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2009届全国百套名校高三数学模拟试题分类汇编

时间:2010-09-19


2009 届全国百套名校高三数学模拟试题分类 汇编 07 立体几何
试题收集:成都市新都一中 二、填空题 肖宏 1、(天津市汉沽一中 2008~2009 学年度高三第四次月考试题)在直角三角形 ABC 中, 两直角边 分别为 a、 b ,设 h 为斜边上的高,则

1 1 1 ? 2 ? 2 ,由此类比:三棱锥 S ? ABC 的三 2 h a b

个侧棱 SA、SB、SC 两两垂直,且长分别为 a、b、c ,设棱锥底面 ABC 上的高为 h , 则 答案: .

1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? 2 2 h a b c

2、(四川省成都市高中数学 2009 级九校联考)正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中棱长为 a , 点 E 为 AA1 的中点,在对角面 BB1DD1 上取一点 M ,使 AM ? ME 最小,其最小值 为 3 答案: a 2 3、(江苏省常州市 2008-2009 高三第一学期期中统一测试数学试题)若?ABC 内切圆半 。

D1

C1 B1

A1
D A

M B

C

1 径为 r,三边长为 a、b、c,则?ABC 的面积 S= r (a+b+c) 类比到空间,若四面体内切球 2 半径为 R,四个面的面积为 S1、S2 、S3 、S4,则四面体的体积 V= 1 答案: R(S1+S2+S3+S4) 3 4、(广东省佛山市三水中学 2009 届高三上学期期中考试 )空间四边形 ABCD 的两条对角线 AC ? 4 , BD ? 6 , 则 平 行 于 两 对 角 线 的 截 面 四 边 形 的 周 长 的 取 值 范 围 是 . 答案:(8,12) 5、(广东省湛江市实验中学 2009 届高三第四次月考)给出下面四个命题: ①过平面外一点,作与该平面成 ? 角的直线一定有无穷多条 ②一条直线与两个相交平面都平行,则它必与这两个平面的交线平行 ③对确定的两异面直线,过空间任一点有且只有一个平面与两异面直线都平行 ④对两条异面直线都存在无数多个平面与这两条直线所成的角相等 其中正确的命题序号为 。 答案:②④ .

6、(福建省宁德市 2009 届高三上学期第四次月考)给出下列命题 ①已知直线 m, l ,平面 ? , ? ,若 m ? ? , l ? ? , ? // ?,则m ? l ② a ? b ? 0 ,是 a、 b 的夹角为锐角的充要条件; ③若 f ( x ) 在 R 上满足 f ( x ? 2) ? ? f ( x) ,则 f ( x ) 是以 4 为周期的周期函数; ④ y ? sin( 2 x ?

?
3

) 的图象的一个对称中心是(

? ,0) 3

以上命题正确的是 (注:把你认为正确的命题的序号都填上) 答案:①③④ 7、(福建省莆田第四中学 2009 届第二次月考)由图(1)有面积关系: S ?PA?B ? ? PA? ? PB ?, 则图(2) 有 S ?PAB PA ? PB 体积关系: VP ? A?B?C ? ? ________________ 。 B VP ? ABC 答案: 8、(

B A' C' C

PA' ? PB' ? PC ' PA ? PB ? PC

A'

P B'
图(1)

A

P B'
图(2)

A

江苏运河中学 2009 年高三第一次质量检测)在 Rt△ ABC 中,
1 1 1 ? 2? 2 2 a b ,由此类比:三棱锥 S-ABC 两直角边分别为 a、b,设 h 为斜边上的高,则 h
中的三条侧棱 SA、SB、SC 两两垂直,且长度分别为 a、b、c,设棱锥底面 ABC 上的高 为 h,则

1 1 1 1 ? 2? 2? 2 2 a b c 答案: h
9、(四川省成都市高 2009 届高中毕业班第一次诊断性检测)设地球半径为 R,甲、乙两地均在 本初子午线(0° 经线)上,且甲地位于北纬 40° ,乙地位于南纬 80° ,则甲乙两地的球面距离为 ___________________. 2πR 答案: 3 10、(江苏省盐城市田家炳中学 09 届高三数学综合练习)在正三棱锥 S ? ABC 中,M、N 分别 是 SC、BC 的中点,且 MN ? AM ,若侧棱 SA ? 2 3 ,则正三棱锥 S ? ABC 外接球的表面积 是 . 答案:36π 11、 (江西省崇仁一中 2009 届高三第四次月考)如图所示, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别是棱 AB、CC1 的中点,△MB1P 的顶点 P 在棱 CC1 与棱 C1D1 上运动, 有以下四个命题: A.平面 MB1P⊥ND1; B.平面 MB1P⊥平面 ND1A1;

