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高中数学必修1、2知识点总结及注意事项

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必修 1、2 知识点总结及注意事项
1. 对于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性”。

如:集合A ? ?x| y ? lg x?,B ? ?y| y ? lg x?,C ? ?(x, y)| y ? lg x?,A、B、C
中元素各表示什么?

2. 进行集合的交、并、补运算时,不要忘记集合本身和空集?的特殊情况。
注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。

如:集合A ? x| x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ,B ? ?x| ax ? 1?

?

?

若B ? A,则实数a的值构成的集合为
3. 注意下列性质:

1? ? (答: ??1,0, ?) 3? ?

(1)集合?a 1,a 2 ,??,a n ?的所有子集的个数是 2 n ;

(2)若A ? B ? A ? B ? A,A ? B ? B;
4. 你会用补集思想解决问题吗?(排除法、间接法)

如:已知关于x的不等式
的取值范围。

ax ? 5 ? 0的解集为M,若 3 ? M且5 ? M,求实数a x2 ? a

(∵ 3 ? M,∴

a· 3 ? 5 ?0 32 ? a a·5 ? 5 ?0 52 ? a

∵5 ? M,∴

5? ? ? a ? ?1, ? ??9, 25? ) 3? ?

5. 函数的三要素是什么?如何比较两个函数是否相同? (定义域、对应法则、值域) 6. 求函数的定义域有哪些常见类型?

例:函数 y ?

x?4 ? x? lg?x ? 3?
2

的定义域是

(答:?0, 2? ??2 , 3? ??3, 4?)
7. 如何求复合函数的定义域?

如:函数f ( x) 的定义域是 a,b ,b ? ? a ? 0,则函数F(x) ? f ( x) ? f (? x) 的定
义域是_____________。

?

?

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(答: a, ? a )
8. 求一个函数的解析式时,注明函数的定义域了吗?

?

?

如:f

?

x ? 1 ? e x ? x,求f (x).

?

令t ? x ? 1,则t ? 0
∴x ? t 2 ? 1

∴f (t) ? e t

2

?1

? t2 ?1

∴f (x) ? e x

2

?1

? x 2 ? 1 ?x ? 0?

9. 如何用定义证明函数的单调性?(设值、作差、变形、定号、结论) 如何判断复合函数的单调性?

(y ? f (u),u ? ?(x),则y ? f ??(x)? (外层) (内层)

,同增异减.

当内、外层函数单调性相同时f ??(x)?为增函数,否则f ??(x)?为减函数。)
如:求y ? log 1 ? x 2 ? 2 x 的单调区间
2

?

?

u

(设u ? ?x 2 ? 2x,由u ? 0则0 ? x ? 2
且 log 1 u ? ,u ? ?? x ? 1? ? 1,如图:
2 2

O

1

2

x

当x ?(0,1]时,u ? ,又 log 1 u ? ,∴y ?
2

当x ?[1,2) 时,u ? ,又 log 1 u ? ,∴y ?
2

∴??) 10. 函数 f(x)具有奇偶性的必要条件是什么?(f(x)定义域关于原点对称)

若f (?x) ? ?f ( x) 总成立 ? f ( x) 为奇函数 ? 函数图象关于原点对称 若f (?x) ? f ( x) 总成立 ? f ( x) 为偶函数 ? 函数图象关于y轴对称
注意如下结论: (1)在公共定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶函数;一 个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

(2)若f(x) 是奇函数且定义域中有原点,则f(0) ? 0。

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a·2 x ? a ? 2 如:若f ( x) ? 为奇函数,则实数a ? 2x ? 1

(∵f ( x) 为奇函数,x ? R,又0 ? R,∴f (0) ? 0
即 a· 2 0 ? a ? 2 ? 0,∴a ? 1) 20 ? 1 2x , 4x ? 1



又如:f ( x) 为定义在( ?1,1) 上的奇函数,当x ? (0,1) 时,f ( x) ?

求f (x)在??1,1?上的解析式。
(令x ? ??1,0?,则 ? x ? ?0,1?,f ( ? x) ? 又f ( x) 为奇函数,∴f ( x) ? ? 2?x 4?x ? 1

2?x 2x ? ? 4?x ? 1 1 ? 4x

? 2x ?? x ? 4 ?1 又f (0) ? 0,∴f ( x) ? ? x ? 2 ? ?4x ? 1
11. 你熟悉周期函数的定义吗?

x ? ( ?1, 0) x?0 x ? ?0,1?



