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4.4.1 参数方程的概念

时间:2010-07-07


4. 4 参 数 方 程
4.4.1 曲线参数方程的意义
教学目标 1. 弄清曲线参数方程的概念 2. 能选取适当的参数,求简单曲线的参数方程 能选取适当的参数, 教学重点 曲线参数方程的定义及方法

1,参数方程的概念: ,参数方程的概念:
如图,一架救援飞机在离灾区地面 高处以100m/s 如图 一架救援飞机在离灾区地面500m高处以 一架救援飞机在离灾区地面 高处以 的速度作水平直线飞行. 的速度作水平直线飞行 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力 不记空气阻力),飞行员应如何确定投放 区指定的地面 不记空气阻力 飞行员应如何确定投放 时机呢? 时机呢?
提示: 提示: 即求飞行员在离救援点的水平距离 多远时,开始投放物资? 多远时,开始投放物资?

投放点

?

救援点

1,参数方程的概念: ,参数方程的概念:
如图,一架救援飞机在离灾区地面 高处以100m/s 如图 一架救援飞机在离灾区地面500m高处以 一架救援飞机在离灾区地面 高处以 的速度作水平直线飞行. 的速度作水平直线飞行 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力 不记空气阻力),飞行员应如何确定投放 区指定的地面 不记空气阻力 飞行员应如何确定投放 时机呢? 时机呢?
物资投出机舱后,它的运动由下列两种运动合成: 物资投出机舱后,它的运动由下列两种运动合成: 作初速为100m/s的匀速直线运动; 的匀速直线运动; (1)沿ox作初速为 ) 作初速为 的匀速直线运动 反方向作自由落体运动. (2)沿oy反方向作自由落体运动. ) 反方向作自由落体运动

y 500

o

x

1,参数方程的概念: ,参数方程的概念:
如图,一架救援飞机在离灾区地面 高处以100m/s 如图 一架救援飞机在离灾区地面500m高处以 一架救援飞机在离灾区地面 高处以 的速度作水平直线飞行. 的速度作水平直线飞行 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力 不记空气阻力),飞行员应如何确定投放 区指定的地面 不记空气阻力 飞行员应如何确定投放 时机呢? 时机呢?

y 500

解:物资出舱后,设在时刻t,水平位移为x,

o

x = 100t , 1 2 y = 500 gt .(g=9.8m/s2 ) 2 令y = 0, 得t ≈ 10.10 s. x 代入x = 100t , 得 x ≈ 1010m. 所以,飞行员在离救援点的水平距离约为1010m时投放物资,

垂直高度为y,所以

可以使其准确落在指定位置.

1,参数方程的概念: ,参数方程的概念:
一般地, 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的 一般地 在平面直角坐标系中 如果曲线上任意一点的 坐标x, 都是某个变数 都是某个变数t的函数 坐标 y都是某个变数 的函数 x = f (t ), y = g (t ). (2) 并且对于t的每一个允许值 由方程组(2) 的每一个允许值, 并且对于 的每一个允许值 由方程组 所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上 那么方程 就叫做这条曲线的 都在这条曲线上, 都在这条曲线上 那么方程(2) 参数方程, 联系变数x,y的变数 叫做参变数, 简称参数. 的变数t叫做参变数 参数方程 联系变数 的变数 叫做参变数 简称参数 相对于参数方程而言, 相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系 的方程叫做普通方程. 的方程叫做普通方程.
关于参数几点说明: 参数是联系变数x,y的桥梁 的桥梁, 关于参数几点说明: 参数是联系变数 的桥梁 1. 参数方程中参数可以是有物理意义 几何意义 也可以没有明 参数方程中参数可以是有物理意义, 几何意义, 显意义. 显意义. 2.同一曲线选取参数不同 曲线参数方程形式也不一样 同一曲线选取参数不同, 同一曲线选取参数不同 3.在实际问题中要确定参数的取值范围 在实际问题中要确定参数的取值范围

