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定积分的概念 导学案

时间:2012-05-28


启明中学 2011-2012 学年度高中数学选修 2-2 四单元导学案

编号:x2-2.1

编制人:李奇

审核:高二年级备课组 【自主探究

班级:





姓名:

评价:

4.1.2定积分的概念
【学习目标】 1.通 过 求 曲 边 梯 形 的 面 积 和 变 速 直 线 运 动 的 路 程 , 了 解 定 积 分 的 背 景 ; 2.能 用 定 积 分 的 定 义 求 简 单 的 定 积 分 ; 3.理解掌握定积分的几何意义. 【重难点预测】 学习重点:定 积 分 的 概 念 、 定 积 分 法 求 简 单 的 定 积 分 、 定积分的几何意义; 难点:定 积 分 的 概 念 、 定积分的几何意义. 【知识链接】曲边图形面积,变速运动的路程,变力做功等问题的解决方法,解决步骤:分割→以直代曲 →求和→取极限(逼近 【自主学习】 1.一般地, 如果函数 y=f(x)在某个区间 I 上的图像是一条连续不断的曲线, 那么我们就把它称为区间 I 上的________________。 2 .以直代曲求曲边梯形的面积的方法与步骤: ①________ ,②________ ,③________ ,④________ . 3. 定积分的定义: 如果函数 f(x)在区间[a,b]上图像是连续曲线,用分点
a ? x 0 ? x1 ? x 2 ? ? ? x i ?1 ? x i ? ? ? x n ? b 将区间[a,b]等分成 n 个小区间。

合作交流】

探究一:讨论定积分的几何意义是什么?
如果在区间 [ a , b ] 上函数连续且恒有 f ( x ) ? 0 , 那么定积分 ? f ( x )d x 表
a b

示:
b

如果在区间 [ a , b ] 上函数连续且恒有 f(x)≤0, 那么定积分 ? f ( x )d x 表
a

示:

【学法指导 学习笔记】

阅读教材 P78 至 P80 通过自主探究、 合作交流,培养我们 的分析、比较、概括 等思维能力,形成良 好的思维品质.

探究二:讨论根据定积分的几何意义,用定积分表示图中阴影部分的面积:

y

A y ? f1 ( x )

B

探究三:定积分的性质
性质 1 性质 2 性质 3 性质 4

在每个小区间 ? x i ? 1 , x i ? 上任取一点 ? i ( i ? 1, 2, ? , n ) 作和式
_______________________

?

b

1 dx ? b ? a

D y ? f ( x) C 2 a b x O
(k 是常数)

a
b

,当 n ? ? 时,上述和式无限趋近某个常数,

? ? ?

kf
a b a b

? x ?d x

?

这个常数叫做函数 f ( x ) 在区间[a,b]上的________。记作:________ 即

? f1 ? x ? ? f 2 ? x ? ?d x ? ? ? f

? f ( x ) dx
a

b

= lim

n??

?
i ?1

n

b?a n

f ( ? i ) .记为: S ? _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ,

a

? x ?d x

?

?

c

f
a

? x ?d x ? ?c

b

f

? x ?d x (其中 a ? b ? c )

其中:① f ( x ) 称为______________, x 叫做_____________, [ a , b ] 为 _____________, b 为_________________, a 为________________. ②定积分 ? f ( x )d x 是一个常数,只与积分上、下限的大小有关, 与
a b

思考:你能从定积分的几何意义解释性质 4 吗?

【典例分析】
例 1 用图表示下列函数的定积分,并求出定积分

积分变量的字母无关, ? f ( x )d x ?
a

b

?

b a

f ( t )d t ?

?

b

f ( y )d y
a

(1)∫012dx

(2)∫12xdx

(3) ?

3 ?2

16 ? 6 x ? x

2

dx









1









启明中学 2011-2012 学年度高中数学选修 2-2 四单元导学案 例 2.计算定积分 ? ( x ? 1) d x
1 2

编号:x2-2.1

编制人:李奇

审核:高二年级备课组 (A 层)

班级:





姓名: 【当堂反馈】

评价:

分析:所求定积分即为如图阴影部分面积. y

1、由 y=sinx, x=0,x=
b

?
2

,y=0 所围成图形的面积写成定积分的形式是 ( )

2、定积分 ? f ( x ) dx 的大小
a

A、与 f ( x ) 和积分区间 ?a , b ? 有关,与 ? i 的取法无关 B、与 f ( x ) 有关,与区间 ?a , b ? 及 ? i 的取法无关

例 3 计算下列定积分.

o

1

2

x

C、与 f ( x ) 和 ? i 的取法有关,与积分区间 ?a , b ? 无关 D、与 f ( x ) 、区间 ?a , b ? 和 ? i 的取法都有关 3、下列等式成立的个数是( ① ? f ( t ) dt ?
0 1

?

5 0

(2 x ? 4)dx


?

?

1

0

f ( x ) dx ② ? 2 sin xdx ?
0

?

?

?
2

sin x dx ?

?

?

sin x dx

0

③?

a

?a

x dx ? 2 ? x dx
0

a

④? C、3

2

4 ? x dx ?
2

0

?

2

2 dx

0

例 4.求如图所示阴影部分图形的定积分.

A、1 (B 层)
3 1

B、2
2

D、4

4.画出 ? ( 2 x ? x ) dx 表示的图形

5.画出由曲线 y ? x ? 6 x 和 y ? x 所围成的图形的面积.
3
2

选做题:(课后探究) 用定积分的几何意义说明下列不等式:
?
?

(C 层) 6、计下列定积分(1)(2)

?

① ? 2? co s ? d ? ? 2 ? 2 co s ? d ?
0 2

② ? sin xd x ? 0
??

?

(1) ?

2

?2

4 ? x

2

dx

(2) ? (1 ? x ) dx ?
0

1

?

2

( x ? 1) dx

1

7.计算 ? x 3 d x 的值
?1

1

﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌ 【学后思★教后思】









2









启明中学 2011-2012 学年度高中数学选修 2-2 四单元导学案

编号:x2-2.1

编制人:李奇

审核:高二年级备课组

班级:





姓名:

评价:









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