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第二章2.1-2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系

时间:2016-10-28


第二章 2.1 2.1.2

点、直线、平面之间的位置关系

空间点、直线、平面之间的位置关系 空间中直线与直线之间的位置关系
A级 基础巩固

一、选择题 1.已知空间两个角 α,β ,α 与 β 的两边对应平行,且 α= 60°,则 β=( A.60° C.30° ) B.120° D.60°或 120°

解析:由等角定理,知 β 与 α 相等或互补,故 β=60°或 120°. 答案:D 2.在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,异面直线 BA1 与 CC1 所成的 角为( ) B.45° D.90°

A.30° C.60°

解析:如图所示,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,BB1∥CC1,故 ∠B1BA1 就是异面直线 BA1 与 CC1 所成的角,故为 45°.

答案:B 3.如图所示,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,E,F 分别是 AB, AD 的中点,则异面直线 B1C 与 EF 所成的角的大小为( )

A.30° C.60°

B.45° D.90°

解析: 连接 BD, B1D1, D1C 知△D1B1C 是等边三角形, 所以 D1B1 与 B1C 所成角为 60°,故 B1C 与 EF 所成角也是 60° 答案:C 4.空间四边形 ABCD 中,AB,BC,CD 的中点分别是 P,Q, R,且 PQ=2,QR= 5,PR=3,那么异面直线 AC 和 BD 所成的角 是( ) A.90° C.45° B.60° D.30°

解析:由已知得∠PQR=90°,又 AC∥PQ,BD∥QR, 所以异面直线 AC 与 BD 所成角即∠PQR. 答案:A 5.三棱锥的对角线互相垂直相等,顺次连接这个四边形各边中 点,所组成的四边形是( A.梯形 C.平行四边形 ) B.矩形 D.正方形

解析:如图所示,因为 BD⊥AC,且 BD=AC,又因为 E,F, 1 1 G, H 分别为对应边的中点, 所以 FG 綊 EH 綊 BD, HG 綊 EF 綊 AC. 2 2 所以 FG⊥HG,且 FG=HG.所以四边形 EFGH 为正方形.

答案:D 二、填空题 6. 在四棱锥 PABCD 中, 各棱所在的直线互相异面的有________ 对. 解析:以底边所在直线为准进行考查,因为四边形 ABCD 是平 面图形,4 条边在同一平面内,不可能组成异面直线,而每一边所在 直线能与 2 条侧棱组成 2 对异面直线, 所以共有 4×2=8 对异面直线. 答案:8 7.若 AB∥A′B′,AC∥A′C′,有下列结论: ①∠BAC=∠B′A′C′; ②∠ABC+∠A′B′C′=180°; ③∠ACB=∠A′C′B′或∠ACB+∠A′C′B′=180°. 则一定成立的是________(填序号). 解析:因为 AB∥A′B′,AC∥A′C′, 所以∠ACB=∠A′C′B′或∠ACB+∠A′C′B′=180° 答案:③ 8.已知正方体 ABCDA1B1C1D1 中,E 为 C1D1 的中点,则异面 直线 AE 与 BC 所成角的余弦值为________. 解析:在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,AD∥BC,所以 AE 与 AD 所成的角即为 AE 与 BC 所成的角,即是∠EAD.连接 DE, 在 Rt△ADE 中,设 AD=a,则 DE= 5 a,AE= AD2+DE2= 2

3 2 2 a,故 cos∠EAD= .所以异面直线 AE 与 BC 所成角的余弦值为 . 2 3 3

答案:

2 3

三、解答题 9.在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,求 A1B 与 B1D1 所成的角.

解:如图,连接 BD,A1D. 因为 ABCDA1B1C1D1 是正方体, 所以 DD1 綊 BB1, 所以四边形 DBB1D1 为平行四边形, 所以 BD∥B1D1. 因为 A1B,BD,A1D 是全等的正方形的对角线, 所以 A1B=BD=A1D, △A1BD 是正三角形, 所以∠A1BD=60°. 因为∠A1BD 是锐角. 所以∠A1BD 是异面直线 A1B 与 B1D1 所成的角, 所以 A1B 与 B1D1 所在的角为 60°. 10.在空间四边形 ABCD 中,AB=CD,AB 与 CD 成 30°角, E,F 分别为 BC,AD 的中点,求 EF 与 AB 所成的角. 解:取 BD 的中点 G,连接 EG,FG, 因为 E,F 分别为 BC,AD 的中点, 1 1 所以 EG 綊 CD,GF 綊 AB. 2 2

所以 EG 与 GF 所成的角即为 AB 与 CD 所成的角. 因为 AB=CD, 所以△EFG 为等腰三角形. 又 AB 与 CD 所成角为 30°, 所以∠EGF=30°或 150°. 因为∠GFE 就是 EF 与 AB 所成的角, 所以 EF 与 AB 所成角为 75°或 15°. B级 能力提升

1.在三棱锥 ABCD 中,AB,BC,CD 的中点分别是 P,Q,R, 且 PQ=2,QR= 5,PR=3,那么异面直线 AC 和 BD 所成的角是 ( ) A.90° C.45° B.60° D.30°

1 1 解析:如图所示,因为 PQ 綊 AC,QR 綊 BD,所以∠PQR 为 2 2

异面直线 AC 与 BD 所成的角或其补角,PQ=2.QR= 5,PR= 3,有 PQ2+QR2=PR2.由勾股定理,得∠PQR=90°. 答案:A 2.一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结

论: ①AB⊥EF;②AB 与 CM 所成的角为 60°;③EF 与 MN 是异 面直线;④MN∥CD.

以上结论中正确的序号为________. 解析:把正方体的平面展开图还原成原来的正方体,如图所示, AB⊥EF,EF 与 MN 是异面直线,AB∥CM,MN⊥CD,只有①③ 正确.

答案:①③ 3.如图所示,E,F,G,H 分别是三棱锥 ABCD 各边上的点, 且有 AE∶EB=AH∶HD=m,CF∶FB=CG∶GD=n.

(1)证明:E,F,G,H 四点共面. (2)m,n 满足什么条件时,四边形 EFGH 是平行四边形? (3)在(2)的条件下,若 AC⊥BD,试证明:EG=FH. (1)证明:因为 AE∶EB=AH∶HD,所以 EH∥BD. 又因为 CF∶FB=CG∶GD,所以 FG∥DB. 所以 EH∥FG.

所以 E,F,G,H 四点共面. (2)解:当且仅当 EH∥FG,EH=FG 时,四边形 EFGH 为平行 四边形. 因为 EH AE m m = = ,所以 EH= BD. BD AE+EB m+1 m+1 n BD,由 EH=FG,得 m=n. n+1

同理 FG=

故当 m=n 时,四边形 EFGH 为平行四边形. (3)证明:当 m=n 时,AE∶EB=CF∶FB, 所以 EF∥AC. 又因为 AC⊥BD,而∠FEH 是 AC 与 BD 所成的角, 所以∠FEH=90°,从而平行四边形 EFGH 为矩形, 所以 EG=FH.


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