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2015年湖北省武汉市武昌区高三五月调研数学试卷(文科)

时间:2016-04-01


2015 年湖北省武汉市武昌区高三五月调研数学试卷(文科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一个是符合题目要求的. 1. (5 分) (2015?武昌区模拟) 设全集为 R, 集合 A={x||x|<3}, B={x|﹣1<x≤5}, 则 A∩ (?RB) =( ) A. (﹣3,0) B. (﹣3,﹣1] C. (﹣3,﹣1) D. (﹣3,3) 2. (5 分) (2015?武昌区模拟)已知复数 z 满足(3﹣4i)z=25,则 z 对应的点位于复平面的 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3. (5 分) (2015?武昌区模拟)函数 y=cos(2x﹣ )在区间[﹣ , ]上的简图是( )

A.

B.

C.

D. 4. (5 分) (2015?武昌区模拟)下列函数既是奇函数,又在区间[﹣1,1]上是单调递减的是 ( ) A.f(x)=x
3

B.f(x)=﹣|x+1|

C.f(x)=ln

D.f(x)=

5. (5 分) (2015?武昌区模拟)设 m>1,x,y 满足约束条件

,且目标函数 z=x+my

的最大值为 2,则 m 的取值为( ) A.2 B.1+ C.3 D.2+ 6. (5 分) (2015?武昌区模拟)如图为某几何体的三视图,则这个几何体的体积为( )

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A.

B.

C.

D.

7. (5 分) (2015?武昌区模拟)设 l,m 是两条不同的直线,α 是一个平面,给出以下命题: ①若 l⊥m,m?α,则 l⊥α ②若 l⊥α,l∥m,则 m⊥α ③若 l∥α,m?α,则 l∥m ④若 l∥α,m∥α,则 l∥m. 其中,正确命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4

8. (5 分) (2015?武昌区模拟) 设双曲线 相切,则该双曲线的离心率等于( A. B. C. D.2 )



=1(a>0, b>0)的渐近线与抛物线 y=x +1

2

9. (5 分) (2015?武昌区模拟)已知直线 x+y﹣k=0(k>0)与圆 x +y =4 交于不同的两点 A、 B,O 是坐标原点,且有 A. B. C. ,那么 k 的取值范围是( D. )

2

2

10. (5 分) (2015?武昌区模拟)已知 f(x)=

,g(x)=|x﹣k|+|x﹣1|, ) ]

若对任意的 x1,x2∈R,都有 f(x1)≤g(x2)成立,则实数 k 的取值范围为( A. (﹣ D. ( )∪( ) ) B. (﹣ ]∪[ ) C.[

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分.请把答案填在题中横线上 2 11. (5 分) (2015?武昌区模拟) 已知直线 l1: ax+2y+6=0, l2: x+ (a﹣1) y+a ﹣1=0, 若 l1⊥l2, 则 a= .

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12. (5 分) (2013?河北)已知两个单位向量 , 的夹角为 60°, =t +(1﹣t) .若 ? =0, 则 t= .

13. (5 分) (2015?武昌区模拟) 如图, 已知长方体过一个顶点的三条面对角线的长分别为 5, , ,则其外接球(长方体的顶点均在球面上)的表面积是 .

14. (5 分) (2015?武昌区模拟)执行如图所示的程序框图,则输出的 a 为

15. (5 分) (2015?武昌区模拟)将一颗质地均匀的正方体骰子连续掷两次,先后出现的点 2 数分别为 a,b,则关于 x 的方程 x +ax+b=0 有两个不相等的实根的概率为 . 16. (5 分) (2015?武昌区模拟)对某种灯泡中随机地抽取 200 个样品进行使用寿命调查, 结果如下: 寿命(天) 频数 频率 20 0.10 [100,200) 30 y [200,300) 70 0.35 [300,400) x 0.15 [400,500) 50 0.25 [500,600) 200 1 合计 规定:使用寿命大于或等于 500 天的灯泡是优等品,小于 300 天是次品,其余的是正品. (Ⅰ)根据频率分布表中的数据,求得 x= ,y= ; * (Ⅱ)某人从灯泡样品中随机地购买了 n(n∈N )个,如果这 n 个灯泡的等级分布情况恰好 与从这 200 个样品中按三个等级分层抽样所得的结果相同,则 n 的最小值为 . 17. (5 分) (2015?武昌区模拟)对于函数 y=f(x) ,x∈D,若对任意的 x1∈D,存在唯一的 x2∈D,使得
3 2

=M,则称函数 f(x)在 D 上的几何平均数为 M,已知 f
3 2

(x) =x ﹣x +1, x∈[1, 2], 则函数 ( f x) =x ﹣x +1 在[1, 2]上的几何平均数 M=



四、解题题:本大题共 5 小题,共 65 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 * 18. (12 分) (2015?武昌区模拟)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且对任意的 n∈N ,都有 2 Sn=n +n.
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(Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ) 设 bn= , 数列{bn}的前 n 项和为 Tn, 证明: Tn< .

19. (12 分) (2015?武昌区模拟) 在△ ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 且 acosC= (2b﹣c)cosA. (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)已知 a=2,求三角形 ABC 面积的最大值. 20. (13 分) (2015?武昌区模拟)如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB⊥AC, AB=AC= ,E 是棱 A1A 的中点,F 为棱 CC1 上的一动点. 的值;

(Ⅰ)若 C1E∥平面 ABF,求

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求证:A1C⊥平面 ABF.

21. (14 分) (2015?武昌区模拟)已知 f(x)=alnx+ +3x﹣4. (1)当 a=﹣2 时,求 f(x)的单调区间; (2)若 x≥1 时,f(x)≥0 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)求证: 整数 n 均成立. + + +…+ > ln(2n+1)对一切正

22. (14 分) (2015?武昌区模拟)已知椭圆

+

=1(a>b>0)经过点(0,

) ,离心率



,过椭圆的右边焦点 F 作互相垂直的两条直线分别交椭圆于 A、B 和 C、D,且 M、N

分别为 AB、CD 的中点. (1)求椭圆的方程; (2)证明:直线 MN 过定点,并求出这个定点;
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(3)当 AB、CD 的斜率存在时,求△ FMN 面积的最大值.

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2015 年湖北省武汉市武昌区高三五月调研数学试卷(文 科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一个是符合题目要求的. 1. (5 分) (2015?武昌区模拟) 设全集为 R, 集合 A={x||x|<3}, B={x|﹣1<x≤5}, 则 A∩ (?RB) =( ) A. (﹣3,0) B. (﹣3,﹣1] C. (﹣3,﹣1) D. (﹣3,3) 【考点】交、并、补集的混合运算. 【专题】集合. 【分析】求出集合 B 的补集,然后求解交集即可. 【解答】解:全集为 R,集合 A={x||x|<3}={x|﹣3<x<3},B={x|﹣1<x≤5},
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?RB={x|x≤﹣1 或 x>5} 则 A∩(?RB)={x|﹣3<x≤﹣1} 故选:B. 【点评】本题考查集合的基本运算,考查计算能力. 2. (5 分) (2015?武昌区模拟)已知复数 z 满足(3﹣4i)z=25,则 z 对应的点位于复平面的 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【考点】复数的代数表示法及其几何意义. 【专题】数系的扩充和复数. 【分析】求出复数 z,得到对应点的坐标即可判断选项. 【解答】解:复数 z 满足(3﹣4i)z=25,
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可得 z=

=

=3+4i.对应点为: (3,4) ,在第一象限.

故选:A. 【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算,复数的几何意义,是基础题. ]上的简图是(

3. (5 分) (2015?武昌区模拟)函数 y=cos(2x﹣

)在区间[﹣





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A.

B.

C.

D. 【考点】五点法作函数 y=Asin(ωx+φ)的图象. 【专题】三角函数的图像与性质. 【分析】根据三角函数的单调性判断函数的单调性即可得到结论.
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【解答】解:当 x=0 时,y=cos(﹣ 由 2kπ≤2x﹣ 得 kπ+ ≤2kπ+π,k∈Z 得, (k∈Z) , ≤x≤﹣ , ,

)= >0,排除 C,

≤x≤kπ+

当 k=﹣1 时,﹣ 当 k=0 时, ∵﹣ ∴﹣ ≤x≤ ≤x≤﹣ ≤x≤ , , ≤x≤﹣

≤x≤ 和

, ≤ x≤ 上为减函数,

即函数在﹣

由 2kπ﹣π≤2x﹣ ∴kπ﹣ ≤x≤kπ+

≤2kπ(k∈Z) , (k∈Z) , ,即 上为增函数,

当 k=0 时,﹣ 即函数在﹣

≤x≤ ≤x≤

则函数的图象为 D, 故选:D. 【点评】本题主要考查三角函数图象的判断,根据三角函数的单调性是解决本题的关键. 4. (5 分) (2015?武昌区模拟)下列函数既是奇函数,又在区间[﹣1,1]上是单调递减的是 ( )
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A.f(x)=x

3

B.f(x)=﹣|x+1|

C.f(x)=ln

D.f(x)=

【考点】奇偶性与单调性的综合. 【专题】计算题;函数的性质及应用. 【分析】对四个选项分别进行判断,即可得出结论.
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【解答】解:对于 A,f(x)=x 是奇函数,在区间[﹣1,1]上是单调递增,不正确; 对于 B,f(x)=﹣|x+1|不是奇函数,不正确; 对于 C,f(﹣x)=ln 递减,∴f(x)=ln =﹣f(x)是奇函数,∵ =﹣1+ 在区间[﹣1,1]上是单调

3

在区间[﹣1,1]上是单调递减,正确;

对于 D,f(﹣x)=﹣f(x)是奇函数,在区间[﹣1,1]上不是单调递减,不正确. 故选:C. 【点评】 本题考查函数的单调性与奇偶性的结合, 正确运用函数的单调性与奇偶性的定义是 关键.

