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【导与练】2015届高三数学(人教,文)一轮专练 :第8篇 第5节 抛物线]

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第 5 节 抛物线

【选题明细表】 知识点、方法 抛物线的定义 抛物线的标准方程 抛物线的几何性质 直线与抛物线的关系 实际应用 题号 1、3、5、6、11 2、6、8 7、9、10 4、12、13、14、15 16

一、选择题 1.(2013 银川模拟)抛物 线 y=2x2 的焦点坐标为( (A) ,0 (B)(1,0) (C) 0, (D) 0, C )

解析:抛物线 y=2x2,即其标准方程为 x2= y,它的焦点坐标是 0, .故选 C. 2.抛物线的焦点为椭圆 + =1 的下焦点,顶点在椭圆中心,则抛物线 方程为( A )

(A)x2=-4 y (B)y2=-4 x (C)x2=-4 y (D)y2=-4 x

解析:由椭圆方程知,a2=9,b2=4,焦点在 y 轴上,下焦点坐标为(0,-c), 其中 c= = ,

∴抛物线焦点坐标为(0,- ), ∴抛物线方程为 x2=-4 y.故选 A. 3.已知抛物线 y2=2px,以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置 关系是( C )

(A)相离 (B)相交 (C)相切 (D)不确定

解析:如图所示,设抛物线焦点弦为 AB,中点为 M,准线为 l, A1、 B1 分别 为 A、B 在直线 l 上的射影,则|AA1|=|AF|,|BB1|=|BF|,于是 M 到 l 的 距离 d= (|AA1|+|BB1|)= (|AF|+|BF|)= |AB|,故圆与抛物线准线相切. 故选 C. 4.(2013 洛阳高三统一考试)已知 F 是抛物线 y2=4x 的焦点,过点 F 的 直线与抛物线交于 A,B 两点,且|AF|=3|BF|,则线段 AB 的中点到该抛 物线准线的距离为( (A) (B) (C) B )

(D)10

解析:设点 A(x1,y1),B(x2,y2), 其中 x1>0,x2>0,

过 A,B 两点的直线方程为 x=my+1, 将 x=my+1 与 y2=4x 联立得 y2-4my-4=0, y1y2=-4, 则由 解得 x1=3,x2= , 故线段 AB 的中点到该抛物线的准线 x=-1 的距离等于 B. 5.已知直线 l1:4x-3y+6=0 和直线 l2:x=-1,抛物线 y2=4x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是( (A)2 (B)3 (C) (D) A ) +1= .故选

解析:如图所示,动点 P 到 l2: x=-1 的距离可转化为点 P 到点 F 的距离. 则 P 到直线 l1 和到直线 l2 的距离之和|PF|+|PM'|≥FM, 即距离和的最小值为点 F 到直线 l1 的距离 d= =2.故选 A.

6.已知 F 是抛物线 y2=x 的焦点,A,B 是该抛物线上的两 点,|AF|+|BF|=3,则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为( C )

(A)

(B)1 (C)

(D)

解析:∵|AF|+|BF|=xA+xB+ =3, ∴xA+xB= . ∴线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 故选 C. 7.设 M (x0,y0)为抛物线 C:x2=8y 上一点,F 为抛物线 C 的焦点,以 F 为 圆心、|FM|为半径的圆和抛物线 C 的准线相交,则 y0 的取值范围是 ( C ) =.

(A)(0,2) (B)[0,2] (C)(2,+∞) (D)[2,+∞) 解析:∵x2=8y,∴焦点 F 的坐标为(0,2), 准线方程为 y=-2. 由抛物线的定义知|MF|=y0+2. 以 F 为圆心、|FM|为半径的圆的标准方程为 x2+(y-2)2=(y0+2)2. 由于以 F 为圆心、|FM|为半径的圆与准线相交,又圆心 F 到准线的距 离为 4, 故 4<y0+2,∴y0>2.故选 C. 二、填空题 8.动直线 l 的倾斜角为 60°,且与抛物线 x2=2py(p>0)交于 A,B 两点, 若 A, B 两点的横坐标之和为 3,则抛物线的方程为 解析:设直线 l 的方程为 y= x+b, .

联立 消去 y, 得 x2=2p( x+b), 即 x2-2 px-2pb=0, ∴x1+x2=2 p=3, ∴p= ,则抛物线的方程为 x2= y. 答案:x2= y 9.以抛物线 x2=16y 的焦点为圆心,且与抛物线的准线相切的圆的方程 为 .

解析:抛物线的焦点为 F(0,4),准线为 y=-4,则圆心为(0,4),半径 r=8. 所以,圆的方程为 x2+(y-4)2=64. 答案:x2+(y-4)2=64 10.(2012 年高考北京卷)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 过抛物线 y2=4x 的焦点 F,且与该抛物线相交于 A,B 两点,其中点 A 在 x 轴上方,若直 线 l 的倾斜角为 60°,则△OAF 的面积为 解析:∵抛物线 y2=4x, ∴焦点 F 的坐标为(1,0). 又∵直线 l 倾斜角为 60°, ∴直线斜率为 , ∴直线方程为 y= (x-1). .

联立方程 解得 或

由已知得 A 的坐标为(3,2 ), ∴S△OAF= |OF|?|yA|= ?1?2 = . 答案: 11.已知点 P 是抛物线 y2=2x 上的动点,点 P 在 y 轴上的射影是 M,点 A ,则|PA|+|PM|的最小值是 .

