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高中数学人教B版必修一课件3.2.3指数函数与对数函数的关系(34张PPT)_图文

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高中数学课件
(金戈铁骑 整理制作)

成才之路·数学
人教B版·必修1
路漫漫其修远兮吾将上下而求索

基本初等函数(Ⅰ) 第三章

3.2 对数与对数函数 第三章

3.2.3 指数函数与对数函数的关系 第三章

课前自主预习

情境引入导学
剪纸是人民群众喜闻乐见的一门艺术,常采用折叠对称 的手法信手剪出优美的画面,那你知道同底的指数函数与对 数函数关于谁对称吗?

知能自主梳理
1.当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量作 为一个新的函数的自变量,而把这个函数的自变量作为新的 函数的因变量,我们称这两个函数互为_反__函__数___.

2.指数函数与对数函数的关系

(1)

原函数

对应反函数

一般结论

指数函数 y=ax(a>0,且
a≠1)
对数函数 y=logax(a>0,
且a≠1)

对数函数

_____y_=__lo_g_a_x____

__(a_>__0_,__且__a_≠_1_) _ 指数函数与对数函数

互为反函数,图象关

指数函数 ______y_=__a_x_____

于___y_=__x__对称

__(_a_>_0_,__且__a_≠_1_)__

(2)通过下图可知,当x>1时,对相同的自变量的增量,指 数函数的增量与对数函数的增量存在着很大的差异:指数函 数y=ax(a>1)在[1,+∞)内随着x的增长,函数值的增长速度 __逐__渐__加__快____,而对数函数y=logax(a>1)在[1,+∞)内的增长 的速度逐渐变得_很__缓__慢___.

预习效果展示

1.函数f(x)=3x(0<x≤2)的反函数的定义域为( )

A.(0,+∞)

B.(1,9]

C.(0,1)D.[9,+∞)

[答案] B

[解析] 函数f(x)=3x(0<x≤2)的反函数的定义域为原函数

的值域,而0<x≤2时,1<3x≤9,∴反函数的定义域为(1,9],故

选B.

2.函数 y=log1 x(x>0)的反函数是( )
2

1
A.y=x2 ,x>0

B.y=(12)x,x∈R

C.y=x2,x∈R

D.y=2x,x∈R

[答案] B

[解析]

∵y=log1
2

x,∴x=(12)y,

∴y=(12)x(x∈R).

3.(2013~2014学年度河南省南阳一中高一月考)函数y= 3x与y=log3x的图象( )
A.关于原点对称B.关于x轴对称 C.关于y轴对称D.关于直线y=x对称 [答案] D [解析] ∵函数y=3x与y=log3x是互为反函数,∴其图象 关于直线y=x对称.

4.若函数y=f(x)是函数y=2x的反函数,则f[f(2)]的值为 __________.
[答案] 0 [解析] 由题意知f(x)=log2x,∴f(2)=log22=1, ∴f[f(2)]=f(1)=log21=0.

5.若函数y=1+3-x的反函数为y=g(x),则g(10)= __________.
[答案] -2 [解析] 令1+3-x=10,得3-x=9,∴-x=2, ∴x=-2.

6.已知y=f(x)如表所示:

x -1 0 1 2 3

y

1

2 5 7 10

求y=f-1(x).

[解析] 由互为反函数的定义知,y=f-1(x)如表所示:

x

1

2 5 7 10

y

-1 0 1 2

3

课堂典例讲练

求反函数
求函数y=2x+1(x<0)的反函数. [分析] 要求y=2x+1的反函数,应用y表示x,求出反函 数后,要注明反函数的定义域,即原函数的值域. [解析] 由 y=2x+1,得 2x=y-1, ∴x=log2(y-1),∴y=log2(x-1). 又∵x<0,∴0<2x<1,∴1<2x+1<2, ∴所求函数的反函数为 y=log2(x-1)(1<x<2).

求函数 y=11+-xx的反函数. [解析] 由 y=11+-xx,得 y-yx=1+x, ∴x=yy-+11,∴y=xx-+11. ∴函数 y=11+-xx的反函数为 y=xx-+11(x≠-1).