5. (5 分) (2015?武昌区模拟)设 m>1,x,y 满足约束条件

,且目标函数 z=x+my

的最大值为 2,则 m 的取值为( ) A.2 B.1+ C.3 D.2+ 【考点】简单线性规划. 【专题】不等式的解法及应用.
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【分析】根据 m>1,可以判断直线 y=mx 的倾斜角位于区间(

)上,由此判断出

满足约束条件件

的平面区域的形状,再根据目标函数 z=x+my 对应的直线与直线

y=mx 垂直,且在直线 y=mx 与直线 x+y=1 交点处取得最大值,由此可得关于 m 的方程,从 而求得 m 值.

【解答】解:∵m>1,由约束条件

作出可行域如图,

直线 y=mx 与直线 x+y=1 交于(

) , )处取得最大值,

目标函数 z=x+my 对应的直线与直线 y=mx 垂直,且在( 由题意可知 ,
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又∵m>1,解得 m=1+ 故选:B.



【点评】本题考查的知识点是简单线性规划的应用,利用数形结合是解决本题的关键. 6. (5 分) (2015?武昌区模拟)如图为某几何体的三视图,则这个几何体的体积为( )

A.

B.

C.

D.
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【考点】由三视图求面积、体积. 【专题】计算题;图表型. 【分析】 由三视图知几何体是一个三棱锥, 三棱锥的底面是一个底边是 2, 高是 2 的三角形, 做出底面的面积,三棱锥的高是 2,根据三棱锥的体积公式得到结果. 【解答】解:由三视图知几何体是一个三棱锥, 三棱锥的底面是一个底边是 2,高是 2 的三角形, 三棱锥的底面的面积是 =2,

由三视图知三棱锥的一个侧面与底面垂直,三棱锥的高是 2, ∴三棱锥的体积是 故选 C. =

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【点评】 本题考查由三视图还原几何体并且看出几何体各个部分的长度, 本题解题的关键是 要求体积需要求出几何体的底面面积和高, 三棱锥的高是由垂直与底面的侧面的高得到, 本 题是一个基础题. 7. (5 分) (2015?武昌区模拟)设 l,m 是两条不同的直线,α 是一个平面,给出以下命题: ①若 l⊥m,m?α,则 l⊥α ②若 l⊥α,l∥m,则 m⊥α ③若 l∥α,m?α,则 l∥m ④若 l∥α,m∥α,则 l∥m. 其中,正确命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】空间位置关系与距离;简易逻辑. 【分析】①利用线面位置关系可得:l 与 α 平行相交或 l?α,即可判断出正误; ②利用线面垂直的判定定理即可判断出; ③利用线面平行的判定定理可得:l∥m 或为异面直线,即可判断出正误; ④利用线线与线面位置关系即可判断出: 可得 l∥m、相交或为异面直线,进而判断出正误. 【解答】解:①若 l⊥m,m?α,则 l⊥α 不成立(m 没有给出是平面内的任意一条直线) , 例如可能 l?α,l∥α,l 与 α 相交但是不垂直等; ②若 l⊥α,l∥m,由线面垂直的判定定理可得 m⊥α,正确; ③若 l∥α,m?α,则 l∥m 或为异面直线,因此不正确; ④若 l∥α,m∥α,则 l∥m、相交或为异面直线. 其中,正确命题的个数是 1. 故选:A. 【点评】 本题考查了空间位置关系及其判定方法, 考查了推理能力与计算能力, 属于中档题.
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8. (5 分) (2015?武昌区模拟) 设双曲线



=1(a>0, b>0)的渐近线与抛物线 y=x +1

2

相切,则该双曲线的离心率等于( ) A. B. C. D.2 【考点】双曲线的简单性质. 【专题】计算题;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】求出双曲线的渐近线方程,代入抛物线方程,运用相切的条件:判别式为 0,解方 程,可得 a,b 的关系,再由双曲线的 a,b,c 的关系和离心率公式,计算即可得到.
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【解答】解:双曲线
2



=1(a>0,b>0)的渐近线方程为 y=± x,

代入抛物线方程 y=x +1, 得x
2

x+1=0,

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由相切的条件可得,判别式

﹣4=0,

即有 b=2a,则 c= 则有 e= = .

=

=

a,

故选 C. 【点评】本题考查双曲线的方程和性质,考查离心率的求法,考查直线和曲线相切的条件, 考查运算能力,属于基础题. 9. (5 分) (2015?武昌区模拟)已知直线 x+y﹣k=0(k>0)与圆 x +y =4 交于不同的两点 A、 B,O 是坐标原点,且有 ,那么 k 的取值范围是( )
2 2

A. B. C. D. 【考点】向量在几何中的应用;直线与圆相交的性质. 【专题】计算题;平面向量及应用. 【分析】利用平行四边形法则,借助于正弦与圆的位置关系,利用直角三角形,即可求得结 论. 【解答】解:设 AB 中点为 D,则 OD⊥AB
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∵ ∴ ∴ ∵ ∴



∵直线 x+y﹣k=0(k>0)与圆 x +y =4 交于不同的两点 A、B, ∴ ∴4>

2

2

∴4> ∵k>0,∴ 故选 C. 【点评】本题考查向量知识的运用,考查直线与圆的位置关系,考查学生的计算能力,属于 中档题.
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10. (5 分) (2015?武昌区模拟)已知 f(x)=

,g(x)=|x﹣k|+|x﹣1|, ) ]

若对任意的 x1,x2∈R,都有 f(x1)≤g(x2)成立,则实数 k 的取值范围为( A. (﹣ D. ( )∪( )
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B. (﹣

]∪[



C.[

【考点】函数恒成立问题;函数单调性的性质. 【专题】函数的性质及应用.
2

【分析】求出函数的最值,不等式有 f(x1)≤g(x2)等价为有 f(x)max≤g(x)min 即可. 【解答】解:当 x≤1 时,f(x)=﹣x +x=﹣(x﹣ ) + ≤ , 当 x>1 时,f(x)=﹣log3x<0, 则函数 f(x)max= , g(x)=|x﹣k|+|x﹣1|≥|k﹣x+x﹣1|=|k﹣1|, 若对任意的 x1,x2∈R,都有 f(x1)≤g(x2)成立, 则|k﹣1|≥ , 即 k﹣1≥ 或 k﹣1≤﹣ , 即 k≥ 或 k≤ , 故选:B
2

【点评】本题主要考查不等式恒成立问题,求出函数的最值是解决本题的关键. 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分.请把答案填在题中横线上 2 11. (5 分) (2015?武昌区模拟) 已知直线 l1: ax+2y+6=0, l2: x+ (a﹣1) y+a ﹣1=0, 若 l1⊥l2, 则 a= .
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【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系. 【专题】直线与圆. 【分析】由两直线互相垂直,可得两直线系数间的关系,由此列关于 a 的方程求得 a 值.
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【解答】解:∵直线 l1:ax+2y+6=0,l2:x+(a﹣1)y+a ﹣1=0,且 l1⊥l2, ∴a×1+2(a﹣1)=0,即 a+2a﹣2=0,解得 a= . 故答案为: . 【点评】 本题考查了直线的一般式方程与直线垂直间的关系, 关键是对垂直条件的记忆与应 用,是基础题.

2

12. (5 分) (2013?河北)已知两个单位向量 , 的夹角为 60°, =t +(1﹣t) .若 ? =0, 则 t= 2 . 【考点】平面向量数量积的运算;平面向量的基本定理及其意义. 【专题】平面向量及应用.

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【分析】由于 ? =0,对式子 =t +(1﹣t) 两边与 作数量积可得 =0,经过化简即可得出. 【解答】解:∵ ∴tcos60°+1﹣t=0,∴1 , =0,解得 t=2. ,∴ =0,

故答案为 2. 【点评】熟练掌握向量的数量积运算是解题的关键. 13. (5 分) (2015?武昌区模拟) 如图, 已知长方体过一个顶点的三条面对角线的长分别为 5, , ,则其外接球(长方体的顶点均在球面上)的表面积是 50π .

【考点】球的体积和表面积. 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】先求出长方体的棱长,再求出它的体对角线即求出外接球的直径,由此据公式即可 球的表面积,本题采用了设而不求的技巧,没有解棱的长度,直接整体代换求出了体对角线 的长度. 【解答】解:长方体一顶点出发的三条棱长的长分别为 a,b,c, 2 2 2 2 2 2 则 a +b =25,b +c =34,c +a =41, 2 2 2 得 a +b +c =50. 2 2 2 2 2 于是,球的直径 2R 满足 4R =(2R) =a +b +c =50. 2 故外接球的表面积为 S=4πR =50π. 故答案为:50π. 【点评】本题考查长方体的几何性质,长方体与其外接球的关系,以及球的表面积公式,训 练了空间想象能. .
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14. (5 分) (2015?武昌区模拟)执行如图所示的程序框图,则输出的 a 为 ﹣

【考点】程序框图. 【专题】规律型;算法和程序框图. 【分析】根据题意,模拟程序图的运行过程,找出输出 a 值的周期,即可得出输出的结果. 【解答】解:模拟程序框图的运行过程,如下; 开始 a=3,i=1;
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第一次循环 a= 第二次循环 a=

=﹣2,i=2; =﹣ ,i=3;

第三次循环 a=

= ,i=4;

第四次循环 a=

=3,i=5;

