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河南省天一大联考2016-2017学年高中毕业班阶段性测试(二)数学(理科)试题 Word版含答案

时间:2016-11-05

数学(理科)
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项 是符合题目要求的.
1.已知集合 A x | y ?

?

x ? 1 , B ? ??2, ?1,1, 2? ,则 A ? B ? (
B. ?1, 2 ?

?

) D. [1, ??)

2? A. ?1,

? 2? C. ??1,


2.在等比数列 ?an ? 中,若 a4 a5 a6 ? 27 ,则 a1a9 ? ( A.3 B.6 C.27

D.9 )

3.已知命题 p : ?x0 ? R , x0 2 ? 4 x0 ? 6 ? 0 ,则 ?p 为( A. ?x ? R , x0 2 ? 4 x0 ? 6 ? 0 C. ?x ? R , x0 2 ? 4 x0 ? 6 ? 0 4.设函数 f ( x) ? ? A.1

B. ?x0 ? R , x0 2 ? 4 x0 ? 6 ? 0 D. ?x0 ? R , x0 2 ? 4 x0 ? 6 ? 0 ) D.2 )

?log 3 x, 0 ? x ? 9, 1 则 f (13) ? 2 f ( ) 的值为( 3 ? f ( x ? 4), x ? 9,
B.0 C. ?2

5.已知向量 a , b 的夹角为 A. 2 3
1

?

?

? ? ? ? 2? ,且 a ? (3, ?4) , | b |? 2 ,则 | 2a ? b |? ( 3
C. 2 21 ) D. 84

B.2

6.函数 f ( x) ?| x ? x 3 | 的图象大致是(

7.将函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) ( ? ? 0 , ? 的一半,再向右平移

?
2

?? ?

?
2

)图象上所有点的横坐标缩短为原来 )

?
6

个单位长度得到函数 y ? sin x 的图象,则 ? ,? 的值分别为(

A.

1 ? , 2 6

B. 2,

?
3

C. 2,

?
6

D.

8.曲线 y ? ax cos x ? 16 在 x ? A. ?

?

1 ? ,? 2 6


2

?

B.

2 2

处的切线与直线 y ? x ? 1 平行,则实数 a 的值为( C.

?
2

?

D. ?

?
2

9.过双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A , B 两 a 2 b2
3 | CD | ,则双曲线离心率的取值范围 5 5 3 5 4

点,与双曲线的渐进线交于 C , D 两点,若 | AB |? 为( )

A. [ , ??) 10.设函数 f ( x) ? ?

5 3

B. [ , ??)

5 4

C. (1, ]

D. (1, ]

? ?2 f ( x ? 2), x ? (1, ??), 若关于 x 的方程 f ( x) ? log a ( x ? 1) ? 0 ( a ? 0 ? ?1? | x |, x ? ? ?1,1? ,


且 a ? 1 )在区间 ? 0,5? 内恰有 5 个不同的根,则实数 a 的取值范围是( A. 1, 3

?

?

B. ( 4 5, ??)

C. ( 3, ??)

D. ( 4 5, 3)

11.对于正整数 k , 记 g ( k ) 表示 k 的最大奇数因数, 例如 g (1) ? 1 ,g (2) ? 1 ,g (10) ? 5 . 设

S n ? g (1) ? g (2) ? g (3) ? … ? g (2n ) .给出下列四个结论:① g (3) ? g (4) ? 10 ;②

?m ? N * ,都有 g (2m) ? g (m) ;③ S1 ? S 2 ? S3 ? 30 ;④ Sn ? Sn ?1 ? 4n ?1 , n ? 2 ,

n ? N * .则其中所有正确结论的序号为(
A.①②③ B.②③④
2

) C.③④ D.②④

12.等腰直角△ AOB 内接于抛物线 y ? 2 px( p ? 0) , O 为抛物线的顶点, OA ? OB , △ AOB 的面积是 16,抛物线的焦点为 F ,若 M 是抛物线上的动点,则 ( A. )

| OM | 的最大值为 | MF |

3 3

B.

6 3

C.

2 3 3

D.

