nbhkdz.com冰点文库

上海市华东师范大学第二附属中学2018届高三下学期开学考试数学试题附答案解析

时间:

华二附中高三年级第二学期开学考数学试卷 2018.03

一.填空题

1.设全集 ,若集合



,则

______

【答案】

【解析】

【分析】

先求出 ,再求

得解.

【详解】由题得 ={···,-3,-2,2,3,4,5,···},所以

.

故答案为:

【点睛】本题主要考查集合补集和交集的运算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

2.计算:

______

【答案】 【解析】 【分析】 设

,求出

,即得解.

【详解】∵

,设

.

所以

所以

.

所以

.

故答案为:

【点睛】本题主要考查反三角函数的计算,考查同角的三角函数的关系,意在考查学生对这些知识的理解掌握

水平和分析推理计算能力.

3.已知向量



,则

________

【答案】13

【解析】

【分析】

由题得

,即得

.

【详解】由题得

,∴

.

故答案为:13

-1-

【点睛】本题主要考查空间向量的坐标运算和空间向量的模的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平 和分析推理计算能力.

4.如果复数 满足

,那么 ________

【答案】1 【解析】 【分析】 由题得

,所以方程没有实数根,由求根公式求出 z 的值,再求|z|的大小得解.

【详解】∵

,所以

,所以方程没有实数根,

故答案为:1

【点睛】本题主要考查复数方程的解法和复数模的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理

计算能力.

5.

( )的反函数

________

【答案】

()

【解析】

【分析】



( ),求出

,再求出原函数的值域即得反函数

.

【详解】设

( ),所以



因为 x≥0,所以

,所以

.

因为 x≥0,所以 y≥0,所以反函数



.

故答案为:



【点睛】本题主要考查反函数的求法,考查函数的值域的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分

析推理计算能力.

6.方程

的解为 ________

【答案】2

【解析】

【分析】

由题得

,即

,解方程再检验即得解.

【详解】
-2-

经检验,当 x=-10 时,原方程没有意义,x=2 是原方程的解. 故答案为:2 【点睛】本题主要考查对数函数的运算和对数方程的解法,考查对数函数的定义域,意在考查学生对这些知识 的理解掌握水平和分析推理计算能力.

7.在

的二项展开式中,所有项的系数之和为 81,则常数项为________

【答案】8 【解析】 【分析】 由题得

,所以 n=4,再利用二项式展开式的通项求常数项得解.

【详解】由题得

,所以 n=4, 二项展开式的通项为





.

所以常数项为

.

故答案为:8 【点睛】本题主要考查二项式展开式的系数和问题,考查二项式展开式特定项的求法,意在考查学生对这些知 识的理解掌握水平和分析推理计算能力. 8.已知离心率为 2 的双曲线的焦点到最近准线的距离等于 3,则该双曲线的焦距为________ 【答案】8 【解析】 【分析】

,且

,解方程组即得 , ,即得双曲线的焦距.

【详解】

,且

,∴ , ,所以该双曲线的焦距为 8.

故答案为:8 【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.

9.已知一个圆柱的表面积和体积都等于 ,则其轴截面的面积为________

【答案】36

【解析】

【分析】

由题得

, ,再求其轴截面的面积.

-3-

【详解】由题得

, ,所以

.

故答案为:36

【点睛】本题主要考查圆柱的表面积和体积的计算,考查圆柱轴截面的面积的计算,意在考查学生对这些知识

的理解掌握水平和分析推理计算能力.

10.胡涂涂同学用一颗均匀的骰子来定义递推数列 ,首先,他令 ,当 时,他投一次骰子,若所

得点数大于 ,即令

,否则,令

,则 的概率为______(结果用最简分数表示).

【答案】

【解析】

【分析】

胡涂涂同学掷了 3 轮,要使得

,分两种情况讨论,再利用古典概型求

的概率.

【详解】胡涂涂同学掷了 3 轮,要使得 ,有两种情况,① 一轮点数为 1,二轮点数为 1、2、3、4、5、6,

三轮点数为 1;② 一轮点数为 2、3、4、5、6,二轮点数为 1、2,三轮点数为 1;

∴由古典概型得所求的概率为

.