D A1
1

C1 B1 N

D A M B

C

C.△MB1P 在底面 ABCD 上的射影图形的面积为定值; D.△MB1P 在侧面 D1C1CD 上的射影图形是三角形. 其中正确命题的序号是 答案:B C 12、(山东省平邑第一中学 2009 届高三元旦竞赛试题)如图,设平面 ? ? ? =EF,AB⊥α ,CD ⊥α ,垂足分别为 B、D. 若增加一个条件,就能推出 BD⊥EF.现有: ①AC⊥β ; ②AC 与α ,β 所成的角相等; ③AC 与 CD 在β 内的射影在同一条直线上; ④AC∥EF. 那么上述几个条件中能成为增加条件的是 .(填上你认为正确的 答案序号). 答案:①③ 13、(天津市汉沽一中 2008~2008 学年度第五次月考)一个正四棱锥的底面边长为 2,侧棱长为

3 ,五个顶点都在同一个球面上,则此球的表面积为
答案:9π

.

14、(四川省成都七中 2009 届高三零诊模拟考试)在三棱锥 P-ABC 中,给出下列四个命题: ① 如果 PA⊥BC,PB⊥AC,那么点 P 在平面 ABC 内的射影是?ABC 的垂心; ② 如果点 P 到?ABC 的三边所在直线的距离都相等, 那么点 P 在平面 ABC 内的射影是?ABC 的内心; ③ 如果棱 PA 和 BC 所成的角为 60?,PA=BC=2,E、F 分别是棱 PB、AC 的中点,那么 EF=1; ④ 如果三棱锥 P-ABC 的各棱长均为 1,则该三棱锥在任意一个平面内的射影的面积都不大于 1 ; 2 ⑤ 如果三棱锥 P-ABC 的四个顶点是半径为 1 的球的内接正四面体的顶点,则 P 与 A 两点间 1 的球面距离为?-arccos . 3 其中正确命题的序号是____________. 答案:①④⑤ 15、(四川省成都市新都一中高 2009 级数学理科 12 月考试题)正三棱锥 P ? ABC 的高为 2,侧 ? 棱与底面 ABC 所成角为 45 ,则点 A 到侧面 PBC 的距离是 .

6 5 5 16、(安徽省巢湖市 2009 届高三第一次教学质量检测)一个圆锥的底面半径为 1 ,它的正视图是
答案: 顶角为 30 的等腰三角形,则该圆锥的外接球的体积是 的半径) 答案:
?

. ( V球 ?

4 ? R 3 ,R 为球 3

32 ? 3

17、(郓城实验中学· 理科)在 1200 的二面角 ? -l-β 内有一点 P,P 在平面 ? 、β 内的射影 A、B 分别落在半平面 ? 、β 内,且 PA=3,PB=4,则 P 到 l 的距离为

答案:

2 39 3

18、(烟台· 理科)已知长方体 ABCD—A1B1C1D1 的外接球的半径为 4,则△AA1B,△ABD,△ AA1D 面积之和的最大值为 。 答案:32 19、(临沂高新区· 理科)已知一圆锥的侧面展开图为半圆,且面积为 S,则圆锥的底面面积是 __________. 答案:

S 2

20、棱长为 1 的正方体在平面 α 内的射影构成的图形面积的取值范围是 3 答案:[1, ] 2 21、(苍山诚信中学· 理科)15.如图,正三角形 P1P2P3,点 A、B、C 分别为 边 P1P2,P2P3,P3P1 的中点,沿 AB、BC、CA 折起,使 P1、P2、P3 三点重合后为点 P,则折 起后二面角 P—AB—C 的余弦值为 1 答案: 3 22、(广东省汕头市潮南区 08-09 学年度第一学期期末高三级质检)某人在地面 A 点处测得高 为 30m 的铁塔顶点 D 的仰角为 45 ,又移到地面 B 点处测得塔顶点 D 的仰角为 60 ,塔 的底部点 C 与 AB 的张角为 30 ,则 A、B 两点的距离为 答案:10 3 23、(江苏省启东中学高三综合测试)与不共面的四点距离都相等的平面共有______个。 答案:7 24、(江苏省启东中学高三综合测试)已知线段 AB 在平面 ? 外,AB 两点到平面 ? 的距离分别 是 1 和 3,则线段 AB 中点到平面 ? 的距离是__________. 答案:1 或 2 25、 (江苏省启东中学高三综合测试)正三棱锥 P-ABC 的四个顶点同在一个半径为 2 的球面上, 若正三棱锥的侧棱长为 2 3,则正三棱锥的底面边长是____________. 答案:3 26、(江苏省启东中学高三综合测试)三棱锥 P-ABC 的四个顶点点在同一球面上,若 PA⊥底 面 ABC , 底 面 ABC 是 直 角 三 角 形 , PA=2, AC=BC=1 , 则 此 球 的 表 面 积 为 。 答案:6? 27、(安徽省皖南八校高三第一次联考)正三棱柱的底面边长为2,高为2,则它的外接球的表
? ? ?