2 6 3

第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)

13.已知 sin ? ? cos ? ?

1 ,则 sin(? ? 2? ) ? 2
2 2



14.过点 C (3, 4) 作圆 x ? y ? 5 的两条切线,切点分别为 A , B ,则点 C 到直线 AB 的距 离为 .

15.已知数列 ?an ? 是公差不为 0 的等差数列, a1 ? 1 , a2 ? 1 , a4 ? 1 称等比数列,且

a2 ? a3 ? ?12 ,则 an ?



16.在△ ABC 中,若 3sin C ? 2sin B ,点 E , F 分别是 AC , AB 的中点,则 范围为 .

BE 的取值 CF

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.)
17.已知函数 f ( x) ?

3 sin 2 x ? cos 2 x ? m . 2

(1)求函数 f ( x) 的最小正周期与单调递增区间; (2)若 x ? ?

? 5? 3? ? 时,函数 f ( x) 的最大值为 0,求实数 m 的值. , ? 24 4 ? ?
2 2

18.已知圆 ( x ? 1) ? y ? 25 ,直线 ax ? y ? 5 ? 0 与圆相交于不同的两点 A , B . (1)求实数 a 的取值范围; (2)若弦 AB 的垂直平分线 l 过点 P (?2, 4) ,求实数 a 的值. 19.已知等差数列 ?an ? 满足 (a1 ? a2 ) ? ( a2 ? a3 ) ? … ? (an ? an ?1 ) ? 2n(n ? 1) ( n ? N * ) . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)求数列 ?

? an ? 的前 n 项和 S n . n ?1 ? ?2 ?

20.已知函数 f ( x) ? log 2 g ( x) ? ( k ? 1) x . (1)若 g (log 2 x) ? x ? 1 ,且 f ( x) 为偶函数,求实数 k 的值; (2)当 k ? 1 , g ( x) ? ax ? (a ? 1) x ? a 时,若函数 f ( x) 的值域为 R ,求实数 a 的取值范
2

围.

21.已知椭圆 C 的中心在坐标原点, 焦点在 x 轴上, 离心率 e ?

1 , 且椭圆 C 经过点 P (2,3) , 2

过椭圆 C 的左焦点 F1 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆 C 于 A , B 两点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 G ,求△ PF1G 的面积 S 的取值范围. 22.已知函数 f ( x) ? b ln x . (1)当 b ? 1 时,求函数 G ( x) ? x ? x ? f ( x ) 在区间 ? , e ? 上的最大值与最小值; 2
2

?1 ?

? ?

(2)若在 ?1, e ? 上存在 x0 ,使得 x0 ? f ( x0 ) ? ?

1? b 成立,求 b 的取值范围. x0

天一大联考 2016-2017 学年高中毕业班阶段性测试 (二) 数学 (理科) 答案
一、选择题 题号 答案 二、填空题 13. ? 1 A 2 D 3 A 4 B 5 C 6 D 7 A 8 A 9 B 10 C 11 B 12 C

3 4

14.4

15. ?2n ? 1

16. ( , )

1 7 4 8

三、解答题 17.解: (1)

f ( x) ?

3 3 1 ? cos 2 x ? 1 sin 2 x ? cos 2 x ? m ? sin 2 x ? ? m ? sin(2 x ? ) ? m ? , 2 2 2 6 2

(2)因为 x ? ? 则当 2 x ?

? ? ? 4? ? ? 5? 3? ? , ? ,所以 2 x ? ? ? , ? , 6 ?4 3 ? ? 24 4 ?
?
,x?

?

6 2 3 1 1 即 1 ? m ? ? 0 ,解得 m ? . 2 2

?

?

时,函数取得最大值 0,

18.解: (1)把直线 ax ? y ? 5 ? 0 代入圆的方程, 消去 y 整理,得 (a ? 1) x ? 2(5a ? 1) x ? 1 ? 0 ,
2 2

由于直线 ax ? y ? 5 ? 0 交圆于 A , B 两点, 故 ? ? 4(5a ? 1) ? 4(a ? 1) ? 0 ,
2 2

即 12a 2 ? 5a ? 0 ,解得 a ?

