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江西省师大附中、临川一中2017届高三1月联考数学(文)试题 Word版含答案

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2017 届 高三临川一中、师大附中联考 文科数学试题 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题只有一项是符合题目要求 的 1.若复数 z ? A. i

1? i , z 为 z 的共轭复数,则 z 1? i
B. ?i

??

2017

? (
2017

) D. 2
2017

C. ?2

i

i

2 2.已知全集 U ? R , 集合 A ? x x ? x ? 6 ? 0 ,B ? ? x

?

?

? 4? x ? ? 0 ? ,那么集合 A ? ?CU B? ? ? x ?1 ?

( A.



??2, 4?
3

B.

? ?1,3?
2

C.

??2, ?1?


D.

??1,3?

3. 设 a ? log1 2, b ? log 1 3, c ? ( ) A. a ? b ? c

1 3

0.3

,则(

B. b ? c ? a

C.

b?a?c

D. c ? b ? a

4.“微信抢红包”自 2015 年以来异常火爆,在某个微信群某次进行的抢红包活动中,若所发 红包的总金额 为 9 元,被随机分配为 1.49 元,1.31 元,2.19 元,3.40 元,0.61 元,共 5 份,供甲、 乙等 5 人抢,每 人只能抢一次,则甲、乙二人抢到的金额之和不低于 4 元的概率是( A. ) D.

1 2

B.

2 5


C.

3 4

5 6

5. 以下四个命题中,正确的个数是(

①命题“若 f ( x) 是周期函数,则 f ( x) 是三角函数”的否命题是“若 f ( x) 是周期函数,则

f ( x) 不是三
角函数” ;②命题“存在 x ? R, x ? x ? 0 ”的否定是“对于任意 x ? R, x ? x ? 0 ” ;③在
2 2

?ABC 中,
“ sin A ? sin B ” 是 “A?B” 成立的充要条件; ④命题 p : x ? 2 或 y ? 3 , 命题 q : x ? y ? 5 , 则p是
-1-

q 的必要不充分条件;

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

6.已知 f ? x ? 为奇函数,函数 f ? x ? 与 g ? x ? 的图像关于直线 y ? x ? 1 对称,若 g ?1? ? 4 ,则

f ? ?3? ? ( )
A. 2 B. ?2 C.

?1

D. 4

7..如图,网格纸上小正方形边长为 1,粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图,则该多 面体表面积为 A. 10 ? 5 C. 8 ? 5 B. 7 ? 3 5 D. 8 ) ( )

8. 按流程图的程序计算,若开始输入的值为 x ? 3 ,则输出的 x 的值是 ( 计算 x ?

输入 x

x( x ? 1) 的值 2
C. 156

x ? 100?



输出结果 x

否 A. 6 B. 21 D. 231

9. 已知数列 ?an ? 、 ?bn ? 满足 bn ? log2 an , n ? N? ,其中 ?bn ? 是等差数列,且 a9 a2009 ? 4 , 则

b1 ? b2 ? b3 ? .....? b2017 ? (
A.2017 B.4034

) C. log2 2017 D.

2017 2 ? ? ?? ? ? ?? 0 10.在 直 角 ?ABC 中 , ?BCA ? 90 , CA ? CB ? 1 ,P 为 AB 边 上 的 点 A P? ? A B ,若

CP ? AB ? PA? PB ,则

? 的最大值是(
A. 1 B.
2

) C.

2? 2 2

2 2

D.

2

11. 抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,准线为 l , A, B 是抛物线上的两个动点,且满足

-2-

?AFB ?

?
2

.设

线段 AB 的中点 M 在 l 上的投影为 N ,则 B. 3 2

AB MN

的最小值是( )

A. 3

C. 2
x

D. 2

1 1 12. 已知函数 f ( x) ? kx ( ? x ? e 2 ) ,与函数 g ( x) ? ( ) 2 ,若 f ( x) 与 g ( x) 的图象上分别 e e
存在点 M , N , 使得 MN 关于直线 y ? x 对称,则实数 k 的取值范围是( A. [ ? , e] ) . D.

1 e

B.

2 [? ,2e] e

C.

2 ( ? , 2e ) e

3 [? ,3e] e

二、填空题:本大题共 4 小题 ,每小题 5 分,共 20 分。把答案填在题中的横线上。
x 13 .若函数 f ( x ) ? 2 ? 2 ? b 有两个零点,则实数 b 的取值范围是______________.

14 已知变量 x, y 满足约束条件 ? y ? 2 x

?x ? y

? ?6 ? x ? y ?

,则 z ? x ? 2 y 的取值范围是______________ .

