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2016天一大联考五测理数解析版

时间:2016-04-28


天一大联考 2016 学年高中毕业班阶段性测试(五) 数学理科 4-7
一、选择题 1、已知 i 为虚数单位,复数 2i ? A. 2 ? i 答案:D B. 2 ? i
2 的共轭复数为 1? i C. 1 ? i D. 1 ? i

2、已知集合 A ? {x | ?1 ? x ? 1} , B ? {x | log2 x ? 1} 则 (CR A) ? B ? A. [1, 2) 答案:A 3、若函数 f ( x) ?
e x ? ae? x 为奇函数,则实数 a 的值为 sin x

B. (0,1)

C. (?1,1)

D. [0, 2)

A.1 B.2 C.-1 D.-2 A 答案: 4、旅游体验师小李受某旅游网站的邀约,决定对甲乙丙丁四个景区进行体验式旅游,若甲景 区不能最先旅游,乙景区和丁景区不能最后旅游,则小李旅游的方法数为 A.24 B.18 C.16 D.10 答案:D 解析:最后选甲,则其它三个景区全排列 3!=6
1 1 最后选丙,则有 C2C2 ? 4 ,因此共有 10 种方法

? ? ? 5、 已知函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ) 的两个极值点为 α,β 且 | ? ? ? |min ? , 则函数 f(x)在区间 [0, ] 3 2 2 上的最大值为
A.- 3 B.1 C. 3 D.2

答案:D 解析:最小正周期为π ,因此 ? ? 2 ? ? 4? 在定义区间内, 2 x ? ? ( , ) ,因此最大值为 2 3 3 3 6、若 (a x ? A.192 答案:B
1 6 ) (a ? 0) 的展开式中各项系数之和为 1,则展开式中 x 2 项的系数是 x

B.-19 2

C.182

D.-182

0 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 解析: C6 ? C6a ? C6 a ? C6 a ? C6 a ? C6 a ? C6 a ? 1

1

试代解得 a=2
r r /2 ? (6?r )/2 C6 x x ? x2 ? r ? 5 5 5 故 ?C6 a ? ?192

5 25 7、圆 C : ( x ? ) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 上有 4 个点到直线 x-y+a=0 的距离为 1/2,则实数 a 的取值范围 2 4 1 1 1 1 1 1 1 1 [?2 2 ? , 2 2 ? ] C.(2 2 ? , 2 ? ) D. [? 2 ? , 2 ? ] A.(?2 2 ? , 2 2 ? ) B. 2 2 2 2 2 2 2 2 答案:A

解析:设圆 C 上动点 P( x, y) ,则它到直线的距离
d? | x? y?a| 1 ? ,即两条直线 x ? y ? a ? 2 / 2 ? 0 与圆 C 有 4 个交点 2 2

5 则圆心 C( , 2) 到这两直线距离必须同时小于半径 2

|

5 2 5 2 ?2?a? | | ?2?a? | 5 2 2 ? 且 2 2 ?5 2 2 2 2

1 1 ? ?3 2 ? ? a ? 2 2 ? ? 1 1 ? 2 2 ? ?2 2 ? ? a ? 2 2 ? 解得 ? 2 2 ??2 2 ? 1 ? a ? 3 2 ? 1 ? ? 2 2

8、鲁班锁上下左右前后完全对称,从外表上看,六根等长的正四棱柱体分成三组,经 90 度榫 卯起来,若正四棱柱的高为 4,底面正方形的边长为 1,则它的表面积为 A.48 B.60 C.72 D.84 答案:B 解析:复杂图形表面积可用三视图投影法计算 如图所示,投影面积为 4 ? 2 ? 1? 2 ? 10 ,共有六个投影面积 故有 10×6=60 ??? ? ??? ? 9、已知 O 为坐标原点, a ? (?1,1) , OA ? a ? b, OB ? a ? b 当△AOB 为等边三角形时,|AB|的 值是 A.
2 6 9

B.

4 2 9

C.

2 6 3

D.