.

面积为______; 答案:

28 ? 3

28、(四川省成都市新都一中 12 月月考)在 120° 的二面角内放置一个半径为 5 的小球,它与二 面角的两个面相切于 A、B 两点,则这两个点在球面上的距离为___________________. 本题考查二面角、球的基本知识及其运用. 解析:设球心为 O,根据几何知识可得∠AOB=180° -120° =60° π 5π 从而 A、B 两点的球面距离为 5× = 3 3 5π 答案: 3 29、 (安徽省巢湖市高三质检)边长为 a 的等边三角形内任一点到三边距离之和为定值, 这个 定值等于 _____;将这个结论推广到空间是:棱长为 a 的正四面体内任一点到各面距离之 和等于 答案:
3 a, 2

.
6 a 3

30、(北京市崇文区统一练习)一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切,已知这个 球的体积是

32 ? ,那么这个三棱柱的体积是 3

.

答案:48 3 31、(北京市东城区综合练习)在三棱锥 P—ABC 中,△ABC 是边长为 6 的等边三角形, PA=PB=PC= 4 3 ,则点 P 到平面 ABC 的距离为 ;若 P,A,B,C 四点在某个球

面上,则球的半径为 . 答案:6;4 32、(北京市海淀区 2008 年高三统一练习一)在北纬 60° 圈上有 A,B 两地,它们在此纬度圈上 的弧长等于 答案:

?R
3

?R ( R 是地球的半径),则 A,B 两地的球面距离为______________. 2

33、(北京市十一学校高三数学练习)已知球 O 的表面积为 16? ,且球心 O 在 60 的二面角

?

? ? l ? ? 内部, 若平面 ? 与球相切于 M 点, 平面 ? 与球相截, 且截面圆 O1 的半径为 3 , P
为圆 O1 的圆周上任意一点,则 M、 P 两点的球面距离的最小值为___ 到 l 的面距离为 _________. 答案: _____;球心 O

2? 2 21 , 3 3

34、(北京市西城区高三抽样测试)已知 A,B,C 三点在球心为 O ,半径为 3 的球面上,且几

何体 O ? ABC 为正四面体,那么 A,B 两点的球面距离为__________;点 O 到平面 ABC 的 距离为__________ . 答案:π; 6 35、 (北京市西城区高三抽样测试)将边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起, 使平面 ACD ⊥平面 ABC ,则折起后 B , D 两点的距离为 ;三棱锥 D — ABC 的体积 是 。 答案:1; 2 12

36、(北京市宣武区高三综合练习)已知 A、B、C、D 是同一个球面上的四点,且每两点之间的 距离都等于 2,则该球的半径是 ,球心到平面 BCD 的距离是 答案:

6 6 , 2 6

37、(东北区三省四市第一次联考)四面体 ABCD 中,共顶点 A 的三条棱两两相互垂直,且其 长分别为 1、 6、 3 ,若四面体的四个顶点同在一个球面上,则这个球的表面积为 答案: 16? 38、(东北三校联考)正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 1,E 为 A1B1 的中点,则下列五个命题: ①点 E 到平面 ABC1D1 的距离为 ; ②直线 BC 与平面 ABC1D1 所成的角等于 45?; ③空间四边形 ABCD1 在正方体六个面内形成六个射影,其面积的最小值是 ; 。

