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4.1.1圆的标准方程教学课件07_图文

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让学生掌握圆的标准方程,能根 据圆心坐标,半径熟练地写出圆的标 准方程,从圆的标准方程熟练地求出 它的圆心和半径。并能利用圆的标准 方程解决一此简单的实际问题。 一、圆的定义: 平面内到定点距离等于定长的点 的集合叫做圆。定点叫做圆心, 定长叫做半径。 已知圆心C(a,b),半径等于r,求圆的方程。 解: 设M(x , y)为圆上任意点 y P = { M | |MC| = r } M(x,y) O ( x ? a ) ? ( y ? b) ? r 2 2 C x ? x ? a? 2 ? ? y ? b? ? r 2 2 三个独立条件a、b、r确定一个圆的方程. 二、圆的标准方程: 圆心C(a,b),半径r y M(x,y) O C x ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 2 2 2 特别地,若圆心为O(0,0),则圆的方程为: x ?y ?r 2 2 2 练习1:(口答):求圆的圆心及半径 (1) (x-3)2+(y+2)2 =4 (2) (x+4)2+(y-2)2 = 7 (3,-2) r=2 (-4,2) r ? (0,-1) r=4 (0,0) r=2 7 (3) x2+(y+1)2 = 16 (4) 2x2+2y2=8 练习2:写出下列圆的方程 (1)圆心在原点,半径是3. x2+y2=9 (2)圆心在(3,4),半径是 5 (x-3)2+(y-4)2=5 思考1:在平面几何中,点与圆有哪几种位置 关系? 思考2:在平面几何中,如何确定点与圆的位 置关系? A A O OA<r O OA=r A O OA>r 思考3:在直角坐标系中,已知点M(x0,y0) 和圆C:( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 ,如何判断 点M在圆外、圆上、圆内? (x0-a)2+(y0-b)2=r2 (x0-a)2+(y0-b)2<r2 (x0-a)2+(y0-b)2>r2 点M在圆上 点M在圆内 点M在圆外 例1:已知圆心A(2, -3) ,半径等于5的圆 的方程,试判断点M(5, -7)、N(1,0)、 Q(7, 1)是在圆上,在圆内,在圆外? 2 2 (x-2) +(y+3) =25 例2:已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和 B(2,-2 ),圆心C在直线l: x-y+1=0 上,求圆心为C的圆的标准方程. y 弦AB的垂 A(1,1) 直平分线 O x D C B(2,-2) l : x ? y ?1 ? 0 圆心:两条直线的交点 半径:圆心到圆上一点 解:A(1, 1)和B(2, -2),所以线段AB的中点D的坐标 3 1 ( ,? ), 直线AB的斜率: k ? ? 2 ? 1 ? ?3 AB 2 2 2 ?1 因此线段AB的垂直平分线 l 的方程是 ' 1 1 3 y ? ? ( x ? ) 即x ? 3 y ? 3 ? 0 2 3 2 ? x ? 3 y ? 3 ? 0 ? x ? ?3 ?C (?3,?2) ?? ? ? y ? ?2 ?x ? y ? 1 ? 0 r ?| AC |? (1 ? 3) 2 ? (1 ? 2) 2 ? 5 所以,圆心为C的圆的标准方程是 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 25 例3:△ABC的三个顶点的坐标分别是 A(5, 1),B(7, -3),C(2, -8),求它 的外接圆的方程. 解:设所求圆的方程为: ( x ? a) 2 ? ( y ? b) ? r 2 2 因为A(5,1),B(7,-3),C(2,8)都在圆上 ? (5 ? a ) 2 ? (1 ? b) 2 ? r 2 ?a?2 ? ? 2 2 2 ?(7 ? a ) ? (?3 ? b) ? r ? ?b ? ?3 ? r ?5 ?(2 ? a ) 2 ? (?8 ? b) 2 ? r 2 ? ? 所求圆的方程为 待定系数 法 ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 25 2 2 y A(5,1) 几何方法 O E x B(7,-3) C(2,-8) 圆心:两条弦的中垂线的交点 半径:圆心到圆上一点 练习:△AOB的三个顶点的坐标 分别是A(4, 0),B(0, 3),O(0, 0), 求它的外接圆的方程. 3 2 25 ( x ? 2) ? ( y ? ) ? 2 4 2 【总一总★成竹在胸】 1.圆的标准方程 圆心C(a,b),半径r y 2 A ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 2 2 2.圆心 ①两条直线的交点 (弦的垂直平分线) ②直径的中点 O C B x C 3.半径 圆心到圆上一点 (1)圆的一般方程是什么? (2)怎样确定圆的一般方程? (3)圆的一般方程与标准方程如何互化?

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