5 或a ? 0, 12

所以实数 a 的取值范围是 (??, 0) ? (

5 , ??) . 12 1 , a

(2)由于直线 l 为弦 AB 的垂直平分线,且直线 AB 斜率为 a ,则直线 l 的斜率为 ? 直线 l 的方程为 y ? ?

1 ( x ? 2) ? 4 ,即 x ? ay ? 2 ? 4a ? 0 w, a

由于 l 垂直平分弦 AB ,故圆心 M (1, 0) 必在 l 上, 所以 1 ? 0 ? 2 ? 4a ? 0 ,解得 a ? 由于

3 , 4

3 5 3 ? ( , ??) ,所以 a ? 符合题意. 4 12 4

19.解: (1)设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,由已知得 ?

?a1 ? a2 ? 4, ?(a1 ? a2 ) ? (a2 ? a3 ) ? 12,

即?

?a1 ? a2 ? 4, ?a1 ? (a1 ? d ) ? 4, ?a1 ? 1, 所以 ? 解得 ? ?d ? 2, ?(a1 ? d ) ? (a1 ? 2d ) ? 8, ?a2 ? a3 ? 8,

所以 an ? 2n ? 1 .

an 2n ? 1 ? n ?1 , n ?1 2 2 3 5 2n ? 3 2n ? 1 所以 S n ? 1 ? 1 ? 2 ? … ? n ? 2 ? n ? 2 ,① 2 2 2 2 5 2n ? 3 2n ? 1 2 S n ? 2 ? 3 ? ? … ? n ?3 ? n ? 2 ,② 2 2 2 2 2 2 2n ? 1 ② ? ①得 S n ? 2 ? 2 ? ? 2 ? ? n ? 2 ? n ?1 2 2 2 2 1 1 ? n ?1 2n ? 1 2n ? 3 ? 2 ? 2 ? 2 ? n ?1 ? 6 ? n ?1 . 1 2 2 1? 2
(2)由(1)得 20.解: (1)令 t ? log 2 x ,则 x ? 2t ,代入 g (log 2 x) ? x ? 1 ,得 g (t ) ? 2 ? 1 ,
t

∴ f ( x) ? log 2 (2 x ? 1) ? ( k ? 1) x . ∵函数 f ( x) 是偶函数,∴ f (? x) ? f ( x) , ∴ log 2 (2 x ? 1) ? ( k ? 1) x ? log 2 (2 ? x ? 1) ? ( k ? 1) x , 即 log 2

2x ? 1 ? ?2(k ? 1) x , log 2 2 x ? ?2(k ? 1) x , ?x 2 ?1

∴ x ? ?2(k ? 1) x 对一切 x ? R 恒成立,∴ 2(k ? 1) ? ?1 ,即 k ?
2 (2)设当 k ? 1 时, f ( x)k ? log 2 ? ? ax ? (a ? 1) x ? a ? ?,

1 . 2

当 a ? 0 时,要使函数 f ( x) 的值域为 R ,则 ? 综上所述 a 的取值范围为 ? 0,1? .

?a ? 0, ?a ? 0, 即? 解得 0 ? a ? 1 . 2 2 ?? ? 0, ?(a ? 1) ? 4a ? 0,

x2 y 2 21.解: (1)设椭圆 C 的方程为 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 ) , a b

?c 1 ?a ? 2 , ? ?a 2 ? 16, ? ? 2 2 则 ?c ? a ? b , 解得 ? 2 ? ?4 9 ?b ? 12, ? 2 ? 2 ? 1, ? ?a b
x2 y 2 故椭圆 C 的方程为 ? ? 1. 16 12
(2)设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 2) ( k ? 0 ) . 由?

