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高中数学选修2-2第1章《导数及其应用》单元测试题[1]

时间:2013-01-27


选修 2-2 第一章《导数及其应用》单元测试题
一、选择题:(每小题有且只有一个答案正确,每小题 5 分,共 50 分) 1.下列结论中正确的是( ) A.导数为零的点一定是极值点 B.如果在 x 0 附近的左侧 f ' ( x ) ? 0 ,右侧 f ' ( x ) ? 0 ,那么 f ( x 0 ) 是极大值 C.如果在 x 0 附近的左侧 f ' ( x ) ? 0 ,右侧 f ' ( x ) ? 0 ,那么 f ( x 0 ) 是极小值 D.如果在 x 0 附近的左侧 f ' ( x ) ? 0 ,右侧 f ' ( x ) ? 0 ,那么 f ( x 0 ) 是极大值 2. 已知函数 f ( x ) ? ax A.1
2

? c ,且 f ? (1) =2,则 a 的值为(

) D.0

B. 2

C.-1

3. f ( x ) 与 g ( x ) 是定义在 R 上的两个可导函数,若 f ( x ) 与 g ( x ) 满足 f ? ( x ) ? g ? ( x ) ,则 f ( x ) 与 g ( x ) 满 足( ) B. f ( x ) ? g ( x ) 为常数函数 D. f ( x ) ? g ( x ) 为常数函数 ) D.-4 )

A. f ( x ) ? g ( x ) C. f ( x ) ? g ( x ) ? 0
3

4.函数 y ? x ? 3 x 在[-1,2]上的最小值为( A.2 B.-2 C.0

5.设函数 y ? f ( x ) 在定义域内 可导, y ? f ( x ) 的图象如图 1 所示,则导函数 y ? f ? ( x ) 可能为( y y y y y

O

x

O

x

O

x

O

x

O

x

图1
3 2

A

B ) D.0

C

D

6.方程 x ? 6 x ? 9 x ? 10 ? 0 的实根个数是( A.3 B.2 C.1

7.曲线 y ? ln ( 2 x ? 1) 上的点到直线 2 x ? y ? 8 ? 0 的最短距离是 ( A. 5 B. 2 5
3? 2



C. 3 5

D.0 ) D.2 )

8.曲线 y ? cos x ( 0 ? x ? A.4
x

) 与坐标轴围成的面积是(

B.

5 2
2

C.3

9.设 p : f ( x ) ? e ? ln x ? 2 x ? mx ? 1 在 ( 0 , ?? ) 内单调递增, q : m ? ? 5 ,则 p 是 q 的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 10.设曲线 y ? x ( A.
1 n
n ?1 *

D.既不充分也不必要条件

( n ? N ) 在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 x n ,则 x1 ? x 2 ? ? ? x n 的值为

) B.
1 n ?1

C.

n n ?1

D.1

二、填空题:(每小题 5 分,共 25 分) 11.若 f ( x ) ? e
2

?

1 x

,则 lim
t? 0

f (1 ? 2 t ) ? f (1) t

?

___________.
8 ?1

12. ? (3 x ? k ) d x ? 1 0 , 则 k ?
2 0
2

;?

3

x d x ? _________________.

13.由曲线 y ? x ? 2 与 y ? 3 x , x ? 0 , x ? 2 所围成的平面图形的面积为
2 14.已知 R 上可导函数 f ( x ) 的图象如图所示,则不等式 ( x ? 2 x ? 3) f ? ( x ) ? 0 的解集

. .

2 15.已知二次函数 f ( x ) ? a x ? b x ? c 的导数为 f ? ( x ) , f ? (0 ) ? 0 ,对于任意实数 x ,有 f ( x ) ≥ 0 ,则

f (1) f ?( 0 )

最小值为

.

三、解答题:(共 75 分) 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? x ? 3 x ? 9 x ? 11
3 2

(1)写出函数 f ( x ) 的递减区间; (2)讨论函数 f ( x ) 的极大值或极小值,如有试写出极值;

17. (本小题满分 12 分) 当 x ? 0 时 ,证明不等式 e ? 1 ? x ?
x

1 2

x 成立.

2

18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? x ? a x ? b x ? c 在 x ? ? 2 处取得极值,并且它的图象与直线 y ? ? 3 x ? 3
3 2

在点( 1 , 0 ) 处相切, 求 a , b , c 的值.

