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高一数学-第35讲曲线方程及圆锥曲线的综合问题 精品

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普通高中课程标准实验教科书—数学 [人教版] 高三新数学第一轮复习教案(讲座 35)—曲线方程及圆锥曲线的 综合问题 一.课标要求: 1.由方程研究曲线,特别是圆锥曲线的几何性质问题常化为等式解决,要加强等价 转化思想的训练; 2.通过圆锥曲线与方程的学习,进一步体会数形结合的思想; 3.了解圆锥曲线的简单应用。 二.命题走向 近年来圆锥曲线在高考中比较稳定,解答题往往以中档题或以押轴题形式出现,主 要考察学生逻辑推理能力、运算能力,考察学生综合运用数学知识解决问题的能力。但 圆锥曲线在新课标中化归到选学内容,要求有所降低,估计 2007 年高考对本讲的考察, 仍将以以下三类题型为主。 1.求曲线(或轨迹)的方程,对于这类问题,高考常常不给出图形或不给出坐标系, 以考察学生理解解析几何问题的基本思想方法和能力; 2.与圆锥曲线有关的最值问题、参数范围问题,这类问题的综合型较大,解题中需 要根据具体问题、灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识,正确的构 造不等式或方程,体现了解析几何与其他数学知识的联系。 预测 07 年高考: 1.出现 1 道复合其它知识的圆锥曲线综合题; 2.可能出现 1 道考查求轨迹的选择题或填空题,也可能出现在解答题中间的小问。 三.要点精讲 1.曲线方程 (1)求曲线(图形)方程的方法及其具体步骤如下: 步 骤 含 义 说 明 1、 “建” :建立坐标 系; “设” : 设动点坐 标。 2 、现 ( 限 ) :由限制 条件,列出几何等 式。 3、 “代” :代换 4、 “化” :化简 5、证明 建立适当的直角坐标 系,用(x,y)表示曲线上 任意一点 M 的坐标。 写出适合条件 P 的点 M 的集合 P={M|P(M)} 用坐标法表示条件 P(M), 列出方程 f(x,y)=0 化方程 f(x,y)=0 为最简 形式。 证明化简以后的方程的 (1) 所研究的问题已给出坐标系,即可直 接设点。 (2) 没有给出坐标系,首先要选取适当的 坐标系。 这是求曲线方程的重要一步, 应仔细分析 题意,使写出的条件简明正确。 常常用到一些公式。 要注意同解变形。 化简的过程若是方程的同解变形, 可以不 要证明,变形过程中产生不增根或失根, 应在所得方程中删去或补上 (即要注意方 程变量的取值范围)。 这五个步骤(不包括证明)可浓缩为五字“口诀” :建设现(限)代化” (2)求曲线方程的常见方法: 直接法:也叫“五步法” ,即按照求曲线方程的五个步骤来求解。这是求曲线方程的 基本方法。 转移代入法:这个方法又叫相关点法或坐标代换法。即利用动点是定曲线上的动点, 另一动点依赖于它,那么可寻求它们坐标之间的关系,然后代入定曲线的方程进行求解。 几何法:就是根据图形的几何性质而得到轨迹方程的方法。 参数法:根据题中给定的轨迹条件,用一个参数来分别动点的坐标,间接地把坐标 x,y 联系起来,得到用参数表示的方程。如果消去参数,就可以得到轨迹的普通方程。 2.圆锥曲线综合问题 (1)圆锥曲线中的最值问题、范围问题 通常有两类:一类是有关长度和面积的最值问题;一类是圆锥曲线中有关的几何元 素的最值问题。这些问题往往通过定义,结合几何知识,建立目标函数,利用函数的性 质或不等式知识,以及观形、设参、转化、替换等途径来解决。解题时要注意函数思想 的运用,要注意观察、分析图形的特征,将形和数结合起来。 圆锥曲线的弦长求法: 设圆锥曲线 C∶f(x,y)=0 与直线 l∶y=kx+b 相交于 A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,则 弦长|AB|为: 解为坐标的点都是曲线 上的点。 若弦 AB 过圆锥曲线的焦点 F,则可用焦半径求弦长,|AB|=|AF|+|BF|. 在解析几何中求最值,关键是建立所求量关于自变量的函数关系,再利用代数方法 求出相应的最值.注意点是要考虑曲线上点坐标(x,y)的取值范围。 (2)对称、存在性问题,与圆锥曲线有关的证明问题 它涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法,以及定点、定值问题的 判断方法。 (3)实际应用题 数学应用题是高考中必考的题型,随着高考改革的深入,同时课本上也出现了许多 与圆锥曲线相关的实际应用问题,如桥梁的设计、探照灯反光镜的设计、声音探测,以 及行星、人造卫星、彗星运行轨道的计算等。 涉及与圆锥曲线有关的应用问题的解决关键是建立坐标系,合理选择曲线模型,然 后转化为相应的数学问题作出定量或定性分析与判断,解题的一般思想是: (4)知识交汇题 圆锥曲线经常和数列、三角、平面向量、不等式、推理知识结合到一块出现部分有 较强区分度的综合题。 四.典例解析 题型 1:求轨迹方程 例 1. (1)一动圆与圆 x2 ? y 2 ? 6 x ? 5 ? 0 外切,同时与圆 x2 ? y 2 ? 6x ? 91 ? 0 内 切,求动圆圆心 M 的轨迹方程,并说明它是什么样的曲线。 x2 ? y 2 ? 1有动点 P , F1 , F2 是曲线的两个焦点,求 ?PF1F2 的重心 M (2)双曲线 9 的轨迹方程。 解析: (1) (法一)设动圆圆心为 M ( x, y ) ,半径为 R ,设已知圆的圆心分别为 O1 、 O2 , 将圆方程分别配方得: ( x ? 3) ? y ? 4 , ( x ? 3) ? y ? 100 , 2 2 2 2 当 ① 当 ② M 与 O1 相切时,有 | O1M |? R ? 2 M 与 O2 相切时,有 | O2 M |? 10 ? R y 将①②两式的两边分别相加,得 | O1M | ? | O2 M |? 12 , 即 ③ 移项再两边分别平方得: P ( x ? 3) 2 ? y 2 ? ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 12 O1 O2 x 2 ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 12 ? x 2 2 ④ 两边再平方得: 3x ? 4 y ?108 ? 0 ,

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