第五次循环 a=﹣2,i=6; …; ∴a 的取值周期为 4,且跳出循环的 i 值为 2015, ∴输出的 a=﹣ . 故答案为:﹣ . 【点评】本题考查了循环结构的程序框图,根据框图的流程依次计算程序运行的结果,发现 a 值的周期是关键. 15. (5 分) (2015?武昌区模拟)将一颗质地均匀的正方体骰子连续掷两次,先后出现的点 数分别为 a,b,则关于 x 的方程 x +ax+b=0 有两个不相等的实根的概率为
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2



【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 【分析】由题意可得(a,b)的所有结果共有 36 种,每种结果等可能出现,再利用列举法 2 求出关于 x 的方程 x +ax+b=0 有两个不相等的实根包含的基本事件个数, 由此利用等可能事 2 件概率计算公式能求出关于 x 的方程 x +ax+b=0 有两个不相等的实根的概率. 【解答】解:将一颗质地均匀的正方体骰子连续掷两次,先后出现的点数分别为 a,b,基 本事件总数 n=6×6=36,
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∵关于 x 的方程 x +ax+b=0 有两个不相等的实根, 2 ∴△=a ﹣4b>0, a=1 时,不成立; a=2 时,不成立; a=3 时,b 可以取 1,2; a=4 时,b 可以取 1,2,3; a=5 时,b 可以取 1,2,3,4,5,6; a=6 时,b 可以取 1,2,3,4,5,6. 满足条件的基本事件个数 m=17, 2 ∴关于 x 的方程 x +ax+b=0 有两个不相等的实根的概率: p= = . .
2

2

故答案为:

【点评】本题考查关于 x 的方程 x +ax+b=0 有两个不相等的实根的概率的求法,是基础题, 解题时要认真审题,注意列举法的合理运用. 16. (5 分) (2015?武昌区模拟)对某种灯泡中随机地抽取 200 个样品进行使用寿命调查, 结果如下: 寿命(天) 频数 频率 20 0.10 [100,200) 30 y [200,300) 70 0.35 [300,400) x 0.15 [400,500) 50 0.25 [500,600) 200 1 合计 规定:使用寿命大于或等于 500 天的灯泡是优等品,小于 300 天是次品,其余的是正品. (Ⅰ)根据频率分布表中的数据,求得 x= 30 ,y= 0.15 ; * (Ⅱ)某人从灯泡样品中随机地购买了 n(n∈N )个,如果这 n 个灯泡的等级分布情况恰好 与从这 200 个样品中按三个等级分层抽样所得的结果相同,则 n 的最小值为 4 . 【考点】频率分布表. 【专题】概率与统计.
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【分析】 (1)由频率=

,利用频率分布列能求出 x,y 的值.

(2)由频率分布表先求出 x,再求出优等品、正品、次品的比例,从而能求出按分层抽样 * 方法,购买灯泡的个数 n=k+2k+k=4k, (k∈N ) ,由此能求出 n 的最小值. 【解答】解: (1)由频率分布表得: x=200×0.15=30, y= =0.15.

故答案为:30,0.15. (2)由已知得 x=200×0.15=30, ∴由频率分布表得到:
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灯泡样品中优等品有 50 个,正品有 100 个,次品有 50 个, ∴优等品、正品、次品的比例为 50:100:50=1:2:1, * ∴按分层抽样方法,购买灯泡的个数 n=k+2k+k=4k, (k∈N ) , ∴n 的最小值为 4. 故答案为:4. 【点评】 本题考查频率分布表中未知数的求法, 考查按三个等级分层抽样所得的结果相同的 n 的最小值的求法,是基础题,解题时要注意频率分布表和分层抽样的性质的合理运用. 17. (5 分) (2015?武昌区模拟)对于函数 y=f(x) ,x∈D,若对任意的 x1∈D,存在唯一的 x2∈D,使得
3 2

=M,则称函数 f(x)在 D 上的几何平均数为 M,已知 f
3 2

(x)=x ﹣x +1,x∈[1,2],则函数 f(x)=x ﹣x +1 在[1,2]上的几何平均数 M= . 【考点】函数与方程的综合运用. 【专题】新定义;函数的性质及应用. 【分析】根据已知中对于函数 y=f(x) ,x∈D,若存在常数 C,对任意 x1∈D,存在唯一的
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x2∈D,使得

=M,则称函数 f(x)在 D 上的几何平均数为 M.我们易

得若函数在区间 D 上单调递增, 则 M 应该等于函数在区间 D 上最大值与最小值的几何平均 3 2 数,由 f(x)=x ﹣x +1,D=[1,2],代入即可得到答案. 【解答】解:根据已知中关于函数 f(x)在 D 上的几何平均数为 M 的定义, 2 由于 f(x)的导数为 f′(x)=3x ﹣2x,在{1,2]内 f′(x)>0, 3 2 则 f(x)=x ﹣x +1 在区间[1,2]单调递增, 则 x1=1 时,存在唯一的 x2=2 与之对应, 且 x=1 时,f(x)取得最小值 1,x=2 时,取得最大值 5, 故 M= = . 故答案为: . 【点评】此题主要考查了应用新定义分析题意解决问题.对于新定义的问题,需要认真分析 定义内容,切记不可偏离题目. 四、解题题:本大题共 5 小题,共 65 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 * 18. (12 分) (2015?武昌区模拟)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且对任意的 n∈N ,都有 2 Sn=n +n. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ) 设 bn= , 数列{bn}的前 n 项和为 Tn, 证明: Tn< .

【考点】数列的求和. 【专题】等差数列与等比数列;不等式的解法及应用.
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【分析】 (Ⅰ)运用数列的通项和求和的关系:当 n=1 时,a1=S1,当 n>1 时,an=Sn﹣Sn﹣1, 计算即可得到所求通项; (Ⅱ)求得 bn= ( ﹣ ) ,由裂项相消求和和不等式的性质,即可得证.

【解答】解: (Ⅰ)当 n=1 时,a1=S1=2;
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当 n>1 时,由 Sn=n +n,可得 Sn﹣1=(n﹣1) +n﹣1=n2﹣n, 两式相减,可得 an=Sn﹣Sn﹣1=2n, 综上可得 an=2n; (Ⅱ)bn= = ( ﹣ ) , + ﹣ +…+ + ) , ﹣ + ﹣ )

2

2

前 n 项和为 Tn= (1﹣ + = (1+ ﹣ 由于 ( + ﹣

)= ﹣ ( )>0,

则 Tn< 成立. 【点评】本题考查数列的通项和求和的关系,考查数列的求和方法:裂项相消求和,注意保 留和消掉的项,属于中档题. 19. (12 分) (2015?武昌区模拟) 在△ ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 且 acosC= (2b﹣c)cosA. (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)已知 a=2,求三角形 ABC 面积的最大值. 【考点】正弦定理;余弦定理. 【专题】计算题;解三角形. 【分析】 (Ⅰ)运用正弦定理和两角和的正弦公式及诱导公式,化简即可得到角 A; 2 2 (Ⅱ)由余弦定理可得,4=b +c ﹣bc≥2bc﹣bc,即 bc≤4,当且仅当 b=c=2 时取等号,运用 三角形的面积公式可得到最大值. 【解答】解: (Ⅰ)acosC=(2b﹣c)cosA,即为 acosC+ccosA=2bcosA, 由正弦定理,可得,sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosA, sin(A+C)=2sinBcosA 即 sinB=2sinBcosA, ∵B∈(0,π) ∴sinB≠0
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∴cosA= , ∵A∈(0,π) ∴A= ;
2 2

(Ⅱ)由余弦定理可得,4=b +c ﹣bc≥2bc﹣bc, ∴bc≤4,当且仅当 b=c=2 时取等号, ∴△ABC 的面积 S= bcsinA= bc≥ ,

∴当且仅当 b=c=2 时,S 取得最大值,且为 . 【点评】 本题考查正弦定理和面积公式的运用, 考查两角和差的正弦公式和诱导公式的运用, 考查运算能力,属于中档题.
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20. (13 分) (2015?武昌区模拟)如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB⊥AC, AB=AC= ,E 是棱 A1A 的中点,F 为棱 CC1 上的一动点. 的值;

(Ⅰ)若 C1E∥平面 ABF,求

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求证:A1C⊥平面 ABF.

【考点】直线与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 【专题】计算题;证明题;空间位置关系与距离. 【分析】 (Ⅰ)由题意可得 C1E∥FA,又 E 是棱 A1A 的中点,可得 F 为棱 CC1 的中点,即 可得解. (Ⅱ)由题意可证∠FAC=∠A1CC1,从而可求 A1C⊥AF,证明 AB⊥平面 A1ACC1.即可证 明 A1C⊥AB,从而得证 A1C⊥平面 ABF. 【解答】解: (Ⅰ)∵C1E∥平面 ABF,C1E?平面 A1ACC1, 平面 ABF∩平面 A1ACC1=AF, ∴C1E∥FA, ∵E 是棱 A1A 的中点,∴F 为棱 CC1 的中点,
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= ;…6 分 ,

(Ⅱ)设 AB=AC=a,则 AA1= ∵ ,

∴∠FAC=∠A1CC1, ∵∠A1CC1+∠A1CA=90°,∴∠FAC+∠A1CA=90°, ∴A1C⊥AF, ∵A1A⊥平面 ABC,AB?平面 ABC,∴A1A⊥AB, ∵AB⊥AC, ∴AB⊥平面 A1ACC1. ∵A1C?平面 A1ACC1,∴AB⊥A1C. ∴A1C⊥AB,A1C⊥AF, ∴A1C⊥平面 ABF.…13 分.
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【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定,考查了空间想象 能力和推理论证能力,属于中档题.