15.已知圆 C : x ? y ? 8x ? 15 ? 0 , 若直线 y ? kx ? 2 上至少存在一点, 使得以该点为圆心,
2 2

1 为半径 的圆与圆 C 有公共点,则实数 k 的取值范围为______________. 16. 已知 G 点为 ?ABC 的重心,设△ ABC 的内角 A , B, C 的对边分别为 a , b, c 且满足

BG ? CG ,若
a2 ? ?bc 则实数 ? = cos A
三、解答题:本大题共 6 小题,前 5 题每题 12 分,选考题 10 分,共 70 分,解答应写出必要 的文字说明、证明过程或演算步骤。

b ? ( 3 sin x,? ) , 17. (本小题 12 分) 已知向量 a ? (cos x,?1) , 函数 f ( x) ? (a ? b) ? a ? 2 .
(1)求函数 f ? x ? 的最小正周期及单调递增区间; (2)在 ?ABC 中,三内角 A , B , C 的对边分别为 a, b, c ,已知函数 f ? x ? 的图象经过点

?

?

1 2

-3-

1 ( A, ) , 2

??? ? ??? ? b、a、c 成等差数列,且 AB ? AC ? 9 ,求 a 的值.

18.(本小题满分 12 分) 为了解大学生观看浙江卫视综艺节目“奔跑吧兄弟”是否与性别有 关,一所大学 心理学教师从该校学生中随机抽取了 50 人进行问卷调查,得到了如下的列联表: 喜欢看“奔跑吧兄弟” 女生 男生 合计 10 50 不喜欢看“奔跑吧兄弟” 5 合 计

若该教师采用分层抽样的方法从 50 份问卷调查中继续抽查了 10 份进行重点分析,知道其中 喜欢看“奔跑吧兄弟”的有 6 人. (1)请将上面的列联表补充完整; (2)是否有 99.5%的把握认为喜欢看“奔跑吧兄弟”节目与性别有关?说明你的理由; (3)已知喜欢看“奔跑吧兄弟”的 10 位男生中,A1,A2,A3,A4,A5 还喜欢看新闻,B1,B2,B3 还喜欢看动画片,C1,C2 还喜欢看韩剧,现再从喜欢看新闻、动画片和韩剧的男生中各选出 1 名进行其他方面的调查,求 B1 和 C1 不全被选中的概率. 下面的临界值表供参考:

P(χ 2≥k0) k0
2

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

n?ad-bc?2 (参考公式:χ = ,其中 n=a+b+c+d) ?a+b??c+d??a+c??b+d?
19. (本小题 12 分)如图, ABC ? A1B1C1 是底面边长为 2,高为 的截面与上 底面相交于 PQ , 设 C1P ? ?C1 A . ( ) 1 0 ? ? ?1

3 的正三棱柱,经过 AB 2

Q

B1

C1
C

P B

A1

A

-4-

(1)证明: PQ // A1 B1 ; (2)当 ? ?

1 时,在图中作出点 C 在平面 ABQP 内的正投影 F (说明作法及理由) ,并求四 2

棱锥 CABPQ 表面积

20. ( 本 小 题 12 分 ) 已 知 右 焦 点 为 F 的 椭 圆

M:

x2 y 2 3 ? ? 1(a ? 3) 与直线 y ? 相交于 P 、 2 a 3 7

Q两
点,且 PF ? QF . (1)求椭圆 M 的方程; (2) O 为坐标原点, A , B , C 是椭圆 E 上不同的三点, 并且 O 为 ?ABC 的重心,试探究 ?ABC 的面积是否为定 值, 若是,求出这个定值;若不是,说明理由.

21. (本小题 12 分)已知函数 f ? x ? ? x ? a ln x ,在 x=1 处 的切线与直线 x+2y=0 垂直,函数 g ? x ? ? f ? x ? ? (1)求实数 a 的值; (2)设 x1 , x2 ? x1 ? x2 ? 是函数 g ? x ? 的两个极值点,记 t ? ① t 的取值范围;②求 g ? x1 ? ? g ? x2 ? 的最小值.

1 2 x ? bx . 2

13 x1 ,若 b ? , 3 x2

22. 选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C : ?

? ? x ? 3 cos a ( a 为参数) ,在以原点 O 为极点, x ? ? y ? sin a
-5-

轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为 (1)求圆 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程;

2 ? ? cos(? ? ) ? ?1 . 2 4

(2)过点 M (?1, 0) 且与直线 l 平行的直线 l1 交 C 于 A , B 两点,求点 M 到 A , B 两点的距 离之积. 23.选修 4-5:不等式选讲 (1)设函数 f ( x) ?| x ? 2 | ? | x ? a | ,若关于 x 的不等式 f ( x) ? 3 在 R 上恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)已知正数 x, y , z 满足 x ? 2 y ? 3z ? 1,求

3 2 1 ? ? 的最小值. x y z

参考答案

一、选择题: 题号 答案 1 B 2 D 3 C 4 B 5 C 6 B 7 B 8 D 9 A 10 A 11 C 12 B

二、填空题: 13.

