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[K12配套]安徽省长丰县高中数学第二章数列2.3等差数列的前n项和1教案新人教A版必修5

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2.3.1 等差数列的前 n 项和(一)

项目

内容

课题

2.3.1 等差数列的前 n 项和(一 (共 1 课时)

修改与创新

一、知识与技能

掌握等差数列前 n 项和公式及其获取思路;会用等差数列的前 n 项

和公式解决一些简单的与前 n 项和有关的问题

二、过程与方法

通过公式的推导和公式的运用,使学生体会从特殊到一般,再从一

教学 般到特殊的思维规律,初步形成认识问题、解决问题的一般思路和方法;

目标 通过公式推导的过程教学,对学生进行思维灵活性与广阔性的训练,发

展学生的思维水平

三、情感态度与价值观

通过公式的推导过程,展现数学中的对称美,通过生动具体的现实

问题,令人着迷的数学史,激发学生探究的兴趣,树立学生求真的勇气

和自信心,增强学生学好数学的心理体验,产生热爱数学的情感

教学 重、 难点

教学重点 等差数列的前 n 项和公式的理解、推导及应用 教学难点 灵活应用等差数列前 n 项和公式解决一些简单的有关问题

教学 准备

多媒体课件

导入新课

教师出示投影胶片 1:

教学过



印度泰姬陵 aj Maha 是世界七大建筑奇迹之一,所在地阿格 拉市,泰姬陵是印度古代建筑史上的经典之作,这个古陵墓融合了古印
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KK12 配套学习资料 度、阿拉伯和古波斯的建筑风格,是印度伊斯兰教文化的象征 陵寝以宝石镶饰,图案之细致令人叫绝.传说当时陵寝中有一个等边 三角形图案,以相同大小的圆宝石镶饰而成,共有 100 层(如下图),奢 华之程度,可见一斑.你知道这个图案中一共有多少颗宝石吗?(这问题 赋予了课堂人文历史的气息,缩短了数学与现实之间的距离,引领学生 步入探讨高斯算法的阶段)
生 只要计算出 1+2+3+…+100 的结果就是这些宝石的总数 师 对,问题转化为求这 100 个数的和.怎样求这 100 个数的和呢?这里 还有一段故事 教师出示投影胶片 2:
高斯是伟大的数学家、天文学家,高斯十岁时,有一次老师出了一 道题目,老师说:“现在给大家出道题目:
过了两分钟,正当大家在:1+2=3;3+3=6;4+6=10…算得不亦乐乎 时,高斯站起来回答说:
教师问:“你是如何算出答案的? 高斯回答说:因为 1+100=101;2+99=101;…;50+51=101,所以 101×50=5 050. 师 这个故事告诉我们什么信息?高斯是采用了什么方法来巧妙地计算 出来的呢? 生 高斯用的是首尾配对相加的方法.也就是: 配套学习资料 K12 页脚内容

KK12 配套学习资料 1+100=2+99=3+98=…=50+51=101 , 有 50 个 101 , 所 以
师 对,高斯算法的高明之处在于他发现这 100 个数可以分为 50 组,第 一个数与最后一个数一组,第二个数与倒数第二个数一组,第三个数与 倒数第三个数一组,…,每组数的和均相等,都等于 101,50 个 101 就 等于 5 050 了 高斯算法将加法问题转化为乘法运算,迅速准确得到了结果 作为数学王子的高斯从小就善于观察,敢于思考,所以他能从一些简单 的事物中发现和寻找出某些规律性的东西 师 问:数列 1,2,3,…,100 是什么数列?而求这一百个数的和 1+2+3+…+100 相当于什么? 生 这个数列是等差数列,1+2+3+…+100 这个式子实质上是求这数列的前 100 项的和. 师 对,这节课我们就来研究等差数列的前 n 项的和的问题 推进新课 [合作探究]
师 我们再回到前面的印度泰姬陵的陵寝中的等边三角形图案中,在图中 我们取下第 1 层到第 21 层,得到右图,则图中第 1 层到第 21 层一共有 多少颗宝石呢 生 这是求“1+2+3+…+21”奇数个项的和的问题,高斯的方法不能用了. 要是偶数项的数求和就好首尾配成对了 师 高斯的这种“首尾配对”的算法还得分奇、偶个项的情况求和,适用 于偶数个项,我们是否有简单的方法来解决这个问题呢 生 有!我用几何的方法,将这个全等三角形倒置,与原图补成平行四边 形.平行四边形中的每行宝石的个数均为 22 个,共 21 行.则三角形中的
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宝石个数就是 (1? 21) ? 21 2
师 妙得很!这种方法不需分奇、偶个项的情况就可以求和,真是太好了! 我将他的几何法写成式子就是: 1+2+3+…+21, 21+20+19+…+1, 对齐相加(其中下第二行的式子与第一行的式子恰好是倒序 这实质上就是我们数学中一种求和的重要方法——“倒序相加法 现在我将求和问题一般化: (1)求 1 到 n 的正整数之和,即求 1+2+3+…+(n-1)+n.(注:这问题在前面 思路的引导下可由学生轻松解决 (2)如何求等差数列{an}的前 n 项的和 Sn 生 1 对于问题(2),我这样来求:因为 Sn=a1+a2+a3+…+an, Sn=an+an-1+…+a2+a1, 再将两式相加,因为有等差数列的通项的性质:若 m+n=p+q,则 am+an=ap+aq,