21. (14 分) (2015?武昌区模拟)已知 f(x)=alnx+ +3x﹣4. (1)当 a=﹣2 时,求 f(x)的单调区间; (2)若 x≥1 时,f(x)≥0 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)求证: + + +…+ > ln(2n+1)对一切正

整数 n 均成立. 【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 【专题】导数的综合应用. 【分析】 (1)求导数,分类讨论,确定函数的单调性,即可求实数 a 的取值范围; (2)由(1)知,x>0 时,不等恒成立,则 x>0 时,恒成立.令 k=1,2,3,…,n,叠加, 即可证明结论.
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【解答】解: (1)当 a=﹣2,f(x)=﹣2lnx+

=

f'(x)=0,解得 x=

或 x=1

因为 x>0,所以 x=1.f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增. (2)f'(x)= △ =a +12>0,则方程 3x +ax﹣1=0 有两个异号的实根,设这两个实根为 x1,x2,且 x1<0 <x2. ∴0<x<x2 时,f'(x)<0.f(x)在区间[0,x2]上为减函数,f(x2)<f(0)=0. ∴a<﹣2 不符合要求. ∴a 的取值范围为[﹣2,+∞) . (3)证明:由(1)知,x>0 时,不等式﹣2lnx+ 恒成立,
2 2

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∴x>0 时, 令 ,得

恒成立,

整理得:



令 k=1, 2, 3…, n, 得

…, 将上述 n 个不等式的左右两边分别相加得,



对一切正整数 n 均成立.

【点评】本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性,考查不等式的证明,巧妙利用两小 题之间的关系,是解题的关键.

22. (14 分) (2015?武昌区模拟)已知椭圆

+

=1(a>b>0)经过点(0,

) ,离心率



,过椭圆的右边焦点 F 作互相垂直的两条直线分别交椭圆于 A、B 和 C、D,且 M、N

分别为 AB、CD 的中点. (1)求椭圆的方程; (2)证明:直线 MN 过定点,并求出这个定点; (3)当 AB、CD 的斜率存在时,求△ FMN 面积的最大值. 【考点】椭圆的简单性质. 【专题】直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 (1)由于椭圆的离心率公式和 a,b,c 的关系,可得 a,b,进而得到椭圆方程;
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(2)设直线 AB 的方程为 x=my+1,m≠0,则直线 CD 的方程为 x=﹣ y+1,分别代入椭圆 方程,由于韦达定理和中点坐标公式可得中点 M,N 的坐标,求得斜率和直线方程,即可 得到定点 H;

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(3)由(2)可得,△ FMN 面积为 S= |FH|?|yM﹣yN|,化简整理,再令 m+ =t(t≥2) ,由 于函数的单调性,即可得到最大值. 【解答】 (1)解:∵椭圆
2 2

+
2

=1(a>b>0)经过点(0,

) ,离心率为



∴b=

,c=
2

a,a ﹣b =c ,
2

∴解得 a =3,b =2, ∴椭圆方程为 .

(2)证明:设直线 AB 的方程为 x=my+1,m≠0, 则直线 CD 的方程为 x=﹣ y+1, 联立椭圆方程,消去 x,得(2m +3)y +4my﹣4=0, 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 y1+y2=﹣ ∴x1+x2=(my1+1)+(my2+1) =m(y1+y2)+2= 由中点坐标公式得 M( , ,﹣ ) , ,y1y2= ,
2 2

将 M 的坐标中的 m 用﹣ 代换,得 CD 的中点 N(



) ,

kMN=



直线 MN 的方程为 y+

=

(x﹣

) ,

即为 y=

( x﹣1) ,

令 x﹣1=0,可得 x= ,即有 y=0, 则直线 MN 过定点 H,且为 H( ,0) ; (3)解:由(2)可得,△ FMN 面积为 S= |FH|?|yM﹣yN|

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= (1﹣ )?|﹣



|=2|

|=2|

|

可令 m+ =t(t≥2) ,由于 6t+ 的导数为 6﹣ 即有 S= = 在[2,+∞)递减,

,且大于 0,即有在[2,+∞)递增.

即有 t=2 即 m=1 时,S 取得最大值,且为 则△ FMN 面积的最大值为 .



【点评】本题考查椭圆方程的求法,考查直线过定点的证明,解题时要认真审题,注意直线 方程、韦达定理和基本不等式和函数的单调性等知识点的合理运用.

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参与本试卷答题和审题的老师有:qiss;maths;刘长柏;lily2011;孙佑中;双曲线;sxs123; changq;742048;zlzhan;w3239003;雪狼王(排名不分先后) 菁优网 2015 年 11 月 17 日

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考点卡片
1.交、并、补集的混合运算 【知识点的认识】 集合交换律 A∩B=B∩A,A∪B=B∪A. 集合结合律 (A∩B)∩C=A∩(B∩C) , (A∪B)∪C=A∪(B∪C) . 集合分配律 A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) ,A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) . 集合的摩根律 Cu(A∩B)=CuA∪CuB,Cu(A∪B)=CuA∩CuB. 集合吸收律 A∪(A∩B)=A,A∩(A∪B)=A. 集合求补律 A∪CuA=U,A∩CuA=Φ. 【解题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质,借助数轴或韦恩图 直接解答. 【命题方向】理解交集、并集、补集的混合运算,每年高考一般都是单独命题,一道选择题 或填空题,属于基础题. 2.命题的真假判断与应用 【知识点的认识】 判断含有“或”、“且”、“非”的复舍命题的真假,首先要明确 p、q 及非 p 的真假,然后由 真值表判断复合命题的真假. 注意:“非 p”的正确写法,本题不应将“非 p”写成“方程 x2﹣2x+1=0 的两根都不是实根”,因 为“都是”的反面是“不都是”,而不是“都不是”,要认真区分. 【解题方法点拨】 1.判断复合命题的真假,常分三步:先确定复合命题的构成形式,再指出其中简单命题的 真假,最后由真值表得出复合命题的真假. 2. 判断一个“若 p 则 q”形式的复合命题的真假, 不能用真值表时, 可用下列方法: 若“p q”, 则“若 p 则 q”为真;而要确定“若 p 则 q”为假,只需举出一个反例说明即可. 3.判断逆命题、否命题、逆否命题的真假,有时可利用原命题与逆否命题同真同假,逆命 题与否命题同真同假这一关系进行转化判断. 【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容,几乎年年都考,涉及知识点多而且 全,多以小题形式出现. 3.函数单调性的性质 【知识点的认识】 所谓单调性一般说的是单调递增或单调递减, 即在某个定义域内, 函数的值域随着自 变量的增大而增大或者减小, 那么我们就说这个函数具有单调性. 它是求函数值域或者比较 大小的常用工具. 【解题方法点拨】
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定义法、导数法、性质法 ①定义法:在满足定义域的某区间内任意两个自变量的值 x1、x2,当 x1<x2 时都有 f(x1) <f(x2) .那么就说 f(x)在 这个区间上是增函数. ②导数法: (当函数在所考察区间内可微(可导)时,才能利用导数研究它的单调性)若 f' (x)>0 则 f(x)单调上升,则函数严格单调递增(如果存在有限个孤立的点的导函数为 0 仍为递增函数) . ③性质法:n 个单调递增(递减)的函数的和仍为递增(递减)函数 【命题方向】函数单调性的应用. 作为一个工具,凡是涉及到最值问题、大小比较问题都应立马联想到它的单调性,并 对一般常见函数的单调性有清醒的认识, 这里面的一个扩展是一些数列问题也可以转化为函 数来求解. 4.奇偶性与单调性的综合 【知识点的认识】 对于奇偶函数综合,其实也并谈不上真正的综合,一般情况下也就是把它们并列在 一起,所以说关键还是要掌握奇函数和偶函数各自的性质,在做题时能融会贯通,灵活运 用.在重复一下它们的性质 ①奇函数 f(x)的定义域关于原点对称,且定义域内任意一个 x,都有 f(﹣x)=﹣f(x) ,其图象特点是关于(0,0)对称.②偶函数 f(x)的定义域关 于原点对称,且定义域内任意一个 x,都有 f(﹣x)=f(x) ,其图象特点是关于 y 轴对称. 【解题方法点拨】 参照奇偶函数的性质那一考点,有: ①奇函数:如果函数定义域包括原点,那么运用 f(0)=0 解相关的未知量; ②奇函数:若定义域不包括原点,那么运用 f(x)=﹣f(﹣x)解相关参数; ③偶函数:在定义域内一般是用 f(x)=f(﹣x)这个去求解; ④对于奇函数,定义域关于原点对称的部分其单调性一致,而偶函数的单调性相反 例题:如果 f(x)= 为奇函数,那么 a= .