19. (本小题满分 12 分) 如图所示,等腰三角形△ABC 的底边 AB= 6 6 ,高 CD=3,点 E 是线段 BD 上异于 B、D 的动点,点 F 在 BC 边上,且 EF⊥AB,现沿 EF 将△BEF 折起到△PEF 的位置,使 PE⊥AE,记 BE=x,V(x)表示四棱锥 P-ACEF 的体积。 (1)求 V(x)的表达式; (2)当 x 为何值时,V(x)取得最大值?

P _

A _

D E _ _ B _ C _ F _
, 则称函数 y ? f ( x )

20. (本小题满分 13 分) 定义在定义域 D 内的函数 y ? f ( x ) , 若对任意的 x 1 , x 2 ? D 都有 |
3

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) | ? 1

为“妈祖函数” ,否则称“非妈祖函数”.试问函数 f ( x ) ? x ? x ? a ( x ? [ ? 1,1] , a ? R )是否为“妈 祖函数”?如果是,请给出证明;如果不是,请说明理由.

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? e ? kx, x ? R
x

(Ⅰ)若 k ? e ,试确定函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若 k ? 0 ,且对于任意 x ? R , f ( x ) ? 0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围;
n

(Ⅲ)设函数 F ( x ) ? f ( x ) ? f ( ? x ) ,求证: F (1) F ( 2 ) ? F ( n ) ? (e

n ?1

? 2) 2 (n ? N ) .

?

选修 2-2 第一章《导数及其应用》单元测试题

命题人:湖大附中周先华

审题人:湖大附中李俊

答案:
1. B 2. A 3. B 4. B 5. D 6. C 7. B 8. C 9. B 10. B 11. ?
2 e

12. 1; 13. 1

45 4

14. ( ? ? , ? 1) ? ( ? 1,1) ? (3, ? ? ) 15. 2 16. 解:令 f ' ( x ) ? 0 ,得 x 1 ? ? 1 , x 1 ? 3 , x 变化时, f ' ( x ) 的符号变化情况及 f ( x ) 的增减性如下表所示:
x
f '(x) f (x) ( ?? , ? 1)

-1 0 极大值 f ( ? 1)

( ? 1, 3 )

3 0 极小值 f ( 3 )

( 3 , ?? )

+



+ 增

增 (1)由表可得函数的递减区间为 ( ? 1, 3 )

(2)由表可得,当 x ? ? 1 时,函数有极大值 f ( ? 1) ? 16 ;当 x ? 3 时,函数有极小值 f ( 3 ) ? ? 16 .
x 17. 证明:设 f ? x ? ? e ? 1 ? x ?

1 2

x , 则 f '?x ? ? e
2

x

?1? x,

令 g ( x) ? e ? 1 ? x, 则 g '( x) ? e ? 1 ,
x

x

当 x ? 0 时, g ' ? x ? ? e ? 1 ? 0 ,
x

∴ g ( x ) 在 ? 0 , ?? ? 上单调递增,而 g ( 0 ) ? 0 , ∴ g ? x ? ? g ( 0 ) ? 0 , g ( x ) ? 0 在 ? 0 , ?? ? 上恒成立,即 f ' ( x ) ? 0 在 ? 0 , ?? ? 恒成立. ∴ f ( x ) 在 ? 0 , ?? ? 上单调递增, 又 f (0) ? 0, ∴ e ? 1 ? x ?
x

1 2

x

2

? 0 , 即 x ? 0 时, e

x

?1? x ?

1 2

x 成立.

2

18.

解 : f ( x ) ? 3 x ? 2 a x ? b ? f ( ? 2 ) ? 3( ? 2 ) ? 2 a ( ? 2 ) ? b ? 0 ?
' 2 ' 2

? 12 ? 4a ? b ? 0 又 f (1) ? 3 ? 2 a ? b ? ? 3 ? a ? 1, b ? ? 8
'

又 f ( x ) 过 (1, 0 )点 ,? 1 ? a ? 1 ? b ? 1 ? c ? 0
2

3

?c ? 6

19. 解: (1)由折起的过程可知,PE⊥平面 ABC,
S ?ABC ? 9 6

, S ?BEF
1 12 6 3 (9 ? 1 4 x )
2

?

x

2

54

? S ?BDC ?

6 12

x

2

P _

V(x)= (2) V

6 3

x (9 ?

(0 ?
x )
2

x ? 3 6


? 0

'( x ) ?

