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2003年高考数学试题(江苏)及答案-精编解析版

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2003 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学试题 第Ⅰ卷(选择题
共 60 分)

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一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的. 1.如果函数 y ? ax ? bx ? a 的图象与 x 轴有两上交点,则点(a,b)在 aOb 平面上的区域(不包含边界)为
2

b
a 阿 O 阿 (A)
2

b
a 阿

b
a 阿

b
a 阿

a
a 阿

O 阿 (B)

a
a 阿

O 阿 (C)

a
a 阿

O 阿 (D) (

a
a 阿 )

2.抛物线 y ? ax 的准线方程是 y=2,则 a 的值为 A.

1 8

B.-

3.已知 x ? (? A.

?
2

1 8

C .8

D.-8 ( D.- ( )

,0), cos x ?

7 24

4 , 则 tan 2 x ? 5 7 24 B.- C. 24 7

24 7


?2 ? x ? 1, x ? 0, 4.设函数 f ( x) ? ? 若f ( x0 ) ? 1, 则 x0 的取值范围是 ? 1 2 ? x ? 0. ?x ,
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A. (-1,1) C. (-∞,-2)∪ (0,+∞)

B. (-1,+∞) D. (-∞,-1)∪(1,+∞)
OP ? OA ? ? ( AB | AB | ? AC | AC | ), ? ? [0,?? ),

5. O 是平面上一定点, A、 B、 C 是平面上不共线的三个点, 动点 P 满足 则 P 的轨迹一定通过△ABC 的 A.外心 B.内心 ( ) C.重心

D.垂心 ( )

x ?1 , x ? (1,?? ) 的反函数为 6.函数 y ? ln x ?1
A. y ?

ex ?1 , x ? (0,??) ex ?1 ex ?1 , x ? (??,0) ex ?1

B. y ?

ex ?1 , x ? (0,??) ex ?1 ex ?1 , x ? (??,0) ex ?1


C. y ?

D. y ?

7.棱长为 a 的正方体中,连结相邻面的中心,以这些线段为棱的八面体的体积为 (

a3 A. 3

a3 B. 4

a3 C. 6

a3 D. 12

8.设 a ? 0, f ( x) ? ax2 ? bx ? c, 曲线 y ? f ( x) 在点 P( x0 , f ( x0 )) 处切线的倾斜角的取值范围为 [0, 到曲线 y ? f ( x) 对称轴距离的取值范围为 A.[ 0, ( C. [0, | )

?
4

] ,则 P

1 ] a

B . [ 0,

1 ] 2a

b |] 2a

D. [0, |

b ?1 |] 2a

9.已知方程 ( x 2 ? 2 x ? m)(x 2 ? 2 x ? n) ? 0 的四个根组成一个首项为 ( A.1 ) B.

1 的等差数列,则 |m-n|= 4 3 8

3 4

C.

1 2

D.

10.已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F( 7 ,0)直线 y=x-1 与其相交于 M、N 两点,MN 中点的横坐标 为?

2 ,则此双曲线的方程是 3





A.

x2 y2 ? ?1 3 4

B.

x2 y2 ? ?1 4 3

C.

x2 y2 ? ?1 5 2

D.

x2 y2 ? ?1 2 5

11.已知长方形四个顶点 A(0,0) ,B(2,0) ,C(2,1)和 D(0,1).一质点从 AB 的中点 P0 沿与 AB 夹角 为θ 的方向射到 BC 上的点 P1 后,依次反射到 CD、DA 和 AB 上的点 P2、P3 和 P4(入射角等于反射角). 设 P4 的坐标为(x4,0).若 1< x4<2,则 tanθ 的取值范围是 ( ) A. ( ,1)

1 3

B. ( , )

1 2 3 3

C. ( , )

2 1 5 2

D. ( , ) )

2 2 5 3

12.一个四面体的所有棱长都为 2 ,四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为 (
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A.3π

B.4π

C. 3 3 π

D.6π 共 90 分)

第Ⅱ卷(非选择题
13. ( x ?
2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,把答案填在题中横线上.