(0, 2)

14. [?6,0]

15. ? ? , 0 ? ? 3 ? 17. 试 题 详 细 分

? 4

?

16.

1 2
析 :

1 3 ?? ? ? ? ? sin 2 x ? sin? 2 x ? ? f ( x) ? (a ? b) ? a ? 2 ?| a |2 ?a ? b ? 2 ? cos2 x ? 2 2 6? ?
(1)最小正周期: T ?

k? ?

?
3

? x ? k? ?

?
6

2? ?? 2

由 2 k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2 k? ?

?
2

(k ? Z ) 得 :

(k ? Z )

-6-

所以 f ( x ) 的单调递增区间为: [k? ? (2)由 f ( A) ?sin(2 A ? ) ?

?
3

, k? ?

?
6

](k ? Z ) ;

6分

?

6

1 ? ? 5? ? ? 2k? (k ? Z ) 所以 A ? , 可得: 2 A ? ? ? 2k? 或 2 6 6 6 3
8分

又因为 b, a, c 成等差数列,所以 2a ? b ? c , 而 AB ? AC ? bc cos A ?

??? ? ????

1 bc ? 9,? bc ? 18 2
12 分

1 (b ? c)2 ? a 2 4a 2 ? a 2 a2 ? cos A ? ? ?1 ? ?1 ? ?1 , ?a ? 3 2 . 2 2bc 36 12

6 18. (1)由分层抽样知识知,喜欢看“奔跑吧兄弟”的同学有 50× =30 人,故不喜欢看“奔 10 跑吧兄弟”的同学有 50-30=20 人,于是可将列联表补充如下: 喜欢看“快乐大本 营” 女生 男生 合计 20 10 30 不喜欢看“快乐大本 营” 5 15 20 合计 25 25 50 (4 分) 50×?20×15-10×5? 2 (2)∵χ = ≈8.333>7.879. 30×20×25×25 ∴有 99.5%的把握认为喜欢看“奔跑吧兄弟”节目与性别有关. (8 分)
2

(3)从喜欢看“奔跑吧兄弟”的 10 位男生中选出喜欢看韩剧、喜欢看新闻、喜欢看动画片的 各 1 名,其一切可能的结果组成的基本事件共有 N=5×3×2=30 个,用 M 表示“B1,C1 不全 被选中”这一事件,则其对立事件 M 表示“B1,C1 全被选中”这一事件, 由于 M 由(A1,B1,C1),(A2,B1,C1),(A3,B1,C1),(A4,B1,C1),(A5,B1,C1)5 个基本事件 5 1 组成,所以 P( M )= = . 30 6 由 对 立 事 件 的 概 率 公 式 得 (12 分) P(M) = 1 - P( M ) = 1 - 1 5 = . 6 6

19. : (I)∵平面 ABC // 平面 A1 B1C1 ,平面 ABC ? 平面 ABQP ? AB ,平面 ABQP ? 平 面 A1 B1C1 ? QP ,? AB // PQ , ,又? AB // A1 B1 ,? PQ // A1 B1 . (5 分)

-7-

(Ⅱ) F 点是 PQ 中点,理由如下: 当? ?

1 时, P, Q 分别是 A1C1 , A1 B1 的中点,连接 CQ 和 CP , 因为 ABC ? A1 B1C1 2
(6 分)
Q

是正三棱柱,所以 CQ ? CP,? CF ? QP , 取 AB 中 点 H , 连 接 FH, CH , CH ? 3 在 等 腰 梯 形 ABQP 中 ,

B1

FH ?

6 2 , CF ? 6 2 ? CF 2 ? FH 2 ? CH 2 ? CF ? FH ,
(9 分)

C1
C

P B

A1

A

连接 CF 中,

? QP ? FH ? H ,? CF ? 平面 ABF,即 CF ? 平面ABQP ,
所以 F 点是 C 在平面 ABQP 内的正投影。

S ? S?CPQ ? S?CPA ? S?CQB ? S PQBA ? S?ABC ? 2 3 ? 6

(12 分)

20. (1)设 F (c,0) , P(t , 2分

t2 3 4 3 3 ) ,则 Q (?t, ) ,? 2 ? ? 1 ,即 t 2 ? a 2 ,①???? 7 a 7 7 7

3 3 9 7 ? 7 ? ?1 2 2 ,即 c ? t ? ? ,②??????????3 分 ? PF ? QF ,? t ? c ?t ? c 7
4 9 ? 由①②得 c 2 ? a 2 ? ? ,又 a 2 ? c 2 ? 3 ,? a 2 ? 4 ,??????????4 分 7 7