故答案为: 【点睛】本题主要考查排列组合的应用,考查古典概型,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理 计算能力. 11.已知用“斜二测”画图法画一个水平放置的圆时,所得图形是椭圆,则该椭圆的离心率为_______ 【答案】 【解析】 【分析】 为了简化问题,我们可以设单位圆 x?+y?=1,先求出单位圆直观图的方程(x-y)?+8y?=1. 画出圆的外切正方形, 和椭圆的外切平行四边形,椭圆经过了适当旋转,OC 即为椭圆的 a,OD 即为椭圆的 b,根据椭圆上的点到原点 的距离最大为 a,最小为 b,我们可以求出 a 和 b,从而推导出离心率. 【详解】为了简化问题,我们可以设单位圆 x?+y?=1,即圆上的点 P(cosθ ,sinθ ),第一步变换,到它在 x 轴的投影的距离缩短一半,即 (cosθ ,0.5sinθ ),第二步变换,绕着投影点顺时针旋转 45°,即 (cosθ + sinθ , sinθ ),所以据此得到单位圆的直观图的参数方程为,x=cosθ + sinθ ,y= sinθ , θ 为参数,消去参数可得方程为,(x-y)?+8y?=1.

-4-

得到单位圆的直观图后,和上面一样,我们画出圆的外切正方形,和椭圆的外切平行四边形,当然就相当完美 了!A、B 处均与椭圆相切,并且可以轻易发现,椭圆的长轴其实已经不在 x 轴上了

该椭圆经过了适当旋转,OC 即为椭圆的 a,OD 即为椭圆的 b,根据椭圆上的点到原点的距离最大为 a,最小为 b,我们可以求出 a 和 b,从而推导出离心率.

椭圆上的点(cosθ + sinθ , sinθ )到原点的距离的平方为

=



-5-

所以



所以

故答案为:

【点睛】本题主要考查直观图的画法,考查圆的直观图的方程的求法,考查三角恒等变换和三角函数的最值, 考查椭圆离心率的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

12.设 , 、 R,关于函数

( )的下列结论:① 是

的零点;② 时,

函数

取得最小值;③函数

的最小值是 3;④

中有且仅有一个是错误的,则

【答案】-17

【解析】

【分析】

根据假设法推理可知,①错误,②③④正确,所以

,且



________



,解方程组得

.

【详解】根据假设法推理可知,①错误,②③④正确,由②得

,(因为如果 ac<0,则函数在定义域内

没有最小值,如果 a<0,c<0,则函数在定义域内也没有最小值.)且





,解方程组

得,

.

故答案为:-17

【点睛】本题主要考查分析推理,考查函数的图像和性质,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推

理能力.

二.选择题

13.已知无穷等比数列 的各项的和为 ,则“

”是“ ”的( )

A. 充要条件

B. 充分非必要条件

C. 必要非充分条件

D. 既非充分也非必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】

先根据已知得



,所以

,因为 S<0,所以 0.再利用充要条件的定义判断得解.

【详解】由题得



-6-

,∴

,因为 S<0,所以 0.

∴“ ”是“ ”的是充要条件. 故答案为:A 【点睛】本题主要考查无穷等比数列的前 n 项和,考查充要条件的判断,意在考查学生对这些知识的理解掌握 水平和分析推理能力.

14.已知关于 、 的方程组:

(其中 、 )无解,则必有( )

A.

B.

C.

D.

【答案】B

【解析】

【分析】

由方程组得 x+b(1-ax)=1,所以(1-ab)x=1-b 无解.所以当 ab=1,且 a,b 不同时为 1,其中 、 ,再利用基

本不等式分析得解.

【详解】由方程组得 x+b(1-ax)=1,所以方程(1-ab)x=1-b 无解.

所以当 ab=1,且 a,b 不同时为 1,其中 、 ,



,即

.

故选:B

【点睛】本题主要考查基本不等式,考查解方程,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

15.已知

,则函数

( R)与

( R)图像的交点不可能( )

A. 只有

B. 在直线



C. 多于三个

D. 在第二象限

【答案】C

【解析】

【分析】

结合函数

( R)与

( R)图像与单调性,分四个象限讨论每一个象限交点的最多个数得解.