互为反函数的图象间的关系
函数y=f(x)的图象经过第三、四象限,则y=f-1(x)的图象 经过( )
A.第一、二象限B.第二、三象限 C.第三、四象限D.第一、四象限 [解析] 因为第三、四象限关于y=x对称的象限为第三、 二象限,故y=f-1(x)的图象经过第二、三象限. [答案] B

已知f(x)=2x+b的反函数为f-1(x),若y=f-1(x)的图象经过 点Q(5,2),则b=__________.
[答案] 1 [解析] 由互为反函数的图象关于直线y=x对称可知,点 Q′(2,5)必在f(x)=2x+b的图象上,∴5=22+b,∴b=1.

反函数的综合应用 已知 f(x)=a2·2x+x-11(a∈R),f(0)=0.
(1)求 a 的值,并判断 f(x)的奇偶性; (2)求 f(x)的反函数; (3)对任意的 k∈(0,+∞),解不等式 f-1(x)>log21+k x. [分析] 先根据 f(0)=0 求得 a 的值,然后再判断函数的奇 偶性,再求得反函数,即可求解.

[解析] (1)由 f(0)=0,得 a=1. ∴f(x)=22xx- +11. ∵f(x)+f(-x)=22xx- +11+22--xx-+11=22xx- +11+11- +22xx=0, ∴f(-x)=-f(x),即 f(x)为奇函数. (2)∵y=22xx- +11=1-2x+2 1, ∴2x=11+-yy(-1<y<1), ∴f-1(x)=log211+-xx(-1<x<1).

(3)∵f-1(x)>log21+k x, 即 log211+ -xx>log21+k x,

∴???11+ -xx>1+k x, ??-1<x<1,

∴?????x->11<-xk<,1.

∴当 0<k<2 时,原不等式的解集为{x|1-k<x<1}; 当 k≥2 时,原不等式的解集为{x|-1<x<1}.

已知函数 f(x)=2(12-ax+1 1)(a>0,且 a≠1) (1)求函数 y=f(x)的反函数 y=f-1(x); (2)判定 f-1(x)的奇偶性; (3)解不等式 f-1(x)>1.

[解析] (1)化简,得 f(x)=aaxx- +11. 设 y=aaxx-+11,则 ax=11+-yy,∴x=loga11+ -yy, ∴所求反函数为 y=f-1(x)=loga11+ -xx(-1<x<1). (2)∵f-1(-x)=loga11-+xx=loga????11+-xx????-1 =-loga11+ -xx=-f-1(x), ∴f-1(x)是奇函数.

(3)由(1),知

1+x loga1-x>1.

当 a>1 时,原不等式等价于11+-xx>a,

∴?1+ax?-x+1 1-a<0.

又-1<x<1,∴aa- +11<x<1;



0<a<1

时,原不等式等价于

1+x 0<1-x<a.

又-1<x<1.∴-1<x<aa- +11. 综上所述,当 a>1 时,所求不等式的解集为????aa- +11,1????; 当 0<a<1 时,所求不等式的解集为(-1,aa- +11).

易错疑难辨析

函数y=log2x(x≥1)的反函数的定义域为________. [错解] R ∵函数y=log2x的反函数为y=2x, ∴x∈R.
[辨析] 误解中忽视了反函数的定义域是原函数的值域.
[正解] [0,+∞) ∵函数y=log2x的反函数的定义域为 原函数y=log2x的值域.
又∵x≥1,∴log2x≥0, ∴反函数的定义域为[0,+∞).

思想方法技巧

数形结合思想 设方程x+lgx=2的根为m,方程x+10x=2的根为n,
求m+n的值. [解析] 由x+lgx=2,得lgx=-x+2, 由x+10x=2,得10x=-x+2. 在同一坐标系中画出函数y=lgx,y=10x,y=-x+2的图
象,如图所示.

由图可知,m是直线y=-x+2与函数y=lgx的图象交点A 的横坐标,n是直线y=-x+2与函数y=10x的图象交点B的横 坐标,
∵y=lgx与y=10x互为反函数, ∴其图象关于直线y=x对称,故点A、B也关于直线y=x 对称, 于是A、B两点的坐标为(m,n),(n,m), 而点A、B又在直线y=-x+2上, ∴m=-n+2,n=-m+2,即m+n=2.

课后强化作业
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