8 3

答案:C 解析:如图所示 OA ? OB ? 2a 主对角线一半即为 a 向量,它的模长 2 通过三角变换,可得次对角线 AB 长度
2

10、执行如图所示的程序框图,输入 p=7,则输出的 A 为 A.-5 B.-8 C.-9 D.1 答案:C 解析: 1 2 3 4 5 S -5 -5-3 -8-1 -9+1 -8+3 A -5 -8 -9 -9 -9

6 -5+5 -9

7 0+7 -9

?2 x ? y ? 0 ? y ? 1 ? k ( x ? 2), k ? 2 ? 11、已知变量 x,y 满足约束条件 ? ,若目标函数 z=2x+y 的最大值为 14,则 ? xy ? 2 ? ? x, y ? 0
k 的值为 A.2 B.3 C. 4 D.5 C 答案: 解析:考查简单线性规划,但本题中出现非线性,但题目不可能超纲 且第二直线 y ? 1 ? k ( x ? 2) 强调 k>2,即与 y=2x 必有交点 此交点处必取目标函数最大值 2 x ? 2 x ? 14 ? (7 / 2,7) 代入第二直线解得 k=4
( x ) ,?x 满 R 足 f( x ? 2? ) 12 、 已 知 函 数 y ? f f (x ,) 且 f ( x) ?| x | ?1, x ?[?1,1] , 又

? f ( x )x,? 1 g ( x) ? ? , 若函数 F ( x) ? g ( x) ? kx 在区间 [?7, ??) 上恰有 7 个零点, 则实数 k 的取值 ?ln x / x, x ? 1
范围为 1 1 A. ( , ) 6 4 答案:B
1 1 B. ( , ) 6 2e 1 1 C. ( , ) 8 2e

D. (

1 1 , ) 2e 2

解析:找到两个极限位置(-6,-1),以及 y=kx 与 y=lnx/x 的切点 (-6,-1)确定直线斜率 k=1/6 设切点 M ( x0 , y0 ) ,则 f '( x0 ) ? 因此对应斜率 k=1/2e 二、填空题
1 ? ln x0 ln x0 ? 2 ? x0 ? e 2 x0 x0

3

? ? 10 13、已知 x ? (0, ) , sin( ? x) ? ,则 cos2x 的值为___ 4 4 10
答案:3/5 解析:两角差正弦展开得 cos x ? sin x ? 2 / 10 两边平方得 1 ? sin 2 x ? 1/ 5 ? sin 2 x ? 4 / 5 2x 为第一象限角,故 cos 2 x ? 3 / 5
x2 y 2 14、已知抛物线 y ? 2 px(p ? 0) 的焦点与双曲线 2 ? 2 ? 1(a, b ? 0) 的右焦点坐标都是(c,0),抛 a b
2

物线的准线方程为 x ? ?

2a 2 则双曲线的渐近线方程为___ c

答案: y ? ? x 解析:考查抛物线与双曲线的基本定义
? 2a 2 p b2 ? ? ? ?c ? e 2 ? 1 ? 2 ? e 2 ? 1 ? 1 c 2 a

15、某组合体的三视图如图所示,则该组合体的体积为___ 解析:1/4 球,半径为 1,故 V2 ?
4? R3 1 ? ? ? 3 4 3

四棱锥底面由三个等边三角形组成,高为 1
3 3 3 ? 故 V1 ? ? ,因此组合体体积为 ? 3 4 4 3
? ? ? ? ?? ? ? ? 1 16、在△ABC 中,∠C=90°,M 是长度为定值的 BC 边上一点,sin ?BAM ? ,若 BM ? MA 取 3 得最大值 1 时,则 AC 的长为___

答案: 2

???? ? ??? ? 解析:如图所示,设 BM ? ? BC,(0 ? ? ? 1) ,则 ???? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? BM ? MA ? ? BC ?[CA ? (1 ? ?)BC] ? ?(1 ? ?) BC2
由于 BC 边长为定值,数量积的最值只与λ 有关 当 ? ? 1/ 2 时,数量积取最大值,即 BC 2 ? 4 ? BC ? 2 由正弦定理得 且
AC ? AB ? AC 2 ? 4 sin B

AM BM ? ? AC 2 ? 1 ? 3sin B sin B 1/ 3

联立以上两方程可解得 AC 2 ? 2
4

三、解答题 17、在数列 {an } 中,已知 a1 ? 1 ? 3 ,且 an ?1 ? an ?
2 , n ? N *. an ?1 ? an ? 2

(1)记 bn ? (an ?1)2 , n ? N * ,证明:数列 {bn } 是等差数列; (2)设 {bn } 的前 n 项和为 Sn,证明:
1 1 1 1 3 ? ? ? ... ? ? . S1 S2 S3 Sn 4