1 9 ) 展开式中 x9 的系数是 2x

王新敞
奎屯

新疆

14.某公司生产三种型号的轿车,产量分别为 1200 辆,6000 辆和 2000 辆,为检验该公司的产品质量,现用分 层抽样的方法抽取 46 辆进行检验,这三种型号的轿车依次应抽取 , , 辆 15.某城市在中心广场建造一个花圃,花圃分为 6 个部分(如图).现要栽种 4 种不同颜 色的花,每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花,不同的栽种方法 有 种.(以数字作答) 16.对于四面体 ABCD,给出下列四个命题 ①若 AB=AC,BD=CD,则 BC⊥AD. ②若 AB=CD,AC=BD,则 BC⊥AD. ③若 AB⊥AC,BD⊥CD,则 BC⊥AD. ④若 AB⊥CD,BD⊥AC,则 BC⊥AD. 其中真命题的序号是 .(写出所有真命题的序号) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 有三种产品,合格率分别是 0.90,0.95 和 0.95,各抽取一件进行检验. (Ⅰ)求恰有一件不合格的概率; (Ⅱ)求至少有两件不合格的概率.(精确到 0.001)

18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin(?x ? ? )(? ? 0,0 ? ? ? ? ) 上 R 上的偶函数, 其图象关于点 M ( 上是单调函数,求 ? 和ω 的值.

? 3? ,0) 对称, 且在区间 [0, ] 2 4

19. (本小题满分 12 分) 如图,直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=90°,侧棱 AA1=2,D、E 分别是 CC1 C1 与 A1B 的中点,点 E 在平面 ABD 上的射影是△ABD 的垂心 G. (Ⅰ)求 A1B 与平面 ABD 所成角的大小(结果用反三角函数值表示) ; (Ⅱ)求点 A1 到平面 AED 的距离. B A1 E K 20. (本小题满分 12 分) A F B D GC
1

已知常数 a ? 0 ,向量 c ? (0, a), i ? (1,0). 经过原点 O 以 c ? ?i 为方向向量的直线与经过定点 A(0,a)以

i ? 2?c 为方向向量的直线相交于点 P,其中 ? ? R. 试问:是否存在两个定点 E、F,使得|PE|+|PF|为定值.
若存在,求出 E、F 的坐标;若不存在,说明理由.
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21. (本小题满分 12 分)已知 a ? 0, n 为正整数. (Ⅰ)设 y ? ( x ? a) n , 证明y? ? n( x ? a) n?1 ; (Ⅱ)设 f n ( x) ? x n ? ( x ? a) n , 对任意 n ? a, 证明 f n ?1? (n ? 1) ? (n ? 1) f n ? (n). 22. (本小题满分 14 分) 设 a ? 0, 如图,已知直线 l : y ? ax 及曲线 C: y ? x 2 ,C 上的点 Q1 的横坐标为 a1 ( 0 ? a1 ? a ).从 C 上的点 Qn(n≥1)作直线平行于 x 轴,交直线 l 于点 Pn ?1 ,再从点 Pn ?1 作直线平行于 y 轴,交曲线 C 于点 Qn+1.Qn(n=1,2,3,…)的横坐标构成数列 ?a n ? . (Ⅰ)试求 an?1与an 的关系,并求 ?an ? 的通项公式; y
n 1 1 (Ⅱ)当 a ? 1, a1 ? 时,证明 ? (a k ? a k ?1 )a k ? 2 ? ; 2 32 k ?1 n

c r2 r1 Q1 O Q3 Q2

l

(Ⅲ)当 a=1 时,证明

? (a
k ?1

k

? a k ?1 )a k ? 2

1 ? . 3

a1 a2 a3
a1 a2 a3

x

2003 年普通高等学校招生全国统一考试数 学 试 题(江苏卷)答案
一、选择题:本题考查基本知识和基本运算,每小题 5 分,满分 60 分. 1.C 2.B 3.D 4.D 5.B 6.B 7.C 8.B 9.C 10.D 11.C 12.A 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算,每小题 4 分,满分 16 分. 13. ? 21 2 三、解答题 17.本小题要主考查相互独立事件概率的计算,运用数学知识解决问题的能力,满分 12 分. 解:设三种产品各抽取一件,抽到合格产品的事件分别为 A、B 和 C. (Ⅰ) P( A) 14.6,30,10 15.120 16.①④

? 0.90, P( B) ? P(C ) ? 0.95 ,

P( A) ? 0.10, P( B) ? P(C) ? 0.50.

