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广东省开侨中学2012-2013学年度高二第二学期入学考试数学文试题

时间:2013-03-04


广东省开侨中学 2012-2013 学年度高二第二学期入学考试数 学文试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 满分 150 分,考试时间 120 分钟.
注意事项: 1. 答卷前, 考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡上, 并用 2B 铅笔在答题卡上的相应位置填涂信息点. 2. 选择题每小题选出答案后, 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑, 用 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域 内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂 改液。不按以上要求作答的答案无效.

第Ⅰ卷(选择题, 共 50 分) 一 、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分)
1. ?ABC 中, ?A ? 60?, a ? 6 , b ? 4 ,那么满足条件的 ?ABC ( ) A.有一个解 B. 有两个解 C.无解 D.不能确定 2 2、已知等比数列 {an } 的公比为正数且 a3 · a9 =2 a5 , a2 =1,则 a1 =( A.
1 2

)

B.

x ?1 ? 0 的解集为( ) 2? x A. {x | ?1 ? x ? 2} B. {x | ?1 ? x ? 2} C. {x | x ? ?1 或 x ? 2} D. {x | x ? ?1 或 x ? 2} 4.下列函数中,最小值是 2 的是( ) 1 A. y ? x ? B. y ? 3x ? 3? x x 1 ? 1 (0 ? x ? ) (1 ? x ? 10) C. y ? lg x ? D. y ? sin x ? sin x 2 lg x 5. 下列命题错误的是( )

2 2

C. 2

D.2

3.不等式

A.命题“若 m ? 0 则方程 x 2 ? x ? m ? 0 有实根”的逆否命题为: “若方程 x 2 ? x ? m ? 0 无实根则 m ? 0 ”
(第 6 题图)

B. 对于命题 p : “ ?x ? R 使得 x2 ? x ? 1 ? 0 ”, ?p : “ ?? R, 均有 x2 ? x ? 1 ? 0 ” 则 C. 若 p ? q 为假命题,则 p, q 均为假命题

第 1 页 共 13 页

D. “ x ? 1 ”是

“ x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件 )

6.执行如图的序框图,如果输入 p ? 5 ,则输出的 S ? ( A.
15 16

B.

31 16

C.

31 32

D.

63 32
2 2

7.若抛物线 C 以坐标原点为顶点,以双曲线 y ? x ? 1 的顶点为焦点且过第二象
16 9

限,则抛物线 C 的准线方程是( ) A.x=3 B.y=-4 C.x=3 或 y=-4 D.x=4 或 y=-3 ? ? 8.已知 f ( x) ? sin( x ? ), g ( x) ? cos( x ? ) ,则下列结论中正确的是( ) 2 2 A.函数 y ? f ( x) ? g ( x) 的周期为 2; B.函数 y ? f ( x) ? g ( x) 的最大值为 1;

? 个单位后得到 g (x) 的图象; 2 ? D.将 f (x) 的图象向右平移 个单位后得到 g (x) 的图象; 2 9.数列 ?an ? 的首项为 3,?bn ? 为等差数列,且 bn ? an?1 ? an (n ? N ? ) ,若 b3 ? ?2 , ) b10 ? 12 ,则 a8 ? ( A.3 B.0 C.8 D.11
C.将 f (x) 的图象向左平移 10. 已知实数 4, m,9 构成一个等比数列, 则圆锥曲线
30 6
x2 ( ? y 2 ? 1的离心率为 m



A.

B. 7

C.

30 或 7 6

5 D. 或7 6

第Ⅱ卷(非选择题) 二、填空题:本大题共 4 小题,满分 20 分。
x?3 的定义域 x?3 ? ? ? ? 12.若向量 a ? ?1,1? , b ? ? ?1, 2 ? ,则 a ? b 等于_____________.

11、函数 f ( x) ? ln(4 ? x) ?

13.已知 a 、 b 、 c 分别是 ?ABC 的三个内角 A 、 B 、 C 所对的边。若 ?ABC 面 积 S ?ABC ?
3 , c ? 2, A ? 60?, 则 b 的值为_____________;a 的值为_____________ 2

14、已知抛物线的方程为 y 2 ? 4x ,直线 l 过定点 P(-2,1) ,斜率为 k. 若直线 l 与抛物线有公共点,则 k 的取值范围是_____________.
第 2 页 共 13 页

三、 解答题(共 6 小题,80 分.解答应写出文字说明、证明过程或推证过程.)
15.(本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , a3 ? ?3 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若数列 ?an ? 的前 k 项和 Sk ? ?35 ,求 k 的值.

16、 (本小题满分 14 分)已知 g ( x) 是对数函数,且它的图像恒过点 (e,1) ; f ( x) 是二次函数,且不等式 f ( x) ? 0 的解集是 (?1,3) ,且 f (0) ? 3 。 (1)求 g ( x) 的解析式 (2)求 f ( x) 的解析式; (3)写出 y= f ( x) 的单调递减区间(不用写过程) 。 并用减函数的定义给予证明。 (要写出证明过程)

17(本小题满分 14 分)

第 3 页 共 13 页

18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0,0 ? ? ? ? ) 为偶函数,周期为 2? . (1)求 f ( x) 的解析式; (2)若 ? ? (?

