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上海市静安区2014届高三上学期期末考试数学文试题(WORD版,含答案)

时间:2014-01-24


2013--2014 静安区第一学期期末教学质量检测 高三年级 数学(文科)试卷
2014、1

一、填空题 1、已知集合 A={(x,y)|x+y-1=0},B={(x,y)|y=x2 _ 1},则 A ? B= 2、函数 y=

1 - x2 ? x ? 6

的定义域是

3、当 x>0 时,函数 y=(a-8)x 的值域恒大于 1,则实数 a 的取值范围是 4、关于未知数 x 的实系数方程 x2-bx+c=0 的一个根是 1+3i(期中 i 是虚数单位),写出一个一元二 次方程为 5、方程 log 3 ( x ? 1) ? log 3 ( x ? 1) ? 1 ? log3 ( x ? 9) 的解为 6、不等式 2x2+x-1>0 的解集为

( 1 ? 2) ? a ? b 2 (其中 a、b 为有理数),则 a+b= 7、若
6

8、排一张 4 独唱和 4 个合唱的节目表,则合唱不在排头且任何两个合唱不相邻的概率是 (结果用最简分数表示) 10、设抛物线 y2=mx 的准线与直线 x=1 之间的距离为 3 ,则该抛物线的方程为 11、椭圆 C 的焦点在 x 轴上,焦距为 2,直线 n:x-y-1=0 与椭圆 C 交于 A、B 两点,F1 是左焦点,且 F1A┴F1B,则椭圆 C 的标准方程是 12、已知数列{an}(n ? N )的公差为 3,从{an}中取出部分项(不改变顺序)a1,a4,a10,?组成等比数列,
*

则该等比数列的公比是 13、若 x>0,y>0,且 y=

8x ,则 x+y 的最小值为 x?2

14、设与圆(x-1)2+(y-1)2=1 相切的直线 n:经过两点 A(a,0),B(0,b),其中 a>2,b>2,O 为坐标原点,则△ AOB 面积的最小值为 二、选择题 15、设 a,b ? R,i 是虚数单位,则“ab=0”是“复数 a+

b 为纯虚数”的 ( i



A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件 16、已知命题 a:如果 x<3,那么 x<5;命题 b:如果 x ? 3,那么 x ? 5;命题 c:如果 x ? 5,那么 x ? 3。 关于 这三个命题之间的关系,下列三种说法正确的是 ( ) ①命题 a 是命题 b 的否命题,且命题 c 是命题 b 逆命题 ②命题 a 是命题 b 的逆命题,且命题 c 是命题 b 的否命题 ③命题 b 是命题 a 的否命题,且命题 c 是命题 a 的逆否命题 A、①③ B、② C、②③ D、①②③ 2 17、已知函数 f(x)=-x +4x,x ? [m,5]的值域是[-5,4],则实数 m 的取值范围是 ( A、(- ? ,-1); B(-1,2]



C、[-1,2]

D、[2,5)

18、已知三个正实数 a、b、c,则下列三个数 2a ? A、都大于 2; B、都小于 2

1 1 1 ,b ? ,c ? b c 2a





C、至少有一个小于 2; D、至少有一个不小于 2 三、解答题(本大题满分 74 分) 19、(本题满分 12 分)本题共两个小题,第一小题满分 7 分,第二小题满分 5 分; 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表,其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式 为:弧田面积=

1 2 (弧×矢+矢 ),弧田(如图),由圆弧和其所对的弦所围成,公式中“弦”指圆 2

弧所对弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差。 按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差。现有圆心角为

2? ,弦长等 3

于 9 米的弧田 (1)计算弧田的实际面积; (2)按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得结果与(1)中计算的弧田实际面积相 差多少平方米?(结果保留两位小数)

20、(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第一小题满分 6 分,第二小题满分 8 分; 求证: (1)

sin(? ? ? ) ? tan? ? tan ? cos? cos ? 1 1 1 1 cos10 ? ? ? ? ? ? cos 00 cos10 cos10 cos 20 cos 20 cos30 cos88 0 cos89 0 sin 2 10

(2)

21、(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第一小题满分 5 分,第二小题满分 9 分; 已知双曲线 x -y =2 (1)若直线 n 的斜率为 2 , 直线 n 与双曲线相交于 A、 B 两点, 线段 AB 的中点为 P, 求点 P 的坐标 (x,y) 满足的方程(不要求写出变量的取值范围); (2)过双曲线的左焦点 F1,作倾斜角为 ? 的直线 m 交双曲线于 M、N 两点,期中 ? ? ( , 是双曲线的右焦点,求△F2MN 的面积 S 关于倾斜角 ? 的表达式。
2 2

? ,3?
4 4

,F2 )

22、(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第一小题满分 4 分,第二小题满分 6 分,第三小题满分 6 分。

设无穷数列{an}的首项 a1=1,前 n 项和为 Sn( n ? N ),且 3tSn-(2t+3)Sn-1( n ? N ,n ? 2)(t 是与 n
* *

无关的正实数) (1)求证:数列{an}( n ? N )为等比数列;
*

( 2) 记 数 列 {an} 的 公 比 为 f(t), 数 列 {bn} 满 足 b1=1,bn=f( Cn=b2n-1b2n-b2nb2n+1,求数列.