【详解】结合函数

( R)与

( R)图像与单调性可知,在第一象限,最多有 2 个交点,在第

二象限,最多有 1 个交点,在第三、第四象限,因为函数

( R)在第三、四象限没有图像,所以它们

的图像在第三、四象限没有交点,∴最多只有 3 个交点.

故选:C

【点睛】本题主要考查幂函数和指数函数的图像和性质,考查函数的图像的交点问题,意在考查学生对这些知

识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.

16.已知

是周期为 4 的奇函数,且当

时,

,方程

在区间 内有唯

一解
-7-

,则方程

在区间

上所有解的和为( )

A. 【答案】D 【解析】 【分析】

B. 036162

在同一个坐标系下作出函数 y=

称性,所以在区间

上所有解的和为

C. 3053234 的图像,分析得到在

D. 3055252

均有三个解,

,且均有对 ,

【详解】

结合图像对称性,可知,在(0,2 上有三个交点,左边两个交点的横坐标的和为 2×1=2,第三个交点的横坐标

为 2,所以在(0,2 上的三个解的和为 2+2=4,

在(2,4 上有三个交点,左边两个交点的横坐标的和为 2×3=6,第三个交点的横坐标为 4,所以在(2,4 上

的三个解的和为 6+4=10,

所以结合图像对称性,可知,在

均有三个解, ,且均有对称性,

∴在区间

上所有解的和为



故选:D

【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质,考查函数的奇偶性、周期性和对称性,考查函数的零点问题,

考查等差数列求和,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.

三.解答题

17.如图,三棱锥

中, 、 、 、 均为直角,



.

(1)求三棱锥

的体积;

(2)求异面直线 与 所成角的大小.

-8-

【答案】(1) (2)

【解析】 【分析】

(1)由题得 AB⊥平面 BCD,先求出

,再求出三棱锥

的体积.(2) 以点 B 为坐标原点,以 BD 所

在的直线为 y 轴,以 BA 所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系,利用向量法求异面直线 与 所成角的大小.

【详解】(1)由题得 AB⊥平面 BCD,AD=

,BD=



所以

,所以三棱锥

的体积

.

(2)

如图所示,以点 B 为坐标原点,以 BD 所在的直线为 y 轴,以 BA 所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系,则

B(0,0,0),A(0,0,1),

,

所以

,

所以异面直线 与 所成角的余弦



∴异面直线 与 所成角为

.

【点睛】本题主要考查三棱锥体积的计算,考查异面直线所成的角的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌 握水平和空间观察想象分析推理能力.

-9-

18.设 R,函数

.

(1)若

,解不等式



(2)求所有的 ,使得 在区间 上单调递增.

【答案】(1)

【解析】 【分析】 (1)由题得







(2)若

(2)

,数形结合分析得到使得 在区间







1

,即

,二次函数 y=

再 解 不 等 式 得 解 .(2) 分 类 讨 论 ,

上单调递增的 a 的取值范围.









.

,在

区间 若 当

上单调递增.∴ ,即














,明显符合,所以此时

综上,

.

【点睛】本题主要考查对数函数的图像和性质,考查对数函数不等式的解法,考查函数的单调性,意在考查学 生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力. 19.如图,某小区要建四边形的花坛 ,两邻边用夹角为 150°的两面墙,另两边是长度均为 8 米的篱笆 、
.

(1)若



平方米,求 的长(结果精确到 0.01 米);

(2)若要求

,求花坛 面积的最大值(结果精确到 0.01 平方米).

【答案】(1)10.05 (2)

平方米

【解析】
- 10 -

【分析】

(1)设

,由正弦定理得

,即

①,因为

即得解.(2) 连接 BD,显然 积的最大值.

,再利用余弦定理和基本不等式求出

【详解】(1)设

,由正弦定理得

,∴



所以

②,解①②

,再求花坛 面

因为

所以

②,

解①②得

.

所以由正弦定理得

.

(2)连接 BD,显然

,

,

由余弦定理得



,即最大值为 平方米.