? ?

? 1 2? , ), f (? ? ) ? ,求 sin(2? ? ) 的值. 3 2 3 3 3

19、 (本小题满分 14 分 )已知平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组

?0 ? x ? 2 ? 给定,若 M ? x, y ? 为 D 上的动点,点 A 的坐标为 ?y ? 2 ? ?x ? 2 y
(1)求区域 D 的面积 (2)设 z ? 2x ? y ,求 z 的取值范围;

?

2,1 ,

?

2 2 (3)若 M ? x, y ? 为 D 上的动点,试求 ( x ? 1) ? y 的最小值;

20. (本小题满分 14 分) 已知点 P(4,4) ,圆 C: ( x ? m)2 ? y 2 ? 5 (m ? 3) 与椭圆 E:
x2 y 2 , ? ? 1 (a ? b ? 0) 有一个公共点 A(3,1) F1、F2 分别是椭圆的左、右焦点, a 2 b2

直线 PF1 与圆 C 相切. (1)求 m 的值与椭圆 E 的方程; (2)设 Q 为椭圆 E 上的一个动点,求 AP ? AQ 的取值范围.
y P

??? ???? ?

A

F1

O

C Q

F2

x

第 4 页 共 13 页

……………………………密…………………………封……………………………线……………………………

2012-2013 学年度第二学期开学考试 高二数学(文)答题卷
二.填空题(每小题 5 分,共 20 分) 11. 13. 12. 14.

试室号:

三. 解答题(共 6 小题, 分.解答应写出文字说明、 80 证明过程或推证过程.)
15. (本小题满分 12 分)

姓名:

座号:

16. (本小题满分 14 分)

高二(

)班

第 5 页 共 13 页

17. (本小题满分 14 分)

座位号

18. (本小题满分 12 分)

第 6 页 共 13 页

19. (本小题满分 14 分)

第 7 页 共 13 页

20. (本小题满分 14 分)
y P

………………………

A

F1

O

C Q

F2

x

密 封 线

………………………

密 封 线
………………………

密 封 线

………………………

密 封 线

………………………

密 封 线

……….

第 8 页 共 13 页

开侨中学 2012-2013 学年度第二学期高二开学考试
高二数学(文科)试卷

参考答案
1-10 C B D B C C B DAC 10. 【解析】因 4, m,9 成等比,则 m2 ? 36 ? m ? ?6 当 m ? ?6 时圆锥曲线为椭圆
x2 x2 30 ? y 2 ? 1其离心率为 ;当 m ? ?6 时圆锥曲线为双曲线 y 2 ? ? 1 其离心率 6 6 6

为 7 故选 C 11、答案: ? ??,3? ? ?3,4?

? ? 12. 【解析】 a ? b ? ?1,1? ? ? ?1, 2 ? ? 1? ? ?1? ? 1? 2 ? 1 .
13 解: (1)? S ?ABC ?

1 3 bc sin A ? ,得 b ? 1 。 2 2 由 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bccos A ? 12 ? 2 2 ? 2 ?1? 2 ? cos60? ? 3 ,得 a ? 3

14:直线 l 的方程为: y ? kx ? 2k ? 1
? y ? kx ? 2k ? 1 由方程组 ? 2 可得 ky 2 ? 4 y ? 4(2k ? 1) ? 0 ? y ? 4x


1 , 4

① 当 k ? 0 时,由①得 y=1.把 y=1 代入 y 2 ? 4x 得 x ?
1 这时直线与抛物线有一个公共点 ( ,1) 4

?k ? 0 ②当 k ? 0 时,由题意得 ? 2 ?? ? ?16(2k ? k ? 1) ? 0
解得 ? 1 ? k ? 0, 或0 ? k ? 综上所述,当 ? 1 ? k ?
1 2

1 时直线与抛物线有公共点 2

第 9 页 共 13 页

15. (本小题满分 12 分) 解: (1)设等差数列 ?an ? 的公差 d ,则 an ? a1 ? ? n ?1? d , 由题设, a3 ? ?3 ? a1 ? 2d ? 1 ? 2d ,所以 d ? ?2 .

an ? 1? ? n ?1?? ?2? ? 3 ? 2n .
(2)因为 Sk ?