解析:(1)由题设条件联想到构造等差数列 {(an ?1)2}

[(an?1 ?1) ? (an ?1)][(an?1 ?1) ? (an ?1)] ? (an?1 ?1)2 ? (an ?1)2 ? 2
即 {(an ?1)2}是首项为 3,公差为 2 的等差数列 (2)依题意得 Sn ? 3n ? n(n ?1) ? n2 ? 2n ? n(n ? 2) 故有
1 1 1 1 ? ( ? ) ,对通项求和可得 Sn 2 n n ? 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 ? ? ? ... ? ? (1 ? ? ? ? ... ? ? ) ? (1 ? ? ? )? S1 S2 S3 Sn 2 3 2 4 n n?2 2 2 n ?1 n ? 2 4

注意:间隔非一的分裂项求和 18、如图,四棱锥 P-ABCD 的底面是个边长为 4 的菱形,其中 ?ADC ? 60? ,且顶点 P 在底面 的投影恰好为 AD 的中点 E,已知 PA= 7. (1)求证:平面 PAB⊥平面 PCD; (2)求平面 PAD 与平面 PCB 所成的锐二面角的余弦值. 解析:(1)过点 E 作 AB,CD 的垂线,设垂足分别为 M,N 则 AB⊥MN,易知 PE⊥AB,故 AB⊥平面 PMN 从而 AB⊥面上直线 PN 在 RT△PEA 中, PE ? 7 ? 4 ? 3 在 RT△EDN 中, NE ? 2sin 60? ? 3 ,同理可得 ME ? 2sin 60? ? 3 因此△PMN 为直角三角形,即 PN⊥PM 从而 PN⊥平面 PAB,线面垂直,故面面垂直,平面 PAB⊥平面 PCD (2)以点 E 为原点,EN 为 x 轴,EP 为 z 轴,如图所示建立空间直角坐标系,则

P(0,0, 3), A(? 3,1,0), D( 3, ?1,0), B(? 3,5,0), C( 3,3,0)
平面 PAD 的法向量 m 和平面 PCB 的法向量 n 分别满足

?m ? PA ? 0 ?n ? PB ? 0 和? ? ?m ? PD ? 0 ?n ? PC ? 0
5

解得: m ? ( 3,3,0), n ? (1, 3, 4) 从而 cos ? m, n ??
m?n 1 ? | m |?| n | 5

19、某高中在招高一新生时,有统一考试招生和自主招生两种方式,参加自主招生的同学必须 依次进行“语文” 、 “数学” 、 “科学”三科的考试,若语文达到优秀,则得 1 分,若数学达到优 秀,则得 2 分,若科学达到优秀,则得 3 分,若各科未达到优秀,则不得分。已知小明三科考 试都达到优秀的概率为 1/24, 至少一科考试优秀的概率为 3/4, 数学考试达到优秀的概率为 1/3, 语文达到优秀的概率大于科学考试达到优秀的概率,且小明各科达到优秀与否相互独立. (1)求小明语文考试达到优秀的概率; (2)求小明三科考试所得总分的分布列和期望. 解析:(1)设语文、数学、科学三门单独达到优秀的概率分别为 p1 , p2 , p3 已知 p2=1/3,依题意有 1 p1 p2 p3 ? 且 1 ? (1 ? p1 )(1 ? p2 )(1 ? p3 ) ? 3 / 4 24 联立解方程得 p1 ? 1/ 2, p2 ? 1/ 3, p3 ? 1/ 4 (2)依题意,小明三科总分 X 可能的取值有 0,1,2,3,4,5,6

P(X ? 0) ? (1 ? p1 )(1 ? p2 )(1 ? p3 ) ? 1/ 4 P(X ? 1) ? p1 (1 ? p2 )(1 ? p3 ) ? 1/ 4 P(X ? 2) ? (1 ? p1 ) p2 (1 ? p3 ) ? 1/ 8 P(X ? 3) ? (1 ? p1 )(1 ? p2 ) p3 ? p1 p2 (1 ? p3 ) ? 5 / 24 P(X ? 4) ? p1 (1 ? p2 ) p3 ? 1/12 P(X ? 5) ? (1 ? p1 ) p2 p3 ? 1/ 24 P(X ? 6) ? p1 p2 p3 ? 1/ 24
随机变量分布列为(注意 P(X=3)是两种情况的组合) X 0 1 2 3 P 1/4 1/4 1/8 5/24 1 1 15 4 5 6 23 EX ? ? ? ? ? ? ? 4 4 24 12 24 24 12 20、已知 O 是坐标原点,若椭圆 C: 点为 Q,△OPQ 的面积为 2 2 . 4 1/12 5 1/24 6 1/24

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 / 2 ,右顶点为 P,上顶 a 2 b2

6

(1)求椭圆 E 的标准方程; (2)已知点 E ( 6,0) ,M,N 为椭圆 C 上两动点,设 ?MEN ? ? (? ? 0,? ? ? / 2) ,且满足 ?MEN 的 面积等于 ? tan ? . 证明:直线 MN 恒过定点. 解析:(1)两个条件联立求解标准方程
1 b2 1 ? 1 ? e2 ? 且 S? ? ab ? 2 2 ? a 2b 2 ? 32 2 2 a 2

x2 y 2 ?1 解得 b ? 4, a ? 8 故 ? 8 4
2 2

(2)依题意得 S? ?