所以

Sn

?

n(a1 ? 2

an )

生 2 对于问题(2),我是这样来求的:

因为 Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+(a1+3d)+…+[a1+(n-1)×d],
所以 Sn=na1+[1+2+3+…+(n-1)]d=na1+ n(n ?1) d 2
即 Sn=na1+ n(n ?1) d 2
[教师精讲]

两位同学的推导过程都很精彩,一位同学是用“倒序相加法”,后一位

同学用的是基本量来转化为用我们前面求得的结论,并且我们得到了等

差数列前 n 项求和的两种不同的公式.这两种求和公式都很重要,都称为

等差数列的前 n 项和公式.其中公式(Ⅰ)是基本的,我们可以发现,它可

与梯形面积公式(上底+下底)×高÷2 相类比,这里的上底是等差数列的

首项 a1,下底是第 n 项 an,高是项数 n,有利于我们的记忆

[方法引导]

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师 如果已知等差数列的首项 a1,项数为 n,第 n 项为 an,则求这数列的 前 n 项和用公式(Ⅰ)来进行,若已知首项 a1,项数为 n,公差 d,则求这 数列的前 n 项和用公式(Ⅱ)来进行

引导学生总结:这些公式中出现了几个量?

生 每个公式中都是 5 个量

师 如果我们用方程思想去看这两个求和公式,你会有何种想法

生 已知其中的三个变量,可利用构造方程或方程组求另外两个变量(知

三求二

师 当公差 d≠0 时,等差数列{an}的前 n 项和 Sn 可表示为 n 的不含常数项

的二次函数,且这二次函数的二次项系数的 2 倍就是公差

[知识应用]

【例 1】 (直接代公式)计算:

(1)1+2+3+…+n;

(2)1+3+5+…+(2n-1);

(3)2+4+6+…+2n;

(4)1-2+3-4+5-6+…+(2n-1)-2n

(让学生迅速熟悉公式,即用基本量观点认识公式)请同学们先完成(1)~

(3),并请一位同学回答

生 (1)1+2+3+…+n= n(n ?1) ;(2)1+3+5+…+(2n-1)= n(1? n ?1) =n2;

2

2

(3)2+4+6+…+2n= n(2n ? 2) =n(n+1). 2

师 第(4)小题数列共有几项?是否为等差数列?能否直接运用 Sn 公式求

解?若不能,那应如何解答?(小组讨论后,让学生发言解答

生 (4)中的数列共有 2n 项,不是等差数列,但把正项和负项分开,可看

成两个等差数列,所以原式=

[1+3+5+…+(2n-1)]-(2+4+6+…+2n)=n2-n(n+1)=-n

生 上题虽然不是等差数列,但有一个规律,两项结合都为-1,故可得另

一解法:原式=(-1)+(-1)+(-1)+…+(-1)=-n

师 很好!在解题时我们应仔细观察,寻找规律,往往会寻找到好的方法.