因为事件 A,B,C 相互独立,恰有一件不合格的概率为

P( A ? B ? C ) ? P( A ? B ? C ) ? P( A ? B ? C ) ? P( A) ? P( B) ? P(C ) ? P( A) ? P( B) ? P(C ) ? P( A) ? P( B) ? P(C ) ? 2 ? 0.90 ? 0.95 ? 0.05 ? 0.10 ? 0.95 ? 0.95 ? 0.176
答:恰有一件不合格的概率为 0.176. 解法一:至少有两件不合格的概率为 复兰高考名师在线,把全球名师带回家 江苏高考试题 第 4 页 (共 8 页) k6kt_翻转课堂(www.k6kt.com)

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P( A ? B ? C) ? P( A ? B ? C) ? P( A ? B ? C) ? P( A ? B ? C)
? 0.90 ? 0.052 ? 2 ? 0.10 ? 0.05? 0.95 ? 0.10 ? 0.052 ? 0.0 1 2
解法二:三件产品都合格的概率为

P( A ? B ? C) ? P( A) ? P( B) ? P(C) ? 0.90? 0.952 ? 0.812
由(Ⅰ)知,恰有一件不合格的概率为 0.176,所以至有两件不合格的概率为

1 ? [ P( A ? B ? C ) ? 0.176] ? 1 ? (0.812? 0.176) ? 0.012.
答:至少有两件不合的概率为 0.012. (18)在小题主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识,以及分析问题和推理计算能力,满 12 分分 解:由
王新敞
奎屯 新疆

f ( x)是偶函数 , 得f (? x) ? f ( x),

即sin(??x ? ? ) ? sin(?x ? ? ), 所以 ? cos? sin ?x ? cos? sin ?x 对任意x都成立, 且? ? 0, 所以得cos? ? 0.
依题设0 ? ? ? ? , 所以解得? ?

?
2

.

3? 3? ? x) ? ? f ( ? x), 4 4 3? 3?? ? 3?? 取x ? 0, 得f ( ) ? sin( ? ) ? cos , 4 4 2 4 3? 3?? ? 3?? ? f ( ) ? sin( ? ) ? cos , 4 4 2 4 3?? 3?? ? ? cos ? 0, 又? ? 0, 得 ? ? k? , k ? 1,2,3, ? , 4 4 2 2 ? ? ? (2k ? 1), k ? 0,1,2, ?. 3 2 2 ? ? 当k ? 0时, ? ? , f ( x) ? sin( x ? )在[0, ]上是减函数; 3 3 2 2 由f ( x)的图象关于点 M对称, 得f ( 当k ? 1时, ? ? 2, f ( x) ? sin(2 x ? 当k ? 0时, ? ?

?
2

10 ? ? , f ( x) ? sin(?x ? )在[0, ]上不是单调函数 ; 3 2 2 2 所以, 综合得? ? 或? ? 2. 3

)在[0, ]上是减函数; 2

?

19.本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识,同时考查空 间想象能力和推理运算能力. 满分 12 分. 解法一: (Ⅰ)解:连结 BG,则 BG 是 BE 在面 ABD 的射影,即∠EBG 是 A1B 与平面 ABD 所成的角. 设 F 为 AB 中点,连结 EF、FC,

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? D, E分别是CC1 , A1B的中点, 又DC ? 平面ABC,? CDEF为矩形 连结DE, G是?ADB的重心,? G ? DF.在直角三角形EFD中 1 EF 2 ? FG ? FD ? FD2 ,? EF ? 1,? FD ? 3. 3 1? 2 6 于是ED ? 2 , EG ? ? . 3 3 ? FC ? CD ? 2 ,? AB ? 2 2 , A1B ? 2 3 , EB ? 3. ? sin ?EBG ? EG 6 1 2 ? ? ? . EB 3 3 3 2 . 3

? A1B与平面ABD所成的角是arcsin

(Ⅱ)连结 A1D,有 VA ? AED
1

? VD? AA1E

? ED ? AB, ED ? EF, 又EF ? AB ? F ,
? ED ? 平面A1 AB , 设 A1 到平面 AED 的距离为 h,
则 S ?AED ? h ?

S ?A1AB ? ED

又S ?A1 AE ?

1 1 1 6 S ?A1 AB ? A1 A ? AB ? 2 , S ?AED ? AE ? ED ? . 2 4 2 2

?h ?

2? 2 6 2

?

2 6 2 6 .即A1到平面AED的距离为 . 3 3

解法二: (Ⅰ)连结 BG,则 BG 是 BE 在面 ABD 的射影,即∠A1BG 是 A1B 与平 ABD 所成的角. 如图所示建立坐标系,坐标原点为 O,设 CA=2a, 则 A(2a,0,0),B(0,2a,0),D(0,0,1)

A1 (2a,0,2), E (a, a,1), G (

2a 2a 1 , , ). 3 3 3 2 2 ? GE ? BD ? ? a 2 ? ? 0.解得a ? 1. 3 3

a a 2 ? CE ? ( , , ), BD ? (0,?2a,1). 3 3 3 2 4 1 ? BA1 ? (2,?2,2), BG ? ( ,? , ). 3 3 3 ? cos ?A1 BG ? BA1 ? BG ?