1 ME ? NE sin ? ? ? tan ? ? ME ? NE cos ? ? ?2 2

???? ??? ? 即 ME ? NE ? ?2
设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,且 MN 直线方程为 y ? kx ? m 联立直线与椭圆方程得 (2k 2 ? 1) x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 8 ? 0
?4km 2m 2 ? 8 因此 x1 ? x2 ? 2 , x1 x2 ? 2k ? 1 2k 2 ? 1

数量积 ( 6 ? x1 )( 6 ? x2 ) ? y1 y2 ? ?2 其中 y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) 整理得 ( 8k ? 3m)2 ? 0 ? m ? ?

8 k 3

故有直线 y ? k ( x ?

8 2 6 , 0) ) 过定点 ( 3 3
x?m 在点(1,g(1))处的切线与直线 x-2y-3=0 平行,其中 x?m

21、已知函数 f ( x) ? a ln x ,函数 g ( x) ? a,m 为常数.

(1)设 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ,当 a<0 时,求函数 F(x)的单调区间; (2)当 a=1 时,对任意的 x ? (1/ 2, ??) ,都有 y=f(x)的图像在 y ? 的取值范围. 解析:(1)首先确定参数 m 若 g '( x) ?
2m 2m 1 ? ? m ?1 ,则 g '(1) ? 2 2 (1 ? m) 2 ( x ? m)
7

ex k ? 的图像下方,求实数 k x x

故 F '( x) ?

a 2 求导为零整理得 ax2 ? (2a ? 2) x ? a ? 0(a ? 0, x ? 0) ? x ( x ? 1)2

若 ? ? 0, F '(x) ? 0 ,则 a ? ?1/ 2,(0, ??) ? 若 ? ? 0, x ?
a ? 1 ? 2a ? 1 ,则 ?1/ 2 ? a ? 0 , x1 ? x ? x2 时 F(x)单调递增 a

(0, x1 ) ? ( x2 , ??) ? ,此处注意判断 x1 ? 0
(2)依题意有 ln x ?
ex ? k ? k ? e x ? x ln x x

令 h( x) ? e x ? x ln x,( x ? 1/ 2) ,则 h '( x) ? ex ? ln x ?1 且 h ''( x) ? e x ?1/ x ,注意 h ''(1/ 2) ? e ? 2 ? 0 且 h ''(1) ? e ? 1 ? 0 故存在 h ''( x0 ) ? 0 即 ex0 ? 1/ x0 因此 (1/ 2, x0 )h '( x) ?,( x0 ,1)h '( x) ? 注意最小值 h '( x0 ) ? ex0 ? ln x0 ?1 ? x0 ?1/ x0 ?1 ? 2 ?1 ? 0 因此 h( x) ? e x ? x ln x,( x ? 1/ 2) 单调递增 最小值 h(1/ 2) ? e ? ln 2 ? k
? ? x ? 2 cos t 23、已知曲线 C 的参数方程为 ? ,以坐标原点为极点,以 x 轴为非负半轴为极轴建 y ? 2 sin t ? ?

立极坐标系,点 A 的极坐标为 (2 2, ? / 4) . (1)写出曲线 C 的极坐标方程,并求出曲线 C 在点(1,1)处的切线的极坐标方程; (2)若过点 A 的直线 l 与曲线 C 相切,求直线 l 的斜率 k 的值. 解析:(1)曲线 C 的普通方程为 x2 ? y 2 ? 2 ,转化为极坐标方程得 ? 2 ? 2 由普通方程得圆在(1,1)处的切线方程为 1x+1y=2,转化为极坐标方程得 ? (cos ? ? sin ? ) ? 2 (2)首先将点 A 转为直角坐标(2,2) 设过点 A 的直线方程为 y=k(x-2)+2 联立曲线 C 方程得 x2 ? (kx ? 2 ? 2k )2 ? 2 展开得 (k 2 ? 1) x2 ? 4k (1 ? k ) x ? (2 ? 2k )2 ? 2 ? 0

8

判别式 ? ? 0 解得 k 2 ? 4k ? 1 ? 0 因此 k ? 2 ? 3

9


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