(若存在实数T(T ? 0),在定义域内总有f ?x ? T? ? f ( x) ,则f ( x) 为周期
函数,T 是一个周期。)

如:若f ?x ? a? ? ?f (x),则
(答:f ( x) 是周期函数,T ? 2a为f ( x) 的一个周期)

又如:若f ( x) 图象有两条对称轴x ? a,x ? b ???
即f (a ? x) ? f (a ? x) ,f ( b ? x) ? f ( b ? x)

则f ( x) 是周期函数,2 a ? b 为一个周期 .
12. 你掌握常用的图象变换了吗?

f (x)与f (?x)的图象关于 y轴 对称

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f (x)与 ? f (x)的图象关于 x轴 对称 f (x)与 ? f (?x)的图象关于 原点 对称

f ( x) 与f ?1 ( x) 的图象关于 直线y ? x 对称
f (x)与f (2a ? x)的图象关于 直线x ? a 对称 f (x)与 ? f (2a ? x)的图象关于 点(a,0) 对称
左移a(a?0) 个单位 y ? f ( x ? a) 将y ? f ( x) 图象 ???????? ?? 右移a(a?0) 个单位 y ? f ( x ? a) 上移b( b?0) 个单位 y ? f ( x ? a) ? b ???????? ?? 下移b( b?0) 个单位 y ? f ( x ? a) ? b
注意如下“翻折”变换了吗?

f ( x) ? ?? f ( x) , f ( x) ? ?? f (| x |) .

如:f ( x) ? log 2 ?x ? 1? , 作出y ? log2 ?x ? 1? 及y ? log2 x ? 1 的图象
13. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗?

(1)一次函数:y ? kx ? b ?k ? 0?
( 2 )反比例函数:y ?
的双曲线。
(k<0) y (k>0)

k k ?k ? 0?推广为y ? b ? ?k ? 0?是中心O'(a,b) x x?a

y=b O’(a,b) O x=a x

b? 4ac ? b 2 ? (3)二次函数y ? ax ? bx ? c ?a ? 0? ? a? x ? ? ? 图象为抛物线 ? 2a ? 4a
2

2

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? b 4ac ? b 2 ? b 顶点坐标为? ? , ? ,对称轴x ? ? 4a ? 2a ? 2a
开口方向:a ? 0,向上,函数y min ? 4ac ? b 2 4a

a ? 0,向下,y max ?

4ac ? b 2 4a

应用:①“三个二次”(二次函数、二次方程、二次不等式)的关系——二次方程

ax 2 ? bx ? c ? 0,? ? 0时,两根x1、x 2 为二次函数y ? ax 2 ? bx ? c的图象与x轴 的两个交点,也是二次不等式ax 2 ? bx ? c ? 0 (? 0) 解集的端点值。
②求闭区间[m,n]上的最值。 ③求区间定(动),对称轴动(定)的最值问题。 ④一元二次方程根的分布问题。

?? ? 0 ? ? b 如:二次方程ax 2 ? bx ? c ? 0的两根都大于k ? ?? ?k 2 a ? ? ?f ( k ) ? 0
y

(a>0)

O

k x1

x2

x

一根大于k,一根小于k ? f ( k) ? 0

(4)指数函数:y ? a x ?a ? 0,a ? 1? (5)对数函数y ? loga x?a ? 0,a ? 1?
由图象记性质! (注意底数的限定!)

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y (0<a<1) 1 O 1 x y=ax(a>1) y=log ax(a>1)

(0<a<1)

(6)“对勾函数”y ? x ?

k ?k ? 0? 的图象与性质了吗? x
y

? k
O

k

x

14. 你在基本运算上常出现错误吗?

指数运算:a 0 ? 1 (a ? 0) ,a ? p ?

1 (a ? 0) ap

a

m n

? a (a ? 0) ,a
n m

?

m n

?

1
n

am

(a ? 0)

对数运算: loga M·N ? loga M ? loga N ?M ? 0,N ? 0?
log a M 1 ? log a M ? log a N, log a n M ? log a M N n

对数恒等式:a loga x ? x
对数换底公式: log a b ? log c b n ? log a m b n ? log a b log c a m

15. 如何解抽象函数问题?(赋值法、结构变换法)

如:(1)x ? R,f ( x) 满足f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,证明f ( x) 为奇函数。 (先令x ? y ? 0 ? f (0) ? 0再令y ? ?x,??)

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(2)x ? R,f ( x) 满足f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) ,证明f ( x) 是偶函数。

(先令x ? y ? ?t ? f ?(?t )(?t )? ? f ( t·t )
∴f (?t ) ? f (?t ) ? f ( t ) ? f ( t ) ∴f (? t ) ? f ( t ) ??)

(3)证明单调性:f ( x 2 ) ? f ?x 2 ? x1 ? ? x 2 ? ??
16. 掌握求函数值域(最值)的常用方法了吗? (二次函数法(配方法),判别式法,利用函数单调性等。) 如求下列函数的最值:

?

?