…………………………… 6 分

k ? a1 ? ak ? k ?1 ? 3 ? 2k ? ? ? k ? 2 ? k ? ? ?35 , 2 2

所以 k 2 ? 2k ? 35 ? 0 ,解得 k ? 7 或 k ? ?5 . 因为 k ? N? ,所以 k ? 7 . 16、 (1) (过程略) g ( x) ? ln x x ? 0 (2) (过程略) y ? f ( x) ? ? x2 ? 2x ? 3 (3) 单调减区间为(1,+ ? ) …………………………… 12 分 ………………… 3 分 ………………… 8 分

设x1 x 2 ? (1,??)且x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? (? x1 ? 2 x1 ? 3) ? (? x2 ? 2 x2 ? 3) ? ( x2 ? x1 ) ? 2( x 2 ? x1 )
2 2 2 2

? ( x 2 ? x1 )(x 2 ? x1 ? 2) ?1 ? x1 ? x 2 ? x 2 ? x1 ? 0,x1 ? x2 ? 2 ? 0 因此(x 2 ? x1 )(x1 ? x 2 ? 2) ? 0 所以f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0即f ( x1 ) ? f ( x 2 )故f ( x)在( , ?)是减函数 1?
………………… 14 分 17. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)证:连接 DB ,由长方体知 DD1 ? 面 ABCD 所 以 AC ? DD1 , 又 ABCD 为 正 方 形 , 所 以 AC ? BD , 又

DD1 ? BD ? D
所以 AC ? 面 DD1 B , BD1 ? 面DDB1 ,所以 BD1 ? AC ……………7 分 (Ⅱ)设点 C1 到面 AB1C 的距离为 h . 1 1 由 VC1 ? AB1C ? VA? B1C1C 得 S ?AB1C ? h ? S ?B1C1C ? AB , A1 3 3 S ?B1C1C ? AB 2?2 所以 h ? ? ? 1 ……14 分 S ?AB1C 2 2
第 10 页 共 13 页

D1 B1

C1

D B

C

A

18. (本小题满分 12 分) 解: (1)? T ? 2? , 则? ?

2? ? 1. T

? f ( x) ? sin( x ? ? ) . ? f ( x) 是偶函数, ?? ? k? ?

………2 分

?
2

(k ? Z ) ,

又 0 ? ? ? ? ,?? ?

?
2





f ( x) ? cos x .

………5 分

? 1 ? ? ? 5? (2)由已知得 cos(? ? ) ? ,?? ? (? , ) ,?? ? ? (0, ) . 3 3 3 2 3 6

? 2 2 则 sin(? ? ) ? . 3 3
? sin(2? ?
2? ? ? 4 2 . ) ? 2sin(? ? ) cos(? ? ) ? 3 3 3 9

………8 分

………12 分

19、解答及评分标准: (1)由题得不等式组对应的平面区域 D 是如
3 2 图所示的直角梯形 OABC,其面积为, (3 2

分) 图3分 (2)? 0, 4 ? ―――――(4 分) (解答时要加适当的文 字说明, )
1 3 (3) ~~~(4 分) (注:写 的给 2 分) 3 3 (解答时要加适当的文字说明, ) (

第 11 页 共 13 页

20.解: (Ⅰ)点 A 代入圆 C 方程, 得 (3 ? m)
2

2

?1 ? 5 .
………………
2

∵m<3,∴m=1.

2分

圆 C: ( x ? 1) ? y ? 5 .设直线 PF1 的斜率为 k, 则 PF1:

y ? k ( x ? 4) ? 4 ,即 kx ? y ? 4k ? 4 ? 0 .
| k ? 0 ? 4k ? 4 | k2 ?1 ? 5.

∵直线 PF1 与圆 C 相切,∴

解得 k ?

11 1 , 或k ? . 2 2

………………

4分

当 k=

11 时,直线 PF1 与 x 轴的交点横坐标为 ,不合题意,舍去. 11 2 1 2

36

当 k= 时,直线 PF1 与 x 轴的交点横坐标为-4, ∴c=4.F1(-4,0) ,F2(4,0) . 2a=AF1+AF2= 5

2? 2 ?6 2,
… 7分

a?3 2 ??? ? ???? AP ? (1, 3) ,设 Q(x,y) AQ ? ( x ? 3, y ? 1) , (Ⅱ) , ??? ???? ? AP ? AQ ? ( x ? 3) ? 3( y ? 1) ? x ? 3 y ? 6 . ………………
x2 y 2 ? ? 1 ,即 ∵ 18 2


x2 y 2 ? ? 1. ,a2=18,b2=2.椭圆 E 的方程为: 18 2

9分

x 2 ? (3 y )2 ? 18 ,
………11 分

x 2 ? (3 y )2 ≥ 2 | x | ? | 3 y | ,∴-18≤6xy≤18.
2

则 ( x ? 3 y) 12 分

? x 2 ? (3 y ) 2 ? 6 xy ? 18 ? 6 xy 的取值范围是[0, ……… 36].

x ? 3 y 的取值范围是[-6,6]……… 13 分
??? ???? ? ∴ AP ? AQ ? x ? 3 y ? 6 的取值范围是[-12,0].
第 12 页 共 13 页

……

14 分

第 13 页 共 13 页


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