1 2

1 2

④AE 与 DC1 所成的角为 arccos ⑤二面角 A-BD1-C 的大小为

3 10 ; 10

5? . 6

其中真命题是 .(写出所有真命题的序号) 答案:②③④ 39、(福建省厦门市高三质量检查)四面体 ABCD 中,共顶点 A 的三条棱两两相互垂直,且其 长别分为 1、 6、3,若四面体 ABCD 的四个项点同在一个球面上,则这个球的表面积 为 。 答案:16π 40、(福建省仙游一中模拟测试)如图所示,正方形 ABCD 中,E、F 分别是 AB、AD 的中点, 将此正方形沿 EF 折成直二面角后,异面直线 AF 与 BE 所成角的余弦值为 ; 1 答案: 2 41 、 ( 福 建 省 漳 州 一 中 ) 设 A、B、C、D 是 半 径 为 2 的 球 面 上 的 四 个 不 同 点 , 且 满 足

??? ? ??? ? ??? ? ???? ???? ??? ? AB ? AC ? 0 , AC ? AD ? 0 , AD ? AB ? 0 ,用 S1、S2、S3 分别表示△ ABC 、△ ACD 、
.

△ ABD 的面积,则 S1 ? S2 ? S3 的最大值是

答案:8 42、(甘肃省河西五市联考)一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上的三条棱 的长分别为 1,2,3,则此球的表面积为 . 答案:14π 43、(甘肃省兰州一中)已知 A,B 是球 O 球面上两点,在空间直线坐标系中 O(0,0,0), A ( 2 ,?1,1), B(0, 2, 2 ) ,则 A,B 在该球面上的最短距离是 答案:π 44、(广东省深圳市调研考试)在 Rt?ABC 中,两直角边分别为 a 、 b ,设 h 为斜边上的高,则

1 1 1 ? 2 ? 2 ,由此类比:三棱锥 S ? ABC 中的三条侧棱 SA 、 SB 、 SC 两两垂直,且长度分 2 h a b 别为 a 、 b 、 c ,设棱锥底面 ABC 上的高为 h ,则 .
答案:

1 1 1 1 ? 2? 2? 2 2 h a b c

45、(广东实验中学高三第三次段考)球面上有 3 个点,其中任意两点的球面距离都等于大圆周 1 长的 ,经过这 3 个点的小圆的周长为 4π,那么这个球的直径为 6 答案:3 2 46、(贵州省贵阳六中、遵义四中联考)一个与球心距离为 1 的平面截球所得的圆面面积为 ? , 则球的表面积为__________。 答案:8π 47、(安徽省合肥市高三年级第一次质检)如图,正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 ,则下列四个命题: ① P 在直线 BC1 上运动时,三棱锥 A ? D1PC 的体积不变; ② P 在直线 BC1 上运动时,直线 AP 与平面 ACD1 所成角的大小不变; ③ P 在直线 BC1 上运动时,二面角 P ? AD1 ? C 的大小不变; ④M 是平面 A1B1C1D1 上到点 D 和 C1 距离相等的点,则 M 点的轨迹是过 D1 点 的直线 其中真命题的编号是 答案:①③④ 48、 (河南省开封市高三年级第一次质量检)已知直线二面角 ? ? l ? ? 大小为 100°, 过空间一 点 P 作 直 线 m , 若 m 与 ? , ? 所 成 角 都 为 40 ° , 则 这 样 的 直 线 共 有 条 数 为 。 答案:3 49、(河南省濮阳市摸底考试)过球面上 A,B,C 三点的截面和球心的距离等于半径的一半, 且 AB=BC=CA=3,则球的半径是_______________. (写出所有真命题的编号)

答案:2 50、 (黑龙江省哈尔滨九中第三次模拟考试)地球北纬 450 圈上有两点 A、B , 点 A 在东经 1300 处,点 B 在西经 1400 处,若地球半径为 R ,则 A, B 两点的球面距离为 ______________. π 答案: R 3 51 、 ( 湖北省八校高联考 ) 已知体积为 3 的正三棱锥 V ? ABC 的外接球的球心为 O ,满足 ??? ? ??? ? ???? ? OA ? OB ? OC ? 0 , 则该三棱锥外接球的体积为 . 16 答案: ? 3 52、(湖北省鄂州市高考模拟)如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,点 M 在 A 上, 1 且 AM= AB,点 P 在平面 ABCD 上,且动点 P 到直线 A1D1 的距离的平方与 P 到点 3 M 的 距 离 的 平 方 差 为 1 , 在 平 面 直 角 坐 标 系 xAy 中 , 动 点 P 的 轨 迹 方 程 是 . 2 1 答案: y 2 ? x ? 过 P 点作 PQ⊥AD 于 Q,再过 Q 作 QH⊥A1D1 于 H,连 PH,利用 3 9 三垂线定理可证 PH⊥A1D1. 设 P(x,y),∵|PH|2 - |PH|2 = 1,∴x2 +1- [(x ? 化简得 y 2 ?
2 1 x? . 3 9