解:由题意可知,f(x)的定义域为 R, 由奇函数的性质可知,f(x)= =﹣f(﹣x)?a=1

【命题方向】奇偶性与单调性的综合. 不管出什么样的题, 能理解运用奇偶函数的性质是一个基本前提, 另外做题的时候多多 总结,一定要重视这一个知识点. 5.函数恒成立问题 【知识点的认识】 恒成立指函数在其定义域内满足某一条件(如恒大于 0 等) ,此时,函数中的参数成为 限制了这一可能性 (就是说某个参数的存在使得在有些情况下无法满足要求的条件) , 因此, 适当的分离参数能简化解题过程.例:要使函数 f(x)=ax^2+1 恒大于 0,就必须对 a 进行 限制﹣﹣令 a≥0,这是比较简单的情况,而对于比较复杂的情况时,先分离参数的话做题较 简单
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【解题方法点拨】 一般恒成立问题最后都转化为求最值得问题,常用的方法是分离参变量和求导. 2 例:f(x)=x +2x+3≥ax, (x>0)求 a 的取值范围. 解:又题意可知:a≤ 即 a≤x+ +2 ?a≤2 +2 【命题方向】 恒成立求参数的取值范围问题是近几年高考中出现频率相当高的一类型题, 它比较全 面的考查了导数的应用,突出了导数的工具性作用. 6.函数与方程的综合运用 【知识点的知识】 函数思想,是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题.方程思想,是 从问题的数量关系入手,运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式、或 方程与不等式的混合组) ,然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解.有时,还 实现函数与方程的互相转化、接轨,达到解决问题的目的.笛卡尔的方程思想是:实际问题 →数学问题→代数问题→方程问题.宇宙世界,充斥着等式和不等式. 7.利用导数研究函数的单调性 【知识点的知识】 1、导数和函数的单调性的关系: (1)若 f′(x)>0 在(a,b)上恒成立,则 f(x)在(a,b)上是增函数,f′(x)>0 的 解集与定义域的交集的对应区间为增区间; (2)若 f′(x)<0 在(a,b)上恒成立,则 f(x)在(a,b)上是减函数,f′(x)<0 的 解集与定义域的交集的对应区间为减区间. 2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤: (1)确定 f(x)的定义域; (2)计算导数 f′(x) ; (3)求出 f′(x)=0 的根; (4)用 f′(x)=0 的根将 f(x)的定义域分成若干个区间,列表考察这若干个区间内 f′(x) 的符号,进而确定 f(x)的单调区间:f′(x)>0,则 f(x)在对应区间上是增函数,对应 区间为增区间;f′(x)<0,则 f(x)在对应区间上是减函数,对应区间为减区间. 【典型例题分析】 题型一:导数和函数单调性的关系 典例 1:已知函数 f(x)的定义域为 R,f(﹣1)=2,对任意 x∈R,f′(x)>2,则 f(x) >2x+4 的解集为( ) A. (﹣1,1)B. (﹣1,+∞) C. (﹣∞,﹣1)D. (﹣∞,+∞) 解:设 g(x)=f(x)﹣2x﹣4, 则 g′(x)=f′(x)﹣2, ∵对任意 x∈R,f′(x)>2,
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恒成立

∴对任意 x∈R,g′(x)>0, 即函数 g(x)单调递增, ∵f(﹣1)=2, ∴g(﹣1)=f(﹣1)+2﹣4=4﹣4=0, 则由 g(x)>g(﹣1)=0 得 x>﹣1, 即 f(x)>2x+4 的解集为(﹣1,+∞) , 故选:B 题型二:导数很函数单调性的综合应用 典例 2:已知函数 f(x)=alnx﹣ax﹣3(a∈R) . (Ⅰ)求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若函数 y=f(x)的图象在点(2,f(2) )处的切线的倾斜角为 45°,对于任意的 t∈[1, 2],函数 范围; (Ⅲ)求证: 解: (Ⅰ) (2 分) . 在区间(t,3)上总不是单调函数,求 m 的取值

当 a>0 时,f(x)的单调增区间为(0,1],减区间为[1,+∞) ; 当 a<0 时,f(x)的单调增区间为[1,+∞) ,减区间为(0,1]; 当 a=0 时,f(x)不是单调函数(4 分) (Ⅱ) ∴
2

得 a=﹣2,f(x)=﹣2lnx+2x﹣3 ,

∴g'(x)=3x +(m+4)x﹣2(6 分) ∵g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数,且 g′(0)=﹣2 ∴ 由题意知:对于任意的 t∈[1,2],g′(t)<0 恒成立,

所以有:

,∴

(10 分)

(Ⅲ)令 a=﹣1 此时 f(x)=﹣lnx+x﹣3,所以 f(1)=﹣2, 由(Ⅰ)知 f(x)=﹣lnx+x﹣3 在(1,+∞)上单调递增, ∴当 x∈(1,+∞)时 f(x)>f(1) ,即﹣lnx+x﹣1>0, ∴lnx<x﹣1 对一切 x∈(1,+∞)成立, (12 分) ∵n≥2,n∈N*,则有 0<lnn<n﹣1,
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∴ ∴

【解题方法点拨】 若在某区间上有有限个点使 f′(x)=0,在其余的点恒有 f′(x)>0,则 f(x)仍为增 函数(减函数的情形完全类似) .即在区间内 f′(x)>0 是 f(x)在此区间上为增函数的充 分条件,而不是必要条件. 8.利用导数求闭区间上函数的最值 【知识点的知识】 一、利用导数求函数的极值 1、极大值 一般地, 设函数 f (x) 在点 x0 附近有定义, 如果对 x0 附近的所有的点, 都有 f ( x) <f (x0) , 就说 f(x0)是函数的一个极大值,记作 y 极大值=f(x0) ,是极大值点. 2、极小值 一般地,设函数 f(x)在 x0 附近有定义,如果对 x0 附近的所有的点,都有 f(x)>f(x0) , 就说 f(x0)是函数 f(x)的一个极小值,记作 y 极小值=f(x0) ,是极小值点. 3、极大值与极小值统称为极值 在定义中,取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值,极值指的是函数值.请注意以 下几点: (ⅰ)极值是一个局部概念 由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是 最大或最小.并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小. (ⅱ)函数的极值不是唯一的 即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止 一个. (ⅲ)极大值与极小值之间无确定的大小关系 即一个函数的极大值未必大于极小值,如下 图所示,x1 是极大值点,x4 是极小值点,而 f(x4)>f(x1) .

(ⅳ)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点 而使函数取得最 大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点
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4、判别 f(x0)式极大值、极小值的方法: 若 x0 满足 f′(x0)=0,且在 x0 的两侧 f(x)的导数异号,则 x0 是 f(x)的极值点,f(x0) 是极值,并且如果 f′(x)在 x0 两侧满足“左正右负”,则 x0 是 f(x)的极大值点,f(x0) 是极大值;如果 f′(x)在 x0 两侧满足“左负右正”,则 x0 是 f(x)的极小值点,f(x0)是 极小值. 5、求可导函数 f(x)的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间,求导数 f′(x) ; (2)求方程 f′(x)=0 的根; (3)用函数的导数为 0 的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格.检 查 f′(x)在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么 f(x)在这个根处取得极大值; 如果左负右正,那么 f(x)在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号,那么 f(x)在 这个根处无极值. 二、利用导数求函数的最大值与最小值 1、函数的最大值和最小值 观察图中一个定义在闭区间[a,b]上的函数 f(x)的图象.图中 f(x1)与 f(x3)是极小值, f(x2)是极大值.函数 f(x)在[a,b]上的最大值是 f(b) ,最小值是 f(x1) . 一般地,在闭区间[a,b]上连续的函数 f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值. 说明: (1)在开区间(a,b)内连续的函数 f(x)不一定有最大值与最小值.如函数 f(x) = 在(0,+∞)内连续,但没有最大值与最小值; (2)函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的;函数的极值是比较极值点附近函数 值得出的. (3)函数 f(x)在闭区间[a,b]上连续,是 f(x)在闭区间[a,b]上有最大值与最小值的充 分条件而非必要条件. (4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值可能不止一个, 也可能没有一个 2、用导数求函数的最值步骤: 由上面函数 f(x)的图象可以看出,只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值 进行比较,就可以得出函数的最值了. 设函数 f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则求 f(x)在[a,b]上的最大值与最小 值的步骤如下: (1)求 f(x)在(a,b)内的极值; (2)将 f(x)的各极值与 f(a) 、f(b)比较得出函数 f(x)在[a,b]上的最值. 【解题方法点拨】 在理解极值概念时要注意以下几点: (1)按定义,极值点 x0 是区间[a,b]内部的点,不会是端点 a,b(因为在端点不可导) . (2)极值是一个局部性概念,只要在一个小领域内成立即可.要注意极值必须在区间内的 连续点取得. 一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值, 在某一点的极小值也可能 大于另一个点的极大值, 也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系, 即极大值不一定比 极小值大,极小值不一定比极大值小.
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(3)若 f(x)在(a,b)内有极值,那么 f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在区间 上单调的函数没有极值. (4)若函数 f(x)在[a,b]上有极值且连续,则它的极值点的分布是有规律的,相邻两个 极大值点之间必有一个极小值点,同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点,一般地, 当函数 f(x)在[a,b]上连续且有有限个极值点时,函数 f(x)在[a,b]内的极大值点、极 小值点是交替出现的, (5)可导函数的极值点必须是导数为 0 的点,但导数为 0 的点不一定是极值点,不可导的 点也可能是极值点,也可能不是极值点. 9.简单线性规划 【概念】 线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问题,它是一 种重要的数学模型. 简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划, 其最优解可 以用数形结合方法求出.我们高中阶段接触的主要是由三个二元一次不等式组限制的可行 域,然后在这个可行域上面求某函数的最值或者是斜率的最值. 【例题解析】 例:若目标函数 z=x+y 中变量 x,y 满足约束条件 .

(1)试确定可行域的面积; (2)求出该线性规划问题中所有的最优解. 解: (1)作出可行域如图:对应得区域为直角三角形 ABC, 其中 B(4,3) ,A(2,3) ,C(4,2) , 则可行域的面积 S= = .