,所以 x ? (0 , 6 ) 时, v '( x ) 时 v '( x ) ?
6 0



A _

D E _ _ B _ C _ F _

V(x)单调递增;6 ?

x ? 3 6

,V(x)单调递减;

因此 x=6 时,V(x)取得最大值 1 2



20. 解:因为 | f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) |? | f max ? f min | ,
函数 f ( x ) ? x
当3x
2

3

2 ? x ? a ( x ? [ ? 1,1], a ? R ]导数是 f ? ( x ) ? 3 x ? 1 ? ( 3 分 )

? 1 ? 0时 , 即 x ? ?

3 3

.当 0 ? x ? a ? 2 3 9

3 3

2 时 , f ?( x ) ? 3 x ? 1 ? 0 ; 当 x ?

3 3

2 时 , f ?( x ) ? 3 x ? 1 ? 0 ,

故 f ( x ) 在 x ? [ 0 ,1 ]内的极小值是 因为 f (1 ) ? f ( ? 1 ) ? a , 所以函数 a ? 2 3 9 , 最小值是 a ?
3

; ( 4 分 ), 同理 , f ( x ) 在 [ ? 1, 0 ]内的极大值是
3

a ?

2 3 9

; (2分 )

f ( x ) ? x ? x ? a ( x ? [ ? 1,1 ], a ? R )的最大值是 4 9 2 ? 1, ? ( 2 分 )

2 3 9

, 故 | f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) |? | f max ? f min | ?

所以函数

f ( x ) ? x ? x ? a ( x ? [ ? 1,1], a ? R ) 是“妈祖函数”.(2 分)

21. 本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识,考查运用导数研究函数性质的方法, 考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法,考查分析问题、解决问题的能力.
x x 解: (Ⅰ)由 k ? e 得 f ( x ) ? e ? e x ,所以 f ? ( x ) ? e ? e .

? 由 f ? ( x ) ? 0 得 x ? 1 ,故 f ( x ) 的单调递增区间是 (1, ? ) ,
1) 由 f ? ( x ) ? 0 得 x ? 1 ,故 f ( x ) 的单调递减区间是 ( ? ? , .

(Ⅱ)由 f ( ? x ) ? f ( x ) 可知 f ( x ) 是偶函数. 于是 f ( x ) ? 0 对任意 x ? R 成立等价于 f ( x ) ? 0 对任意 x ≥ 0 成立.
x 由 f ? ( x ) ? e ? k ? 0 得 x ? ln k .

x 1] ①当 k ? (0, 时, f ? ( x ) ? e ? k ? 1 ? k ≥ 0 ( x ? 0 ) .

此时 f ( x ) 在 [0, ? ) 上单调递增. ? 故 f ( x ) ≥ f (0 ) ? 1 ? 0 ,符合题意. ②当 k ? (1, ? ) 时, ln k ? 0 . ? 当 x 变化时 f ? ( x ), f ( x ) 的变化情况如下表:
x
f ?( x ) (0, k ) ln
ln k

(ln k , ? ) ?

?

0

?

f (x)

单调递减

极小值

单调递增

由此可得,在 [0, ? ) 上, f ( x ) ≥ f (ln k ) ? k ? k ln k . ?
? 依题意, k ? k ln k ? 0 ,又 k ? 1, 1 ? k ? e .

综合①,②得,实数 k 的取值范围是 0 ? k ? e . (Ⅲ)? F ( x ) ? f ( x ) ? f ( ? x ) ? e ? e
x ?x


? x1 ? x 2

? F ( x1 ) F ( x 2 ) ? e ? F (1) F ( n ) ? e
n ?1

x1 ? x 2

?e

? ( x1 ? x 2 )

?e

x1 ? x 2

?e

? e

x1 ? x 2

?e

? ( x1 ? x 2 )

?2? e

x1 ? x 2

?2,

?2,
n ?1

F ( 2 ) F ( n ? 1) ? e ?? F ( n ) F (1) ? e
n ?1

?2

? 2.
2 n ?1

由此得, [ F (1) F ( 2 ) ? F ( n )] ? [ F (1) F ( n )][ F ( 2 ) F ( n ? 1)] ? [ F ( n ) F (1)] ? (e
n

? 2)

n

故 F (1) F ( 2 ) ? F ( n ) ? (e

n ?1

? 2) 2, n ? N .

?


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