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1992年全国高中数学联赛试题

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1992 年全国高中数学联赛试卷 第一试 一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1. 对于每个自然数 n,抛物线 y ? (n2+n)x2?(2n+1)x+1 与 x 轴交于 An,Bn 两点,以 |AnBn|表示该两点的距离,则|A1B1|+|A2B2|+?+|A1992B1992|的值是( ) (A) 1991 (B) 1992 (C) 1991 (D) 1993 y 1992 1993 1993 1992 1 2. 已知如图的曲线是以原点为圆心,1 为半径的圆的一部分, 则这一曲线的方程是( ) ?1 (A)(x+ 1 ? y2 )(y+ 1 ? x2 )=0 (B)(x? 1 ? y2 )(y? 1 ? x2 )=0 O 1 x (C)(x+ 1 ? y2 )(y? 1 ? x2 )=0 (D)(x? 1 ? y2 )(y+ 1 ? x2 )=0 ?1 4 3. 设四面体四个面的面积分别为 S1,S2,S3,S4,它们的最大值为 S,记 ? = (? Si ) /S, i ?1 (D)3.5< ? <5.5 4. 在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别记为 a,b,c(b?1),且 C , sin B 都是方程 A sin A ) log b x =logb(4x?4)的根,则△ABC( (A)是等腰三角形,但不是直角三角形 (B)是直角三角形,但不是等腰三角形 (C)是等腰直角三角形 (D)不是等腰三角形,也不是直角三角形 5. 设复数 z1,z2 在复平面上对应的点分别为 A,B,且|z1|=4,4z12?2z1z2+z22=0,O 为 坐标原点,则△OAB 的面积为( ) (A)8 3 (B)4 3 (C)6 3 (D)12 3 6. 设 f(x) 是定义在实数集 R 上的函数,且满足下列关系 f(10+x) ? f(10?x), f(20?x) ? ?f(20+x),则 f(x)是 (A)偶函数,又是周期函数 (B)偶函数,但不是周期函数 (C)奇函数,又是周期函数 (D)奇函数,但不是周期函数 二、填空题(每小题 5 分共 30 分) 1. 设 x,y,z 是实数,3x,4y,5z 成等比数列,且 1 , 1 , 1 成等差数列,则 x ? z 的值 z x x y z 是______. 2. 在区间[0,?]中,三角方程 cos7x ? cos5x 的解的个数是______. 3. 从正方体的棱和各个面上的对角线中选出 k 条,使得其中任意两条线段所在 的直线都是异面直线,则 k 的最大值是_____. z 4. 设 z1,z2 都是复数,且|z1|=3,|z2|=5|z1+z2|=7,则 arg( 2 )3 的值是______. z1 5. 设 数 列 a1,a2,?,an,? 满 足 a1 ? a2 ? 1,a3 ? 2 , 且 对 任 何 自 然 数 n, 都 有 anan+1an+2?1,又 anan+1an+2an+3 ? an+an+1+an+2+an+3,则 a1+a2+?+a100 的值是 则 ? 一定满足( ) (A)2< ? ≤4 (B)3< ? <4 (C)2.5< ? ≤4.5 ____. 6. 函数 f(x)= x4 ? 3x2 ? 6x ? 13 ? x4 ? x2 ? 1 的最大值是_____. 三、(20 分)求证: 16 ? ? 1 ? 17 k k ?1 四、(20 分)设 l,m 是两条异面直线,在 l 上有 A,B,C 三点,且 AB=BC,过 A,B,C

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