14 / 3 7 ? . 3 | BA1 || BG | 2 3 ? 1 21 3 7 A1 B与平面ABD所成角是arccos . 3

(Ⅱ)由(Ⅰ)有 A(2,0,0)A1(2,0,2),E(1,1,1),D(0,0,1)

AE ? ED ? (?1,1,1) ? (?1,?1,0) ? 0, AA1 ? ED ? (0,0,2) ? (?1,?1,0) ? 0, ? ED ? 平面AA1 E, 又ED ? 平面AED.
(Ⅰ)当 a ?

2 时,方程①是圆方程,故不存在合乎题意的定点 E 和 F; 2

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(Ⅱ)当 0 ?

a?

2 1 1 a 1 1 a 时,方程①表示椭圆,焦点 E ( ? a 2 , )和F (? ? a2 , ) 2 2 2 2 2 2 2

(Ⅲ)当 a ?

2 时, 方程①也表示椭圆,焦点 E (0, 1 (a ? a 2 ? 1 ))和F (0, 1 (a ? a 2 ? 1 )) 为合乎题意的两个定点. 2 2 2 2 2
n

(21)本小题主要考查导数、不等式证明等知识,考查综合运用所数学知识解决问题的能力,满分 12 分. 证明: (Ⅰ)因为 ( x ? a) n
k (?a) n?k x k , ? ? Cn k ?0

所以 y ? ?

k ?1 n?k k ?1 n?1 ? kCnk (?a) n?k x k ?1 ? ? n Cn?1 (?a) x ? n( x ? a) .
k ?0

n

n

k ?0

(Ⅱ)对函数

f n ( x) ? x n ? ( x ? a) n 求导数:

? f n ( x) ? nxn ?1 ? n( x ? a ) n ?1 , ? 所以f n (n) ? n[n n ?1 ? (n ? a) n ?1 ]. ? 当x ? a ? 0时, f n ( x) ? 0. ?当x ? a时, f n ( x) ? x n ? ( x ? a ) n 是关于x的增函数. 因此, 当n ? a时, (n ? 1) n ?(n ? 1 ? a ) n ? n n ? (n ? a) n


? f n ?1 (n ? 1) ? (n ? 1)[( n ? 1) n ? (n ? 1 ? a) n ] ? (n ? 1)( n n ? (n ? a) n )

? ? (n ? 1)( n n ? n(n ? a) n ?1 ) ? (n ? 1) f n (n).
即对任意 n

? ? ? a, f n ?1 (n ? 1) ? (n ? 1) f n (n).

22.本小题主要考查二次函数、数列、不等式等基础知识,综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力,满分 14 分. (Ⅰ)解:∵ Qn (a n ?1 , a n ), Pn ?1 ( ∴ a n ?1

1 2 2 1 2 1 4 ? a n , a n ), Qn ?1 ( ? a n , 2 a n ). a a a 1 2 1 2 1 1 2 2 1 22 ? ? an , ∴ an ? ? an ( ? a n ? 2 ) ? ( )1? 2 a n ?1 ? ?2 a a a a a 2 1 1 2 22 1 23 ? ( )1? 2 ( ? a n ? ( )1? 2? 2 a n ?3 ) ?2 ? ? a a a
2
n?2 n ?1 n ?1 a n ?1 1 1 n ?1 ? ( )1? 2??? 2 a12 ? ( ) 2 ?1 a12 ? a( 1 ) 2 , a a a

∴ an

? a(

a1 2n ?1 ) . a

(Ⅱ)证明:由 a=1 知 an?1 ∵当 k ∴
n

2 ? an ,

∵ a1

?

1 , 2

∴ a 2 ? 1 , a3 ? 1 .

4

16

? 1时, a k ? 2
k

1 ? a3 ? . 16
1 n 1 1 (ak ? ak ?1 ) ? (a1 ? an?1 ) ? . ? 16 k ?1 16 32

? (a
k ?1

? ak ?1 )ak ? 2 ?

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复兰高考名师在线: (http://www.fulaan.com) (Ⅲ)证明:由(Ⅰ)知,当 a=1 时, a n

? a12 ,
2k ?1 1

n ?1

因此

? (a
k ?1

n

k

? ak ?1 )ak ? 2 ? ? (a
k ?1

n

2k ?1 1

? a )a
2n ?1 i ?1

2k 1

? ? (a1i ? a1i ?1 )a12i ? 2
i ?1

2n ?1

3i ? (1 ? a1 )a12 ? a1 ? (1 ? a1 )a12 ?

a13 a15 1 = ? . 3 2 1 ? a1 1 ? a1 ? a1 3

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