(2)由 z=x+y,得 y=﹣x+z,则平移直线 y=﹣x+z, 则由图象可知当直线经过点 A(2,3)时,直线 y=﹣x+z 得截距最小, 此时 z 最小为 z=2+3=5, 当直线经过点 B(4,3)时,直线 y=﹣x+z 得截距最大, 此时 z 最大为 z=4+3=7, 故该线性规划问题中所有的最优解为(4,3) , (2,3)
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这是高中阶段接触最多的关于线性规划的题型, 解这种题一律先画图, 把每条直线在同一 个坐标系中表示出来,然后确定所表示的可行域,也即范围;最后通过目标函数的平移去找 到它的最值. 【考点预测】 线性规划在实际中应用广泛,因此具有很高的实用价值,所以也成为了高考的一个热 点.大家在备考的时候,需要学会准确的画出可行域,然后会平移目标曲线. 10.数列的求和 【知识点的知识】 就是求出这个数列所有项的和,一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比 数列等等,常用的方法包括: (1)公式法: ①等差数列前 n 项和公式:Sn=na1+ n(n﹣1)d 或 Sn= ②等比数列前 n 项和公式:

③几个常用数列的求和公式:

(2)错位相减法: 适用于求数列{an×bn}的前 n 项和,其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列. (3)裂项相消法: 适用于求数列{ ( ) . }的前 n 项和,其中{an}为各项不为 0 的等差数列,即 =

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(4)倒序相加法: 推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序) ,再 把它与原数列相加,就可以得到 n 个(a1+an) . (5)分组求和法: 有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个 等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可. 【典型例题分析】 典例 1:已知等差数列{an}满足:a3=7,a5+a7=26,{an}的前 n 项和为 Sn. (Ⅰ)求 an 及 Sn; (Ⅱ)令 bn= (n∈N ) ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
*

分析:形如

的求和,可使用裂项相消法如:

. 解: (Ⅰ)设等差数列{an}的公差为 d, ∵a3=7,a5+a7=26, ∴ ,解得 a1=3,d=2,

∴an=3+2(n﹣1)=2n+1; Sn= =n +2n.
2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 an=2n+1, ∴bn= = = = ,

∴Tn= 即数列{bn}的前 n 项和 Tn= .

=

=



点评:该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法,这也是数列求和当中常用的方法,就像 友情提示那样,两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和.
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【解题方法点拨】 数列求和基本上是必考点, 大家要学会上面所列的几种最基本的方法, 即便是放缩也要 往这里面考. 11.平面向量的基本定理及其意义 【知识点的知识】 1、平面向量基本定理内容: 如果 e1、e2 是同一平面内两个不共线的向量,那么对这一平面内任一 ,有且仅有一对 实数 λ1、λ2,使 .

2、基底:不共线的 e1、e2 叫做平面内表示所有向量的一组基底. 3、说明: (1)基底向量肯定是非零向量,且基底并不唯一,只要不共线就行. (2)由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一. 12.平面向量数量积的运算 【平面向量数量积的运算】 平面向量数量积运算的一般定理为①( ± ) = =
2 2 2

±2 ? +

2

.②( ﹣ ) ( + )



2

.③ ?( ? )≠( ? )? ,从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些

是相同的,有些不一样. 【例题解析】 例:由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则: ①“mn=nm”类比得到“ ②“(m+n)t=mt+nt”类比得到“( ③“t≠0,mt=nt?m=n”类比得到“ ④“|m?n|=|m|?|n|”类比得到“| |=| |?| |”; )? = ”; ” )? = ? ”; ”;

⑤“(m?n)t=m(n?t)”类比得到“(

⑥“

”类比得到



以上的式子中,类比得到的结论正确的是 ①② .

解:∵向量的数量积满足交换律, ∴“mn=nm”类比得到“ 即①正确; ∵向量的数量积满足分配律,
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”,

∴“(m+n)t=mt+nt”类比得到“( 即②正确; ∵向量的数量积不满足消元律, ∴“t≠0,mt=nt?m=n”不能类比得到“ 即③错误; ∵| |≠| |?| |,

)? =

”,

?

”,

∴“|m?n|=|m|?|n|”不能类比得到“| 即④错误; ∵向量的数量积不满足结合律,

|=| |?| |”;

∴“(m?n)t=m(n?t)”不能类比得到“( 即⑤错误; ∵向量的数量积不满足消元律, ∴ ”不能类比得到 ,

)? =

”,

即⑥错误. 故答案为:①②. 向量的数量积满足交换律,由“mn=nm”类比得到“ 配律,故“(m+n)t=mt+nt”类比得到“( 元律,故“t≠0,mt=nt?m=n”不能类比得到“ “|m?n|=|m|?|n|”不能类比得到“| (n?t) ”不能类比得到“ ( )? = ”;向量的数量积满足分 ”;向量的数量积不满足消 ? ”;| |≠| |?| |,故

|=| |?| |”;向量的数量积不满足结合律,故“(m?n)t=m ) ? = ”; 向量的数量积不满足消元律, 故 ”

不能类比得到



【考点分析】 本知识点应该所有考生都要掌握,这个知识点和三角函数联系比较多,也是一个常考 点,题目相对来说也不难,所以是拿分的考点,希望大家都掌握. 13.向量在几何中的应用 【知识点的知识】 向量在几何中的应用 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”:
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①建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化 为向量问题; ②通过向量运算,研究几何元素之间的关系; ③把运算结果“翻译”成几何关系. 1.向量方法在几何中的应用 (1)证明线段平行问题,包括相似问题,常用向量平行(共线)的等价条件:a∥b(b≠0) ?a=λb?x1y2﹣x2y1=0. (2)证明垂直问题,如证明四边形是矩形、正方形等,常用向量垂直的等价条件:非零向 量 a,b,a⊥b?a?b=0?x1x2+y1y2=0. (3)求夹角问题,往往利用向量的夹角公式 cos θ= = .

(4) 求线段的长度或证明线段相等, 可以利用向量的线性运算、 向量模的公式: |a|= 2.直线的方向向量和法向量 (1)直线 y=kx+b 的方向向量为(1,k) ,法向量为(k,﹣1) . (2)直线 Ax+By+C=0 的方向向量为(B,﹣A) ,法向量为(A,B) .



探究点一 直线的方向向量与两直线的夹角 (1) 直线 y=kx+b 的方向向量: 如果向量 v 与直线 l 共线, 则称向量 v 为直线 l 的方向向量. 对于任意一条直线 l:y=kx+b,在它上面任取两点 A(x0,y0) ,B(x,y) ,则向量=(x﹣ x0,y﹣y0)与直线 l 共线,即为直线 l 的方向向量.由于(x﹣x0,y﹣y0)=(1, )=(1,k) , 所以向量(x﹣x0,y﹣y0)与向量(1,k)共线,从而向量(1,k)是直线 y=kx+b 的一个 方向向量. (2)直线 Ax+By+C=0 的方向向量 当 B≠0 时, k=﹣, 所以向量 (B , ﹣A) 与 ( 1, k) 共线, 所以向量 (B, ﹣A) 是直线 Ax+By+C=0 的一个方向向量;当 B=0 时,A≠0,直线 x=﹣的一个方向向量为(0,﹣A) ,即(B,﹣A) . 综上所述,直线 Ax+By+C=0 的一个方向向量为 v=(B,﹣A) . (3)应用直线的方向向量求两直线的夹角 已知直线 l1:y=k1x+b1 与直线 l2:y=k2x+b2,它们的方向向量依次为 v1=(1,k1) ,v2=(1, k2) . 当 v1⊥v2,即 v1?v2=1+k1k2=0 时,l1⊥l2,夹角为直角;当 k1k2≠﹣1 时,v1?v2≠0,直线 l1 与 l2 的夹角为 θ(0°<θ<90°) .不难推导利用 k1、k2 表示 cos θ 的夹角公式:cos θ= = .

探究点二 直线的法向量与两直线的位置关系 (1) 直线 Ax+By+C=0 的法向量: 如果向量 n 与直线 l 垂直, 则称向量 n 为直线 l 的法向量. 因 此若直线的方向向量为 v, 则 n?v=0. 从而对于直线 Ax+By+C=0 而言, 其方向向量为 v= (B, ﹣A) , 则由于 n?v=0, 于是可取 n= (A, B) ,这时因为 (B, ﹣A) ?(A, B) =AB﹣AB=0.直 线的法向量也有无数个.
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(2)直线法向量的简单应用:利用直线的法向量判断两直线的位置关系:对于直线 l1: A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,它们的法向量分别为 n1=(A1,B1) ,n2=(A2,B2) . 当 n1∥n2 时,l1∥l2 或 l1 与 l2 重合.即 A1B2﹣A2B1=0?l1∥l2 或 l1 与 l2 重合; 当 n1⊥n2 时,l1⊥l2.即 A1A2+B1B2=0?l1⊥l2. 探究点三 平面向量在几何中的应用 用向量法处理有关直线平行、垂直、线段相等、点共线、线共点以及角度等问题时有独到之 处,且解法思路清晰、简洁直观.其基本方法是: (1)要证明线段 AB=CD,可转化为证明| |=| |.

(2)要证明 AB∥CD,只需证明存在一个不为零实数 λ,使得=λ,且 A、B、C、D 不共线 即可. (3)要证明 A、B、C 三点共线,只需证明 (4)要证明 AB⊥CD,只需证明 证明 x1x2+y1y2=0 即可. (5)常用|a|= 和 cos θ= 处理有关长度与角度的问题. ? ∥ 或 ∥ . =(x2,y2) ,则用坐标

=0,或若

=(x1,y1) ,

14.复数的代数表示法及其几何意义 【知识点的知识】 1、复数的代数表示法 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.在复平面内,x 轴叫做实轴,y 轴叫 做虚轴,x 轴的单位是 1,y 轴的单位是 i,实轴与虚轴的交点叫做原点,且原点(0,0) , 对应复数 0.即复数 z=a+bi→复平面内的点 z(a,b)→平面向量 2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外,还要注意: (1)|z|=|z﹣0|=a(a>0)表示复数 z 对应的点到原点的距离为 a; (2)|z﹣z0|表示复数 z 对应的点与复数 z0 对应的点之间的距离. 3、复数中的解题策略: (1)证明复数是实数的策略: ①z=a+bi∈R?b=0(a,b∈R) ;②z∈R?z=z. (2)证明复数是纯虚数的策略: ①z=a+bi 为纯虚数?a=0,b≠0(a,b∈R) ; ②b≠0 时,z﹣z=2bi 为纯虚数;③z 是纯虚数?z+z=0 且 z≠0. 15.频率分布表 【知识点的认识】 1.频数与频率 ①频数:指一组数据中,某范围内的数据出现的次数. ②频率:把频数除以数据的总个数,就得到频率. 2、频率分布表
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当总体很大或不便于获得时, 可以用样本的频率分布估计总体的频率分布. 我们把反映总体 频率分布的表格称为频率分布表. 【解题方法点拨】 绘制频率分布表的步骤: 1.求全距:决定组数和组距,组距= ; (全距指整个取值区间的长度,组距指分成的区

间的长度) 2.分组:通常对组内数值所在区间取左闭右开区间,最后一组取闭区间; 3.登记频数,计算频率,频率= ,列出频率分布表.