解析:设点 M 在抛物线的准线上的射影为 M'. 由已知可得抛物线的准线方程为 x=- ,焦点 F 坐标为 求|PA|+|PM|的最小值,可先求|PA|+|PM'|的最小值. 由抛物线的定义可知,|PM'|=|PF|, 所以|PA|+|PF|=|PA|+|PM'|,当点 A、P、F 在一条直线上时, |PA|+|PF|有最小值|AF|=5, 所以|PA|+|PM'|≥5, 又因为|PM'|=|PM|+ , 所以|PA|+|PM|≥5- = . 答案: .

12.设抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,直线 l 过 F 且与 C 交于 A,B 两点. 若|AF|=3|BF|,则 l 的方程为 解析:设 A(x1,y1),B(x2,y2), 又 F(1,0), 则 =(1-x1,-y1), =(x2-1,y2), 由题意知 =3 , 因此 即 又由 A、B 均在抛物线上知 解得 直线 l 的斜率为 =± , .

因此直线 l 的方程为 y= (x-1)或 y=- (x-1). 答案:y= (x-1)或 y=- (x-1) 13.设抛物线 y2=4x 的焦点为 F,过点 M(-1,0)的直线在第一象限交抛 物线于 A、B,且 ? =0,则直线 AB 的斜率 k 等于 解析:焦点 F(1,0),设 A(x1,y1),B(x2,y2), 由题意可设直线 AB 为 y=k(x+1), .

代入 y2=4x 中, 得 k2(x2+2x+1)=4x, k2x2+(2k2-4)x+k2=0, 则 x1+x2= x1?x2=1. 又 ? =(1-x1)(1-x2)+y1y2=1-(x1+x2)+x1x2+2 0, ∴k= 或 k=- (舍去). 答案: 三、解答题 14.若抛物线 y=2x2 上的两点 A(x1,y1)、B(x2,y2)关于直线 l:y=x+m 对 称,且 x1x2=- ,求实数 m 的值. ?2 =1+1+4?1= ,

解:法一

如图所示,连接 AB,

∵A、B 两点关于直线 l 对称, ∴AB⊥l,且 AB 中点 M(x0,y0)在直线 l 上.

可设 lAB:y=-x+n, 由 得 2x2+x-n=0,

∴x 1+x2=- ,x1x2=- . 由 x1x2=- ,得 n=1. 又 x0= =- ,

y0=-x0+n= +1= , 即点 M 为 ,

由点 M 在直线 l 上,得 =- +m, ∴m= . 法二 ∴ ∴y1-y2=2(x1+x2)(x1-x2). 设 AB 中点 M(x0,y0), 则 x1+x2=2x0,kAB= =4x0. ∵A、B 两点在抛物线 y=2x2 上.

又 AB⊥l,∴kAB=-1,从而 x0=- . 又点 M 在 l 上,

∴y0=x0+m=m- , 即M , =,

∴AB 的方程是 y即 y=-x+m- , 代入 y=2x2, 得 2x2+x=0,

∴x1x2=- =- , ∴m= . 15.已知过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点,斜率为 2 的直线交抛物线于 A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点,且|AB|=9. (1)求该抛物线的方程; (2)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若 = +λ 解:(1)直线 AB 的方程是 y=2 从而有 4x2-5px+p2=0, 所以 x1+x2= . 由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=9, 所以 p=4,从而抛物线方程是 y2=8x. ,求λ 的值.

x- ,与 y2=2px 联立,

(2)由 p=4 知 4x2-5px+p2=0 可化为 x2-5x+4=0, 从而 x1=1,x2 =4, y1=-2 ,y2=4 , 从而 A(1,-2 ),B(4,4 ). 设 =(x3,y3)=(1,-2 )+λ (4,4 ) =(4λ +1,4 λ -2 ), 即 C(4λ +1,4 λ -2 ), 所以[2 (2λ -1)]2=8(4λ +1),

即(2λ -1)2=4λ +1, 解得λ =0 或λ =2. 16.

海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以 正北方向为 y 轴正方向建立平面直角坐标系(以 1 海里为单位长度), 则救援船恰好在失事船正南方向 12 海里 A 处,如图.现假设:①失事船 的移动路径可视为抛物线 y= x2;②定位后救援船即刻沿直线匀速前 往救援;③救援船出发 t 小时后,失事船所在位置的横坐标为 7t.

(1)当 t=0.5 时,写出失事船所在位置 P 的纵坐标.若此时两船恰好会 合,求救援船速度的大小. (2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船? 解:(1)t=0.5 时,P 的横坐标 xP=7t= , 代入抛物线方程 y= x2, 得 P 的纵坐标 yP=3, 即 P ,3 ,A(0,-12), 则|AP|= , 海里/时.

得救援船速度的大小为

(2)设救援船的时速为 v 海里,经过 t 小时追上失事船,此时位置为 (7t,12t2). 由 vt= ,

整理得 v2=144 t2+ +337. 因为 t2+ ≥2,当且仅当 t=1 时等号成立, 所以 v2≥144?2+337=252,即 v≥25. 因此,救援船的时速至少是 25 海里才能追上失事船.


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