1 2 2 ) +y ] =1, 3

53、(湖北省黄冈市麻城博达学校 2008 届三月综合测试)下面是关于三棱锥的四个命题: ①底面是等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥; ②底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥; ③底面是等边三角形,侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥; ④侧棱与底面所成的角都相等,且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥. 其中真命题的编号是_____________ 答案:①④ 54 、正三角形 ABC 的边长为 2 ,将它沿高 AD 翻折成直二面角 B ? AD ? C ,则三棱锥 B ? ADC 的外接球的表面积为 。 答案:5π 55、(湖北省随州市高三模拟)三角形 ABC 的 AB 边在平面 ? 内, C 在平面 ? 外, AC 和 BC
? ? ? 分别与面 ? 成 30 和45 的角,且面 ABC 与面 ? 成 60 的二面角,那么 cos?ACB 的值

为 2 2 答案:0 或 3



56、(湖北省武汉市武昌区调研测试)半径为4的球面上有 A、B、C、D 四点,且 AB、AC、 AD 两两互相垂直,则△ABC,△ACD,△ADB 面积之和的最大值是 . 答案:32 57、(吉林省实验中学高三年级第五次模拟考试)关于正四棱锥 P ? ABCD ,给出下列命题: ①异面直线 PA 与 BD 所成的角为直角; ②侧面为锐角三角形; ③侧面与底面所成的二面角大于侧棱与底面所成的角; ④相邻两侧面所成的二面角为钝角。

其中正确命题的序号是 答案:①②③④

.

58、(江苏省南京市高三调研测试)如图,已知一个多面体的平面展开图由一边长为 1 的正方体 和 4 个边长为 1 的正三角形组成,则该多面体的体积是 答案: 2 6 ▲ .

59、(江苏省南通市高三第二次调研考试)有一根长为 6cm,底面半径为 0.5cm 的圆柱型铁管, 用一段铁丝在铁管上缠绕 4 圈,并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端,则铁丝的 长度最少为 ▲ cm. 答案: 36 ? 14π2 说明:本题是由课本例题改编的.关键是要把空间问题转化为平面问题. 60、(江苏省前黄高级中学高三调研)已知 a , b 是两条不重合的直线, ? , ? , ? 是三个两两不重合 的平面,给出下列四个命题: ①若 a ? ? , a ? ? ,则 ? // ? ③若 ? // ? , a ? ? , b ? ? , 则a // b 其中正确命题的序号有________. 答案:①④ 61、(江苏省南通通州市高三年级第二次统一测试)已知 m、n 是两条不重合的直线,α、β、γ 是三个两两不重合的平面,给出下列命题: ①若 m∥β,n∥β,m、n ? α,则 α∥β; ②若 α⊥γ,β⊥γ,α∩β=m,n ? γ,则 m⊥n; ③若 m⊥α,α⊥β,m∥n,则 n∥β; ④若 n∥α,n∥β,α∩β=m,那么 m∥n; 其中所有正确命题的序号是 答案:②④ 62、(江西省鹰潭市高三模拟)空间三条直线中,任何两条不共面,且两两互相垂直,直线 l 与 这三条直线所成的角都为 ? ,则 tan? = 答案: 2 63、(山东省济南市高三统考)一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上的三条 棱的长分别为 2,2,3,则此球的表面积为 答案:17π 64、(山东省郓城一中期末考试)在 120° 的二面角 ? -l-β 内有一点 P,P 在平面 ? 、β 内的射影 A、B 分别落在半平面 ? 、β 内,且 PA=3,PB=4,则 P 到 l 的距离为 答案: . 。 . ②若 ? ? ? , ? ? ? , 则? // ? ④若 ? // ? , ? ? ? ? a, ? ? ? ? b, 则a // b

2 39 3

65、(山西大学附中月考)湖面上漂着一个小球,湖水结冰后将球取出,冰面上留下一个直径为 12cm,深 2cm 的空穴,则该球的表面积为_____________cm2.( S球 ? 4? R2 ) 答案:400π


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