【命题方向】 能根据频率分布表读取信息,进行简单计算,多以选择、填空题形式出现,作为大题时,比 较常见和概率统计问题结合进行考查,但难度不大.在计算频率的时候,熟悉使用公式频率 = 求出频率是解题关键.

例:容量为 20 的样本数据,分组后的频数如下表 分组 [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) 2 3 4 5 4 2 频数 则样本数据落在区间[10,40]的频率为( ) A.0.35 B.0.45 C.0.55 D.0.65 分析:先求出样本数据落在区间[10,40]频数,然后利用频率等于频数除以样本容量求出频 率即可. 解答:由频率分布表知 样本在[10,40]上的频数为 2+3+4=9 故样本在[10,40]上的频率为 9÷20=0.45 故选 B. 点评:本题主要考查了频率分布表,解题的关键是频率的计算公式是频率= 于基础题. 16.列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【知识点的知识】 1、等可能条件下概率的意义:一般地,如果在一次试验中,有 n 种可能的结果,并且它们 发生的可能性都相等,事件 A 包含其中的 m 中结果,那么事件 A 发生的概率为 P(A)= . 等可能条件下概率的特征: (1)对于每一次试验中所有可能出现的结果都是有限的; (2)每一个结果出现的可能性相等. 2、概率的计算方法: (1)列举法(列表或画树状图) , (2)公式法; 列表法或树状图这两种举例法,都可以帮助我们不重不漏的列出所以可能的结果. 列表法
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,属

(1)定义:用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法. (2)列表法的应用场合 当一次试验要设计两个因素, 并且可能出现的结果数目较多时, 为不重不漏地列出所有可能 的结果,通常采用列表法. 树状图法 (1)定义:通过列树状图列出某事件的所有可能的结果,求出其概率的方法叫做树状图法. (2)运用树状图法求概率的条件 当一次试验要设计三个或更多的因素时, 用列表法就不方便了, 为了不重不漏地列出所有可 能的结果,通常采用树状图法求概率. 【典型例题分析】 典例 1:将一颗骰子投掷两次,第一次出现的点数记为 a,第二次出现的点数记为 b,设任 意投掷两次使两条不重合直线 l1: ax+by=2, l2: x+2y=2 平行的概率为 P1, 相交的概率为 P2, 若点(P1,P2)在圆(x﹣m) +y = A. (﹣ ,+∞) B. (﹣∞, )
2 2

的内部,则实数 m 的取值范围是( C. (﹣ , ) D. (﹣ ,

) )

解析:对于 a 与 b 各有 6 中情形,故总数为 36 种 设两条直线 l1: ax+by=2, l2: x+2y=2 平行的情形有 a=2, b=4, 或 a=3, b=6, 故概率为 P= 设两条直线 l1:ax+by=2,l2:x+2y=2 相交的情形除平行与重合即可, ∵当直线 l1、l2 相交时 b≠2a,图中满足 b=2a 的有(1,2) 、 (2,4) 、 (3,6)共三种, ∴满足 b≠2a 的有 36﹣3=33 种, ∴直线 l1、l2 相交的概率 P= =
2 2

=

, 的内部,

∵点(P1,P2)在圆(x﹣m) +y = ∴( 解得﹣ 故选:D ﹣m) +( <m<
2

)<

2



典例 2:某种零件按质量标准分为 1,2,3,4,5 五个等级,现从一批该零件巾随机抽取 20 个,对其等级进行统计分析,得到频率分布表如下 1 2 3 4 5 等级 0.05 m 0.15 0.35 n 频率 (1)在抽取的 20 个零件中,等级为 5 的恰有 2 个,求 m,n; (2)在(1)的条件下,从等级为 3 和 5 的所有零件中,任意抽取 2 个,求抽取的 2 个零件 等级恰好相同的概率. 解析: (1)由频率分布表得 0.05+m+0.15+0.35+n=1, 即 m+n=0.45.…(2 分) 由抽取的 20 个零件中,等级为 5 的恰有 2 个,
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.…(4 分)

所以 m=0.45﹣0.1=0.35.…(5 分) (2) :由(1)得,等级为 3 的零件有 3 个,记作 x1,x2,x3;等级为 5 的零件有 2 个, 记作 y1,y2.从 x1,x2,x3,y1,y2 中任意抽取 2 个零件,所有可能的结果为: (x1,x2) , (x1,x3) , (x1,y1) , (x1,y2) , (x2,x3) , (x2,y1) , (x2,y2) , (x3,y1) , (x3,y2) , (y1, y2) 共计 10 种.…(9 分) 记事件 A 为“从零件 x1,x2,x3,y1,y2 中任取 2 件,其等级相等”. 则 A 包含的基本事件为(x1,x2) , (x1,x3) , (x2,x3) , (y1,y2)共 4 个.…(11 分) 故所求概率为 .…(13 分)

17.程序框图 【知识点的知识】 1.程序框图 (1)程序框图的概念:程序框图又称流程图,是一种用规定的图形、指向线及文字说明来 准确、直观地表示算法的图形; (2)构成程序框的图形符号及其作用 程序框 名称 功能 起止框 表示一个算法的起始和结束,是任何算法程序框图不可缺 少的.

输入、输出表示一个算法输入和输出的信息,可用在算法中任何需要 框 输入、输出的位置. 处理框 判断框 赋值、计算.算法中处理数据需要的算式、公式等,它们 分别写在不同的用以处理数据的处理框内. 判断某一条件是否成立,成立时在出口处标明“是”或“Y”; 不成立时在出口处标明则标明“否”或“N”. 算法进行的前进方向以及先后顺序

流程线

连结点 注释框

连接另一页或另一部分的框图 帮助编者或阅读者理解框图

(3)程序框图的构成. 一个程序框图包括以下几部分:实现不同算法功能的相对应的程序框;带箭头的流程线;程 序框内必要的说明文字.
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18.五点法作函数 y=Asin(ωx+φ)的图象 【知识点的知识】 1.五点法作 y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)的简图 找五个关键点,分别为使 y 取得最小值、最大值的点和曲线与 x 轴的交点.其步骤为: (1)先确定周期 T= ,在一个周期内作出图象; ,π , + π ,2π,求出对应的 x 值,列表如下: ﹣ \frac{3π}{2} 2π

(2)令 X=ωx+φ,令 X 分别取 0, x ωx+φ ﹣ 0 ﹣

0 A 0 0 y=Asin(ωx+φ) ﹣A 由此可得五个关键点; (3) 描点画图, 再利用函数的周期性把所得简图向左右分别扩展, 从而得到 y=Asin (ωx+φ) 的简图. 2.振幅、周期、相位、初相 当函数 y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0) ,x∈(﹣∞,+∞)表示一个振动量时,则 A 叫做振 幅,T= 叫做周期,f= 叫做频率,ωx+φ 叫做相位,φ 叫做初相. ,y=Atan (ωx+φ)的最小正周期为 .

函数 y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为

【解题方法点拨】 1.一个技巧 列表技巧:表中“五点”中相邻两点的横向距离均为 ,利用这一结论可以较快地写出“五点” 的坐标. 2.两个区别 (1)振幅 A 与函数 y=Asin (ωx+φ)+b 的最大值,最小值的区别:最大值 M=A+b,最小 值 m=﹣A+b,故 A= .

(2)由 y=sin x 变换到 y=Asin (ωx+φ)先变周期与先变相位的(左、右)平移的区别: 由 y=sin x 的图象变换到 y=Asin (ωx+φ)的图象,两种变换的区别:先相位变换再周期变 换(伸缩变换) ,平移的量是|φ|个单位;而先周期变换(伸缩变换)再相位变换,平移的量 是 (ω>0)个单位.原因在于相位变换和周期变换都是针对 x 而言,即 x 本身加减多

少值,而不是依赖于 ωx 加减多少值. 3.三点提醒 (1)要弄清楚是平移哪个函数的图象,得到哪个函数的图象;
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(2)要注意平移前后两个函数的名称是否一致,若不一致,应先利用诱导公式化为同名函 数; (3)由 y=Asin ωx 的图象得到 y=Asin(ωx+φ)的图象时,需平移的单位数应为 不是|φ|. 19.正弦定理 【知识点的知识】 1.正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 内容 ,而

余弦定理 =2R a =b +c ﹣2bccos A, 2 2 2 b =a +c ﹣2accos B, 2 2 2 c =a +b ﹣2abcos C cos A= ,
2 2 2

变形 形式

( R 是△ ABC 外接圆半径) ①a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C; ②sin A= ,sin B= ,sin C= ;

