A、 9

8 B、 27?

C、

24( 2 ? 1) 2

?

D、

8( 2 ? 1) 2

?

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11、已知集合 U= ?1,2,3,4? ,A= ?1,3? ,B= ?1,3, 4? ,则 A (? U B )=_____.

12、在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线 C 的极坐标方程为 ? ? ? sin ? ,则曲线 C 的直角坐标方程为_____. 13.若直线 3x-4y+5=0 与圆 x ? y ? r
2 2 2

?r ? 0? 相交于 A,B 两点,且 ?AOB ? 120o(O 为坐

标原点) ,则 r=_____. 14、若函数 f(x)=I 2 -2 I-b 有两个零点,则实数 b 的取值范围是_____. 15、已知 ? >0,在函数 y=2sin ? x 与 y=2cos ? x 的图像的交点中,距离最短的两个交点的距 离为 2 3 ,则 ? =_____. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16. (本小题满分 12 分)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖,
x

B 的甲箱与装有 2 个红球 a1 , a2 和 2 个白球 抽奖方法是:从装有 2 个红球 A 1, A 2 和 1 个白球

b1 , b2 的乙箱中,各随机摸出 1 个球,若摸出的 2 个球都是红球则中奖,否则不中奖。
(I)用球的标号列出所有可能的摸出结果;

(II)有人认为:两个箱子中的红球比白球多,所以中奖的概率大于不中奖的概率,你认为 正确吗?请说明理由。

17.(本小题满分 12 分)设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, a ? b tan A 。 (I)证明: sin B ? cos A ; (II)若 sin C ? sin A cos B ?

3 ,且 B 为锐角,求 A, B, C 。 4

18.(本小题满分 12 分)如图 4,直三棱柱 ABC ? A1B1C1 的底 面是边长为 2 的正三角形, E , F 分别是 BC, CC1 的中点。 (I)证明:平面 AEF ? 平面 B1BCC1 ; ( II )若直线 AC 与平面 A 1 1 ABB 1 所成的角为 45 ,求三棱锥

F ? AEC 的体积。

19. (本小题满分 13 分)设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ? 1, a2 ? 2 ,且 an?1 ? 3Sn

?Sn?1 ? 3,(n ? N * ) ,
(I)证明: an?2 ? 3an ; (II)求 Sn 。 20.(本小题满分 13 分)已知抛物线 C1 : x2 ? 4 y 的焦点 F 也是椭圆 C2 :

y 2 x2 ? ?1 a 2 b2

(a ? b ? 0) 的一个焦点, C1 与 C2 的公共弦长为 2 6 ,过点 F 的直线 l 与 C1 相交于 A, B 两
点,与 C2 相交于 C , D 两点,且 AC 与 BD 同向。 (I)求 C2 的方程; (II)若 AC ? BD ,求直线 l 的斜率。

21.(本小题满分 13 分)函数 f ( x) ? ae2 cos x( x ?[0, ??) ,记 xn 为 f ( x ) 的从小到大的第

n(n ? N * ) 个极值点。
(I)证明:数列 { f ( xn )} 是等比数列; (II)若对一切 n ? N * , xn ? f ( x n ) 恒成立,求 a 的取值范围。


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