1 b n ?1

) ( n ? N , n ? 2), 设
*

(3)若(2)中数列{Cn}的前 n 项和 Tn 当 n ? N 时不等式 Tn ? a 恒成立,求实数 a 的取值范
*

围。

23、(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第一小题满分 4 分,第二小题满分 5 分,第三小题 满分 9 分。 已知函数 f ( x) ? log a

1 ? mx 是奇函数,(其中 a>1) x ?1

(1)求实数 m 的值; (2)讨论函数 f(x)的增减性;

(n, a ? 2 2 ) 时,f(x)的值域是(1, ? ? ),求 n 与 a 的值。 (3)当 x ?

2013 学年第一学期静安文科数学试卷解答与评分标准
1. ; 2.(文) ; 3.

4.



5.(文)



6.(文)

7.169;

8.(文)2;

9.(文)

10.



.

11.(文)

; 12.(文)2;

13.(文)当



时,

的最小值为 18.

14.(文) 15.(文)C;16.A. 17. C 18.D

19 解:(1) 扇形半径

,????????? 2 分

扇形面积等于

????????? 5 分

弧田面积=

(m )????????? 7 分

2

(2)圆心到弦的距离等于

,所以矢长为

.按照上述弧田面积经验公式计算得

(弦?矢+矢 )=
2

.?????????10 分

平方米????????? 12 分

按照弧田面积经验公式计算结果比实际少 1.52 平米. 20(理)(1)解法 1: ? = = ??????3 分

因为 、 ?

是不全为零的实数,所以 。????????? 6 分

,即

解法 2:当

时,

;????????? 2 分



时,作差:



又因为 、

是不全为零的实数,所以当

时,

?



综上,

?

。?????????6 分

(2)证明:当 作差比较:

时,取得等号 3。????????? 7 分

>0

所以,

????????? 14 分

(文)证明:(1)

????????? 3 分

????????? 6 分

(2)由(1)得



)????????8 分

可得

???10 分

????????? 12 分



.

????????? 14 分

21(理)(1)设点

在双曲线上,由题意得:



由双曲线的性质,得

。????? 1 分

(i)若

,则当

时,

有最小值。最小值

,所以

。????? 3 分

(ii)若

,则当

时,

有最小值,此时

,解得

。????? 6 分

(2)

, =

,直线 与 轴垂直时, .????????? 7 分

,此时,△

的面积

直线 与 轴不垂直时,直线 方程为

,????????? 8 分





解法 1:将

代入双曲线方程,整理得:

,即

????????? 10 分

所以,

????????? 11 分

=

.?????14 分

解法 2:将

代入双曲线方程,整理得:

,????????? 10 分



,????????? 11 分



到直线

距离





的面积

=

.?????14 分

21 文:(1)解法 1:设直线 方程为



代入双曲线方程得:

,?2 分





.设



两点坐标分别为



,则有

;又由韦达定理知:

,?4 分

所以

,即得点

的坐标

所满足的方程

.????5 分

注:



,点

的轨迹为两条不包括端点的射线.

解法 2:设 相减得:



两点坐标分别为



,则有 (*).??2 分



,两式

又因为直线 的斜率为 2,所以

,再由线段

中点

的坐标

,得

.??4 分

代入(*)式即得点

的坐标

所满足的方程

.??????5 分

(2)

, =

,直线

与 轴垂直时,

,此时,△

的面积

.????????? 6 分

直线

与 轴不垂直时,直线 方程为

,????????? 7 分





解法 1:将

代入双曲线,整理得:

,即

????????? 9 分

所以,

????????? 10 分

=

.????????? 13 分

所以,

.

????????? 14 分 解法 2:参见理科解法 2。 22(1)由已知,有 ,



时,

;?????????2 分



时,有



两式相减,得

,即



综上,

,故数列

是公比为

的等比数列;???? 4 分

(2)由(1)知,

,则



于是数列

是公差

的等差数列,即

,???????? 7 分



=

????????10 分

(3)(理)由

解得:

。????????? 12 分

????????? 14 分

,当

时,

,函数

的值域为



????????? 16 分

(3) (文)不等式 上递减,则

恒成立,即

恒成立,又



.????????? 14 分

????????? 16 分

23(理)(1)

转化为求函数



上的值域,

该函数在

上递增、在

上递减,所以

的最小值 5,最大值 9。所以

的取值范围为

。????????? 4 分

(2)

的定义域为

,????????? 5 分

定义域关于原点对称, 又 奇函数。????????? 6 分 下面讨论在 上函数的增减性.



, 所以函数



任取



,设

,令

,则



,所以

因为





,所以

.????????? 7 分

又当

时,

是减函数,所以

.由定义知在

上函数是

减函数.????????? 8 分 又因为函数 是奇函数,所以在 上函数也是减函数.???????? 9 分

(3)

;???????? 10 分

因为



,所以



。?? 11 分





时,则

,??? 12 分



,??? 13 分

由二项式定理

,???????? 14 分

所以



从而



???????? 18 分 23(文):(1) (2)由(1) ????????? 4 分 ,定义域为 .?????????5 分

讨论在

上函数的单调性.

任取



,设

,令

,则



,所以

因为





,所以





所以

.????????? 7 分

又当

时,

是减函数,所以

.由定义知在

上函数

是增函数.????????? 8 分 又因为函数 是奇函数,所以在 上函数也是增函数.???????? 9 分

(3)当

时,要使

的值域是

,则

,所以

,即

,????????? 11 分



,上式化为 ;当 时,

,又 ;????????? 13 分

,所以当

时,

因而,欲使

的值域是

,必须

,所以对上述不等式,当且仅当

时成立,所以

解得



. ????????? 18 分


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