③a:b:c=sinA:sinB:sinC; ④asin B=bsin A, bsin C=csin B, asin C=csin Acos B=



cos C= 解决 ①已知两角和任一边,求另一角和其他两条 ①已知三边,求各角; 三角 边; ②已知两边和它们的夹角,求第三边 形的 ②②已知两边和其中一边的对角, 求另一边和其他两角 问题 和其他两角 在△ ABC 中,已知 a,b 和角 A 时,解的情况 A 为锐角 A 为钝角或直角 图形

a≥b 关系式 a=bsin A bsin A<a<b a>b 解的个 一解 两解 一解 一解 数 由上表可知,当 A 为锐角时,a<bsin A,无解.当 A 为钝角或直角时,a≤b,无解. 2、三角形常用面积公式 1.S= a?ha(ha 表示边 a 上的高) ; 2.S= absin C=\frac{1}{2}acsin B=\frac{1}{2}bcsin A. 3.S=\frac{1}{2}r(a+b+c) (r 为内切圆半径) .
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20.余弦定理 【知识点的知识】 1.正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 内容

余弦定理 =2R a =b +c ﹣2bccos A, 2 2 2 b =a +c ﹣2accos_B, 2 2 2 c =a +b ﹣2abcos_C cos A= ,
2 2 2

变形 形式

( R 是△ ABC 外接圆半径) ①a=2Rsin A,b=2Rsin_B,c=2Rsin_C; ②sin A= ,sin B= ,sin C= ;

③a:b:c=sinA:sinB:sinC; ④asin B=bsin A, bsin C=csin B, asin C=csin Acos B=



cos C= 解决 三角 形的 问题 ①已知两角和任一边,求另一角和其他两条 ①已知三边,求各角; 边; ②已知两边和它们的夹角,求第三边 ②②已知两边和其中一边的对角, 求另一边和其他两角 和其他两角

21.直线的一般式方程与直线的垂直关系 【知识点的知识】 1、两条直线平行与垂直的判定 对于两条不重合的直线 l1、l2,其斜率分别为 k1、k2,有: (1)l1∥l2?k1=k2; (2)l1∥l2?k1?k2=﹣1. 2、直线的一般式方程: (1)一般式:Ax+By+C=0,注意 A、B 不同时为 0.直线一般式方程 Ax+By+C=0(B≠0) 化为斜截式方程 y=﹣ x﹣ ,表示斜率为﹣ ,y 轴上截距为﹣ 的直线. (2) 与直线 l: Ax+By+C=0 平行的直线, 可设所求方程为 Ax+By+C1=0; 与直线 Ax+By+C=0 垂直的直线,可设所求方程为 Bx﹣Ay+C1=0. (3) 已知直线 l1, l2 的方程分别是: l1: A1x+B1y+C1=0 (A1, B1 不同时为 0) , l2: A2x+B2y+C2=0 (A2,B2 不同时为 0) ,则两条直线的位置关系可以如下判别: ①l1⊥l2?A1A2+B1B2=0; ②l1∥l2?A1B2﹣A2B1=0,A1C2﹣A2B1≠0; ③l1 与 l2 重合?A1B2﹣A2B1=0,A1C2﹣A2B1=0; ④l1 与 l2 相交?A1B2﹣A2B1≠0.

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如果 A2B2C2≠0 时,则 l1∥l2?

;l1 与 l2 重合?

;l1 与 l2 相交

?



22.直线与圆相交的性质 【知识点的知识】 直线与圆的关系分为相交、相切、相离.判断的方法就是看圆心到直线的距离和圆半径 谁大谁小: ①当圆心到直线的距离小于半径时,直线与圆相交; ②当圆心到直线的距离等于半径时,直线与圆相切; ③当圆心到直线的距离大于半径时,直线与圆相离. 【例题解析】 例:写出直线 y=x+m 与圆 x +y =1 相交的一个必要不充分条件: 2 2 解:直线 x﹣y+m=0 若与圆 x +y =1 相交, 则圆心(0,0)到直线的距离 d<1, 即 d= ,
2 2

∴|m| , 即 , ∴满足 的必要不充分条件均可. 故答案为:满足 的必要不充分条件均可. 这是一道符合高考命题习惯的例题,对于简单的知识点,高考一般都是把几个知识点结 合在一起,这也要求大家知识一定要全面,切不可投机取巧.本题首先根据直线与圆的关系 求出满足要求的 m 的值;然后在考查了考试对逻辑关系的掌握程度,不失为一道好题. 【考点解析】 本知识点内容比较简单,在初中的时候就已经学习过,所以大家要熟练掌握,特别是点 到直线的距离怎么求,如何判断直线与圆相切. 23.椭圆的简单性质 【知识点的认识】 1.椭圆的范围

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2.椭圆的对称性

3.椭圆的顶点 顶点:椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点. 顶点坐标(如上图) :A1(﹣a,0) ,A2(a,0) ,B1(0,﹣b) ,B2(0,b) 其中,线段 A1A2,B1B2 分别为拖圆的长轴和短轴,它们的长分别等于 2a 和 2b,a 和 b 分 别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 4.椭圆的离心率 ①离心率:椭圆的焦距与长轴长的比 叫做椭圆的离心率,用 e 表示,即:e= ,且 0<e <1. ②离心率的意义:刻画椭圆的扁平程度,如下面两个椭圆的扁平程度不一样:

e 越大越接近 1,椭圆越扁平,相反,e 越小越接近 0,椭圆越圆.当且仅当 a=b 时,c=0, 2 2 2 椭圆变为圆,方程为 x +y =a . 2 2 2 5.椭圆中的关系:a =b +c . 24.双曲线的简单性质 【知识点的知识】 双曲线的标准方程及几何性质 标准方程 (a>0,b>0) 图形

(a>0,b>0)

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焦点 焦距 范围 对称 顶点 轴 离心率 准线 渐近线

F1(﹣c,0) ,F2( c,0) |F1F2|=2c |x|≥a,y∈R 关于 x 轴,y 轴和原点对称 (﹣a,0) . (a,0) 实轴长 2a,虚轴长 2b e= (e>1) x=± ± =0

F1(0,﹣c) ,F2(0,c) 2 2 2 a +b =c |y|≥a,x∈R (0,﹣a) (0,a)

y=± ± =0

质 25.由三视图求面积、体积 【知识点的认识】 1.三视图:观测者从不同位置观察同一个几何体,画出的空间几何体的图形,包括: (1)主视图:物体前后方向投影所得到的投影图,反映物体的高度和长度; (2)左视图:物体左右方向投影所得到的投影图,反映物体的高度和宽度; (3)俯视图:物体上下方向投影所得到的投影图,反映物体的长度和宽度. 2.三视图的画图规则:

(1)高平齐:主视图和左视图的高保持平齐; (2)长对正:主视图和俯视图的长相对应; (3)宽相等:俯视图和左视图的宽度相等. 3.常见空间几何体表面积、体积公式

(1)表面积公式:

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(2)体积公式:

【解题思路点拨】 1.解题步骤: (1)由三视图定对应几何体形状(柱、锥、球) (2)选对应公式 (3)定公式中的基本量(一般看俯视图定底面积,看主、左视图定高) (4)代公式计算 2.求面积、体积常用思想方法: (1)截面法:尤其是关于旋转体及与旋转体有关的组合体问题,常用轴截面进行分析求解; (2)割补法:求不规则图形的面积或几何体的体积时常用割补法; (3)等体积转化:充分利用三棱锥的任意一个面都可以作为底面的特点,灵活求解三棱锥 的体积; (4)还台为锥的思想:这是处理台体时常用的思想方法. 【命题方向】 三视图是新课标新增内容之一, 是新课程高考重点考查的内容. 解答此类问题, 必须熟练掌握三视图的概念,弄清视图之间的数量关系:正视图、俯视图之间长相等,左视 图、俯视图之间宽相等,正视图、左视图之间高相等(正俯长对正,正左高平齐,左俯宽相 等) ,要善于将三视图还原成空间几何体,熟记各类几何体的表面积和体积公式,正确选用, 准确计算. 例:某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

A.8﹣2π

B.8﹣π

C.8﹣

D.8﹣

分析:几何体是正方体切去两个 圆柱,根据三视图判断正方体的棱长及切去的圆柱的底面 半径和高,把数据代入正方体与圆柱的体积公式计算.
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解答:由三视图知:几何体是正方体切去两个 圆柱, 正方体的棱长为 2,切去的圆柱的底面半径为 1,高为 2, ∴几何体的体积 V=2 ﹣2× ×π×1 ×2=8﹣π. 故选:B. 点评: 本题考查了由三视图求几何体的体积, 根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的 几何量是解题的关键. 26.球的体积和表面积 【知识点的认识】 1.球体:在空间中,到定点的距离等于或小于定长的点的集合称为球体,简称球.其中到 定点距离等于定长的点的集合为球面. 2.球体的体积公式 设球体的半径为 R, V 球体= 3.球体的表面积公式 设球体的半径为 R, S 球体=4πR . 【命题方向】 考查球体的体积和表面积公式的运用, 常见结合其他空间几何体进行考查, 以增加试题难度, 根据题目所给条件得出球体半径是解题关键. 27.直线与平面平行的判定 【知识点的知识】 1、直线与平面平行的判定定理: 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行. 用符 号表示为:若 a?α,b?α,a∥b,则 a∥α. 2、直线与平面平行的判定定理的实质是:对于平面外的一条直线,只需在平面内找到一条 直线和这条直线平行,就可判定这条直线必和这个平面平行.即由线线平行得到线面平行. 28.直线与平面垂直的判定 【知识点的认识】 直线与平面垂直: 如果一条直线 l 和一个平面 α 内的任意一条直线都垂直,那么就说直线 l 和平面 α 互相 垂直,记作 l⊥α,其中 l 叫做平面 α 的垂线,平面 α 叫做直线 l 的垂面. 直线与平面垂直的判定: (1)定义法:对于直线 l 和平面 α,l⊥α?l 垂直于 α 内的任一条直线. (2)判定定理 1:如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个 平面. (3)判定定理 2:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直 于这个平面.
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2 3 2

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