? 椭圆 M 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 .??????????5 分 4 3

(2)设直线 AB 方程为: y ? kx ? m ,

?8km ? x1 ? x2 ? ? x2 y 2 ? ? ? 1 ? ? 3 ? 4k 2 2 2 2 ? 由? 4 得 , (3 ? 4 k ) x ? 8 kmx ? 4 m ? 12 ? 0 ? 3 ? y ? y ? 6m ? y ? kx ? m 1 2 ? ? 3 ? 4k 2 ?
???? ??? ? ??? ? 8km ?6m , ) ,??????????7 分 ? O 为重心,? OC ? ?(OA ? OB) ? ( 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2
-8-

8km 2 ?6m 2 ) ( ) 2 2 ? C 点在椭圆 E 上,故有 3 ? 4k ? 3 ? 4k ?1 , 4 3 (
可得 4m2 ? 4k 2 ? 3 ,??????????8 分 而 | AB |? 1 ? k 2 (

?8km 2 4m2 ? 12 2 4 1 ? k 2 ) ? 4( ) ? 12k 2 ? 9 ? 3m2 , 2 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k 3 ? 4k
| 3m | 1? k 2
( 或 利 用 d 是 ( ) 到 AB 距 离 的 3 倍 得

d?

| kxc ? m ? yc | 1? k 2

?

到) ,??????????9 分

? S?ABC ?

1 6|m| 6| m| 9 | AB |?d ? 12k 2 ? 9 ? 3m 2 ? 12m 2 ? 3m 2 ? ,?????? 2 2 2 3 ? 4k 4m 2 9 , 2

???10 分 当直线 AB 斜率不存在时, | AB |? 3 , d ? 3 , S ?ABC ?

? ?ABC 的面积为定值

9 .??????????12 分 2
2分

21. 试题详细分析: f 1 ( x) ? 1 ? a ? 2,即a ? 1 (2)由 g ? x ? ? f ? x ? ?

1 2 x 2 ? (b ? 1) x ? 1 x ? bx g ?( x) ? 2 x ,

4分

g?( x) ? 0, x 2 ? (b ?1) x ? 1 ? 0, 得到x1 ? x2 ? b ?1, x1x2 ? 1

( x1 ? x2 ) 2 x1 x 1 100 ? ? 2 ? 2 ? t ? 2 ? ? (b ? 1) 2 ? x1 x2 x2 x1 t 9

5分

由x1 ? x2即0 ? t ? 1,解上不等式得: 0?t ?

1 9
8分
2

1 1 1 ?t ? 1? ? 0, 1 h(t ) ? ln t ? (t ? ), t ? (0, ] t ? (0, ], h?(t ) ? ? 2 t 9 9 2t 2
1 40 40 h(t ) min ? h( ) ? ? 2 ln 3 ? g ( x1 ) ? g ( x2 )最小值 ? 2 ln 3 9 9 9
22. ( Ⅰ ) 曲 线 C 化 为 普 通 方 程 为 :

10 分

12 分

x2 2 ? ? y2 ? 1 , 由 ? cos(? ? ) ? ?1 , 得 3 2 4

-9-

? cos? ? ? sin ? ? ?2 , 所 以 直 线 l 的 直 角 坐 标 方 程 为 x ? y ? 2 ? 0 .
5分

? 2 t, ? x ? ?1 ? x2 ? 2 (2)直线 l1 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,代入 ? y 2 ? 1化简得: 3 ? y ? 2 t. ? ? 2

2t 2 ? 2t ? 2 ? 0 ,得 t1t2 ? ?1 ,∴ | MA | ? | MB |?| t1t2 |? 1.
23.(1) f ( x) ?| x ? 2 | ? | x ? a |?| x ? 2 ? x ? a |?| a ? 2 | ∵原命题等价于 f ( x) min ? 3 , | a ? 2 |? 3 ,? a ? ?5或a ? 1. (2)由于 x, y, z ? 0 ,所以

10 分

5分

3 2 1 3 2 1 ? ? ? ( x ? 2 y ? 3z )( ? ? ) x y z x y z

?( x

3 2 1 2 ? 2y ? 3z ) ? ( 3 ? 2 ? 3)2 ? 16 ? 8 3 x y z
x 2 y 3z ? ? ,即 x : y : z ? 3: 3 :1 时,等号成立. 3 2 1 x y z
10 分

当且仅当



3 2 1 ? ? 的最小值为 16 ? 8 3 . x y z

- 10 -


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