变式: 变式 一架救援飞机以100m/s的速度作水平直线飞行 在离灾 的速度作水平直线飞行.在离灾 一架救援飞机以 的速度作水平直线飞行 区指定目标1000m时投放救援物资(不计空气阻力 重 时投放救援物资( 区指定目标 时投放救援物资 不计空气阻力,重 问此时飞机的飞行高度约是多少? 力加速 g=10m/s)问此时飞机的飞行高度约是多少? 问此时飞机的飞行高度约是多少 精确到1m) (精确到 )

x = 3t , 已知曲线C的参数方程是 例1: 已知曲线 的参数方程是 (t为参数) 2 y = 2t + 1.
与曲线C (1)判断点 1(0, 1),M2(5, 4)与曲线 )判断点M , 与曲线 的位置关系; 的位置关系; 在曲线C上 的值. (2)已知点 3(6, a)在曲线 上, 求a的值. )已知点M 在曲线 的值

练习1

x =1+t2 1,曲线 轴的交点坐标是( , 轴的交点坐标是 ,(t为参数) 与x轴的交点坐标是 B ) y = 4t 3
25 A,( ,4); , , 0); C,(1, 3); ,(1, ); ( );B, ,( , 16 25 D, (± , , 0); 16

x = sinθ 2,方程 , ,(θ为参数)所表示的曲线上一点的坐标是 y = cosθ
( )

1 1 1 2 A,( ,7); , , ); C,( , ); D,( ,0) ,(2, ); ( );B, ,(1, ) ,( , ,( 2 2 3 3

训练2:
已知曲线C的参数方程是 已知曲线 的参数方程是 点M(5,4)在该 曲线上 在该 曲线上. 的普通方程. (2)求曲线 的普通方程 )求曲线C的普通方程 解: (1)由题意可知 由题意可知: 由题意可知

x = 1 + 2t , (t为参数,a ∈ R ) 2 y = at .

(1)求常数 )求常数a;

1+2t=5 at2=4 ∴ a=1 x=1+2t y=t2

解得: 解得

a=1 t=2

x 1 由第一个方程得: 由第一个方程得 t = 2 x 1 2 ) , 代入第二个方程得: 代入第二个方程得 y = ( 2

(2)由已知及 可得 曲线 的方程为 由已知及(1)可得 曲线C的方程为 由已知及 可得,曲线 的方程为:

(x 1) = 4 y为所求.
2

思考题:动点 作等速直线运动 它在x轴和 作等速直线运动, 轴和y轴方向的 思考题:动点M作等速直线运动 它在 轴和 轴方向的 速度分别为5和 运动开始时位于点P(1,2), 求点 的 求点M的 速度分别为 和12 , 运动开始时位于点 轨迹参数方程. 轨迹参数方程.
解:设动点M (x,y) 运动时间为t,依题意,得

x = 1 + 5t 所以,点M的轨迹参数方程为 y = 2 + 12 t
参数方程求法: 参数方程求法 (1)建立直角坐标系 设曲线上任一点 坐标为 )建立直角坐标系, 设曲线上任一点P坐标为 (2)选取适当的参数 ) (3)根据已知条件和图形的几何性质 物理意义 )根据已知条件和图形的几何性质, 物理意义, 建立点P坐标与参数的函数式 建立点 坐标与参数的函数式 (4)证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程 )

x = 1 + 5t y = 2 + 12 t

小结: 小结:
一般地,在平面直角坐标系中, 一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 x,y都是某个变数 的函数 都是某个变数t的函数 , 都是某个变数

x = f (t ), (2) y = g (t ).

并且对于t的每一个允许值,由方程组(2)所确定的点 并且对于 的每一个允许值,由方程组( )所确定的点M(x,y) 的每一个允许值 都在这条曲线上,那么方程( )就叫做这条曲线的参数方程 都在这条曲线上,那么方程(2)就叫做这条曲线的参数方程, 参数方程, 系变数x,y的变数 叫做参变数,简称参数. 的变数t叫做参变数 系变数 的变数 叫做参变数,简称参数.

作业:教材 作业:教材P53.

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