【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形,考查三角形面积的计算和最值,考查基本不等式,意在考

查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

20.已知抛物线

,直线





), 与 恰有一个公共点 , 与

恰有一个公共点 , 与 交于点 .

(1)当 时,求点 到 准线的距离;

(2)当 与 不垂直时,求 的取值范围;

(3)设 是平面上一点,满足



,求 和 的夹角大小.

【答案】(1) (2)

(3)

【解析】 【分析】 (1)



,因为 与 恰有一个公共点 ,,所以

线的准线方程和点 到 准线的距离.(2)由

可得

,再求出抛物 ,所以

.(3) 由 题 得

, 联立 与 得

,联立 与 得

,再求出

,根据

,求得



解方程 【详解】(1)
- 11 -



,所以



,即得 和 的夹角为 . ,

∵ 与 恰有一个公共点 ,,∴



因为抛物线 准线为

,所以点 到 准线的距离

.

(2)由 可得



,消去 得,

整理得

,∴

(3)由题得

, 联立 与 得

,联立 与 得





,∴

,与 联立得



由第(2)问结论,



,消去 a 得





,∵

,据此





,解得



,∴ 和 的夹角为 .

【点睛】本题主要考查直线的位置关系,考查直线和抛物线的位置关系,考查平面向量的运算和直线夹角的计

算,考查基本不等式,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.

21.设

,若数列 满足:对所有



,且当

时,

,则称 为“ 数

列”,设 R,函数

,数列 满足





).

(1)若 ,而 是 数列,求 的值;

(2)设 (3)设

,证明:存在 ,证明:对任意

,使得 是 数列,但对任意



,都存在

,使得 是 数列.

都不是 数列;

【答案】(1)

(2)见证明;(3)见证明

【解析】 【分析】

(1)



,分

两种情况讨论得到 .(2) 先证明当

,只需

,即

满足

,且当



,所以是 数列,

,所以不是 数列;再证明当



只需

,即满足

,且当



,所以是 数列,

,所以不是 数列.(3)通过

归纳得到:当 m 为奇数,在



有解,存在



当 m 为偶数,在



有解,存在

.再结合函数映射性

- 12 -

质可知,当 【详解】(1)

时,

,所以对任意



,当



,都存在

,使得 是 数列.











,不符;综上所述, .

(2)当









,…,既不是 数列,也不是 数列;











,…,既不是 数列,也不是 数列;











,…,既不是 数列,也不是 数列;













,…,只需 ,

即满足

,且当



,∴是 数列,

,∴不是 数列;













,…,只需 ,

即满足 综上,存在

,且当 ,使得



,∴是 数列,

是 数列,但对任意



,∴不是 数列; 都不是 数列.

(3) ,当



有解,存在



,当



有解,存在



,当



有解,存在



,当



……,

当 m 为奇数,在

有解,存在





有解,存在



当 m 为偶数,在



有解,存在



结合函数映射性质可知,当

时,



∴对任意

,都存在

,使得 是 数列.

【点睛】本题主要考查对新定义的理解掌握,考查利用新定义解决问题的能力,考查数列性质的运用和证明,

意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

- 13 -

- 14 -


上海市华东师范大学第二附属中学2018届高三下学期开学....doc

上海市华东师范大学第二附属中学2018届高三下学期开学考试数学试题附答案解析 -

2018届上海市华东师范大学第二附属中学高三下学期开学....pdf

2018届上海市华东师范大学第二附属中学高三下学期开学考试数学试题(解析版) - 2018 届上海市华东师范大学第二附属中学高三下学期开学考 试数学试题 一、单选题 1....

...附属中学2018届高三下学期开学考试数学试题(解析版)....doc

上海市华东师范大学第二附属中学2018届高三下学期开学考试数学试题(解析版) - 华二附中高三年级第二学期开学考数学试卷 2018.03 一.填空题 1.设全集 【答案】 ...

2018届上海市华东师范大学第二附属中学高三下学期开学....doc

2018届上海市华东师范大学第二附属中学高三下学期开学考试数学试题(解析版)_高三...则该椭圆的离心 率为___ 【答案】 【解析】为了简化问题,我们可以设单位圆...