(1)y ? 2x ? 3 ? 13 ? 4x
(2 )y ? 2 x ?4 x ?3

9 (3)y ? 4 x ? ,x ? (0, 1] x
17. 不等式恒成立问题,常用的处理方式是什么?(可转化为最值问题,或“△”问题)

如:a ? f ( x) 恒成立 ? a ? f ( x) 的最小值 a ? f ( x) 恒成立 ? a ? f ( x) 的最大值 a ? f ( x) 能成立 ? a ? f ( x) 的最小值

例如:对于一切实数x,若 x ? 3 ? x ? 2 ? a恒成立,则a的取值范围是
(设u ? x ? 3 ? x ? 2 ,它表示数轴上到两定点 ? 2和3距离之和 u min ? 3 ? ??2? ? 5,∴5 ? a,即a ? 5
18. 立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗? 平行垂直的证明主要利用线面关系的转化:

线∥线 ? ?? 线∥面 ? ?? 面∥面 判定 性质 ? ??? 线⊥线 ? ?? 线⊥面 ? ?? 面⊥面 ???? 线∥线 ? ?? 线⊥面 ? ?? 面∥面
线面平行的判定:

a b

??

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a∥b,b ? 面?,a ? ? ? a∥面?
线面平行的性质:

?∥面?,? ? 面?,? ? ? ? b ? a∥b
三垂线定理(及逆定理):

P

PA⊥面?,AO为PO在?内射影,a ? 面?,则 a⊥OA ? a⊥PO;a⊥PO ? a⊥AO
线面垂直:

??
O a

a

a⊥b,a⊥c,b,c ? ?,b ? c ? O ? a⊥?
面面垂直:
α b O c

a⊥面?,a ? 面? ? ?⊥? 面?⊥面?,? ? ? ? l,a ? ?,a⊥l ? a⊥?
β

α

a

l

a⊥面?,b⊥面? ? a∥b

面?⊥a,面?⊥a ? ?∥?
a
19. 三类角的定义及求法 (1)异面直线所成的角θ ,0°<θ ≤90°

b

??

(2)直线与平面所成的角θ ,0°≤θ ≤90°

?=0o 时,b∥?或b ? ?

(3)二面角:二面角? ? l ? ?的平面角?,0o ? ? ? 180o

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(三垂线定理法:A∈α 作或证 AB⊥β 于 B,作 BO⊥棱于 O,连 AO,则 AO⊥棱 l,∴∠ AOB 为所求。) 三类角的求法: ①找出或作出有关的角。 ②证明其符合定义,并指出所求作的角。 ③计算大小(解直角三角形,或用余弦定理)。 20. 空间有几种距离?如何求距离? 点与点,点与线,点与面,线与线,线与面,面与面间距离。 将空间距离转化为两点的距离,构造三角形,解三角形求线段的长(或等积转化法)。 如:正方形 ABCD—A1B1C1D1 中,棱长为 a,则: D C (1)点 C 到面 AB1C1 的距离为___________; (2)点 B 到面 ACB1 的距离为____________; A B (3)直线 A1D1 到面 AB1C1 的距离为____________; (4)面 AB1C 与面 A1DC1 的距离为____________; (5)点 B 到直线 A1C1 的距离为_____________。
D1 21. 你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它 们的性质? A1 正棱柱——底面为正多边形的直棱柱 正棱锥——底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面的中心。 C1 B1

正棱锥的计算集中在四个直角三角形中:

Rt?SOB,Rt?SOE,Rt?BOE和Rt?SBE
它们各包含哪些元素?

S 正棱锥侧 ? V锥 ?

1 C·h' (C——底面周长,h' 为斜高) 2

1 底面积×高 3

22. 球有哪些性质

4 ( 1 )S 球 ? 4?R 2,V球 ? ?R 3 3
(2)球内接长方体的对角线是球的直径。正四面体的外接球半径 R 与内切球半径 r 之比为 R:r=3:1。

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如:一正四面体的棱长均为 2,四个顶点都在同一球面上,则此球的表面
积为( )

A. 3?

B. 4?

C. 3 3?

D. 6?

答案:A 23. 熟记下列公式了吗?

(1)l 直线的倾斜角? ??0,??,k ? tan ? ?
(2)直线方程:

y 2 ? y1 ? ? ? ? ? ? ,x1 ? x 2 ? ? ? x 2 ? x1 2

点斜式:y ? y 0 ? k?x ? x 0 ? (k存在)
斜截式:y ? kx ? b
截距式: x y ? ?1 a b

一般式:Ax ? By ? C ? 0 (A、B不同时为零)

(3)点P?x 0 ,y 0 ?到直线l :Ax ? By ? C ? 0的距离 d ?

Ax 0 ? By 0 ? C A 2 ? B2

B x2 , y2) (4) A( x1 , y1 ),( 两点间的距离是 | AB |? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2
24. 如何判断两直线平行、垂直?

A 1 B2 ? A 2 B1 ? ? ? l1 ∥l2 A 1 C 2 ? A 2 C1 ?
或 k 1 ? k 2 ? l1 ∥l 2 (反之不一定成立)

A1A 2 ? B1 B2 ? 0 ? l1 ⊥l2
或 k 1 ·k 2 ? ?1 ? l1 ⊥l2 (反之不一定成立)


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