? y ? k ( x ? 2),
2 2 ?3 x ? 4 y ? 48 ? 0

消去 y 并整理得 (3 ? 4k ) x ? 16k x ? 16(k ? 3) ? 0 .
2 2 2 2

易知 ? ? 0 ,

?16k 2 16k 2 ? 48 设 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? , 4k 2 +3 4k 2 ? 3
? ?8k 2 x ? , ? ? 0 4k 2 ? 3 设 M ( x0 , y0 ) 是 AB 的中点,则 ? ? y ? k ( x ? 2) ? 6k . 0 0 ? 4k 2 ? 3 ?
线段 AB 的垂直平分线 MG 的方程为 y ? y0 ? ? 令 y ? 0 ,得 xc ? x0 ? ky0 ?

1 ( x ? x0 ) , k

?8k 2 6k 2 2 ? ?? . 2 2 3 4k ? 3 4k ? 3 4? 2 k

因为 k ? 0 ,所以 ?

1 ? xc ? 0 , 2

1 3 1 | F1G | ? | yP |? | xG ? 2 | , xG ? (? , 0) , 2 2 2 9 所以 S 的取值范围是 ( ,3) . 4
因为 S ? S ?PF1C ? 22.解: (1)当 b ? 1 时, G ( x) ? x ? x ? f ( x ) ? x ? x ? ln x( x ? 0) ,
2 2

G '( x) ?

(2 x ? 1)( x ? 1) , x

令 G '( x) ? 0 ,得 x ? 1 , 当 x 变化时, G ( x) , G '( x) 的变化情况如下表:

x
g '( x)

(0,1)

1 0 极小值

(1, ??)

?

?

G ( x)
因为 G ( ) ? ?

1 2

1 1 1 ? ln ? ? ? ln 2 ? 1 , G (1) ? 0 , 4 2 4

G (e) ? e 2 ? e ? 1 ? e(e ? 1) ? 1 ? 1 ,
所以 G ( x) ? x ? x ? f ( x ) 在区间 ? , e ? 上的最大值与最小值分别为: 2
2

?1 ?

? ?

G ( x) max ? G (e) ? e 2 ? e ? 1 , G ( x) min ? G (1) ? 0 .
(2)设 h( x) ? x ? b ln x ?

1? b . x

若在 ?1, e ? 上存在 x0 ,使得 x0 ? f ( x0 ) ? ? 则只需要函数 h( x) ? x ? b ln x ?

1? b 1? b ,即 x0 ? b ln x0 ? ? 0 成立, x0 x0

1? b 在 ?1, e ? 上的最小值小于零. x

b 1 ? b x 2 ? bx ? (1 ? b) ( x ? 1) ? x ? (1 ? b) ? ? 又 h '( x) ? 1 ? ? 2 ? , x x x2 x2
令 h '( x) ? 0 ,得 x ? ?1 (舍去)或 x ? 1 ? b . ①当 1 ? b ? e ,即 b ? e ? 1 时, h( x) 在 ?1, e ? 上单调递减, 故 h( x) 在 ?1, e ? 上的最小值为 h(e) ,由 h(e) ? e ?

e2 ? 1 1? b . ? b ? 0 ,可得 b ? e ?1 e

因为

e2 ? 1 e2 ? 1 . ? e ? 1 ,所以 b ? e ?1 e ?1

②当 1 ? b ? 1 ,即 b ? 0 时, h( x) 在 ?1, e ? 上单调递增, 故 h( x) 在 ?1, e ? 上的最小值为 h(1) ,由 h(1) ? 1 ? 1 ? b ? 0 , 可得 b ? ?2 (满足 b ? 0 ) . ③当 1 ? 1 ? b ? e ,即 0 ? b ? e ? 1 时, h( x) 在 (1,1 ? b) 上单调递减,在 (1 ? b, e) 上单调递 增,故 h( x) 在 ?1, e ? 上的最小值为 h(1 ? b) ? 2 ? b ? b ln(1 ? b) . 因为 0 ? ln(1 ? b) ? 1 ,所以 0 ? b ln(1 ? b) ? b , 所以 2 ? b ? b ln(1 ? b) ? 2 ,即 h(1 ? b) ? 2 ,不满足题意,舍去. 综上可得 b ? ?2 或 b ?

e2 ? 1 , e ?1

e2 ? 1 所以实数 b 的取值范围为 (??, ?2) ? ( , ??) . e ?1


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