注意在运用求和公式时,要看清等差数列的项数,否则会引起错解

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【例 2】 (课本第 49 页例 分析:这是一道实际应用题目,同学们先认真阅读此题,理解题意.你能 发现其中的一些有用信息吗 生 由题意我发现了等差数列的模型,这个等差数列的首项是 500,记为 a1,公差为 50,记为 d,而从 2001 年到 2010 年应为十年,所以这个等差 数列的项数为 10.再用公式就可以算出来了 师 这位同学说得很对,下面我们来完成此题的解答.(按课本解答示范格 式 【例 3】 (课本第 50 页例 2)已知一个等差数列的前 10 项的和是 310,前 20 项的和是 1 220,由此可以确定求其前 n 项和的公式吗? 分析:若要确定其前 n 项求和公式,则必须确定什么? 生 必须要确定首项 a1 与公差 d 师 首项与公差现在都未知,那么应如何来确定? 生 由已知条件,我们已知了这个等差数列中的 S10 与 S20,于是可从中获 得两个关于 a1 和 d 的关系式,组成方程组便可从中求得 (解答见课本第 50 页 师 通过上面例题 3 我们发现了在以上两个公式中,有 5 个变量.已知三 个变量,可利用构造方程或方程组求另外两个变量(知三求二).运用方程 思想来解决问题 [合作探究] 师 请同学们阅读课本第 50 页的例 3,阅读后我们来互相进行交流 (给出一定的时间让学生对本题加以理解 师 本题是给出了一个数列的前 n 项和的式子,来判断它是否是等差数列. 解题的出发点是什么 生 从所给的和的公式出发去求出通项 师 对的,通项与前 n 项的和公式有何种关系 生 当 n=1 时,a1=S1,而当 n>1 时,an=Sn-Sn-1 师 回答的真好!由 Sn 的定义可知,当 n=1 时,S1=a1;当 n≥2 时,an=Sn-S , n-1
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即 an=S1(n
Sn-S n-1(n≥2).这种已知数列的 Sn 来确定数列通项的方法对任意数列都是 可行的.本题用这方法求出的通项 an=2n- 1 ,我们从中知它是等差数列,
2 这时当 n=1 也是满足的,但是不是所有已知 Sn 求 an 的问题都能使 n=1 时,

an=Sn-Sn-1 满足呢?请同学们再来探究一下课本第 51 页的探究问题

生 1 这题中当 n=1 时,S1=a1=p+q+r;当 n≥2 时,an=Sn-S n-1=2pn-p+q,由

n=1 代入的结果为 p+q,要使 n=1 时也适合,必须有

生 2 当 r=0 时,这个数列是等差数列,当 r≠0 时,这个数列不是等差数



生 3 这里的 p≠0 也是必要的,若 p=0,则当 n≥2 时,an=Sn-S n-1=q+r,

则变为常数列了,r≠0 也还是等差数列

师 如果一个数列的前 n 项和公式是常数项为 0,且是关于 n 的二次型函

数,则这个数列一定是等差数列,从而使我们能从数列的前 n 项和公式

的结构特征上来认识等差数列.实质上等差数列的两个求和公式中皆无

常数项

课堂练习

等差数列-10,-6,-2,2,…前多少项的和是 54?

(学生板演

解:设题中的等差数列为{an},前 n 项和为 Sn

则 a1=-10,d=(-6)-(-10)=4,Sn 由公式可得-10n+ n(n ?1)
2 解之,得 n1=9,n2=-3(舍去

所以等差数列-10,-6,-2,2…前 9 项的和是

(教师对学生的解答给出评价

课堂小结

师 同学们,本节课我们学习了哪些数学内容



①等差数列的前 n 项和公式 1: Sn

?

n(a1 ? an ) 2

②等差数列的前

n

项和公式

2:

Sn

?

na1

?

n(n

?1)d 2

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师 通过等差数列的前 n 项和公式内容的学习,我们从中体会到哪些数学 的思想方法? 生 ①通过等差数列的前 n 项和公式的推导我们了解了数学中一种求和的 重要方法——“倒序相加法 ②“知三求二”的方程思想,即已知其中的三个变量,可利用构造方程 或方程组求另外两个变量 师 本节课我们通过探究还得到了等差数列的性质中的什么内容 生 如果一个数列的前 n 项和公式中的常数项为 0,且是关于 n 的二次型 函数,则这个数列一定是等差数列,否则这个数列就不是等差数列,从 而使我们能从数列的前 n 项和公式的结构特征上来认识等差数列 布置作业 课本第 52 页习题 2.3 A 组第 2、3 题

等差数列的前 n 项和(一)

板书设 公式:



Sn

?

n(a1 ? 2

an )

?

na1

?

n(n ?1)d 2

推导过程



教学反 思

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