上海市华东师范大学第二附属中学2018届高三下学期开学....doc

上海市华东师范大学第二附属中学2018届高三下学期开学考试数学试题(原卷版) - 华二附中高三年级第二学期开学考数学试卷 2018.03 一.填空题 1.设全集 2.计算: ...

上海市华东师范大学第二附属中学2018届高三上学期开学....doc

上海市华东师范大学第二附属中学2018届高三学期开学摸底考试数学试题+Word版含答案 - 华东师大二附中 2018 届阶段测试(数学) (满分 180 分,时间 120 分钟) 一...

上海市华东师范大学第二附属中学2018届高三上学期开学....doc

上海市华东师范大学第二附属中学2018届高三学期开学摸底考试数学试题Word版含答案 - 华东师大二附中 2018 届阶段测试(数学) (满分 180 分,时间 120 分钟) 一...

上海市华东师范大学第二附属中学2018届高三上学期开学....pdf

上海市华东师范大学第二附属中学2018届高三学期开学摸底考试数学试题 - 华东

上海市华东师范大学第二附属中学2018届高三上学期开学....pdf

上海市华东师范大学第二附属中学2018届高三学期开学摸底考试数学试题+pdf版含答案 - 华二附中高三开学考 2017.9 一. 填空题 1. 已知集合 A ? {1, 2} ,...

...2018学年上海市华东师范大学第二附属中学高三数学上....doc

2017-2018学年上海市华东师范大学第二附属中学高三数学开学摸底考试试题(含答案) - 华东师大二附中 2018 届阶段测试(数学) (满分 180 分,时间 120 分钟) 一...

2018届上海市华东师范大学第二附属中学高三上学期开学....doc

2018届上海市华东师范大学第二附属中学高三学期开学摸底考试数学试题(1) - 华东师大二附中 2018 届阶段测试(数学) (满分 180 分,时间 120 分钟) 一、填空题...

2018届上海市华东师范大学第二附属中学高三上学期开学....doc

2018届上海市华东师范大学第二附属中学高三学期开学摸底考试数学试题 - 华东师大二附中 2018 届阶段测试(数学) (满分 180 分,时间 120 分钟) 一、填空题(本...

上海市华东师范大学第二附属中学2018届高三下学期开学....doc

上海市华东师范大学第二附属中学2018届高三下学期开学考试数学试题附答案解析 -

上海市华东师范大学第二附属中学2018届高三上学期期中....doc

上海市华东师范大学第二附属中学2018届高三学期期中考试数学试题答案 -

上海市华东师范大学第二附属中学2019届高三年级第二学....doc

上海市华东师范大学第二附属中学2019届高三年级第二学期开学数学试卷(简略答案) - 华二附中 2019 届高三年级第二学期开学数学试卷 注意事项: 1. 答卷前,...

上海市华东师范大学第二附属中学2018-2019学年高一下学....doc

上海市华东师范大学第二附属中学2018-2019学年高一下学期3月阶段测数学试题附答案解析_数学_高中教育_教育专区。华东师范大学二附中 2021 届高一下学期数学 3 月...

上海市华东师范大学第二附属中学2018-2019学年高三上学....doc

上海市华东师范大学第二附属中学2018-2019学年高三学期期中考试数学试题 Word版含答案 (2) - 最新试卷多少汗水曾洒下,多少期待曾播种,终是在高考交卷的一刹...

上海市华东师范大学第二附属中学2018-2019学年高三下质....pdf

上海市华东师范大学第二附属中学2018-2019学年高三下质量调研数学试题 - 华东师大二附中 2018-2019 学年第二学期高三年级质量调研数学试卷 一、填空题 1.行列式 ...

上海市华东师范大学第二附属中学2018-2019学年高二下学....doc

上海市华东师范大学第二附属中学2018-2019学年高二下学期3月月考数学试题(精编...(2) 与平面 所成的角. 【答案】(1) ;(2) ; 【解析】 【分析】 (1)...

上海市华东师范大学第二附属中学2018届高三上学期开学....doc

上海市华东师范大学第二附属中学2018届高三学期开学摸底考试数学试题 - 华东